高二（下）期末测试卷（B卷 能力提升）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

高二（下）期末测试卷（B卷 能力提升）

理科数学

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））已知集合，，（    ）

A． B． C． D．

2．（2016·湖南高二月考（理））已知是虚数单位，则

A． B． C． D．

3．（2020·全国高三专题练习（理））秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为　　

A． B． C． D．

4．（2020·全国高二课时练习）已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数的部分图象如图所示，M，N分别为图象上相邻的最高点与最低点，且线段MN的长为，则（ ）

A． B． C． D．

6．（2019·福建省永春第一中学高三其他模拟（理））在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·浙江高一期末）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，则它们的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（理））已知函数，若函数与的图像相交于，两点，且，两点的横坐标分别为，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.

9．（2021·全国高三其他模拟）已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．展开式中常数项为

C．展开式中含项的系数为

D．展开式中各项系数的绝对值的和为

10．（2021·重庆市长寿中学校）已知是的前项和，，，则下列选项错误的是（    ）

A． B．

C． D．是以为周期的周期数列

11．（2021·浙江高一期末）关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的最大值为

C．的单调递减区间为 D．的一个对称中心为

12．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的极小值为

B．函数有且只有个零点

C．存在负实数，使得恒成立

D．对任意两个正实数、，且，若，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2020·河南周口市·项城市第三高级中学高二月考（理））若定义在上的函数，则________．

14．（2021·四川成都市·树德中学高二月考（理））设椭圆的左、右顶点分别为，，是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率是______.

15．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．

16．（2020·湖北宜昌市·高三期末（文））艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出了一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和3，数列为牛顿数列，，且，，则数列的通项公式为__________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2020·全国高二课时练习）函数在点处的切线斜率为．

（1）求实数a的值；

（2）求的单调区间和极值．

18．（2019·昆明市·云南师大附中（理））某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布.

（1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56的概率；

（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图：

该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；

模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；

模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额做交换，令，则，且有，，，.

（I）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；

（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.

附：若随机变量，则，；样本的最小乘估计公式为，；

相关指数.

参考数据：，，，.

19．（2021·天津高三期末）如图，在四棱锥中，平面， ，，点是棱上一点，且，．

（1）若，求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．

20．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆的离心率为，，分别是其左､右焦点，过的直线交椭圆于点，，是椭圆上不与，重合的动点，是坐标原点.

（1）若是的外心，，求的值；

（2）若是的重心，求的取值范围.

21．（2021·浑源县第七中学校高三其他模拟（理））已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）求的单调区间；

（2）若对恒成立，记，证明：．

22．（2019·吉林长春市·长春外国语学校高二月考）在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线（是参数），且直线与曲线交于，两点.

（1）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；

（2）设定点，求.