第15章分式（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（人教版）

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第15章分式（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·北京四中八年级阶段练习）式子中，字母的取值范围是（　　）
A． B．1 C．且 D．且
2．（2022·湖南邵阳·八年级期中）下列各等式一定成立的是(   )．
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南邵阳·八年级期中）下列各式①；②；③；④；⑤中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·天津津南·八年级期中）分式方程的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝﹣1 D．x＝1
5．（2022·吉林省实验中学八年级期中）下列分式变形正确的是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2022·辽宁·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）八年级期中）下列实数是无理数的是（  ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）着式子有意义，则x必须满足___________
8．（2022·山东烟台·八年级期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________．
9．（2022·北京四中八年级阶段练习）分式与的最简公分母是___________．
10．（2022·北京四中八年级阶段练习）若分式的值为，则的值为___________．
11．（2022·重庆一中八年级阶段练习）计算：______．
12．（2022·湖南省隆回县第二中学八年级期中）若分式方程有增根，则增根为_________．
13．（2022·湖南省隆回县第二中学八年级期中）若分式有意义，则x的取值范围是_____________．
14．（2022·北京昌平·八年级期中）若关于x的方程的解是，则______．
15．（2022·吉林省实验中学八年级期中）约分：______．
三、解答题
16．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）计算：
(1) (2)




17．（2022·上海市虹桥中学八年级期中）小王准备用60元钱采购某种商品，看到甲商店该商品的每件单价比乙商店便宜2元，因此这些钱在甲商店购买这种商品比乙商店多买5件，问：甲商店这种商品的单价是多少？可以买多少件？


18．（2022·山东·周村二中八年级阶段练习）先化简，再求值：，然后从中找出一个合适的整数作为的值代入求值．





19．（2022·北京市顺义区仁和中学八年级期中）计算：




20．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）解方程：
(1) (2)



21．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）解方程：．




22．（2022·湖南·长沙市华益中学八年级阶段练习）计算：



23．（2022·辽宁·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）八年级阶段练习）在，两地间仅有一条长为360千米的笔直公路，若甲，乙两车分别从、两地同时出发，匀速前往终点，两地，乙车速度是甲车速度的倍，乙车比甲车晚到90分钟，求乙车每小时行驶多少千米？





24．（2022·陕西西安·八年级期末）计算：（）÷．




25．（2022·河南洛阳·八年级期末）试说明无论，取何值（，的取值要保证式子有意义），代数式的值保持不变．




26．（2022·北京十一晋元中学八年级期中）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？



27．（2022·山西临汾·八年级期末）“带动三亿人参与冰雪运动”是北京携手张家口申办2022年冬奥会时，中国向国际社会许下的郑重承诺．为此某俱乐部开设了滑雪营，准备购买一批运动器材，已知甲类器材比乙类器材单价低120元，用20000元购买甲类器材与用30000元购买乙类器材的数量相同，求甲类器材的单价为多少元？






【典型】
一、单选题
1．（2022·山东省日照第二中学八年级期末）要使分式有意义，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）下列各式，，，1﹣，中分式有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）使分式有意义的的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东济宁·八年级期末）可乐中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天咖啡因的摄入量不能超过0.000085kg．则数0.000085用科学记数法表示为（    ）
A．8.5×10﹣5 B．0.85×10﹣4 C．8.5×105 D．85×10﹣6
5．（2022·山东济南·八年级期中）已知x≠0，y≠0，对下列各个分式的约分，正确的是(  )
A． B． C． D．
6．（2022·陕西·西安市第八十五中学八年级期中）在（相邻两个 1 之间有 1 个 0）中，无理数有（    ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
二、填空题
7．（2022·江苏镇江·八年级期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
8．（2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中）已知关于的方程的解为正数，则实数的取值范围是__________．
9．（2022·江苏宿迁·八年级期中）若代数式的值是正整数，则整数的值为____________．
10．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）化简的结果是________
11．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________．
三、解答题
12．（2022·广东东莞·八年级期末）先化简，再求值：已知，求的值．





13．（2022·湖南娄底·八年级期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？





14．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）已知，求A、B的值.






15．（2022·湖南怀化·八年级期末）解方程与不等式组
（1）解方程：
（2）解不等式组






16．（2022·四川广元·八年级期末）今年我县蜂蜜产销红火，一上市，山珍店的李老板用2400元购进第一批蜂蜜，很快售完；后又用5000元购进第二批蜂蜜，所购罐数是第一批的2倍，但进价比第一批每罐多了5元．
(1)第一批蜂蜜每罐进价多少元？
(2)李老板以每罐150元的价格销售第二批蜂蜜，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批蜂蜜的销售利润不少于640元，剩余的蜂蜜每罐售价最少打几折？













17．（2022·全国·八年级）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；第二个数是；第三个数是；
对任何正整数，第个数与第个数的和等于
（1）经过探究，我们发现：，，
设这列数的第个数为，那么①；②，③，则 正确（填序号）．
（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示 （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；
（3）利用上述规律计算：的值．



















