2022-2023学年山东省莱芜市中考数学专项突破模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年山东省莱芜市中考数学专项突破模拟试题（一模二模）含解析，共63页。试卷主要包含了 ﹣2017的倒数是， 将0， 点P， 在平面直角坐标系xOy中，点等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省莱芜市中考数学专项突破模拟试题

（一模）
　
一．选一选（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. ﹣2017的倒数是（　　）
A. B. ﹣ C. 2017 D. ﹣2017
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
3. 如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=：

A. 31° B. 45° C. 30° D. 59°
4. 将0.000 102用科学记数法表示为（　　）
A. 1.02×10﹣4 B. 1.02×I0﹣5 C. 1.02×10﹣6 D. 102×10﹣3
5. 点P（x﹣1，x+1）不可能在（　　）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相反是　　

A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系xOy中，点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的地位关系是（　　）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 以上三者都有可能
8. 下列各函数中，y随x增大而增大的是（　　）
A. y=﹣x+1 B. C. y=x2+1 D. y=2x﹣3
9. 已知函数，当时，＜x＜,则函数的图象可能是下图中的（　　）
A. B.
C. D.
10. 如图，是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘中止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是（ ）

A. B. C. D.
11. 已知方程x2+2x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则=（　　）
A. 2 B. ﹣2 C. ﹣6 D. 6
12. 如图，下列图形均是完全相反的点按照一定的规律所组成的，第①个图形中一共有3个点，第②个图形中一共有8个点，第③个图形中一共有15个点，…，按此规律陈列下去，第9个图形中点的个数是（　　）

A. 80 B. 89 C. 99 D. 109
二．填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
13. 2﹣1+=_____．
14. 如图，直线l⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．

15. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合若，，则折痕EF的长为______．

16. 如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得，米，与地面成角，且此时测得米的影长为米，则电线杆的高度为__________米．

17. 如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，0）B（0，4）把△AOB按如图标记的方式连续做旋转变换，这样得到的第2017个三角形中，O点的对应点的坐标为_____．

三．解 答 题（共8小题，满分69分）
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
19. 为了进步先生书写汉字的能力，加强保护汉子的认识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，先生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，先生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不残缺表格：
组别

成绩（分）

频数（人数）

频率

一



2

0.04

二



10

0.2

三



14

b

四



a

0.32

五



8

0.16


请根据表格提供的信息，解答以下成绩：
（1）本次决赛共有 名先生参加；
（2）直接写出表中a= ,b= ;
（3）请补全上应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为，则本次大赛的率为 ．
20. 在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

21. 甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
22. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是α，然后在程度地面上向建筑物前进了m米，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是β．已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物的高度．

23. 如图，函数与反比例函数图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．

（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
24. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延伸CB到点P，使∠APB=∠DCB，
（1）求证：AP为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积；
（3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探求a、b、c之间的等量关系式，并阐明理由．

25. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．











2022-2023学年山东省莱芜市中考数学专项突破模拟试题

（一模）
　
一．选一选（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. ﹣2017的倒数是（　　）
A. B. ﹣ C. 2017 D. ﹣2017
【正确答案】B

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【详解】根据乘积为1的两数互为倒数，可知-2017的倒数为﹣.
故选B.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项辨认即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的辨认，纯熟掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
3. 如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=：

A. 31° B. 45° C. 30° D. 59°
【正确答案】A

【详解】解：过点B作BE∥l1．∵l1∥l2，∴BE∥l1∥l2，∴∠CBE=∠α，∠EBA=∠β=14°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠α=∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=31°．故选A．

4. 将0.000 102用科学记数法表示为（　　）
A. 1.02×10﹣4 B. 1.02×I0﹣5 C. 1.02×10﹣6 D. 102×10﹣3
【正确答案】A

【详解】解：0.000 102=1.02×10﹣4．故选A．
5. 点P（x﹣1，x+1）不可能在（　　）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】D

【详解】本题可以转化为不等式组的成绩，看下列不等式组哪个无解，
（1） x-1＞0, x+1＞0 ，解得x＞1，故x-1＞0，x+1＞0，点在象限；
（2） x-1＜0 ,x+1＜0 ，解得x＜-1，故x-1＜0，x+1＜0，点在第三象限；
（3） x-1＞0 ,x+1＜0 ，无解；
（4） x-1＜0 ,x+1＞0 ，解得-1＜x＜1，故x-1＜0，x+1＞0，点在第二象限．
故点P不能在第四象限，故选D．
6. 如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相反的是　　

