第14讲 分式方程（7大考点）2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（人教版）

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第14讲 分式方程（7大考点）
考点考向

一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
二、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
三、增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
四、分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
考点精讲

一．分式方程的定义（共2小题）
1．（2022秋•青龙县期中）方程、、、中分式方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：根据分式方程的定义可知：、、是分式方程，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数，这是解答此题的关键．
2．（2022春•方城县期中）给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程逐一进行判断．
【解答】解：根据分式方程的定义可知：分式方程有＝2，＝，共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式方程，解题的关键是掌握分式方程的定义．
二．分式方程的解（共4小题）
3．（2022•北碚区自主招生）若关于x的不等式组的解集为x＜a，且关于y的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的值之和是（　　）
A．21 B．17 C．15 D．11
【分析】根据不等式组的解集为x＜a可得出a≤6，再根据关于y的分式方程的解为非负数求出a的取值范围为a≥1，再根据1≤a≤6即可求解．
【解答】解：由不等式组可得，
∵不等式组解集为x＜a，
∴a≤6，
关于y的分式方程的解为：y＝，
∵关于y的分式方程解为非负数，
∴，解得：a≥1且a≠4，
∴1≤a≤6且a≠4，
∴符合条件的所有整数a的值为：1，2，3，5，6，
∴符合条件的所有整数a的值之和是1+2+3+5+6＝17．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式组的解，分式方程的解，掌握不等式组的解法和分式方程的解法是解题的关键．
4．（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围．
【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．
【解答】解：，
去分母得：k﹣2x+4＝2x，
解得：x＝，
∵x﹣2≠0，
∴≥0且﹣2≠0，
解得：k≥﹣4且k≠4．
所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4．
【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键．
5．（2022秋•晋州市期中）已知关于x的分式方程＝3的解是正数，则t的取值范围是（　　）
A．t＞6 B．t＜6 C．t＜6且t≠3 D．t≤6且t≠3
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题．
【解答】解：＝3，
去分母，得t﹣3＝3（1﹣x）．
去括号，得t﹣3＝3﹣3x．
移项，得3x＝6﹣t．
x的系数化为1，得x＝2﹣．
∵关于x的分式方程＝3的解是正数，
∴2﹣＞0且2﹣≠1．
∴t＜6且t≠3．
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
6．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．9 C．﹣1 D．2
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜﹣1，
∴原不等式组的解集为：≤x＜﹣1，
∵不等式组的解集恰好有3个整数解，
∴﹣5＜≤﹣4，
∴﹣5＜a≤7，
＝1，
2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，
解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，y为整数且≠1，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
三．解分式方程（共4小题）
7．（2022秋•巨野县期中）解方程：
①；
②．
【分析】①按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
②按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：①；
﹣1＝，
y（y﹣2）﹣（y﹣2）2＝4，
解得：y＝4，
检验：当y＝4时，（y﹣2）2≠0，
∴y＝4是原方程的根；
②，
8+x2﹣4＝x（x+2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要进行检验．
8．（2022秋•任城区校级期中）解分式方程
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣3）得出3（x﹣3）＝2（x+2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出x﹣1+2（x+1）＝4，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘（x+2）（x﹣3），得3（x﹣3）＝2（x+2），
解得：x＝13，
检验：当x＝13时，（x+2）（x﹣3）≠0，
所以x＝13是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝13；

（2），
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得x﹣1+2（x+1）＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
9．（2022秋•德江县期中）阅读下面解分式方程的过程，再解答问题：
解分式方程：
解：①②③∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+3④
∴，把代入原分式方程检验知，是原分式方程的解．
回答问题：
（1）得到①式的具体做法是 　移项　.得到②式的具体做法是 　方程两边分别通分　．
得到③式的具体做法是 　方程两边同除以（﹣2x+10）　.得到④式的具体做法是 　分式值相等，分子相等，则分母相等　．
（2）上述解答正确吗？答：　不正确　；如果不正确，则从 　③　步开始出现错误，错误原因是 　﹣2x+10可能为零　，正确结果是：　x＝5或x＝　（如果正确，后三空不填．）