【易错】
一．选择题（共11小题）
1．（2022秋•铜仁市校级月考）当x＝﹣1时，下列分式中有意义的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022秋•临湘市期中）随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在2021～2022年交付第一台28nm工艺的国产沉浸式光刻机．其中数据28nm（即0.000000028m）用科学记数法可表示为（　　）
A．2.8×10﹣6m B．2.8×10﹣7m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣9m
3．（2022秋•房山区期中）如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不改变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
4．（2022秋•潍坊期中）已知＝2，则＝（　　）
A．﹣ B． C．1 D．5
5．（2022•阳信县一模）分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　）
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠﹣时，分式的值为零
D．若a≠时，分式的值为零
6．（2021秋•钢城区期末）若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围为（　　）
A．m＜2 B．m≠3 C．﹣3＜m＜﹣2 D．m＜2且m≠﹣3
7．（2021秋•平舆县期末）若关于x的方程＝a无解，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
8．（2021秋•开封期末）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程＝的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣14 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣17
9．（2022春•泗水县月考）周末，小明带200元去图书大厦，下表记录了他全天的所有支出，其中小零食支出的金额不小心被涂黑了，如果每包小零食的售价为15元，那么小明可能剩下多少元？（　　）
支出
早餐
购买书籍
公交车票
小零食
金额（元）
20
140
5

A．5 B．10 C．15 D．30
10．（2021秋•甘井子区期末）下列式子是分式的是（　　）
A．x B． C． D．
11．（2022秋•任城区校级期中）商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
二．填空题（共9小题）
12．（2022秋•莱阳市期中）计算a+b×+c等于 　 　．
13．（2021秋•温岭市期末）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 　 　（填变大，变小，不变）
14．（2021秋•顺平县期末）已知关于x的分式方程．
（1）若此方程无解，则m的值为 　 　；
（2）若此方程的解为正数，则m的取值范围为 　 　．
15．（2022•陵城区二模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 　 　．
16．（2022秋•广饶县期中）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如，1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗2＝﹣1的解是　 　．
17．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于 　 　．
18．（2021秋•忠县期末）随着期末考试来临，八年级的同学们在学校延时服务期间平心静气作规划，补短板．王丹同学原计划星期一延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为2：3：5，数学老师提醒要学科均衡，他便将英语复习时间的20%分给了语文和数学，调整后语文和数学的复习时间之比为3：5．王丹同学非常刻苦，实际复习时还挤出星期一的部分休息时间分给了三个学科，其中35%分给了语文，这样语文复习时间与三科总复习时间比为4：15．若王丹同学最终希望使数学与英语复习时间比为5：6，那么星期一挤出的休息时间中分给数学的时间与最后三科总复习时间之比为 　 　．
19．（2022秋•任城区校级期中）若＝2，则＝　 　
20．（2021秋•仓山区校级期末）若，，都有意义，下列等式；中一定不成立的是 　 　．
三．解答题（共12小题）
21．（2022秋•雨花区校级月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2．
（1）（﹣2，16]＝　 　；若（2，y]＝5，则y＝　 　；
（2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值；
（3）若（5，10]＝a，（2，10]＝b，令t＝．
①求的值；
②求t的值．




22．（2021秋•海淀区期末）在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，b＝0），则称分式为（a﹣b）次分式．例如，为三次分式．
（1）请写出一个只含有字母x的二次分式 　 　；
（2）已知A＝，B＝（其中m，n为常数）．
①若m＝0，n＝﹣5，则A•B，A+B，A﹣B，A2中，化简后是二次分式的为 　 　；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m+n的值．




23．（2021秋•通州区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，＝，所以是的“关联分式”．
（1）已知分式，则　 　的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为N，则×N，
∴，
∴N＝．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　 　；
②用发现的规律解决问题：
若是的“关联分式”，求实数m，n的值．
24．（2022•南山区模拟）先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．




25．（2022秋•张店区校级月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？




26．（2022秋•冷水滩区校级月考）若关于x的分式方程＝无解，求m的值．




27．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知关于x的方程+＝．
（1）若m＝4，解这个分式方程；
（2）若原分式方程的解为整数，求整数m的值．





28．（2021秋•单县期末）解答下列各题
（1）解分式方程：；
（2）化简：．




29．（2021秋•怀化期末）解方程与不等式组
（1）解方程
（2）解不等式组





30．（2021秋•宽城县期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：＝2﹣．
（1）她把这个数“？”猜成﹣2，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x＝3是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？







31．（2021秋•思明区校级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：＝，求代数式x2+的值．
解：∵＝，∴＝4
即+＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x＝，y＝，z＝，∴＝＝＝
根据材料回答问题：
（1）已知＝，求x+的值．
（2）已知＝＝，（abc≠0），求的值．
（3）若＝＝＝，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．







32．（2021秋•海门市期末）定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　（只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．









【压轴】
一、单选题
1．（2022·重庆市教科院巴蜀实验学校八年级期中）若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022·广东·深圳市福景外国语学校八年级阶段练习）若实数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程＝﹣2的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．7 B．10 C．12 D．1
二、填空题
3．（2022·重庆一中八年级阶段练习）国庆期间，某糕点坊制作了一批榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥．现将若干个榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥混合组成，，三种礼盒（每种礼盒中均有三种品种的糕点）．已知，，三种礼盒中每盒蛋黄酥的数量均是每盒榴莲酥和南瓜酥数量之和．在，，三种礼盒中各拿出一盒，发现一盒礼盒中有6个榴莲酥和3个南瓜酥，一盒礼盒中榴莲酥的数量是南瓜酥的数量的5倍，一盒礼盒中南瓜酥的数量是一盒礼盒中南瓜酥数量与一盒礼盒中南瓜酥数量之和，而，，各一盒中榴莲酥的总数量之和与南瓜酥的总数量之和的比为．经核算，一盒礼盒成本为129元，一盒礼盒成本为88元（每种礼盒成本为该盒中榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥的成本之和），则一盒礼盒的成本为______元．
三、解答题
4．（2022·河北邢台·八年级阶段练习）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：22
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；
再如：x+1
解决下列问题：
(1)分式是 分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式的形式为 ；
(3)把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值．




5．（2022·湖南常德·八年级期中）数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．