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据常见几何体三视图解答即可得．
【详解】球的三视图均为圆，故不符合题意；
正方体的三视图均为正方形，故不符合题意；
圆柱体的主视图与左视图为长方形，俯视图为圆，故符合题意；
圆锥的主视图与左视图为等腰三角形，俯视图为圆，故符合题意，
故选B.
本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是纯熟掌握三视图的定义和常见几何体的三视图．
7. 在平面直角坐标系xOy中，点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的地位关系是（　　）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 以上三者都有可能
【正确答案】A

【详解】试题分析：本题考查了直线和圆的地位关系，用到的知识点有角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的地位关系是解题关键．设直线的点为A，若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择．
设直线点为A，
∵点A的坐标为（sin45°，cos30°），
∴OA==，
∵圆的半径为2，
∴OA＜2，
∴点A在圆内，
∴直线和圆一定相交.
故选A．
考点：1.直线与圆的地位关系；2.坐标与图形性质；3.角的三角函数值．
8. 下列各函数中，y随x增大而增大的是（　　）
A. y=﹣x+1 B. C. y=x2+1 D. y=2x﹣3
【正确答案】D

【详解】解：A．y=﹣x+1，函数，k＜0，故y随着x增大而减小；
B．，k＜0，在每个象限里，y随x的增大而增大，此题没指明象限，所以无法比较；
C．y=x2+1，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小；
D．y=2x﹣3，函数，k＞0，故y随着x增大而增大．
故选D．
9. 已知函数，当时，＜x＜,则函数的图象可能是下图中的（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】A

【分析】先可判定a＜0, 可知=，=，可得∴a=6b,a=-6c,不妨设c=1,进而求出解析式，找出符合要求的答案即可.
【详解】解：∵函数，当时，＜x＜,，
∴可判定a＜0,可知=+=，=×=
∴a=6b,a=-6c,则b=-c,不妨设c=1,
则函数为函数，即y=(x-2)(x+3),
∴可判断函数的图像与x轴的交点坐标是（2,0），（-3,0），
∴A选项是正确的.
故选A
本题考查抛物线和x轴交点的成绩以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是处理成绩的关键．
10. 如图，是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘中止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：共15种情况，和为偶数的情况数有7种，所以和为偶数的概率为．故选B．

点睛：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是处理本题的易错点．
11. 已知方程x2+2x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则=（　　）
A. 2 B. ﹣2 C. ﹣6 D. 6
【正确答案】A

【详解】解：根据题意得：x1+x2=－2，x1x2=﹣1，所以+===2．故选A．
点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
12. 如图，下列图形均是完全相反的点按照一定的规律所组成的，第①个图形中一共有3个点，第②个图形中一共有8个点，第③个图形中一共有15个点，…，按此规律陈列下去，第9个图形中点的个数是（　　）

A. 80 B. 89 C. 99 D. 109
【正确答案】C

【详解】由图分析可知：第1幅图中，有（1+1）2-1=3个点，第2幅图中有（2+1）2-1=8个点，第3幅图中有（3+1）2-1=15个点，……
∴第9幅图中，有（9+1）2-1=99个点.
故选C.
点睛：本题解题的关键是经过观察分析得到：第n幅图形中点的个数=(n+1)2-1.
二．填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
13. 2﹣1+=_____．
【正确答案】

【详解】解：原式==．故答案为．
14. 如图，直线l⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．

【正确答案】40°

【详解】：在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°
15. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合若，，则折痕EF的长为______．

【正确答案】

【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得是等腰三角形，则在中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由≌，易得：，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则成绩得解
【详解】如图，设与AD交于N，EF与AD交于M，

根据折叠的性质可得：，，，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
即，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
故答案为．
本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难度，解题时要留意数形思想与方程思想的运用．
16. 如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得，米，与地面成角，且此时测得米的影长为米，则电线杆的高度为__________米．