【分析】本题考查解分式方程的能力，应先根据方程特点，进行整理然后去分母，将分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：（1）移项，方程两边分别通分，方程两边同除以（﹣2x+10），分式值相等，分子相等，则分母相等；
故答案为：移项，方程两边分别通分，方程两边同除以（﹣2x+10），分式值相等，分子相等，则分母相等；
（2）不正确．从第③步出现错误，原因：﹣2x+10可能为零；当﹣2x+10＝0时，即﹣2x＝﹣10，解得x＝5，
经检验知x＝5也是原方程的解，故原方程的解为．
故答案为：不正确，③，﹣2x+10可能为零，．
【点评】本题考查解分式方程，根据方程特点选择合适的方法，并且要考虑全面，不能漏解，不能出现增根是解题关键．
10．（2022秋•龙口市期中）当x取何值时，分式与互为相反数．
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：由题意，得，
方程两边同乘（1﹣2x）（x+4），得x+4+2（1﹣2x）＝0，
解得x＝2，
经检验x＝2是所列方程的解，
故原方程的解为x＝2，
∴当x为2时，分式与互为相反数．
【点评】此题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．
四．换元法解分式方程（共1小题）
11．（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
五．分式方程的增根（共5小题）
12．（2022秋•涟源市期中）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解；求a的值的．
【分析】（1）把x＝5代入方程计算，即可求出a的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x＝0或2，代入整式方程计算即可求出a的值；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可．
【解答】解：（1）∵分式方程的根是x＝5，
∴﹣1＝1，
解得a＝1，
∴a的值为1；
（2），
去分母得x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
解得ax﹣3x+10＝0，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或2，
当x＝0时，0﹣0+10＝0，
此时不存在a的值，
当x＝2时，2a﹣6+10＝0，
∴a＝﹣2，
∴a的值为﹣2；
（3）①∵ax﹣3x+10＝0，
∴当a﹣3＝0时，方程无解，
∴a＝3，
②当分式方程有增根，
∴a＝﹣2，
∴若分式方程无解，a的值为3或﹣2．
【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
13．（2022秋•临武县校级月考）已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，求a的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x＝0或2，代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：﹣＝1，
去分母得：x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
解得：ax﹣3x+10＝0，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或2，
当x＝0时，0﹣0+10＝0，
此时不存在a的值，
当x＝2时，2a﹣6+10＝0，
∴a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
【点评】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程有增根的含义是解题的关键．
14．（2022秋•荣成市校级月考）（1）a为何值时，关于x的分式方程＝的解为x＝0．
（2）当m为何值时，关于x的方程+＝有增根．
（3）已知＝+，求4A﹣B的值．
【分析】（1）把x＝0代入方程＝中得：＝，然后进行计算即可解答；
（2）根据题意可得x＝±2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答；
（3）利用异分母分式加减法法进行计算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）把x＝0代入方程＝中得：
＝，
解得：a＝，
经检验：a＝是原方程的根；
（2）+＝，
2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
（m﹣1）x＝10，
∵方程有增根，
∴x＝±2，
当x＝2时，代入（m﹣1）x＝10，中得：
2（m﹣1）＝10，
解得：m＝6，
当x＝﹣2时，代入（m﹣1）x＝10，中得：
﹣2（m﹣1）＝10，
解得：m＝﹣4，
∴当m为﹣4或6时，关于x的方程+＝有增根；
（3）∵＝+，
∴＝
＝，
∴，
解得：，
∴4A﹣B＝4×1﹣2＝4﹣2＝2，
∴4A﹣B的值为2．
【点评】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2022秋•招远市期中）关于x的分式方程．
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值；
（3）若方程无解，求m的值．
【分析】（1）将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得m值即可；
（2）若原分式方程有增根，则（x+1）（x﹣2）＝0，解得x的值，再分别代入（1）中的（1﹣m）x＝8，即可解得m值；
（3）分原分式方程有增根时和（1﹣m）x＝8无解两种情况求得m值即可．
【解答】解：去分母，得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），
（1﹣m）x＝8，
（1）当方程的增根为x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；
（2）若原分式方程有增根，则（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；
当x＝﹣1时，（1﹣m）×（﹣1）＝8，所以m＝9，
所以m的值为﹣3或9时，方程有增根；
（3）当方程无解时，即 当1﹣m＝0时，（1﹣m）x＝8无解，所以m＝1；
当方程有增根时，原方程也无解，即m＝﹣3或m＝9时，方程无解
所以，当m＝﹣3或m＝9或m＝1时方程无解．
【点评】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．
16．（2021秋•通道县期末）解答下列两题：
（1）若关于x的分式方程的增根为x＝3，求a的值．
（2）已知a，b，c满足，试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由，并求出三角形的周长；若不能，也请说明理由．
