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2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题（一模二模）含解析，共49页。试卷主要包含了 下列运算中，正确的是， 已知点P1， 下列图形中，对称图形有， 若关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（一模）
一．选一选（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. （a﹣3b）（a+3b）=a2﹣9b2 B. （﹣3a）2=6a2
C. a+a=a D. a3•a2=a6
2. 学校开展为贫困地区捐书，以下是5名同窗捐书的册数：2，2，3，4，9． 则这组数据的中位数和众数分别是-------------------------------------------（ ◆ ）
A. 2和2 B. 4和2 C. 2和3 D. 3和2
3. 已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. （﹣3）2011
4. 下列图形中，对称图形有( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且k≠1 C. D. k≥且k≠0
7. 对于反比例函数y=，下列说确的是（ ）
A. 图象点（2，﹣1）
B. 图象位于第二、四象限
C. 图象是对称图形
D. 当x＜0时，y随x的增大而增大
8. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“学”字所在的面绝对的面上标的字是（ ）
A. 我 B. 是 C. 优 D. 生
9. 已知ABCD中，∠A＝4∠B，那么∠C等于（ ）
A. 36° B. 45° C. 135° D. 144°
10. 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）
A. a>0 B. b<0
C. ac<0 D. bc<0
二．填 空 题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 当两数_____时，它们的和为0.
12. 如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于点、，连接、，若，则______．
13. 分解因式：x2y﹣xy2=_____．
14. 据统计，苏州市常住人口约1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表示为____．
15. 如图，在⊙O中，直径AB长是26，弦CD⊥AB交AB于E，若OE=5，则CD的长度为_____，若∠B=35°，则∠AOC=_____．
16. 要使分式和都有意义，则x的取值范围是 _____．
17. 甲、乙、丙3名先生随机排成一排拍照，其中甲排在两头的概率是_____．
18. 的小数部分是_____．
三．解 答 题（共8小题，满分78分）
19. 计算：tan45°+﹣（﹣2016）0﹣4cos30°．
20. 解不等式组 请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
21. 如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请阐明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请阐明理由．
22. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上能否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，阐明理由；如果存在，求出满足条件的一切点C的坐标．
23. 随若挪动终端设备的升级换代,手机曾经成为我们生活中不可缺少的一部分,为了解中先生在假期运用手机的情况(选项：A .和同窗亲友聊天；B.学习；C.购物；D.游戏；E.其它）,端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名先生进行调查,得到如下图表（部分信息未给出）:
根据以上信息解答下列成绩:
（1）这次被调查的先生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图；
（3）若该中学约有名先生，估计全校先生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？
并根据以上调查结果，就中先生如何合理运用手机给出你的一条建议.
24. 在学完“有理数的运算”后，某中学七年级各班各选出5名先生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行知识竞赛，竞赛规则是:每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分
（1）如果2班代表队得分142分，那么2班代表队回答对了多少道题？
（2）1班代表队的得分能为145分吗？请简要阐明理由.
25. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC类似时，求点D的坐标．
26. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB，求证：AD⊥CD．
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（一模）
一．选一选（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. （a﹣3b）（a+3b）=a2﹣9b2 B. （﹣3a）2=6a2
C. a+a=a D. a3•a2=a6
【正确答案】A
【详解】A、（a﹣3b）（a+3b）=a2﹣9b2，故本选项正确；
B、（﹣3a）2=9a2，故本选项错误；
C、a+a=（）a，故本选项错误；
D、a3•a2=a5，故本选项错误．
故选A．
2. 学校开展为贫困地区捐书，以下是5名同窗捐书的册数：2，2，3，4，9． 则这组数据的中位数和众数分别是-------------------------------------------（ ◆ ）
A. 2和2 B. 4和2 C. 2和3 D. 3和2
【正确答案】D
【详解】从小到大陈列此数据为：2，2，3，4，9．数据2出现了两次最多，为众数；
第3位是3，故中位数为3．
所以本题这组数据的中位数是3，众数是2．
故选D．
3. 已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. （﹣3）2011
【正确答案】B
【详解】∵点P1(a -1，5)和P2 (2，b-1)关于x轴对称，
∴a−1=2，b−1=−5，
即a=3，b=−4，
∴(a+b)2013=−1.
故选B.
点睛：本题次要考查了关于ｘ轴、ｙ轴对称的点的坐标，首先根据两点关于ｘ轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，求得ａ、ｂ的值，再进一步根据幂运算的性质求解．
4. 下列图形中，对称图形有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：个图形是对称图形；
第二个图形不是对称图形；
第三个图形是对称图形；
第四个图形不是对称图形．
故共2个对称图形．
故选B．
5. 用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】①5，7，9时，能摆成三角形；
②5，7，13时，∵5+7=12＜13，
∴不能摆成三角形；
③5，9，13时，能摆成三角形；
④7，9，13时，能摆成三角形；
所以，可以摆出不同的三角形的个数为3个．
故选C．
点睛：本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可.
6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且k≠1 C. D. k≥且k≠0
【正确答案】B
【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k﹣1）•k=8k+1＞0，
即8k+1＞0，解得k＞﹣；
又∵k﹣1≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣且k≠1．
故选B．
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
7. 对于反比例函数y=，下列说确的是（ ）
A. 图象点（2，﹣1）
B. 图象位于第二、四象限
C. 图象是对称图形
D. 当x＜0时，y随x的增大而增大
【正确答案】C
【详解】A错误；B错误；比例系数2>0,图象位于、三象限;C正确．图像关于原点成对称；D错误．故选C
8. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“学”字所在的面绝对的面上标的字是（ ）
A. 我 B. 是 C. 优 D. 生
【正确答案】C
【详解】∵正方体的表面展开图，绝对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“是”与“秀”是绝对面，“优”与“学”是绝对面，“我”与“生”是绝对面．
故选C．
9. 已知ABCD中，∠A＝4∠B，那么∠C等于（ ）
A. 36° B. 45° C. 135° D. 144°
【正确答案】D
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
又∠A=4∠B，
∴∠A=144°，∠B=36°，
∴∠C=144°．
故选D．
10. 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）
A. a>0 B. b<0
C. ac<0 D. bc<0
【正确答案】C
【详解】试题解析：由函数图象可得各项的系数:
故选C.
二．填 空 题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 当两数_____时，它们的和为0.
【正确答案】互为相反数
【详解】当两数互为相反数时，它们的和为0.
