高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列精品同步练习题

专题31 离散型随机变量及其分布列

一、单选题

1．（2020·陕西高二期末（理））已知随机变量的分布列如下，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意可得，则

故选：D

2．（2020·南京市临江高级中学高二期中）下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，解得.

故选：C

3．（2020·重庆北碚西南大学附中高二月考）已知随机变量ξ的分布列为，则实数m＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵随机变量ξ的分布列为

解得实数

故选：C

4．（2020·陕西高二期末（理））若随机变量的分布列如下：

则当时，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意可得，，，则.

故选：B

5．（2020·河南高二期末（理））随机变量X的分布列为(    )

其中a,b,c成等差数列,则等于(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,

又a+b+c=1,所以b=,

所以P(|X|=1)=a+c=，故选D.

6．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））设随机变量的概率为分布列如下表，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由，解得或

故选：A

7．（2020·河南南阳高二二模（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的　　　　B．4个全是好的

C．恰有2个是好的　　　　D．至多有2个是坏的

【答案】C

【解析】

对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.

8．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于(    )

A． B．

C． D．1

【答案】C

【解析】

由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，

它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，

即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，

于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝

故选C

二、多选题

9．（2020·大名县第一中学高二月考）如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有(    )

A．取每一个可能值的概率都是非负数 B．取所有可能值的概率之和是1

C．的取值与自然数一一对应 D．的取值是实数

【答案】ABD

【解析】

根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；

取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；

的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.

故选：ABD

10．（2020·三亚华侨学校高二月考）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（    ）

A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量

B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数服从两点分布

C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1

D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的

【答案】AD

【解析】

对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；

对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数服从二项分布而不是两点分布，故选项B错误；

对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；

对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D正确．

故选：AD

11．（2019·东台市安丰中学高二期中）设随机变量的分布列为，则 (    )

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】

随机变量的分布列为,

， 解得，

故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故答案为：A、B、C.

12．（2019·山东潍坊高三月考）某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（    ）

A．游客至多游览一个景点的概率 B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

记该游客游览个景点为事件，，

则，

，

所以游客至多游览一个景点的概率为，故A正确；

随机变量的可能取值为

，

，

，故B正确；

，

，故C错误；

数学期望为：，故D正确，

故选：ABD.

三、填空题

13．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（理））已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________.

【答案】

【解析】

由随机变量概率分布列的性质可知：，且0≤x≤1，

解得x＝

故答案为

14．（2020·辉县市第二高级中学高二期中（理））已知随机变量X的分布列为，则等于________.

【答案】

【解析】

，，解得a=5，

则.

故答案为：．

15．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））随机变量的分布列为为常数， 则 的值为____________

【答案】

【解析】

∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，

∴，

∴c=，

∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；

故答案为．

16．（2019·北京市第二中学朝阳学校高二期末）随机变量的分布列如下：

则______，______.

【答案】       

【解析】

由得

故答案为：，

四、解答题

17．（2019·全国高二课时练习）小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.

【答案】

【解析】

X的可能取值为6,11,15,21,25,30.

其中,X=6表示抽到的是1元和5元;

X=11表示抽到的是1元和10元;

X=15表示抽到的是5元和10元;

X=21表示抽到的是1元和20元;

X=25表示抽到的是5元和20元;

X=30表示抽到的是10元和20元.

18．（2019·全国高二课时练习）在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.

【答案】

【解析】

因为x,y可能取的值为1,2,3,

所以0≤|x-2|≤1,0≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3,

所以ξ可能的取值为0,1,2,3.

用(x,y)表示第一次抽到卡片号码为x,第二次抽得号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为:

ξ=0表示两次抽到卡片编号都是2,即(2,2).

ξ=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3).

ξ=2表示(1,2),(3,2).

ξ=3表示(1,3),(3,1).

19．（2020·南岗黑龙江实验中学高二期中（理））设离散型随机变量的分布列为

求：（1）的分布列；

（2）求的值.

【答案】（1）见解析；（2）0.7

【解析】

由分布列的性质知：，解得

（1）由题意可知

，，

，

所以的分布列为：

（2）

20．（2020·延安市第一中学高二期中（理））学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

（1）求在1次游戏中,

①摸出3个白球的概率;

②获奖的概率;

（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.

【答案】（I）（i）；（ii）（II）X的分布列见解析

【解析】

 (1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.

②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又

P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝2＝，

P(X＝1)＝C21·＝，

P(X＝2)＝2＝，

所以X的分布列是

21．（2019·黑龙江铁人中学高二期末（理））甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，

答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.

（Ⅰ）求随机变量分布列；                                                   

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

【答案】（Ⅰ）的分布列为

 (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且

所以的分布列为

（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

由互斥事件的概率公式得

22．某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过．

（1）求小李第一次考试即通过的概率；

（2）求小李参加考核的次数的分布列．

【答案】（1）

（2）分布列为

【解析】

（1）根据题意小李第一次考试即通过包括①小李没有抽到“移库”一项；②抽到“移库”一项且通过．

（2）根据题意小李参加考核的次数可能为1，2，3，4，其中

，，

分布列为