【分析】（1）先把分式方程化作整式方程，然后把x＝3代入整式方程中进行计算即可解答；
（2）先根据偶次方，绝对值，算术平方根的非负性求出a，b，c的值，然后利用三角形的三边关系判断即可解答．
【解答】解（1），
x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3），
∵关于x的分式方程的增根为x＝3，
∴把x＝3代入x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3）中得：
3（3+a）﹣0＝0，
3+a＝0，
∴a＝﹣3，
所以，a的值是﹣3；
（2）以a，b，c为边能构成三角形，
理由：∵a，b，c满足，
∴a﹣＝0，b﹣4＝0，c﹣＝0，
∴，b＝4，＝2，
∵，
所以，以a，b，c为边能构成三角形，
∴三角形的周长＝，
∴三角形的周长为：4+3．
【点评】本题考查了分式方程的增根，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题是关键．
六．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
17．（2021秋•佳木斯期末）如下是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
15.3分式方程
甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，
且乙队每天比甲队多修20m．求甲队每天修路的长度．
冰冰：
庆庆：
根据以上信息，解答下列问题．
（1）冰冰同学所列方程中的x表示 　甲队每天修路的长度　，庆庆同学所列方程中的y表示 　甲队修路400m所需的时间　；
（2）两个方程中任选一个，写出它的等量关系；
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
【分析】（1）根据甲、乙两同学所列的分式方程，找出x，y表示的意义；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）分别选择甲、乙同学的方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）甲队每天修路的长度，甲队修路400m所需的时间（或乙队修路600m所需的时间），
故答案为：甲队每天修路的长度，甲队修路400m所需的时间；
（2）冰冰同学所列方程的先是关系：甲队修路400m所用的时间＝乙队修路600m所用的时间；庆庆同学所列方程的等量关系：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长
度＝20m；
（3）选冰冰同学所列的方程：，
去分母，得400x+8000＝600x，
解得x＝40．
经检验x＝40是所列分式方程的解，且符合题意．
∴甲队每天修路的长度为40m．
选庆庆同学所列的方程：，
去分母，得600﹣400＝20y，
解得y＝10．
经检验y＝10是所列方程的解，且符合题意．
∴．
∴甲队每天修路的长度为40m．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
七．分式方程的应用（共11小题）
18．（2022秋•晋州市期中）嘉嘉和淇淇两位同学进行100米长跑比赛，嘉嘉同学在比赛时不小心摔了一跤，浪费了10秒钟．事后，嘉嘉说：“我俩所用时间的和为60秒．”淇淇同学说：“如果不算嘉嘉摔跤所浪费的时间，他跑完全程的平均速度是我跑完全程平均速度的1.25倍．”据此信息，请你判断哪位同学获胜？两人跑完全程的时间相差多少秒？
【分析】设嘉嘉同学跑完全程的时间是x秒，则淇淇同学跑完全程的时间是（60﹣x）秒，利用速度＝路程÷时间，结合“如果不算嘉嘉摔跤所浪费的时间，他跑完全程的平均速度是淇淇跑完全程平均速度的1.25倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出嘉嘉同学跑完全程的时间，将其代入（60﹣x）中，可求出淇淇同学跑完全程的时间，二者比较做差后，即可求出结论．
【解答】解：设嘉嘉同学跑完全程的时间是x秒，则淇淇同学跑完全程的时间是（60﹣x）秒，
根据题意得：＝1.25×，
解得：x＝，
经检验，x＝是所列方程的解，且符合题意，
∴60﹣x＝60﹣＝．
∵＞，﹣＝（秒），
∴淇淇同学获胜，两人跑完全程的时间相差秒．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（2022秋•龙口市期中）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种口味畅销的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍．求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？
【分析】设超市购进乙种月饼的单价是x元，则购进甲种月饼的单价是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出超市购进乙种月饼的单价，再将其代入1.5x中，即可求出超市购进甲种月饼的单价．
【解答】解：设超市购进乙种月饼的单价是x元，则购进甲种月饼的单价是1.5x元，
根据题意得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×5＝7.5．
答：超市购进甲种月饼的单价是7.5元，乙种月饼的单价是5元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（2022秋•昌平区期中）A，B两地相距60km．甲骑自行车从A地出发2小时后，乙骑摩托车从A地出发追赶甲．已知乙的速度是甲的速度的3倍，且甲乙同时到达B地，求甲、乙的速度．
【分析】设甲的速度是xkm/h，则乙的速度是3xkm/h，利用时间＝路程÷时间，结合甲比乙多用2小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出甲的速度，再将其代入3x中可求出乙的速度．
【解答】解：设甲的速度是xkm/h，则乙的速度是3xkm/h，
依题意得：﹣＝2，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×20＝60．
答：甲的速度是20km/h，乙的速度是60km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（2022秋•石阡县期中）绿豆粉是石阡的特色美食．某粉店推出两款经典美食绿豆粉，一款是“小黄牛手工绿豆粉”，另一款是“干拌石墨绿豆粉”．已知2份“小黄牛手工绿豆粉”和1份“干拌石墨绿豆粉”需34元；1份“小黄牛手工绿豆粉”和3份“干拌石墨绿豆粉”需42元
（1）分别求“小黄牛手工绿豆粉”和“干拌石墨绿豆粉”的单价；
（2）绿豆是制作绿豆粉的原材料之一，该粉店老板发现今年第三季度平均每千克绿豆的价格比第二季度涨了50%，第三季度花360元买到的绿豆数量比第二季度花同样的钱买到的绿豆数量少了20千克，求第三季度绿豆的单价．