12. 如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于点、，连接、，若，则______．
【正确答案】
【分析】由直线，可得到∠BAC=∠1=30°，然后根据等腰三角形以及三角形内角和定理，可求出∠ABC的度数，再经过直线，得到∠2的度数．
【详解】解：∵直线m∥n，
∴∠BAC=∠1=30°，
由题意可知AB=AC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-30°）=75°，
∵直线m∥n，
∴∠2=∠ABC=75°，
故答案75°．
本题次要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，纯熟掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
13. 分解因式：x2y﹣xy2=_____．
【正确答案】xy（x﹣y）
【详解】原式=xy（x﹣y）．
故答案为xy（x﹣y）．
14. 据统计，苏州市常住人口约为1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表示为____．
【正确答案】1.062×107
【详解】试题解析：数据10 620 000用科学记数法可表示为1.062×107，
故答案为1.062×107．
点睛：科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值＞1时，n是负数；当原数的值＜1时，n是负数．
15. 如图，在⊙O中，直径AB的长是26，弦CD⊥AB交AB于E，若OE=5，则CD的长度为_____，若∠B=35°，则∠AOC=_____．
【正确答案】 ①. 24， ②. 70°．
【详解】∵直径AB的长是26，
∴OC=13，
又∵OE=5，
根据勾股定理得：CE==12，
根据垂径定理知：CE=ED=12，
∴CD=24，
连接OD，
则∠AOD=∠AOC=2∠ABD=70°．
故答案为24，70°．
16. 要使分式和都有意义，则x的取值范围是 _____．
【正确答案】x=﹣4或x＞4．
【详解】x应满足①x2+2x≥0；
②|x|﹣4≥0；
③x2﹣2x≥0；
④x+4≥0；
⑤；
⑥x2﹣x﹣2≥0；
⑦x2+x﹣2≥0；
⑧≠2，
依次解得：①x≤﹣2或x≥0；
②x≤﹣4或x≥4；
③x≤0或x≥2；
④x≥﹣4；
⑤x≠4，x≠﹣1；
⑥x≤﹣1或x≥2；
⑦x≤﹣2或x≥1；
⑧x≠﹣3，x≠2，
∴综合可得x=﹣4或x＞4．
故答案为x=﹣4或x＞4．
点睛：本题考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方式大于且等于0.
17. 甲、乙、丙3名先生随机排成一排拍照，其中甲排在两头概率是_____．
【正确答案】
【详解】列举出所无情况，看甲排在两头的情况占所无情况的多少即为所求的概率．
根据题意，列出甲、乙、丙三个同窗排成一排拍照的一切可能：
甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，
只要2种甲在两头，所以甲排在两头的概率是=．
故答案为；
点睛：本题次要考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是列举出同等可能的所无情况．
18. 的小数部分是_____．
【正确答案】﹣4．
【详解】∵42<()2<52,
∴4＜＜5，
∴的小数部分是﹣4，
故答案为﹣4．
点睛：本题考查了在理数的估值，先根据算术平方根的意义估算出的整数部分，再用减去它的整数部分即是它的小数部分.
三．解 答 题（共8小题，满分78分）
19. 计算：tan45°+﹣（﹣2016）0﹣4cos30°．
【正确答案】
【详解】试题分析：项根据角的正切函数值计算；第二项把27分解成9×3，根据二次根式的性质化简；第三项根据非零数的零次方等于零计算；第四项根据角的余弦函数值计算；然后分别合并同类项和同类二次根式计算.
解：原式=1+3-1-4×=．
20. 解不等式组 请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
【正确答案】（Ⅰ）x＞3；（Ⅱ）x≤5；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）3＜x≤5．
【详解】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x＞3；
（Ⅱ）解不等式②，得：x≤5；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（Ⅳ）原不等式组的解集为3＜x≤5．
21. 如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请阐明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请阐明理由．
【正确答案】详见解析.
【分析】（1）根据全等三角形判定中的“SSS”可得出△ADC≌△CBA，由全等的性质得∠DAC=∠BCA，可证AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1=∠2；
（2）（3）和（1）的证法完全一样．先证△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，从而∠1=∠2．
【详解】证明：∠1与∠2相等．
在△ADC与△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA．（SSS）
∴∠DAC=∠BCA．
∴DA∥BC．
∴∠1=∠2．
②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠2．
22. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上能否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，阐明理由；如果存在，求出满足条件的一切点C的坐标．
【正确答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=，将B点坐标代入，求出反比例函数解析式，将A点坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出点A的坐标，设直线AB 的解析式为y=ax+b，将A与B的坐标代入函数解析式求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图像写出答案即可；
（3）分3中情况求解，延伸AO交双曲线于点C1，由点A与点C1关于原点对称，求出点点C1的坐标；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，将OB的解析式与C1C2的解析式联立，求出点C2的坐标；A作OB的平行线，交双曲线于点C3，，将AC3的解析式与反比例函数的解析式联立，求出点C3的坐标．
【详解】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）存在点C．
如图所示，延伸AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+，
把A（3，2）代入，可得2=×3+，
解得=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
此题考查了反比例函数与函数综合，涉及的知识有：坐标与图形性质，函数图像的交点与二元方程组的关系，反比例函数与函数的交点成绩，利用函数图像解不等式，待定系数法求函数解析式，纯熟掌握待定系数法是解本题的关键．
23. 随若挪动终端设备的升级换代,手机曾经成为我们生活中不可缺少的一部分,为了解中先生在假期运用手机的情况(选项：A .和同窗亲友聊天；B.学习；C.购物；D.游戏；E.其它）,端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名先生进行调查,得到如下图表（部分信息未给出）:
根据以上信息解答下列成绩:
（1）这次被调查的先生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图；
（3）若该中学约有名先生，估计全校先生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？
并根据以上调查结果，就中先生如何合理运用手机给出你的一条建议.
【正确答案】（1）50人；（2）0.2；10；20.补图见解析；（3）400人.
详解】（1）从C可以看出：5÷0.1=50（人）
答：这次被调查的先生有50人；
（2）m==0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20
补全图形如图所示：
（3）800×（0.1+0.4）=800×0.5=400（人）
答：全校先生中利用手机购物或玩游戏的共有400人
建议：中先生运用手机要多用于学习.
考点：频数、频率、统计图实践运用
24. 在学完“有理数的运算”后，某中学七年级各班各选出5名先生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行知识竞赛，竞赛规则是:每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分
（1）如果2班代表队得分142分，那么2班代表队回答对了多少道题？
（2）1班代表队的得分能为145分吗？请简要阐明理由.
【正确答案】（1）48（2）不能
【分析】（1）如果设答对x道题，那么得分为3x分，扣分为（50-x）分．根据具体的等量关系即可列出方程求解；
（2）设答对x道题，根据题意列出方程，若有整数解则能，否则不能．
【详解】（1）设2班代表队答对了x道题，
根据题意列方程：3x-（50-x）=142，
解这个方程得：x=48．
故2班代表队答对了48道题；
（2）设1班代表队答对了x道题，
根据题意列方程“3x-（50-x）=145，
解这个方程得：x＝48．
由于标题个数必须是自然数，
即x＝48不符合该题的实践意义，
所以此题无解．
即1班代表队的得分不可能为145分．
考查了一元方程的运用，留意在解运用题里，答案必须符合实践成绩的意义．
25. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC类似时，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D．
【详解】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.
延伸CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得．
∴这条抛物线的表达式为．
（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），
∴AC=，AB=，OC=3，BC=．
∵，即∠BAD=，
∴．
Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，
∴．
又∵∠ACB是锐角，∴．
（3）延伸CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，
∴．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠=∠DCE．
∴AG = CG．
∴．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴．
∴ 解得，（舍）.
