专题19 数列的求和-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题19 数列的求和

一、单选题

1．（2019·商丘市第一高级中学高二期中（理））数列的前n项和为，若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】

,.

故选：C

2．（2018·甘肃省武威十八中高二课时练习）化简的结果是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵Sn=n+（n﹣1）×2+（n﹣2）×22+…+2×2n﹣2+2n﹣1   ①

2Sn=n×2+（n﹣1）×22+（n﹣2）×23+…+2×2n﹣1+2n  ②

∴①﹣②式得；﹣Sn=n﹣（2+22+23+…+2n）=n+2﹣2n+1

∴Sn=n+（n﹣1）×2+（n﹣2）×22+…+2×2n﹣2+2n﹣1n+2﹣2n+1=2n+1﹣n﹣2

故答案为：D

3．（2020·江西省江西师大附中高三月考（理））数列的前项和的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

,

故选：A

4．（2019·福建省莆田一中高三期中（文））等差数列中，，，则数列的前20项和等于（   ）

A．-10 B．-20 C．10 D．20

【答案】D

【解析】

，解得 ，所以

，故选D．

5．（2020·珠海市第二中学高一开学考试）已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（    ）

A．2019 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】D

【解析】

由，，

所以，，，

所以数列是以为周期的数列，，

所以.

故选：D

6．（2018·厦门市华侨中学高二期中）已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

当 时，不成立，当 时， ，两式相除得 ，解得： ， 即 ， ，

，

  ，两式相减得到： ，所以 ，故选D.

7．（2019·福建省厦门第六中学高二期中（理））已知数列满足 ，则数列的最小值是

A．25 B．26 C．27 D．28

【答案】B

【解析】

因为数列中，，所以，，

，，上式相加，可得

，所以，所以

，当且仅当，即时，等式相等，故选B．

8．（2020·江苏省高二期中）设函数，利用课本中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，，

设，

则，

两式相加得，因此，.

故选：B.

二、多选题

9．（2020·海南省高三其他）已知数列的首项为4，且满足，则（    ）

A．为等差数列

B．为递增数列

C．的前项和

D．的前项和

【答案】BD

【解析】

由得，所以是以为首项，2为公比的

等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；

因为，，所以

，故，

故C错误；因为，所以的前项和，

故D正确.

故选：BD

10．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】AB

【解析】

由题意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，，

2•2n﹣1﹣1＝2n﹣1，则数列{cn}为递增数列，

其前n项和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）

＝（21+22+…+2n）﹣n2n+1﹣2﹣n．

当n＝9时，Tn＝1013＜2019；

当n＝10时，Tn＝2036＞2019．

∴n的取值可以是8，9．

故选：AB

11．（2020·山东省高二期末）已知数列满足，，则下列结论正确的有（    ）

A．为等比数列

B．的通项公式为

C．为递增数列

D．的前项和

【答案】ABD

【解析】

因为，所以，又，

所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，为递减数列，

的前项和

.

故选：ABD

12．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有(    )

A．数列的前10项和为100

B．若成等比数列，则

C．若，则n的最小值为6

D．若，则的最小值为

【答案】AB

【解析】

由已知可得:,,

,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;

成等比数列,则,即,解得故B正确;

因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.

故选:AB.

三、填空题

13．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模（理））等差数列的前n项和为，，则_____.

【答案】

【解析】

，，故，故，

.

故答案为：.

14．（2020·全国高三月考（文））已知数列满足：，，则数列的前项和__________.

【答案】

【解析】

由已知，，当时，

，

又满足上式，所以，

.

故答案为：

15．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列中，，，记为的前n项和，则=____________.

【答案】

【解析】

因为，，所以.又，

所以数列的奇数项是以为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以为首项，2为公比的等比数列.

故.

故答案为：.

16．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）已知数列满足，，设的前项和为，则__________，__________．

【答案】    1010   

【解析】

由，，有

，…………

则数列是以3为周期的数列.

又，

所以，

故答案为：(1).     (2). 1010

四、解答题

17．（2019·全国高一课时练习）设函数，计算.

【答案】2011

【解析】

解：由已知，

，

设

，

，

即

18．（2020·福建省高三其他（文））已知数列为递减的等差数列，，为方程的两根．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

设等差数列的公差为d，

因为，为方程的两根，且数列为递减的等差数列，

所以，    

所以，     

所以，

即数列的通项公式为． 

（2）由（1）得，所以，    

所以数列的前n项和       

．

19．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列是等差数列,其前项和为,.

（1）求数列的通项公式；

（2）求和： .

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）设等差数列的公差为d,则有：,,,

所以数列的通项公式为：.

（2）由（1）可知：,

∴,

∴

20．（2020·合肥市第十一中学高一期中）数列满足：，且.

（1）证明数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由，得

，又

数列是首项为4，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知，，

由，

，

，

…，，

，

.

21．（2020·合肥市第十一中学高一期中）已知等差数列的前项和满足.

（1）求的通项公式；

（2）设求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）设等差数列的公差为，首项为，∵

∴即，解得

∴的通项公式为

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴①

①式两边同乘以，得②

①-②得

∴

22．（2011·安徽省高三一模（文））设奇函数对任意都有

求和的值；

数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；

【答案】解：（1），；（2）是等差数列.

【解析】

（1）∵，且f（x）是奇函数

∴

∴，故

因为，所以．

令，得，即．

（2）令

又

两式相加．

所以，

故，

又．故数列{an}是等差数列．