【正确答案】（14+2）米

【分析】过D作DE⊥BC的延伸线于E，连接AD并延伸交BC的延伸线于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再根据勾股定理求出CE，然后根据同时同地物高与影长成反比列式求出EF，再求出BF，再次利用同时同地物高与影长成反比列式求解即可．
【详解】如图，过D作DE⊥BC的延伸线于E，连接AD并延伸交BC的延伸线于F．
∵CD=8，CD与地面成30°角，
∴DE=CD=×8=4，
根据勾股定理得：CE===4．
∵1m杆的影长为2m，
∴=，
∴EF=2DE=2×4=8，
∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=（28+4）．
∵=，
∴AB=（28+4）=14+2．
故答案为（14+2）．

本题考查了类似三角形的运用，次要利用了同时同地物高与影长成反比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在程度地面上的长BF是解题的关键．
17. 如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，0）B（0，4）把△AOB按如图标记的方式连续做旋转变换，这样得到的第2017个三角形中，O点的对应点的坐标为_____．

【正确答案】（8064，0）

【详解】解：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB===5，∴△ABC的周长=3+4+5=12．∵△OAB每连续变换3次后与原来的形态一样，2017÷3=672…1，∴第2017个三角形的直角顶点是第673个循环组个三角形的直角顶点，∴三角形2017的直角顶点O的横坐标=672×12=8064，∴三角形2017的直角顶点O的坐标为（8064，0）．故答案为（8064，0）．
点睛：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，细心观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．
三．解 答 题（共8小题，满分69分）
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1

【分析】经过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的运用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
19. 为了进步先生书写汉字的能力，加强保护汉子的认识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，先生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，先生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不残缺表格：
组别

成绩（分）

频数（人数）

频率

一



2

0.04

二



10

0.2

三



14

b

四



a

0.32

五



8

0.16


请根据表格提供的信息，解答以下成绩：
（1）本次决赛共有 名先生参加；
（2）直接写出表中a= ,b= ;
（3）请补全上应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为，则本次大赛的率为 ．
【正确答案】（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.

【详解】试题分析：（1）根据组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以得出答案.
试题解析：（1）2÷0.04=50
（2）50×0.32=16 14÷50=0.28
（3）
（4）（0.32+0.16）×=48%
考点：频数分布直方图
20. 在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）EG=2AGsin+BG ；（3）EG=AG-BG，证明见解析. 

【详解】试题分析：（1）首先作交于点H，易证得≌，又由，可证得等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作交于点H，作于点，易证得
≌，又由 易得，继而证得结论；
（3）首先作交于点H，易证得≌，继而可得是等腰直角三角形，则可求得答案．
试题解析：(1)证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
在△ABG和△AEH中，

∴≌ (ASA).
∴BG=EH，AG=AH.

∴△AGH是等边三角形，
∴AG=HG.
∴EG=AG+BG.


(2)如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.作AM⊥EG于点M，
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
在△ABG和△AEH中，

∴≌ (ASA).
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=α，

∴EG=GH+BG.


(3)
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.

∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH，AG=AH.

∴△AGH是等腰直角三角形.



21. 甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
【正确答案】甲、乙两公司人均捐款分别为80元、100元．

【详解】试题分析：本题调查的是分式的运用题，设甲公司人均捐款x元，根据题意列出方程即可.
试题解析：
设甲公司人均捐款x元

解得：
经检验，为原方程的根， 80+20=100
答：甲、乙两公司人均各捐款为80元、100元．
22. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是α，然后在程度地面上向建筑物前进了m米，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是β．已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物的高度．

【正确答案】该建筑物的高度为：（）米．

【详解】试题分析：首先由题意可得， 由AE−BE=AB=m米，可得，继而可求得CE的长，又由测角仪的高度是米，即可求得该建筑物的高度．
试题解析：由题意得：
∵AE−BE=AB=m米，
(米)，
(米)，
∵DE=n米，
(米).
∴该建筑物的高度为：米
23. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．

（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），；（2）或；（3）或

【分析】（1）把的坐标代入函数的解析式，得到，再根据以为底的三角形ABC的面积为5求得m和n的值，继而求得函数与反比例函数的表达式；
（2）根据的横坐标，图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限和在象限上时，根据坐标和图象即可得出答案.
【详解】解：