∴点D坐标是
26. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB，求证：AD⊥CD．
【正确答案】详见解析.
【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到∠OAC=∠OCA，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，从而AD∥OC，由平行线的性质可得∠ADC=90º．
【详解】证明：连接OC，如图所示：
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠ADC=180°，又∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，垂直的定义，由切线的性质得到∠OCD=90°并判定出AD∥OC是解答本题的关键．
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（二模）
一．选一选（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为( )
A. 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108
2. 已知，，为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
4. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，估计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，上面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 不等式-x+2≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
7. 如图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，早晨小雷从点B处径直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，上面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
10. 三张完全相反卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在象限内y随x的增大而增大的概率是_____．
11. 关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
12. 若x2+k在实数范围内可以因式分解，则k的值可以为_____（只填一个）．
13. 假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，如今要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．如今有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是_____号．
14. 已知函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y=交于点A、D，若AB+CD=BC，则k的值为_____．
三．解 答 题
15. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
16. 已知α+β=1，αβ=﹣1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn,
（1）计算：S1= ，S2= ，S3= ，S4= ；
（2）试写出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α7+β7．
17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18. 随着人们生活质量的进步，净水器曾经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的情况：
时段
数量
支出
A型号
B型号
周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元
（1）求A，B两种型号净水器的单价；
（2）若电器公司预备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台?
（3）在（2）的条件下，公司完这30台净水器能否完成利润为12800元的目标?若能，请给出相应的采购；若不能，请阐明理由．
19. 下图的数阵是由全体奇数排成：
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与两头的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．
20. 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动中止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电工夫x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，反复上述过程．设某天程度和室温为20℃，接通电源后，程度和工夫的关系如下图所示，回答下列成绩：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)下表是该小学的作息工夫，若同窗们希望在上午节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么工夫或工夫段接通饮水机电源．(不可以用上课工夫接通饮水机电源)
工夫
节次
上
午
7：20
到校
7：45～8：20
节
8：30～9：05
第二节
…
…
21. 某商场预备进一批两种不同型号衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
22. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（二模）
一．选一选（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为( )
A. 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108
【正确答案】C
【分析】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值>1时，n是负数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】解：5300万=53000000=.
故选C
在把一个值较大的数用科学记数法表示为的方式时，我们要留意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以经过小数点移位来确定）.
2. 已知，，为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】A
【分析】分a、b、c三个数都是负数，两个负数，一个负数，都是负数四种情况，根据求值的法则以及有理数的加法运算法则，进行计算即可得解．
【详解】①a、b、c三个数都是负数时，则a>0，ab>0，ac>0，bc>0，
原式=1+1+1+1=4；
②a、b、c中有两个负数时，
设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0，
原式=1+1−1−1=0；
设a>0，b<0，c>0，则ab<0，ac>0，bc<0，
原式=1−1+1−1=0；
设a<0，b>0，c>0，则ab<0，ac<0，bc>0，
原式=−1−1−1+1=−2；
③a、b、c有一个负数时，
设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0，
原式=1−1−1+1=0；
设a<0，b>0，c<0，则ab<0，ac>0，bc<0，
原式=−1−1+1−1=−2；
设a<0，b<0，c>0，则ab>0，ac<0，bc<0，
原式=−1+1−1−1=−2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a<0，b<0，c<0，则ab>0，ac>0，bc>0，
原式=−1+1+1+1=2．
综上所述，的可能值的个数为4．
故选：A．
本题次要考查求值的法则以及有理数的加法法则，掌握求值的法则以及分类讨论思想是解题的关键．
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与不是同类项，不能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，纯熟掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
4. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，估计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，上面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】增长率成绩，普通用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，估计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012当前两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：设教育的年平均增长率为x，
则2013的教育为：3000×（1+x）万元，
2014的教育为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题普通是根据题意分别列出不同工夫按增长率所得教育与估计投入的教育相等的方程．
5. 不等式-x+2≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】移项得，
﹣x≥﹣2，
不等式两边都乘﹣1，改变不等号的方向得，
x≤2；
在数轴上表示应包括2和它左边的部分；
故本题选B．
6. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【正确答案】C
【详解】试题解析：①当时，有若 即方程有实数根了，
故错误；
②把 代入方程得到：（1）
把代入方程得到： （2）
把（2）式减去（1）式×2得到：
即： 故正确；
③方程 有两个不相等的实数根，
则它的
而方程的
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若则
故正确．
②③④都正确，
故选C．
7. 如图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，早晨小雷从点B处径直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵小路的正两头有一路灯，早晨小雷由B处径直走到A处，他在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系，
应为当小雷走到灯下以前为：y随x的增大而减小，
∴用图象刻画出来应为C，
故选C.
本题次要考查了函数图象以及投影的性质，得出影长y随行走的路程x的变化规律是处理成绩的关键．
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，上面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【详解】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式处理成绩；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
详解：
由于函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是；此结论正确；
B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都点（1，0）那么异样的：当m=0时，函数图象都同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=，在对称轴的左边y随x的增大而减小．由于当m＜0时，，即对称轴在x=左边，因此函数在x=左边先递增到对称轴地位，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【正确答案】（答案不）
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不）．
本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
10. 三张完全相反的卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在象限内y随x的增大而增大的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵函数y=-2x-3，y=，y=x2+1中，在象限内y随x的增大而增大的只要y=x2+1一个函数，
∴所得函数的图象在象限内y随x的增大而增大的概率是．
考点：1．概率公式；2．函数的性质；3．反比例函数的性质；4．二次函数的性质．
11. 关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
【正确答案】1或6或
【分析】方程两边都乘以，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
当时，显然方程无解，
又原方程的增根为：，
当时，，
，
当时，，
，
综上当或或时，原方程无解．
故1或6或．
本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．
12. 若x2+k在实数范围内可以因式分解，则k的值可以为_____（只填一个）．
【正确答案】﹣1（答案不）
【分析】根据平方差公式进行因式分解.
【详解】根据平方差公式,当k=-1时，可以进行因式分解.
13. 假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，如今要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．如今有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是_____号．
【正确答案】13
【详解】试题分析：一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，由于1-30中，除以5余3的数有8，13，18，23，28．左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数，其中除以7余6的数只要13．所以这个刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是13．
考点：有理数的除法．
14. 已知函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y=交于点A、D，若AB+CD=BC，则k的值为_____．
【正确答案】
【详解】分析：先转化为求点的坐标的成绩，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
详解：
已知函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，
则B，C的坐标分别是（0，1），（1，0），
则OB=1，OC=1，BC=，
设点A的坐标是（﹣m，n），
过A作AE⊥x轴于E点，
则△CBO∽△CAE，
∵AB+CD=BC，由对称性可知AB=CD，
则，
即：，
解得m= ，n= ，
因此点A的坐标是：（﹣，）．
点A在双曲线y=上，则一定满足解析式，
代入得到k=﹣．
故答案是.