【分析】（1）设“小黄牛手工绿豆粉”的单价为x元，“干拌石墨绿豆粉”的单价为y元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设第二季度绿豆的单价为m元/千克，则第三季度绿豆的单价为（1+50%）m元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合第三季度花360元买到的绿豆数量比第二季度花同样的钱买到的绿豆数量少了20千克，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值，再将其代入（1+50%）m中，即可求出第三季度绿豆的单价．
【解答】解：（1）设“小黄牛手工绿豆粉”的单价为x元，“干拌石墨绿豆粉”的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：“小黄牛手工绿豆粉”的单价为12元，“干拌石墨绿豆粉”的单价为10元．
（2）设第二季度绿豆的单价为m元/千克，则第三季度绿豆的单价为（1+50%）m元/千克，
根据题意得：﹣＝20，
解得：m＝6，
经检验，m＝6是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）m＝（1+50%）×6＝9．
答：第三季度绿豆的单价为9元/千克．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22．（2022秋•任城区校级期中）“疫情未结束，防疫不放松”某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题．
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
【分析】（1）设B种防疫用品每箱的成本为x元，则A种防疫用品每箱的成本为（x+500）元，根据用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出B种防疫用品每箱的成本，再将其代入（x+500）中，即可求出A种防疫用品每箱的成本；
（2）设生产B种防疫用品m箱，则生产A种防疫用品（50﹣m）箱，利用“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该工厂有6种生产方案．
【解答】解：（1）设B种防疫用品每箱的成本为x元，则A种防疫用品每箱的成本为（x+500）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是所列方程的解，且符合题意，
∴x+500＝1500+500＝2000．
答：A种防疫用品每箱的成本为2000元，B种防疫用品每箱的成本为1500元．
（2）设生产B种防疫用品m箱，则生产A种防疫用品（50﹣m）箱，
根据题意得：，
解得：20≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂有6种生产方案．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（2022秋•北碚区校级期中）为了迎接即将到来的元旦节，某班计划为全班同学每人准备一份精美的零食礼盒，去商店了解后发现有A，B两种类型的零食礼盒可供选择，因为想品尝到更多的品种，班级两种都订．若购买A种礼盒花费1600元，购买B种礼盒花费960元，且购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍．已知购买一个B种礼盒比购买一个A种礼盒多花8元．
（1）购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元？
（2）该班的学生总人数有50人，购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍．设购买的A种礼盒有m个，总费用为w元，请问共有哪几种购买的方案？哪种方案的总费用最少，最少为多少元？
【分析】（1）设购买一个A种礼盒需x元，则购买一个B种礼盒需（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买一个A种礼盒所需费用，再将其代入（x+8）中，即可求出购买一个B种礼盒所需费用；
（2）根据“购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个A种礼盒需x元，则购买一个B种礼盒需（x+8）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：购买一个A种礼盒需40元，一个B种礼盒需48元．
（2）依题意得：，
解得：≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，36，37，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒；
方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒；
方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒；
方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒．
选择方案1所需费用为40×34+48×16＝2128（元），
选择方案2所需费用为40×35+48×15＝2120（元），
选择方案3所需费用为40×36+48×14＝2112（元），
选择方案4所需费用为40×37+48×13＝2104（元）．
∵2128＞2120＞2112＞2104，
∴方案4的总费用最少，最少为2104元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（2022秋•招远市期中）科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：
记者：你们是用10天完成4500米长的高架桥铺设任务的？
工程师：是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍．
（1）通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度；
（2）请求出该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
【分析】（1）设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）分别求得两种情况下所需要的天数，然后求差即可．
【解答】解：（1）设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，
由题意得：，
解得：x＝250．
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意．
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米；
（2），