（1）∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
而，且，
∴，
解得：或（舍去），则，
由，得，
∴函数的表达式为；
又将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）不等式的解集为或；
（3）∵点在反比例函数图象上，且点在第三象限内，
∴当点在象限内时，总有，此时，；
当点第三象限内时，要使，，
∴满足的的取值范围是或．
本题考查了函数与反比例函数的交点成绩，用待定系数法求出函数与反比例函数的解析式，函数与反比例函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，纯熟运用数形的思想、运用性质进行计算是解题的关键，
24. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延伸CB到点P，使∠APB=∠DCB，
（1）求证：AP为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积；
（3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探求a、b、c之间的等量关系式，并阐明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）S△ABC=或；（3）b2=ac．

【详解】试题分析：（1）欲证明PA是切线，只需证明PA⊥OA即可；
（2）分两种情形分别求解即可；
（3）只需证明AD∥OB，可得△AED∽△OEB，推出，再推出可得=（）2，b2=ac．
试题解析：
（1）证明：∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠P=∠BCD，∠BAC=∠BDC，
∴∠P=∠BAC，
∵AC是直径，
∴∠ABC=∠ABP=90°，
∴∠P+∠BAP=90°，
∴∠BAP+∠BAC=90°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）解：①当∠OED=90°时，CB=CD=BD，△ABC是等边三角形，可得∠ACB=30°，
∵AC=2，
∴AB=1，BC=，
∴S△ABC=．
②当∠DOE=90°时，易知∠AOB=45°，△ABC的AC边上的高=，
∴S△ABC=．
（3）∵BD=BC，OD=OC，BO=BO，
∴△BOD≌△BOC，
∴∠OBD=∠OBC，
∵OB=OD=CO，
∴∠OBD=∠OBC=∠ODB=∠OCB，
∵∠ADB=∠OCB，
∴∠ADB=∠OBD，
∴AD∥OB，
∴△AED∽△OEB，
∴ ，
∵，
∴=（）2，
∴b2=ac．

25. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的地位，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只要一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．

本题为二次函数的综合运用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．










2022-2023学年山东省莱芜市中考数学专项突破模拟试题

（二模）

一、选一选（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
2. 某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A. 2×10﹣5 B. 2×10﹣6 C. 5×10﹣5 D. 5×10﹣6
3. 下列运算正确的是（　　）
A. m6÷m2＝m3 B. （x+1）2＝x2+1 C. （3m2）3＝9m6 D. 2a3•a4＝2a7
4. 在今年抗震赈灾中，小明统计了本人所在的甲、乙两班的捐款情况，得到三个信息：
（1）甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
（2）乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数多；
（3）甲班比乙班多5人，设甲班有x人，根据以上信息列方程得（　　）
A. B.
C. D.
5. 如右图是用八块完全相反的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）

A. B.
C. D.
6. 已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（　　）
A. B. C. D.
7. 若凸n边形的每个外角都是36°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（   ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 如图．在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=2，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB1C1，使AC1⊥AB，则BC扫过的面积为（　　）

A. B. C. D.
9. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则+QK的最小值为（　　）

A. 2 B. C. D.
10. 如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时中止．设Rt△ABC与矩形DEFG的堆叠部分的面积为ycm2，运动工夫xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（ ）

A B.
C. D.
11. 记max{x，y}表示x，y两个数中的值，例如max{1，2}=2，max{7，7}=7，则关于x的函数y=max{2x，x+1}可以表示为（　　）
A. y=2x B. y=x+1
C. D.
12. 如图，BC是⊙A的内接正十边形的一边，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论不成立的是（　　）

A. BC=BD=AD B. BC2=DC•AC
C. △ABC的三边之长为1：1： D. BC=AC
二、填 空 题（共5小题，满分20分，每小题4分）
13. 计算：
14. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm．

15. 如图，已知直线y=x+4与双曲线y=（x＜0）相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于D、C两点，若AB=2，则k=_____．

16. 二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，上面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣ 或﹣．其中正确的有_____．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
17. 如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则 =_____．

三、解 答 题（共7小题，满分64分）
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
19. 某调查机构将今年温州市民最关注的话题分为消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据最近随机调查的相关数据，绘制的统计图表如下：