点睛：求函数的解析式的成绩，普通要转化为求点的坐标的成绩，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
三．解 答 题
15. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1
【分析】经过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的运用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
16. 已知α+β=1，αβ=﹣1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn,
（1）计算：S1= ，S2= ，S3= ，S4= ；
（2）试写出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α7+β7．
【正确答案】（1）1，3，4，7；（2）Sn=Sn﹣1+Sn﹣2；（3）29．
【详解】分析：（1）运用平方公式和立方公式变构成含α+β和αβ的方式求解；
（2）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两根，则有α2=α+1，β2=β+1，再代入计算即可；
（3）根据（2）将α7+β7变构成3S4+2S3的方式，再代入计算即可.
详解：
（1）∵α+β=1，αβ=﹣1．
∴S1=α+β=1．
S2=α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=1+2=3．
S3=α3+β3=（α+β）（α2﹣αβ+β2）=（α+β）2﹣3αβ=1+3=4．
S4=α4+β4=（α2+β2）2﹣2α2β2=9﹣2=7．
故答案为1，3，4，7；
（2）由（1）得：Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．
证明：∵α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴有：α2=α+1，β2=β+1，
Sn﹣1+Sn﹣2=αn﹣1+βn﹣1+αn﹣2+βn﹣2
=
=
=αn+βn
=Sn．
故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．
（3）由（2）有：
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29．
点睛：解题关键是将所求的Sn变构成α+β=1，αβ=﹣1的方式，再根据规律得出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系，根据三者间的关系求解.
17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【正确答案】x≤2，解集表示在数轴上见解析
【分析】根据解一元不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：去分母，得：2（2x﹣1）+15≥3（3x+1）
去括号，得：4x+13≥9x+3
移项，得：4x﹣9x≥3﹣13
合并同类项，得：﹣5x≥﹣10
系数化为1，得：x≤2
将解集表示数轴上如下：
18. 随着人们生活质量进步，净水器曾经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的情况：
时段
数量
支出
A型号
B型号
周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元
（1）求A，B两种型号的净水器的单价；
（2）若电器公司预备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台?
（3）在（2）的条件下，公司完这30台净水器能否完成利润为12800元的目标?若能，请给出相应的采购；若不能，请阐明理由．
【正确答案】（1）A种型号：2500元/台，B种型号：2100元/台；（2）A种型号净水器最多能采购10台；（3）能，采购A型号净水器8，B型号净水器22台
【分析】（1）设A、B两种型号净水器的单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的净水器支出18000元，4台A型号10台B型号的净水器支出31000元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30−a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；
（3）设利润为12800元，列方程求出a的值，符合（2）的条件，可知能完成目标．
【详解】（1）可设A种型号净水器的单价是x元/台，B种型号净水器的单价是y元/台，
，
解得，
∴A种型号净水器的单价是2500元/台，B种型号净水器的单价是2100元/台；
（2）可设A种型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台，
2000a+1700（30-a）≤54000
解得a≤10
∴A种型号净水器最多能采购10台；
（3）A种型号净水器每台利润2500-2000=500元，B种型号每台利润2100-1700=400元
500×10+400×20=13000(元)˃12800元
能完成利润为12800元的目标．
设采购A型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台
500a+400（30-a）=12800
解得a=8
因此：采购A型号净水器8、B型号净水器22台．
本题考查了二元方程组和一元不等式的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
19. 下图的数阵是由全体奇数排成：
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与两头的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．
【正确答案】（1）平行四边形框内的九个数之和是两头的数的9倍；（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，规律仍然成立，理由见解析；（3）这九个数之和不能为1998、2005；和为1017，两头数可能为113，最小的数为95．
【详解】分析：（1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与两头的数的关系；
（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框两头的数为未知数，左右相邻的两个数相差2，上下相邻的两个数相差18，得到这9个数的和．
（3）看所给的数能否被9整除，不能被9整除的，排除；能被9整除的，结果为偶数的，排除．最小的数为两头的数-16-2．
详解：
（1）平行四边形框内的九个数之和是两头的数的9倍；
（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，规律仍然成立，
不仿设框两头的数为n，这九个数按大小顺序依次为：
（n﹣18），（n﹣16），（n﹣14），（n﹣2），n，（n+2），（n+14），（n+16），（n+18）．
显然，其和为9n；
（3）这九个数之和不能为1998：
若和为1998，则9n=1998，n=222，是偶数，
显然不在数阵中．
这九个数之和也不能为2005：
由于2005不能被9整除；
若和为1017，则两头数可能为113，最小的数为113﹣16﹣2=95．
点睛：规律探求题，经过数表，寻觅数字间的规律并运用这一规律处理成绩．
20. 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动中止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电工夫x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，反复上述过程．设某天程度和室温为20℃，接通电源后，程度和工夫的关系如下图所示，回答下列成绩：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)下表是该小学的作息工夫，若同窗们希望在上午节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么工夫或工夫段接通饮水机电源．(不可以用上课工夫接通饮水机电源)
工夫
节次
上
午
7：20
到校
7：45～8：20
节
8：30～9：05
第二节
…
…
【正确答案】（1）当0≤x≤8时，y=10x+20； 当8＜x≤a时，；（2）a=40；（3）在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．
【详解】分析：（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；
（2）将y=20代入y＝，即可得到a的值；
（3）要想喝到不超过40℃的热水，让解析式小于等于40，则可得x的取值范围，再由题意可知开饮水机的工夫．
详解：
（1）当0≤x≤8时，设y=k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入y=k1x+b
得k1=10，b=20
∴当0≤x≤8时，y=10x+20；
当8＜x≤a时，设y= ，
将（8，100）代入y=
得k2=800
∴当8＜x≤a时，y=；
∴当0≤x≤8时，y=10x+20；
当8＜x≤a时，y=；
（2）将y=20代入y=，
解得a=40；
（3）要想喝到不超过40℃的热水，则：
∵10x+20≤40，
∴0＜x≤2，
∵≤40，
∴20≤x＜40
由于40分钟为一个循环，
所以8：20喝到不超过40℃的开水，
则需求在8：20﹣（40+20）分钟=7：20
或在（8：20﹣40分钟）﹣2分钟=7：38～7：45打开饮水机
故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．
点睛：考查了函数及反比例函数的运用题，分工夫段的讨论成绩．
21. 某商场预备进一批两种不同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
【正确答案】（1）A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；（2）有三种进货：（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；
（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
试题解析：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得.
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，
可得：，
解之得192⩽m⩽12，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.
