高二（下）期末测试卷（A卷 基础巩固）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

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高二（下）期末测试卷（A卷 基础巩固）
理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（文））复数（其中为虚数单位），则的实部和虚部的和为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数的四则运算求得，从而获得复数的实部和虚部，最后求解.
【详解】
由复数，
知，
则．
故选B．
2．（2021·云南昆明一中高三其他模拟（文））设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】
，，因此，.
故选：A.
3．（2021·武威第六中学高三其他模拟（文））2021年开始，某省将试行“”的普通高考新模式，即除物理语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助政治学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）

A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C
【分析】
根据雷达图，判断甲各科成绩与年级平均分的高低，以及各科成绩的高低，进而可确定理想的选科组合，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：由图知：甲的物理成绩领先年级平均分1.5分左右，比化学、地理要高，正确；
B：其中有政治、历史比年级平均分低，正确；
C：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、物理或生物，错误；
D：由C知：物理、化学、地理对于甲是比较理想的一种选科结果，正确；
故选：C.
4．（2021·浙江高三期末）若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据不等式组作出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.
【详解】
根据不等式组作出可行域，如图所示，

的最小值表示直线在y轴上的截距的最小值，即A点，易知，
此时，
故选：C
5．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（文））设等差数列的前项和为，其中，，则=（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】D
【分析】
利用等差数列的性质，得到成等差数列，进而可求解
【详解】
根据等差数列的性质，成等差数列，所以，成等差数列，进而得到，所以，
故选：D
6．（2021·广德市实验中学高三月考（文））鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中，，，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（ ）
（假定烹煮的食物全在四棱台内）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
在四棱台中，先求出，利用相似，求出点分别到平面和平面的距离，进而求出四棱台的体积.
【详解】
几何体为四棱台，所以延长必交于一点，记为O，
且四棱锥相似于，所以.过点作OH⊥面于H，
作OG⊥面于G，则,又，解得：OG=,OH=，
四棱台的体积.
故选：D
【点睛】
求棱台的体积：
（1）直接利用体积公式求体积；
（2）利用分割法，大棱锥体积减去小棱锥的体积.
7．（2021·新疆阿勒泰地区·布尔津县高级中学高三三模（理））已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，要使方程有且仅有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由已知可得函数的周期为2，令，则函数恒过点，原问题转化为函数与有且仅有5个交点，根据图象建立不等式组，解之可得所求范围.
【详解】
∵函数是定义在上的偶函数，
∴，又，则，
∴函数的周期为2且是一条对称轴，
当时，，则，
∴函数单调递增，则上单调递减，
又得：，
令恒过点，问题可化为与仅有5个交点，
当时，当与在上相切时，此时且，它们恰好有6个交点，如下图示，

∴，解得，此时，
当与在上相切时，此时且，它们恰好有4个交点，如下图示，

∴，解得，此时，
综上，上时恰好由5个交点，则，
∴根据对称性，当时，，
∴实数的取值范围实数的取值范围.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
8．（2021·山东烟台市·高三二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与交于点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题设知△为等腰直角三角形，即、，结合双曲线的定义求、，在△中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可.
【详解】
由且知：△为等腰直角三角形且、，即，
∵，
∴，故，则，
而在△中，，
∴，则，故.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：由已知条件判断△为等腰直角三角形，结合双曲线的定义及余弦定理可得齐次方程，即可求离心率.
二、多择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.
9．（2021·湖南高二月考）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．展开式中常数项为3
C．展开式中的系数为30 D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
【答案】ABD
【分析】
设，分别令和，两式相加减，即可判定A、D正确；令，可判定B正确，结合二项展开式的系数求法，可判定C不正确.
【详解】
设，
令，则，……①
令，则，……②
由①②得，所以，解得，
即，
令，可得，即展开式中常数项为3，
由①②得，所以，
即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，
又由展开式中的系数为.
故选：ABD.
10．（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为（ ）
A．数列{an＋1}是等差数列
B．数列{an＋1}是等比数列
C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1
D．Tn0,h(x)单调递增；当x>1时h'(x)0，命题得证；
法2
（2）依题意，要证：,
①当时，，故原不等式成立,
②当时，要证：,
即要证：,
令,
则,
,
先证：,
即要证：,
令，则,
当时，,
在单调递增,
,
即：,
当时，，,
,
在单调递减,
,
在单调递减,
,
即：,
故原不等式成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点问题，利用导函数证明不等式问题，属中高档题，关键是要掌握转化和分类讨论证明的方式.
22．（2021·贵州高三二模（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线的极坐标方程为，分别与曲线和交于点（异于点）和点，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为：；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）利用消参后得到曲线的普通方程，进而利用可得曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）分别代入曲线和曲线的极坐标方程，求得，再利用公式求解.
【详解】
解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，即，
因为，
所以曲线的极坐标方程为，
由得，
又因为，
所以曲线的直角坐标方程为：.
（Ⅱ）设
将代入得，
将代入得，
所以.
【点睛】
方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：
1.直角坐标系下的弦长公式或是；
2.利用直线参数方程的几何意义可知；
3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长.