根据以上信息解答下列成绩：
（1）本次共调查　 　人，请答题卡上补全条形统计图并标出相应数据；
（2）若温州市约有900万人口，请你估计最关注教育成绩的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育成绩，现预备从这四人中随机抽取两人进行座谈，求抽取的两人恰好是甲和乙的概率（列数状图或列表阐明）．
20. 如图，在离旗杆6米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为50度，已知测角仪高AD=1.5米，求旗杆的高度．（tan 50°=1.1918，sin50°=0.7660，结果到0.1米）

21. 如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．
（1）求证：△ACF≌△CBE；
（2）将直线旋转到如图2所示地位，点D是AB的中点，连接DE．若AB=，∠CBE=30°，求DE的长．

22. “中华紫薇园”景区今年“五一”期间开始营业，为方便游客在园区内游玩休息，决定向一家园艺公司采购一批户外休闲椅，经了解，公司出售两种型号休闲椅，如下表：

景区采购这批休闲椅共用去56000元，购得椅子正好可让1300名游客同时运用．
（1）求景区采购了多少条长条椅，多少条弧形椅？
（2）景区现计划租用A、B两种型号的卡车共20辆将这批椅子运回景区，已知A型卡车每辆可同古装运4条长条椅和11条弧形椅，B型卡车每辆可同古装运12条长条椅和7条弧形椅．如何安排A、B两种卡车可性将这批休闲椅运回来？
（3）又知A型卡车每辆的运费为1200元，B型卡车每辆的运费为1050元，在（2）的条件下，若要使此次运费最少，应采取哪种？并求出最少的运费为多少元．
23. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．

（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，能否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE类似？若存在，请求出x的值；若不存在，请阐明理由；
（3）探求：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只要一个公共点时，请直接写出x满足的条件：　 　．
24. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同公共点，试求t的取值范围．















2022-2023学年山东省莱芜市中考数学专项突破模拟试题

（二模）

一、选一选（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据倒数的定义判断即可.
【详解】-3的倒数是.
故选D.
本题考查倒数的定义,关键在于熟记基础概念.
2. 某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A. 2×10﹣5 B. 2×10﹣6 C. 5×10﹣5 D. 5×10﹣6
【正确答案】D

【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为5×10﹣6．小于1的负数也可以利用科学记数法表示，普通方式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负指数幂，指数由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：=0.000005=5×10﹣6．
故选D．
考查了科学记数法﹣表示较小的数，将一个值较小的数写成科学记数法a×10n的方式时，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值大于10时，n是负数；当原数的值小于1时，n是负数．
3. 下列运算正确的是（　　）
A. m6÷m2＝m3 B. （x+1）2＝x2+1 C. （3m2）3＝9m6 D. 2a3•a4＝2a7
【正确答案】D

【详解】试题解析：A、原式=m4，不符合题意；
B、原式 不符合题意；
C、原式=27m6，不符合题意；
D、原式=2a7，符合题意，
故选D
4. 在今年抗震赈灾中，小明统计了本人所在的甲、乙两班的捐款情况，得到三个信息：
（1）甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
（2）乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数多；
（3）甲班比乙班多5人，设甲班有x人，根据以上信息列方程得（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【详解】甲班每人的捐款额为：元，乙班每人的捐款额为：元，
根据（2）中所给出的信息，方程可列为：，
故选C．
5. 如右图是用八块完全相反的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，留意一切从正面看到的棱都应表如今主视图中.
【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.

故选B．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.
6. 已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：设⊙O的半径为r．
A．∵⊙O是△ABC内切圆，∴S△ABC=（a+b+c）•r=ab，∴r=；
B．如图，连接OD，则OD=OC=r，OA=b﹣r．∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，即∠AOD=∠C=90°，∴△ADO∽△ACB，∴OA：AB=OD：BC，即（b﹣r）：c=r：a，解得：r=；
C．连接OE，OD．∵AC与BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠OEB=∠ODC=∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形．∵OD=OE，∴矩形ODCE是正方形，∴EC=OD=r，OE∥AC，∴OE：AC=BE：BC，∴r：b=（a﹣r）：a，∴r=；
D．设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E，连接OD、OE．
∵AC、BE是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°，∴四边形ODCE是矩形．
∵OD=OE，∴矩形ODCE是正方形，即OE=OD=CD=r，则AD=AF=b﹣r．
连接OB，OF，由勾股定理得：BF2=OB2﹣OF2，BE2=OB2﹣OE2．∵OB=OB，OF=OE，∴BF=BE，则BA+AF=BC+CE，c+b﹣r=a+r，即r=．
故选C．