答：有三种进货：
(1)B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
(2)B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
(3)B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
点睛：点睛：本题次要考查二元方程组和一元不等式组的实践成绩的运用，解题的关键是读懂标题的意思，根据标题给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作工夫，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
22. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的地位，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只要一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合运用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（一模）
一．选一选（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. （a﹣3b）（a+3b）=a2﹣9b2 B. （﹣3a）2=6a2
C. a+a=a D. a3•a2=a6
2. 学校开展为贫困地区捐书，以下是5名同窗捐书的册数：2，2，3，4，9． 则这组数据的中位数和众数分别是-------------------------------------------（ ◆ ）
A. 2和2 B. 4和2 C. 2和3 D. 3和2
3. 已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. （﹣3）2011
4. 下列图形中，对称图形有( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且k≠1 C. D. k≥且k≠0
7. 对于反比例函数y=，下列说确的是（ ）
A. 图象点（2，﹣1）
B. 图象位于第二、四象限
C. 图象是对称图形
D. 当x＜0时，y随x的增大而增大
8. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“学”字所在的面绝对的面上标的字是（ ）
A. 我 B. 是 C. 优 D. 生
9. 已知ABCD中，∠A＝4∠B，那么∠C等于（ ）
A. 36° B. 45° C. 135° D. 144°
10. 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）
A. a>0 B. b<0
C. ac<0 D. bc<0
二．填 空 题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 当两数_____时，它们的和为0.
12. 如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于点、，连接、，若，则______．
13. 分解因式：x2y﹣xy2=_____．
14. 据统计，苏州市常住人口约1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表示为____．
15. 如图，在⊙O中，直径AB长是26，弦CD⊥AB交AB于E，若OE=5，则CD的长度为_____，若∠B=35°，则∠AOC=_____．
16. 要使分式和都有意义，则x的取值范围是 _____．
17. 甲、乙、丙3名先生随机排成一排拍照，其中甲排在两头的概率是_____．
18. 的小数部分是_____．
三．解 答 题（共8小题，满分78分）
19. 计算：tan45°+﹣（﹣2016）0﹣4cos30°．
20. 解不等式组 请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
21. 如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请阐明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请阐明理由．
22. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上能否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，阐明理由；如果存在，求出满足条件的一切点C的坐标．
23. 随若挪动终端设备的升级换代,手机曾经成为我们生活中不可缺少的一部分,为了解中先生在假期运用手机的情况(选项：A .和同窗亲友聊天；B.学习；C.购物；D.游戏；E.其它）,端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名先生进行调查,得到如下图表（部分信息未给出）:
根据以上信息解答下列成绩:
（1）这次被调查的先生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图；
（3）若该中学约有名先生，估计全校先生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？
并根据以上调查结果，就中先生如何合理运用手机给出你的一条建议.
24. 在学完“有理数的运算”后，某中学七年级各班各选出5名先生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行知识竞赛，竞赛规则是:每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分
（1）如果2班代表队得分142分，那么2班代表队回答对了多少道题？
（2）1班代表队的得分能为145分吗？请简要阐明理由.
25. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC类似时，求点D的坐标．
26. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB，求证：AD⊥CD．
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（一模）
一．选一选（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. （a﹣3b）（a+3b）=a2﹣9b2 B. （﹣3a）2=6a2
C. a+a=a D. a3•a2=a6
【正确答案】A
【详解】A、（a﹣3b）（a+3b）=a2﹣9b2，故本选项正确；
B、（﹣3a）2=9a2，故本选项错误；
C、a+a=（）a，故本选项错误；
D、a3•a2=a5，故本选项错误．
故选A．
2. 学校开展为贫困地区捐书，以下是5名同窗捐书的册数：2，2，3，4，9． 则这组数据的中位数和众数分别是-------------------------------------------（ ◆ ）
A. 2和2 B. 4和2 C. 2和3 D. 3和2
【正确答案】D
【详解】从小到大陈列此数据为：2，2，3，4，9．数据2出现了两次最多，为众数；
第3位是3，故中位数为3．
所以本题这组数据的中位数是3，众数是2．
故选D．
3. 已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. （﹣3）2011
【正确答案】B
【详解】∵点P1(a -1，5)和P2 (2，b-1)关于x轴对称，
∴a−1=2，b−1=−5，
即a=3，b=−4，
∴(a+b)2013=−1.
故选B.
点睛：本题次要考查了关于ｘ轴、ｙ轴对称的点的坐标，首先根据两点关于ｘ轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，求得ａ、ｂ的值，再进一步根据幂运算的性质求解．
4. 下列图形中，对称图形有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：个图形是对称图形；
第二个图形不是对称图形；
第三个图形是对称图形；
第四个图形不是对称图形．
故共2个对称图形．
故选B．
5. 用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】①5，7，9时，能摆成三角形；
②5，7，13时，∵5+7=12＜13，
∴不能摆成三角形；
③5，9，13时，能摆成三角形；
④7，9，13时，能摆成三角形；
所以，可以摆出不同的三角形的个数为3个．
故选C．
点睛：本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可.
6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且k≠1 C. D. k≥且k≠0
【正确答案】B
【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k﹣1）•k=8k+1＞0，
即8k+1＞0，解得k＞﹣；
又∵k﹣1≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣且k≠1．
故选B．
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
7. 对于反比例函数y=，下列说确的是（ ）
A. 图象点（2，﹣1）
B. 图象位于第二、四象限
C. 图象是对称图形
D. 当x＜0时，y随x的增大而增大
【正确答案】C
【详解】A错误；B错误；比例系数2>0,图象位于、三象限;C正确．图像关于原点成对称；D错误．故选C
8. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“学”字所在的面绝对的面上标的字是（ ）
A. 我 B. 是 C. 优 D. 生
【正确答案】C
【详解】∵正方体的表面展开图，绝对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“是”与“秀”是绝对面，“优”与“学”是绝对面，“我”与“生”是绝对面．
故选C．
9. 已知ABCD中，∠A＝4∠B，那么∠C等于（ ）
A. 36° B. 45° C. 135° D. 144°
【正确答案】D
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
又∠A=4∠B，
∴∠A=144°，∠B=36°，
∴∠C=144°．
故选D．
10. 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）
A. a>0 B. b<0
C. ac<0 D. bc<0
【正确答案】C
【详解】试题解析：由函数图象可得各项的系数:
故选C.
二．填 空 题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 当两数_____时，它们的和为0.
【正确答案】互为相反数
【详解】当两数互为相反数时，它们的和为0.