答：该建筑集团是提前8天完成铺设任务．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（2022秋•张店区期中）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成，已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天800元，乙公司安装费每天400元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过15000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【分析】（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，由题意：乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，由题意：甲公司安装费每天800元，乙公司安装费每天400元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过15000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：＝3，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，
则1.5x＝1.5×4＝6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，
根据题意得：800y+×400≤15000，
解得：y≤15，
答：最多安排甲公司工作15天．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式．
26．（2022秋•乳山市期中）某工厂原计划生产24000台小型空气净化器，甲车间独立生产一半后，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了15000台．为了按时完成生产任务，乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．若乙车间每天生产的空气净化器的数量比甲车间多100台，则正好可以按时完成生产任务．求甲车间每天生产多少台空气净化器．
【分析】设甲车间每天生产x台空气净化器，则乙车间每天生产（x+100）台空气净化器，由题意：甲车间独立生产一半后，生产任务的数量增加了15000台．乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．则正好可以按时完成生产任务．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲车间每天生产x台空气净化器，则乙车间每天生产（x+100）台空气净化器，
24000×＝12000（台），
由题意得：＝+，
解得：x＝400．
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意．
答：甲车间每天生产400台空气净化器．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
27．（2022秋•青州市期中）【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？
（1）【分析交流】
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；
（2）【建模解答】
（请你完整解答本题）
生产量
时间
原先
现在
生产总量（单位：万剂）

240
每天生产量（单位：万剂）
x
　（1+20%）x　
（3）【解题收获】
通过本问题的解决，请简述你对模型观念有何感想？
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，由题意：现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，列出分式方程，解方程即可；
（3）构建分式方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：原先生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
故答案为：（1+20%）x；
（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
由题意得：﹣＝0.5，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，且符合题意，
答：原先每天生产40万剂疫苗．
（3）通过本问题的解决，我的收获是：构建分式方程解决问题，
故答案为：构建分式方程解决问题．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
28．（2022秋•诸城市期中）[问题呈现]
为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产420万剂疫苗所用时间比原先生产380万剂疫苗所用的时间少0.6天．问原先每天生产多少万剂疫苗．
（1）[分析交流]
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；
时间
生产量
原先
现在
生产总量（单位：万剂）
　380　
420
每天生产量（单位：万剂）
x
　（1+20%）x　
（2）[建模解答]
（请你完整解答本题）
（3）[解题收获]
通过本问题的解决，请简述你对模型观念有何感想？
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，由题意：现在生产420万剂疫苗所用的时间比原先生产380万剂疫苗所用的时间少0.6天，列出分式方程，解方程即可；
（3）构建分式方程即可．
【解答】解：（1）由题意可知，原先生产380万剂疫苗，现在每天生产420万剂疫苗，
原先生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
故答案为：380，（1+20%）x；
（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
由题意得：﹣＝0.6，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意，
答：原先每天生产50万剂疫苗．
（3）通过本问题的解决，我的收获是：构建分式方程解决问题，
故答案为：构建分式方程解决问题．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
巩固提升

一、单选题
1．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期中）某项工程，甲，乙两队需要m天完成，甲队单独做需要n天完成（n>m），那么乙队单独完成需要的时间是（ ）
A．n-m B． C． D．
【答案】B
【分析】设乙队单独完成需要的时间为天，这项工程的总量为“1”，先求出甲、乙两队的工作效率（每天可完成的工程量），再根据“甲、乙两队需要天完成”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设乙队单独完成需要的时间为天，这项工程的总量为“1”，
则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