点睛：本题考查了切线的性质、切线长定理、平行线分线段成比例定理、正方形的判定与性质以及类似三角形的判定与性质．此题难度较大，留意掌握数形思想与方程思想的运用．
7. 若凸n边形的每个外角都是36°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（   ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【正确答案】B

【详解】360°÷36°=10，
10−3=7
故从一个顶点出发引的对角线条数是7.
故选B.
8. 如图．在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=2，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB1C1，使AC1⊥AB，则BC扫过的面积为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=2，∴BC=1，AB=．∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB1C1，使AC1⊥AB，∴△ABC的面积等于△AB1C1的面积，∠CAB=∠C1AB1，AB1=AB=，AC1=AC=2，∴∠BAB1=∠CAC1=60°，∴BC扫过的面积S=S扇形CAC1+S△ABC﹣S扇形BAB1﹣S△AB1C1=+××1﹣﹣××1=．故选B．

点睛：本题考查了三角形、扇形的面积，旋转的性质，勾股定理等知识点的运用，解答此题的关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形（如三角形、扇形）的面积．
9. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则+QK的最小值为（　　）

A. 2 B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时+QK的值最小．在Rt△BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴P′Q=CP′=BC•sinABC=2×=．故选B．

本题考查的是轴对称﹣最短路线成绩及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10. 如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时中止．设Rt△ABC与矩形DEFG的堆叠部分的面积为ycm2，运动工夫xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A

【分析】由勾股定理求出AB、AC的长，进一步求出△ABC的面积，根据挪动特点有三种情况（1）（2）（3），分别求出每种情况y与x的关系式，利用关系式的特点（是函数还是二次函数）就能选出答案．
【详解】解：已知∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，
∴AB=4，
由勾股定理得：AC=2 ，
∵四边形DEFG为矩形，∠C=90，
∴DE=GF=2，∠C=∠DEF=90°，
∴AC∥DE，
此题有三种情况：（1）当0＜x＜2时，AB交DE于H，
如图

∵DE∥AC，
∴ ，
即 ，
解得：EH=x，
所以 ，
∵y是关于x的二次函数，
所以所选答案C错误，答案D错误，

∵＞0，开口向上；
（2）当2≤x≤6时，如图，

此时 ，
（3）当6＜x≤8时，如图，设GF交AB于N，设△ABC的面积是s1，△F的面积是s2．

BF=x-6，与（1）类同，同法可求 ，
∴y=s1-s2
，
∴开口向下，
所以答案A正确，答案B错误，
故选：A．
本题次要考查了函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的关键是能根据挪动规律把成绩分成三种情况，并能求出每种情况的y与x的关系式．
11. 记max{x，y}表示x，y两个数中的值，例如max{1，2}=2，max{7，7}=7，则关于x的函数y=max{2x，x+1}可以表示为（　　）
A. y=2x B. y=x+1
C. D.
【正确答案】D

【详解】解：当2x＞x+1，即x＞1时，y=max{2x，x+1}=2x；
当2x≤x+1，即x≤1时，y=max{2x，x+1}=x+1．
故选D．
12. 如图，BC是⊙A的内接正十边形的一边，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论不成立的是（　　）

A. BC=BD=AD B. BC2=DC•AC
C. △ABC的三边之长为1：1： D. BC=AC
【正确答案】A

【详解】解：BC是⊙A的内接正十边形的一边，因此∠A=36°，因此∠ABC=72°，易证△ABC∽△BCD，∴，又AB=AC，故B正确，根据AD=BD=BC，即，解得：BC=AC，故D正确，因此△ABC的三边之长为1：1：，故C正确，A不能确定．故选A．
点睛：本题次要考查了类似三角形的性质，对应边的比相等．
二、填 空 题（共5小题，满分20分，每小题4分）
13. 计算：
【正确答案】2

【详解】解：原式===2．故答案为2．
14. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm．

【正确答案】cm

【详解】试题分析：由于OE=OF=EF=10（cm），
所以底面周长=10π（cm），
将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）
设扇形圆心角度数n，则根据弧长公式得：
10π=，
所以n=180°，
即展开图是一个半圆，
由于E点是展开图弧的中点，
所以∠EOF=90°，
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△AOE中由勾股定理得，
EA2=OE2+OA2=100+64=164，
所以EA=2（cm），
即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm）．