12. 如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于点、，连接、，若，则______．
【正确答案】
【分析】由直线，可得到∠BAC=∠1=30°，然后根据等腰三角形以及三角形内角和定理，可求出∠ABC的度数，再经过直线，得到∠2的度数．
【详解】解：∵直线m∥n，
∴∠BAC=∠1=30°，
由题意可知AB=AC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-30°）=75°，
∵直线m∥n，
∴∠2=∠ABC=75°，
故答案75°．
本题次要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，纯熟掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
13. 分解因式：x2y﹣xy2=_____．
【正确答案】xy（x﹣y）
【详解】原式=xy（x﹣y）．
故答案为xy（x﹣y）．
14. 据统计，苏州市常住人口约为1062万人．数据10 620 000用科学记数法可表示为____．
【正确答案】1.062×107
【详解】试题解析：数据10 620 000用科学记数法可表示为1.062×107，
故答案为1.062×107．
点睛：科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值＞1时，n是负数；当原数的值＜1时，n是负数．
15. 如图，在⊙O中，直径AB的长是26，弦CD⊥AB交AB于E，若OE=5，则CD的长度为_____，若∠B=35°，则∠AOC=_____．
【正确答案】 ①. 24， ②. 70°．
【详解】∵直径AB的长是26，
∴OC=13，
又∵OE=5，
根据勾股定理得：CE==12，
根据垂径定理知：CE=ED=12，
∴CD=24，
连接OD，
则∠AOD=∠AOC=2∠ABD=70°．
故答案为24，70°．
16. 要使分式和都有意义，则x的取值范围是 _____．
【正确答案】x=﹣4或x＞4．
【详解】x应满足①x2+2x≥0；
②|x|﹣4≥0；
③x2﹣2x≥0；
④x+4≥0；
⑤；
⑥x2﹣x﹣2≥0；
⑦x2+x﹣2≥0；
⑧≠2，
依次解得：①x≤﹣2或x≥0；
②x≤﹣4或x≥4；
③x≤0或x≥2；
④x≥﹣4；
⑤x≠4，x≠﹣1；
⑥x≤﹣1或x≥2；
⑦x≤﹣2或x≥1；
⑧x≠﹣3，x≠2，
∴综合可得x=﹣4或x＞4．
故答案为x=﹣4或x＞4．
点睛：本题考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方式大于且等于0.
17. 甲、乙、丙3名先生随机排成一排拍照，其中甲排在两头概率是_____．
【正确答案】
【详解】列举出所无情况，看甲排在两头的情况占所无情况的多少即为所求的概率．
根据题意，列出甲、乙、丙三个同窗排成一排拍照的一切可能：
甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，
只要2种甲在两头，所以甲排在两头的概率是=．
故答案为；
点睛：本题次要考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是列举出同等可能的所无情况．
18. 的小数部分是_____．
【正确答案】﹣4．
【详解】∵42<()2<52,
∴4＜＜5，
∴的小数部分是﹣4，
故答案为﹣4．
点睛：本题考查了在理数的估值，先根据算术平方根的意义估算出的整数部分，再用减去它的整数部分即是它的小数部分.
三．解 答 题（共8小题，满分78分）
19. 计算：tan45°+﹣（﹣2016）0﹣4cos30°．
【正确答案】
【详解】试题分析：项根据角的正切函数值计算；第二项把27分解成9×3，根据二次根式的性质化简；第三项根据非零数的零次方等于零计算；第四项根据角的余弦函数值计算；然后分别合并同类项和同类二次根式计算.
解：原式=1+3-1-4×=．
20. 解不等式组 请题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
【正确答案】（Ⅰ）x＞3；（Ⅱ）x≤5；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）3＜x≤5．
【详解】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x＞3；
（Ⅱ）解不等式②，得：x≤5；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（Ⅳ）原不等式组的解集为3＜x≤5．
21. 如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请阐明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请阐明理由．
【正确答案】详见解析.
【分析】（1）根据全等三角形判定中的“SSS”可得出△ADC≌△CBA，由全等的性质得∠DAC=∠BCA，可证AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1=∠2；
（2）（3）和（1）的证法完全一样．先证△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，从而∠1=∠2．
【详解】证明：∠1与∠2相等．
在△ADC与△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA．（SSS）
∴∠DAC=∠BCA．
∴DA∥BC．
∴∠1=∠2．
②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠2．
22. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上能否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，阐明理由；如果存在，求出满足条件的一切点C的坐标．
【正确答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=，将B点坐标代入，求出反比例函数解析式，将A点坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出点A的坐标，设直线AB 的解析式为y=ax+b，将A与B的坐标代入函数解析式求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图像写出答案即可；
（3）分3中情况求解，延伸AO交双曲线于点C1，由点A与点C1关于原点对称，求出点点C1的坐标；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，将OB的解析式与C1C2的解析式联立，求出点C2的坐标；A作OB的平行线，交双曲线于点C3，，将AC3的解析式与反比例函数的解析式联立，求出点C3的坐标．
【详解】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）存在点C．
如图所示，延伸AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+，
把A（3，2）代入，可得2=×3+，
解得=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
此题考查了反比例函数与函数综合，涉及的知识有：坐标与图形性质，函数图像的交点与二元方程组的关系，反比例函数与函数的交点成绩，利用函数图像解不等式，待定系数法求函数解析式，纯熟掌握待定系数法是解本题的关键．
23. 随若挪动终端设备的升级换代,手机曾经成为我们生活中不可缺少的一部分,为了解中先生在假期运用手机的情况(选项：A .和同窗亲友聊天；B.学习；C.购物；D.游戏；E.其它）,端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名先生进行调查,得到如下图表（部分信息未给出）:
根据以上信息解答下列成绩:
（1）这次被调查的先生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图；
（3）若该中学约有名先生，估计全校先生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人？
并根据以上调查结果，就中先生如何合理运用手机给出你的一条建议.
【正确答案】（1）50人；（2）0.2；10；20.补图见解析；（3）400人.
详解】（1）从C可以看出：5÷0.1=50（人）
答：这次被调查的先生有50人；
（2）m==0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20
补全图形如图所示：
（3）800×（0.1+0.4）=800×0.5=400（人）
答：全校先生中利用手机购物或玩游戏的共有400人
建议：中先生运用手机要多用于学习.
考点：频数、频率、统计图实践运用
24. 在学完“有理数的运算”后，某中学七年级各班各选出5名先生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行知识竞赛，竞赛规则是:每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分
（1）如果2班代表队得分142分，那么2班代表队回答对了多少道题？
（2）1班代表队的得分能为145分吗？请简要阐明理由.
【正确答案】（1）48（2）不能
【分析】（1）如果设答对x道题，那么得分为3x分，扣分为（50-x）分．根据具体的等量关系即可列出方程求解；
（2）设答对x道题，根据题意列出方程，若有整数解则能，否则不能．
【详解】（1）设2班代表队答对了x道题，
根据题意列方程：3x-（50-x）=142，
解这个方程得：x=48．
故2班代表队答对了48道题；
（2）设1班代表队答对了x道题，
根据题意列方程“3x-（50-x）=145，
解这个方程得：x＝48．
由于标题个数必须是自然数，
即x＝48不符合该题的实践意义，
所以此题无解．
即1班代表队的得分不可能为145分．
考查了一元方程的运用，留意在解运用题里，答案必须符合实践成绩的意义．
25. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC类似时，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D．
【详解】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.
延伸CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得．
∴这条抛物线的表达式为．
（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），
∴AC=，AB=，OC=3，BC=．
∵，即∠BAD=，
∴．
Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，
∴．
又∵∠ACB是锐角，∴．
（3）延伸CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，
∴．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠=∠DCE．
∴AG = CG．
∴．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴．
∴ 解得，（舍）.
∴点D坐标是
26. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB，求证：AD⊥CD．
【正确答案】详见解析.