即乙队单独完成需要的时间为天，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．
2．（2021·湖南通道·八年级期中）某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将这个工程总量看成“1”，先分别求出建筑一队和二队的施工效率（一天可完成的工程量），再根据“如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的”列出方程即可得．
【详解】解：将这个工程总量看成“1”，
则建筑一队的施工效率为，建筑二队的施工效率为，
由题意可列方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出题干中的等量关系是解题关键．
3．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-1
【答案】C
【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据“方程有增根”可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以得：，
解得，
因为关于的方程有增根，
所以，即，
所以，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
4．（2021·广西覃塘·八年级期中）分式方程的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2
【答案】C
【分析】先去分母，化为整式方程，然后解一元一次方程，最后检验即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，
移项得：
合并得：，
经检验是原方程的解，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．
5．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）解方程需下列四步，其中开始发生错误的一步是（　　）
A．去分母，得2（x+1）﹣（x﹣1）＝6
B．去括号，得2x+2﹣x+1＝6
C．移项，得2x﹣x＝6﹣2+1
D．合并同类项，得x＝5
【答案】C
【分析】按照转化--求解--检验的过程进行解方程即可．
【详解】解:
去分母，得2（x+1）﹣（x﹣1）＝6 ,A对;
去括号，得2x+2﹣x+1＝6,B对;
移项，得2x﹣x＝6﹣2-1,等号左边的1移项要变成-1,故C错;
故答案为:C
【点睛】本题考查的是解分式方程步骤，重点关注转化−求解−检验的过程，去分母时不含分母的项也要乘以最简公分母，确定最简公分母是解题的重点．
6．（2021·广西覃塘·八年级期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．1或﹣4或6 B．1或4或﹣6 C．﹣4或6 D．4或﹣6
【答案】A
【分析】按照解分式方程的步骤，把分式方程化为整式方程，根据整式方程的特点及分式方程的增根情况，即可求得k的值．
【详解】分式方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)
整理得：(k-1)x=-10
当k=1时，上述方程无解，从而原分式方程无解；
当k≠1时，分式方程的增根为2或-2
当x=2时，则有2(k-1)=-10，解得：k=-4；
当x=-2时，则有-2(k-1)=-10，解得：k=6
综上所述，当k的值为1或﹣4或6时，分式方程无解；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，本题很容易漏掉k=1的情况，这是由于化为一元一次方程后，一次项的系数不是常数．
二、填空题
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校八年级期中）方程＝的解是___．
【答案】x=-1
【分析】两边同时乘，得到整式方程，解整式方程后进行检验即可.
【详解】解：两边同时乘，得
，
解得，
检验：当时，≠0，
所以x=-1是原分式方程的根，
故答案为x=-1.
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
8．（2021·山东新泰·八年级期中）已知关于x的方程解是正数．则k的取值范围是______．
【答案】k>-6且k≠-3
【分析】先对分式进行去分母，然后用k表示x，根据分式方程的解为正数，即可求出k的取值范围，需要注意的是需要确保分式方程有意义．
【详解】解：∵，
∴，
解得：x=k+6
∵方程的解为正数
∴k+6>0，
即：k>-6，
又∵x -3≠0，
∴x≠3
即：k+6≠3
∴k≠-3，
∴k>-6且k≠-3，
故答案为：k>-6且k≠-3．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的解法，利用方程的特殊解，求参数的问题，分式方程有意义是本题的易错点．
9．（2021·湖南新田·八年级期中）解关于x的分式方程有增根，则m的值是______．
【答案】-1
【分析】由分式方程的最简公分母为x-2，且分式方程有增根知增根为x=2，将x=2代入去分母后所得整式方程，解之可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以x-2，得：2+mx=0，
∵分式方程有增根，
∴分式方程的增根为x=2，
将x=2代入2+mx=0，得：2+2m=0，
解得m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．（2021·湖南·娄底市第三中学八年级期中）若关于x的方程＝﹣1的解为正数，则实数a的取值范围是___．
【答案】a＜−2
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．
【详解】解：∵于x的方程＝−1有解，
∴x＋2≠0，
去分母得：2x＋a＝−x−2
即3x＝−a−2
解得x＝−
根据题意得：−＞0
解得：a＜−2
故答案是：a＜−2．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
11．（2021·贵州·玉屏侗族自治县教研室八年级期中）用换元法解方程时，设，则原方程可化为 _________
【答案】
【分析】直接利用已知将原式用y替换得出答案．
【详解】解：∵设，
∴，可转化为：，
即．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
12．（2021·湖南娄底·八年级期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用4天，则乙厂每天加工________套校服．
【答案】50
【分析】设乙工厂每天加工x套校服，则甲工厂每天加工1.5x套校服，然后根据两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用4天，列出方程求解即可．
【详解】解：设乙工厂每天加工x套校服，则甲工厂每天加工1.5x套校服，