考点：平面展开-最短路径成绩；圆锥的计算．

15. 如图，已知直线y=x+4与双曲线y=（x＜0）相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于D、C两点，若AB=2，则k=_____．

【正确答案】-3

【详解】
设A(a， a+4)，B(c， c+4)，则
解得： x+4=，即x2+4x−k=0，
∵直线y=x+4与双曲线y=相交于A、B两点，
∴a+c=−4，ac=-k，
∴(c−a)2=(c+a)2−4ac=16+4k，
∵AB=，
∴由勾股定理得：(c−a)2+[c+4−(a+4)]2=()2，
2 (c−a)2=8，
(c−a)2=4，
∴16+4k =4，
解得：k=−3，
故答案为−3.
点睛：本题考查了函数与反比例函数的交点成绩、根与系数的关系、勾股定理、图象上点的坐标特征等，标题具有一定的代表性，综合性强，有一定难度.
16. 二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，上面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣ 或﹣．其中正确的有_____．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【正确答案】①③④

【详解】试题解析：①∵
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3，1，
∴当时，，
即
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3，1，
∴抛物线的对称轴是：


由对称性得：与是对称点，
∴则
故②不正确；
③∵
∴
当x=1时，y=0，即

，故③正确；
④要使为等腰三角形，则必须保证或 或
当时，
∵为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴
与联立组成解方程组，解得
同理当时，
∵为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴
与联立组成解方程组，解得
同理当时，
在中，
在中，
∵
∴，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故①③④．
17. 如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则 =_____．

【正确答案】1；；．

【详解】解：①如图，连接DF．
当FC=FD时，∠FDC=∠FCD．∵∠ADF+∠FDC=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠FAD=∠FDC，∴FA=DF，∴FA=FC．∵BF⊥AC，∴BA=BC．∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形，点E与点D重合，则=1；

②当DF=CD时，作DM⊥CF于M点．∵DF=CD，∴FM=CM．∵∠DCM=BAF，CD=AB，∴△ABF≌△CDM，∴AF=CM，∴===；

③当FC=DC时．∵四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，∴△ABF∽△BCF，∴==，则CD2=AD•AE．∵FC=DC，四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，∴△BFC≌△ABE，（AAS）
∴AE=BF．在Rt△ABE中，AE2=BE2﹣AB2=AD2﹣CD2，∴AE==，∴AE2=AD2﹣AD•AE，AD2﹣AD•AE﹣AE2=0，解得：AD=AE，AD=AE（不合题意舍去），∴==．
故答案为1；．
点睛：本题次要考查类似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，此题要采用分类讨论的思想，是一道难题．
三、解 答 题（共7小题，满分64分）
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1

【分析】经过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的运用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
19. 某调查机构将今年温州市民最关注的话题分为消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据最近随机调查的相关数据，绘制的统计图表如下：

根据以上信息解答下列成绩：
（1）本次共调查　 　人，请在答题卡上补全条形统计图并标出相应数据；
（2）若温州市约有900万人口，请你估计最关注教育成绩的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育成绩，现预备从这四人中随机抽取两人进行座谈，求抽取的两人恰好是甲和乙的概率（列数状图或列表阐明）．
【正确答案】（1）1400；（2）225万；（3）

【详解】试题分析：（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数，进而可补全条形统计图并标出相应数据；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；
（3）利用列举法即可求解即可．
试题解析：解：（1）调查的总人数是：420÷30%=1400（人），关注教育的人数是：1400×25%=350（人）．
；
（2）900×（1﹣0.3﹣0.1﹣0.15﹣0.2）=225（万）
答：估计最关注教育成绩的人数约为225万人．
（3）画树形图得：

则P（抽取的两人恰好是甲和乙）=P=．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是处理成绩的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20. 如图，在离旗杆6米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为50度，已知测角仪高AD=1.5米，求旗杆的高度．（tan 50°=1.1918，sin50°=0.7660，结果到0.1米）

【正确答案】8.7米.