【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到∠OAC=∠OCA，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，从而AD∥OC，由平行线的性质可得∠ADC=90º．
【详解】证明：连接OC，如图所示：
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠ADC=180°，又∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，垂直的定义，由切线的性质得到∠OCD=90°并判定出AD∥OC是解答本题的关键．
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（二模）
一．选一选（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为( )
A. 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108
2. 已知，，为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
4. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，估计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，上面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 不等式-x+2≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
7. 如图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，早晨小雷从点B处径直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，上面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
10. 三张完全相反卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在象限内y随x的增大而增大的概率是_____．
11. 关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
12. 若x2+k在实数范围内可以因式分解，则k的值可以为_____（只填一个）．
13. 假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，如今要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．如今有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是_____号．
14. 已知函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y=交于点A、D，若AB+CD=BC，则k的值为_____．
三．解 答 题
15. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
16. 已知α+β=1，αβ=﹣1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn,
（1）计算：S1= ，S2= ，S3= ，S4= ；
（2）试写出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α7+β7．
17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18. 随着人们生活质量的进步，净水器曾经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的情况：
时段
数量
支出
A型号
B型号
周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元
（1）求A，B两种型号净水器的单价；
（2）若电器公司预备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台?
（3）在（2）的条件下，公司完这30台净水器能否完成利润为12800元的目标?若能，请给出相应的采购；若不能，请阐明理由．
19. 下图的数阵是由全体奇数排成：
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与两头的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．
20. 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动中止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电工夫x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，反复上述过程．设某天程度和室温为20℃，接通电源后，程度和工夫的关系如下图所示，回答下列成绩：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)下表是该小学的作息工夫，若同窗们希望在上午节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么工夫或工夫段接通饮水机电源．(不可以用上课工夫接通饮水机电源)
工夫
节次
上
午
7：20
到校
7：45～8：20
节
8：30～9：05
第二节
…
…
21. 某商场预备进一批两种不同型号衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
22. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
2022-2023学年湖南省益阳市中考数学专项突破模拟试题
（二模）
一．选一选（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为( )
A. 5.3×103 B. 5.3×104 C. 5.3×107 D. 5.3×108
【正确答案】C
【分析】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值>1时，n是负数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】解：5300万=53000000=.
故选C
在把一个值较大的数用科学记数法表示为的方式时，我们要留意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以经过小数点移位来确定）.
2. 已知，，为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】A
【分析】分a、b、c三个数都是负数，两个负数，一个负数，都是负数四种情况，根据求值的法则以及有理数的加法运算法则，进行计算即可得解．
【详解】①a、b、c三个数都是负数时，则a>0，ab>0，ac>0，bc>0，
原式=1+1+1+1=4；
②a、b、c中有两个负数时，
设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0，
原式=1+1−1−1=0；
设a>0，b<0，c>0，则ab<0，ac>0，bc<0，
原式=1−1+1−1=0；
设a<0，b>0，c>0，则ab<0，ac<0，bc>0，
原式=−1−1−1+1=−2；
③a、b、c有一个负数时，
设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0，
原式=1−1−1+1=0；
设a<0，b>0，c<0，则ab<0，ac>0，bc<0，
原式=−1−1+1−1=−2；
设a<0，b<0，c>0，则ab>0，ac<0，bc<0，
原式=−1+1−1−1=−2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a<0，b<0，c<0，则ab>0，ac>0，bc>0，
原式=−1+1+1+1=2．
综上所述，的可能值的个数为4．
故选：A．
本题次要考查求值的法则以及有理数的加法法则，掌握求值的法则以及分类讨论思想是解题的关键．
3. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与不是同类项，不能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，纯熟掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
4. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，估计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，上面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】增长率成绩，普通用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，估计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012当前两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：设教育的年平均增长率为x，
则2013的教育为：3000×（1+x）万元，
2014的教育为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题普通是根据题意分别列出不同工夫按增长率所得教育与估计投入的教育相等的方程．
5. 不等式-x+2≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】移项得，
﹣x≥﹣2，
不等式两边都乘﹣1，改变不等号的方向得，
x≤2；
在数轴上表示应包括2和它左边的部分；
故本题选B．
6. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【正确答案】C
【详解】试题解析：①当时，有若 即方程有实数根了，
故错误；
②把 代入方程得到：（1）
把代入方程得到： （2）
把（2）式减去（1）式×2得到：
即： 故正确；
③方程 有两个不相等的实数根，
则它的
而方程的
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若则
故正确．
②③④都正确，
故选C．
7. 如图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，早晨小雷从点B处径直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵小路的正两头有一路灯，早晨小雷由B处径直走到A处，他在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系，
应为当小雷走到灯下以前为：y随x的增大而减小，
∴用图象刻画出来应为C，
故选C.
本题次要考查了函数图象以及投影的性质，得出影长y随行走的路程x的变化规律是处理成绩的关键．
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，上面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【详解】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式处理成绩；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
详解：
由于函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是；此结论正确；
B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都点（1，0）那么异样的：当m=0时，函数图象都同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=，在对称轴的左边y随x的增大而减小．由于当m＜0时，，即对称轴在x=左边，因此函数在x=左边先递增到对称轴地位，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【正确答案】（答案不）
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不）．
本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
10. 三张完全相反的卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在象限内y随x的增大而增大的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵函数y=-2x-3，y=，y=x2+1中，在象限内y随x的增大而增大的只要y=x2+1一个函数，
∴所得函数的图象在象限内y随x的增大而增大的概率是．
考点：1．概率公式；2．函数的性质；3．反比例函数的性质；4．二次函数的性质．
11. 关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
【正确答案】1或6或
【分析】方程两边都乘以，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
当时，显然方程无解，
又原方程的增根为：，
当时，，
，
当时，，
，
综上当或或时，原方程无解．
故1或6或．
本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．
12. 若x2+k在实数范围内可以因式分解，则k的值可以为_____（只填一个）．
【正确答案】﹣1（答案不）
【分析】根据平方差公式进行因式分解.
【详解】根据平方差公式,当k=-1时，可以进行因式分解.
13. 假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，如今要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．如今有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是_____号．
【正确答案】13
【详解】试题分析：一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，由于1-30中，除以5余3的数有8，13，18，23，28．左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数，其中除以7余6的数只要13．所以这个刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是13．
考点：有理数的除法．
14. 已知函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y=交于点A、D，若AB+CD=BC，则k的值为_____．
【正确答案】
【详解】分析：先转化为求点的坐标的成绩，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
详解：
已知函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，
则B，C的坐标分别是（0，1），（1，0），
则OB=1，OC=1，BC=，
设点A的坐标是（﹣m，n），
过A作AE⊥x轴于E点，
则△CBO∽△CAE，
∵AB+CD=BC，由对称性可知AB=CD，
则，
即：，
解得m= ，n= ，
因此点A的坐标是：（﹣，）．
点A在双曲线y=上，则一定满足解析式，
代入得到k=﹣．
故答案是.