由题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴乙工厂每天加工50套校服，
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解．
13．（2021·全国·八年级期末）如果，那么______．
【答案】1
【分析】根据已知式子变形计算即可；
【详解】，
，
∴；
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．
14．（2021·福建省福州第一中学八年级期中）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数a的和为___．
【答案】13
【分析】解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围，从而得到2＜a≤6，且a≠5，所以a的整数解为3，4，6，则和为13．
【详解】
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x＜5，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴1＜≤2，
∴2＜a≤6；
分式方程两边都乘以（x-1）得：ax-2-3=x-1，
解得：x= ，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
∵方程有正数解，
∴＞0，≠1，
∴a＞1，a≠5，
∴2＜a≤6，且a≠5，
∴a的整数解为3，4，6，和为13．
故答案为：13．
【点睛】考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解题关键是掌握不等式解集的确定，转化思想和解分式方程不要忘记检验
三、解答题
15．（2021·北京·八年级单元测试）解方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】方程的两边同时乘以公分母，进而转化一元一次方程，解一元一次方程即可，但是需要注意检验．
【详解】解：（1）



经检验，是原方程的根．
故方程的解为
(2)



经检验，是原方程的根
故方程的解为
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键，注意分式方程要检验．
16．（2021·贵州思南·八年级期中）解分式方程
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）无解
【分析】（1）先将分式转化为整式方程，进行求解，最后检验方程的根；
（2）先将分式转化为整式方程，进行求解，最后检验方程的根．
【详解】解：（1）
同时乘以，得：
化简得：
解得：
当时，
∴为原分式方程的解；
（2）
同时乘以，得：
化简得：
解得：
当时，
所以，是原分式方程的增根，原分式方程无解．
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，易错点为忽略检验分式方程的根．
17．（2021·山东巨野·八年级期中）解方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）观察可得方程最简公分母为x（x﹣3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
（2）观察可得方程最简公分母为（x﹣1）（x-3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【详解】解：（1）
去分母，得，
解得，
经检验：是方程的根．
所以，原方程的解为：；
（2）
去分母，得，
移项、并整理，得，
解得，
经检验：是原方程的解．
所以原方程解为．
【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
18．（2021·湖南永定·八年级期中）某中学为了创设“体育校园”，准备购买A，B两种足球，在购买时发现，A种足球的单价比B种足球的单价多30元，用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同．求A，B两种足球的单价各是多少元？
【答案】购买A种足球单价需要150元，B种足球单价需要120元．
【分析】根据题意设B种足球的单价为x元，进而依据用750元购买A种足球的个数与用600元购买B种足球的个数相同建立等量关系，最终求解分式方程即可.
【详解】解：设B种足球的单价为x元，
根据题意，得，
解得x＝120．
经检验：x＝120是原分式方程的解．
∴x+30＝150．
答：购买A种足球单价需要150元，B种足球单价需要120元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
19．（2021·全国·八年级期末）王老师家在商场与学校之间，离学校1千米，离商场2千米．元旦前王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20分钟．已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟，求骑车的速度．
【答案】骑车的速度为15千米/时
【分析】设步行的速度为千米/时，则骑车速度为千米/时，然后根据元旦前王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20分钟．已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10分钟列出方程求解即可．
【详解】解：设步行的速度为千米/时，则骑车速度为千米/时．
由题意得．
解得．
经检验是原方程的根．
当时，．
答：骑车的速度为15千米/时．
【点睛本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程求解．
20．（2021·山东新泰·八年级期中）受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
（1）求该商场购进的第一批洗手液的单价；
（2）商场销售这种洗手液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
【答案】（1）元/瓶；（2）元
【分析】（1）设商场购进第一批洗手液的单价为元/瓶，根据所购数量是第一批的2倍，但单价贵了1元，列出方程即可解决问题；
（2）根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．
【详解】
解：（1）设商场购进第一批洗手液的单价为元/瓶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴商场购进的第一批洗手液的单价为元/瓶；
（2）共获利：（元），
∴这两笔生意中商场共获利元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，注意解分式方程必须检验．
