第四章 数列单元测试（提升卷）-2020-2021学年高二数学新教材单元双测卷（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 单元过关检测 能力提升B卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟

一、单选题

1．已知等差数列的公差和首项都不为零，且，，成等比数列，则（   ）

A． B． C． D．2

2．设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（    ）

A． B． C． D．

3．两个等差数列和，其前项和分别为、，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知数列为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最小值的是（    ）

A．37和38 B．38 C．37 D．36和37

5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（    ）（参考数据：，）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（    ）

A．440 B．330 C．220 D．110

7．等差数列，满足，则（ ）

A．的最大值为50 B．的最小值为50

C．的最大值为51 D．的最小值为51

8．已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．(多选)已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．的最大值为

11．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则（    ）

A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021 B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1

C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0

12．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

三、填空题

13．已知数列满足且，为数列的前项和，则__________.

14．设数列的前项和为，若，且，则_______.

15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．

16．已知等比数列中，，在与两项之间依次插入个正整数，得到数列，即．则数列的前项之和_______(用数字作答)．

四、解答题

17．在①对任意，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．

18．根据预测，疫情期间，某医院第天口罩供应量和消耗量分别为和（单位：个），其中，，第天末的口罩保有量是前天的累计供应量与消耗量的差．

（1）求该医院第天末的口罩保有量；

（2）已知该医院口罩仓库在第天末的口罩容纳量（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？

19．已知正项数列的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前项和.

20．已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有.

（1）求数列的通项公式；

（2）记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求.

21．已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”.

（1）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”若不存在，请说明理由；

（2）若为的“伴随数列"，证明: ；

（3）已知数列存在“伴随数列，且，求的最大值.

22．设数列的前项和为，已知，且．

（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，且，证明；

（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．