点睛：求函数的解析式的成绩，普通要转化为求点的坐标的成绩，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
三．解 答 题
15. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1
【分析】经过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的运用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
16. 已知α+β=1，αβ=﹣1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn,
（1）计算：S1= ，S2= ，S3= ，S4= ；
（2）试写出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α7+β7．
【正确答案】（1）1，3，4，7；（2）Sn=Sn﹣1+Sn﹣2；（3）29．
【详解】分析：（1）运用平方公式和立方公式变构成含α+β和αβ的方式求解；
（2）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两根，则有α2=α+1，β2=β+1，再代入计算即可；
（3）根据（2）将α7+β7变构成3S4+2S3的方式，再代入计算即可.
详解：
（1）∵α+β=1，αβ=﹣1．
∴S1=α+β=1．
S2=α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=1+2=3．
S3=α3+β3=（α+β）（α2﹣αβ+β2）=（α+β）2﹣3αβ=1+3=4．
S4=α4+β4=（α2+β2）2﹣2α2β2=9﹣2=7．
故答案为1，3，4，7；
（2）由（1）得：Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．
证明：∵α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴有：α2=α+1，β2=β+1，
Sn﹣1+Sn﹣2=αn﹣1+βn﹣1+αn﹣2+βn﹣2
=
=
=αn+βn
=Sn．
故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．
（3）由（2）有：
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29．
点睛：解题关键是将所求的Sn变构成α+β=1，αβ=﹣1的方式，再根据规律得出Sn﹣2、Sn﹣1、Sn三者之间的关系，根据三者间的关系求解.
17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【正确答案】x≤2，解集表示在数轴上见解析
【分析】根据解一元不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：去分母，得：2（2x﹣1）+15≥3（3x+1）
去括号，得：4x+13≥9x+3
移项，得：4x﹣9x≥3﹣13
合并同类项，得：﹣5x≥﹣10
系数化为1，得：x≤2
将解集表示数轴上如下：
18. 随着人们生活质量进步，净水器曾经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的情况：
时段
数量
支出
A型号
B型号
周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元
（1）求A，B两种型号的净水器的单价；
（2）若电器公司预备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台?
（3）在（2）的条件下，公司完这30台净水器能否完成利润为12800元的目标?若能，请给出相应的采购；若不能，请阐明理由．
【正确答案】（1）A种型号：2500元/台，B种型号：2100元/台；（2）A种型号净水器最多能采购10台；（3）能，采购A型号净水器8，B型号净水器22台
【分析】（1）设A、B两种型号净水器的单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的净水器支出18000元，4台A型号10台B型号的净水器支出31000元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30−a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；
（3）设利润为12800元，列方程求出a的值，符合（2）的条件，可知能完成目标．
【详解】（1）可设A种型号净水器的单价是x元/台，B种型号净水器的单价是y元/台，
，
解得，
∴A种型号净水器的单价是2500元/台，B种型号净水器的单价是2100元/台；
（2）可设A种型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台，
2000a+1700（30-a）≤54000
解得a≤10
∴A种型号净水器最多能采购10台；
（3）A种型号净水器每台利润2500-2000=500元，B种型号每台利润2100-1700=400元
500×10+400×20=13000(元)˃12800元
能完成利润为12800元的目标．
设采购A型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台
500a+400（30-a）=12800
解得a=8
因此：采购A型号净水器8、B型号净水器22台．
本题考查了二元方程组和一元不等式的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
19. 下图的数阵是由全体奇数排成：
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与两头的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．
【正确答案】（1）平行四边形框内的九个数之和是两头的数的9倍；（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，规律仍然成立，理由见解析；（3）这九个数之和不能为1998、2005；和为1017，两头数可能为113，最小的数为95．
【详解】分析：（1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与两头的数的关系；
（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框两头的数为未知数，左右相邻的两个数相差2，上下相邻的两个数相差18，得到这9个数的和．
（3）看所给的数能否被9整除，不能被9整除的，排除；能被9整除的，结果为偶数的，排除．最小的数为两头的数-16-2．
详解：
（1）平行四边形框内的九个数之和是两头的数的9倍；
（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，规律仍然成立，
不仿设框两头的数为n，这九个数按大小顺序依次为：
（n﹣18），（n﹣16），（n﹣14），（n﹣2），n，（n+2），（n+14），（n+16），（n+18）．
显然，其和为9n；
（3）这九个数之和不能为1998：
若和为1998，则9n=1998，n=222，是偶数，
显然不在数阵中．
这九个数之和也不能为2005：
由于2005不能被9整除；
若和为1017，则两头数可能为113，最小的数为113﹣16﹣2=95．
点睛：规律探求题，经过数表，寻觅数字间的规律并运用这一规律处理成绩．
20. 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动中止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电工夫x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，反复上述过程．设某天程度和室温为20℃，接通电源后，程度和工夫的关系如下图所示，回答下列成绩：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)下表是该小学的作息工夫，若同窗们希望在上午节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么工夫或工夫段接通饮水机电源．(不可以用上课工夫接通饮水机电源)
工夫
节次
上
午
7：20
到校
7：45～8：20
节
8：30～9：05
第二节
…
…
【正确答案】（1）当0≤x≤8时，y=10x+20； 当8＜x≤a时，；（2）a=40；（3）在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．
【详解】分析：（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；
（2）将y=20代入y＝，即可得到a的值；
（3）要想喝到不超过40℃的热水，让解析式小于等于40，则可得x的取值范围，再由题意可知开饮水机的工夫．
详解：
（1）当0≤x≤8时，设y=k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入y=k1x+b
得k1=10，b=20
∴当0≤x≤8时，y=10x+20；
当8＜x≤a时，设y= ，
将（8，100）代入y=
得k2=800
∴当8＜x≤a时，y=；
∴当0≤x≤8时，y=10x+20；
当8＜x≤a时，y=；
（2）将y=20代入y=，
解得a=40；
（3）要想喝到不超过40℃的热水，则：
∵10x+20≤40，
∴0＜x≤2，
∵≤40，
∴20≤x＜40
由于40分钟为一个循环，
所以8：20喝到不超过40℃的开水，
则需求在8：20﹣（40+20）分钟=7：20
或在（8：20﹣40分钟）﹣2分钟=7：38～7：45打开饮水机
故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．
点睛：考查了函数及反比例函数的运用题，分工夫段的讨论成绩．
21. 某商场预备进一批两种不同型号的衣服，已知一件A种型号比一件B种型号便宜10元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知一件A型号衣服可获利20元，一件B型号衣服可获利30元，要使在这次中获利不少于780元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种并简述购货．
【正确答案】（1）A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；（2）有三种进货：（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【详解】试题分析：（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；
（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
试题解析：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得.
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件,则A型号衣服购进(2m+4)件，
可得：，
解之得192⩽m⩽12，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28.
答：有三种进货：
(1)B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
(2)B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
(3)B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
点睛：点睛：本题次要考查二元方程组和一元不等式组的实践成绩的运用，解题的关键是读懂标题的意思，根据标题给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作工夫，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
22. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的地位，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只要一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合运用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
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