【详解】试题分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC=EC+EB可解即可求出答案．
试题解析：解：过点D作DE⊥BC交BC于E．在△CDE中，有CE=tan50×DE=1.1918×6≈7.1508，故BC=BE+CE=1.5+7.1508≈8.7．

答：旗杆的高度为8.7米．
21. 如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．
（1）求证：△ACF≌△CBE；
（2）将直线旋转到如图2所示地位，点D是AB的中点，连接DE．若AB=，∠CBE=30°，求DE的长．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；
（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．
试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．
在△BCE与△ACF中，∵，∴△ACF≌△CBE（AAS）；
（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．
在△BCE与△CAF中，∵，∴△BCE≌△CAF（AAS）；
∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF=DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=BC=2，BE=CE=2，∴EF=CE+BE=2+2，∴DE===+．

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．
22. “中华紫薇园”景区今年“五一”期间开始营业，为方便游客在园区内游玩休息，决定向一家园艺公司采购一批户外休闲椅，经了解，公司出售两种型号休闲椅，如下表：

景区采购这批休闲椅共用去56000元，购得的椅子正好可让1300名游客同时运用．
（1）求景区采购了多少条长条椅，多少条弧形椅？
（2）景区现计划租用A、B两种型号的卡车共20辆将这批椅子运回景区，已知A型卡车每辆可同古装运4条长条椅和11条弧形椅，B型卡车每辆可同古装运12条长条椅和7条弧形椅．如何安排A、B两种卡车可性将这批休闲椅运回来？
（3）又知A型卡车每辆的运费为1200元，B型卡车每辆的运费为1050元，在（2）的条件下，若要使此次运费最少，应采取哪种？并求出最少的运费为多少元．
【正确答案】（1）采购了100条长条椅，200条弧型椅；（2）有三种，见解析；（3）最的租车是租用A型卡车15辆、B型卡车5辆，运费为23250元．

【详解】试题分析：（1）设景区采购长条椅x条，弧型椅y条，然后根据游客人数和花费钱数两个等量关系列出方程组求解即可；
（2）设租用A型卡车m辆，则租用B种卡车（20﹣m）辆，根据两种型号卡车装运的休闲椅的数量不小于两种休闲椅的数量列出不等式组，求解即可，再根据车辆数是正整数写出设计；
（3）设租车总费用为W元，列出W的表达式，再根据函数的增减性求出最少费用．
试题解析：解：（1）设景区采购长条椅x条，弧型椅y条，由题意得：
，解得：．
答：采购了100条长条椅，200条弧型椅；
（2）设租用A型卡车m辆，则租用B种卡车（20﹣m）辆，由题意得：，解得：15≤m≤17.5，由题意可知，m为正整数，所以，m只能取15、16、17，故有三种租车可性将这批休闲椅运回来，可这样安排：
一：A型卡车15辆，B型卡车5辆，二：A型卡车16辆，B型卡车4辆，三：A型卡车17辆，B型卡车3辆；
（3）设租车总费用为W元，则W=1200m+1050（20﹣m）=150m+21000．∵150＞0，∴W随m的增大而增大．又∵15≤m≤17.5，∴当m=15时，W有最小值，W最小=150×15+21000=23250，∴最的租车是租用A型卡车15辆、B型卡车5辆，运费为23250元．
点睛：本题考查了函数的运用，二元方程组的运用，一元不等式组的运用，读懂标题信息，理解数量关系并确定出等量关系和不等量关系是解题的关键，（3）利用函数的增减性和自变量的取值范围求最值是常用的方法．
23. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．

（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，能否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE类似？若存在，请求出x的值；若不存在，请阐明理由；
（3）探求：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只要一个公共点时，请直接写出x满足的条件：　 　．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）3或．（3）或0＜

【分析】（1）根据矩形的性质，已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形类似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当 时，则得到四边形为矩形，从而求得的值；当时，再（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和类似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点的地位分为两种大情况：①与AE相切，② 与线段只要一个公共点，不一定必须相切，只需保证和线段只要一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围．
【详解】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC.

∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE，

∴△PFA∽△ABE.
(2)情况1,当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=3，即x=3.
情况2,当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，


即

∴满足条件的x的值为3或
(3) 或
两组角对应相等，两三角形类似.
24. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的地位，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只要一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同公共点，t的取值范围是2≤t＜．

本题为二次函数的综合运用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．