21．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校八年级期中）某服装销售公司准备从深圳利华服装厂购进甲、乙两种服装进行销售．若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元．公司根据顾客需求，决定在这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件；若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少多少件？
【答案】（1）每件甲种服装的进价是元，每件乙种服装的进价是元．（2）该该服装销售公司本次购进甲种服装至少件．
【分析】（1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为（x-50）元，根据关键语句“用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍”可列方程求解；
（2）设购进甲种服装a件，则购进乙种服装（2a+4）件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润＞7160元，根据不等关系列出不等式，求出解集，即可确定答案．
【详解】解：（1）设每件甲种服装进价元，每件乙种服装进价元，根据题意得，
，
解得x=200，
经检验x=200是原分式方程的解，
x-50=150．
答：每件甲种服装的进价是元，每件乙种服装的进价是元．
（2）设该服装销售公司本次购进甲种服装件，则购进乙种服装（2a+4）件，根据题意可得，
，
解得，
为正整数，
的最小整数值为．
答：该该服装销售公司本次购进甲种服装至少件．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出等量关系和不等关系，列出方程和不等式．
22．（2021·北京·八年级单元测试）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于的分式方程，得． 由题意可得，所以，问题解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证，即才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，并简述正确的理由是 ；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x的方程的解为非负数，求的取值范围．
【答案】（1）小哲；分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分式没有意义；（2）且
【分析】（1）根据分式方程解为正数，且最简公分母不为0判断即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．
【详解】解：（1）小哲；理由：分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分式没有意义．
故答案为：小哲；分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分式没有意义．
（2）原方程可化为．
去分母得：
解得：
∵原方程的解为非负数，
∴
即：，
解得且．
【点睛】此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
23．（2021·湖南新田·八年级期中）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为1000元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
【答案】（1）该商店3月份这种商品的售价是48元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是1216元．
【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据销售量增加30件，列出分式方程，解方程求解即可；
（2）设该商品的进价为y元，先根据利润等于售价减进价乘以数量，求得商品的进价，进而求得4月份的利润 ．
【详解】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据题意得：

解得：
经检验，是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是48元．
（2）设该商品的进价为y元，根据题意得：
解得：，
∴（元）
答：该商店4月份销售这种商品的利润是1216元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
24．（2021·广西桂林·八年级期中）观察下列各式：
；；；；…
（1）请你观察上面各式的规律，将下列式子写成类似的形式：
① ；②＝
（2）请利用上述规律计算：（用含有的式子表示）

（3）请利用上述规律解方程：

【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】（1）观察已知等式得出规律，写出即可；
（2）利用得出的拆项规律得出结果即可；
（3）分式方程利用拆项法变形后，求出解即可．
【详解】解：（1）①；
②原式=
（2）原式=；
（3）分式方程整理得：=，
即=


，
经检验：当x=21时，分母不为0，
∴该方程的解为x=21
【点睛】本题考查了解分式方程，约分，以及列代数式，弄清拆项的方法是解本题的关键．
25．（2021·山东潍坊·八年级期中）（阅读材料）
我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如：18可以分解成或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（探索规律）
（1），猜想：_________；
（2），猜想：______________；
（应用规律）
（1）若，其中是正整数，求的值；
（2）若，其中是正整数，求的值．
【答案】探索规律：（1）；（2）1； 应用规律：（1）2020；（2）5
【分析】探索规律（1）根据前几项的最佳分解，找到规律，即可求解；
（2）根据前几项的最佳分解，找到规律，即可求解；
应用规律（1）根据得到的规律，列出方程，求解即可；
（2）设，推出，所以，再分类求解即可．
【详解】解：探索规律
（1）∵f(6)=f(23)=，f(15)=f(35)=，f(24)=f(46)==，
∴f()=f=；
（2）∵f(4)=f(22)=1，f(9)=f(32)=1，f(25)=f(52)=1，
∴f()=1；
应用规律
（1）∵f()=f=，且f()=，
∴，
∴1011x=1010x+2020，
解得：x=2020，
经检验，x=2020符合题意，所以x的值是2020；
（2）由，可设（为正整数），
即，所以，
①当时，，解得，不符合题意，舍去；
②当时，，解得，符合题意；
③当时，，无意义，舍去；
④当时，，解得，不符合题意，舍去；
⑤当时，，解得，不符合题意，舍去；
综上，的值是5．
【点睛】本题主要考查了新定义“最佳分解”，读懂题目信息，理解“最佳分解”的定义：p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小是解题的关键．