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第05讲 全等三角形的判定（6大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）
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这是一份第05讲 全等三角形的判定（6大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版），文件包含第05讲全等三角形的判定6大考点解析版docx、第05讲全等三角形的判定6大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
第05讲 全等三角形的判定（6大考点）
考点考向
一.全等三角形的判定
三角形全等判定方法1：
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
三角形全等判定方法2：
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
三角形全等判定方法3：
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
三角形全等判定方法4：
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
直角三角形全等的判定：
图形
定理
符号
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）
在中，，
二、用尺规作三角形
1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．
图4－4－16
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；
图4－4－17
(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；
图4－4－18
(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；
图4－4－19
图4－4－20
(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形
已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．
图4－4－21
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
作法：(1)作∠DAF＝∠α；
图4－4－22
图4－4－23
(2)在射线AF上截取线段AB＝c；
图4－4－24
(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
3、已知三角形的三条边，求作这个三角形
已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．
图4－4－25
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法：(1)作一条线段BC＝a；
图4－4－26
(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；
图4－4－27
(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－28
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等
三、证题的思路（难点）
考点精讲
考点一：利用SAS判断两个三角形全等
1.（2020惠州市期末）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.
求证：AF=CE.
【分析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
2.（2019·武汉市期中）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.
【解析】证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..
∵点C为AB中点，∴AC=CB.
又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）
3.（2019·兰州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
【答案】（1）证明见解析；（2）75．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数.
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为75．
考点二 ：利用ASA判断两个三角形全等
1.（2019·玉林市期中）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．
求证：△AEC≌△BED；
【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
【详解】∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
2.（2019·德州市期末）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.
【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答
【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD.
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD＝CE.
考点三： 利用AAS判断两个三角形全等
1.（2019·黄石市期中）如图，在ABCD中，经过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．
（1）求证：△AED≌△CFB；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再根据垂线的性质可得∠CFB＝∠AED＝90°，再根据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠CBF＝∠ADE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠CFB＝∠AED＝90°，
∴△AED≌△CFB（AAS）．
（2）证明：∵△AED≌△CFB，
∴AE＝CF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
2.（2019·兴义市期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．
【分析】根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论；
根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到
【详解】证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
3.（2019·温州市期中）如图，已知，，，在同一直线上，，，.试说明：.
【分析】由AB∥CD可得∠BAC=∠DCA，由AF=CE可得AE=CF，由AAS可得△ABE≌△CDF．
【详解】证明∵，
∴
∵，
∴，即.
在和中，
，
∴（AAS）
考点四： 利用SSS判断两个三角形全等
1.（2019·德州市期中）已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE＝DF．
【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明．
【详解】证明：如图，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（全等三角形对应边上的高相等）．
2.（2019·阳泉市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2.
【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE≌△ACE,即可得到结论.
【详解】证明:AB=AC,AD=AD,BD=CD,
在△ABD和△ACD中,
△ABD≌△ACD, ∠BAE=∠CAE,
在△ABE和△ACE中,
△ABE≌△ACE
∠1=∠2.
3.（2019·鄂州市期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
4.（2020·石家庄市期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【解析】
（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=CF+CE，
∴BC="EF"
∵AB=DE，AC="DF"
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点五 ：利用HL判断两个直角三角形全等
1.（2019·云龙县期中）已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC
【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．
【详解】证明：如图，连接CD，
∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴AD=BC．
2.（2019·开封市期中）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
求证：（1）；（2）．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据全等三角形的性质得到∠C=∠A，根据平行线的判定即可得到AB∥CD.
【详解】证明： ∵ DE⊥ AC， BF⊥ AC
∴ ∠DEC=∠BFA=90°
在Rt△ DEC和Rt△ BFA中
AB=CD
DE=BF
∴ Rt△ DCE≌Rt△ BFA（HL）
∴ AF=CE
∴ ∠C=∠A
∴ AB∥ CD
考点六：用尺规作三角形
1.已知三角形的边和角作三角形
1 已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.
图4－4－29
[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C，再利用两角夹边作图．
解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC＝a；(3)分别以B，C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射线BM，CN交于点A.△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－30
[归纳总结] (1)做此类题时，不妨先画个草图，再对草图进行分析，以确定作图的思路与顺序；
(2)已知两边和夹角可以作出三角形，与全等判定方法的“SAS”对应；已知两角及夹边可以作出三角形，与全等判定方法的“ASA”对应；已知三边，可以作出三角形，与全等判定方法的“SSS”对应．
2.（2021·全国八年级课时练习）如图，已知线段a、b和，用尺规作一个三角形，使．（要求：不写已知、求作、作法、只画图，保留作图痕迹）
【分析】先作，再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，即可．
【详解】解：先作，
再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，连接，即为所求，如图所示：
【点睛】本题考查了复杂作图，利用了作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，是基本作图，需熟练掌握．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
3.（2021·全国八年级课时练习）如图，已知线段．
求作：直角，使，
作法：（1）作；
（2）以点C为圆心，__________为半径画弧，交射线于点B；
（3）以点B为圆心，__________为半径画弧，交射线于点A；
（4）连接__________，则就是所求．
【答案】（2）a的长；（3）c的长；（4）
【分析】作∠MCN＝90°，在射线CM上截取BC＝a，以B为圆心，c的长为半径画弧，交射线CN于点A，连接AB，△ABC就是所求．
【详解】作法：（1）作；
（2）以点C为圆心，a的长为半径画弧，交射线于点B；
（3）以点B为圆心，c的长为半径画弧，交射线于点A；
（4）连接就是所求如图所示：
故答案为：a的长；c的长；．
【点睛】此题主要考查的是作一条线段等于已知线段的作法以及直角三角形的作法，要灵活掌握．
2.用尺规作较复杂的几何图形
1.已知两边和第三边上的中线，求作三角形．
解： 已知△ABC中的AB，AC和BC边上的中线AD(如图①所示)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC.
作法：如图②，(1)作线段A′B′＝AB；
(2)以A′为圆心，2AD为半径画弧，以B′为圆心，以AC为半径画弧，交前弧于点E′；
(3)作线段A′E′的中点D′；
(4)连接B′D′并延长到C′，使D′C′＝B′D′；
(5)连接A′C′.
△A′B′C′就是所求作的三角形．
① ②
巩固提升
一、单选题
1．（2021·全国八年级课时练习）如图，点B在上，，要通过“”判定，可补充的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“ASA”的判定方法添加条件即可．
【详解】解：在△ABC与△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
2．（2021·全国八年级课时练习）下列一定能使△ABC≌△DEF成立的是（ ）
A．两边对应相等 B．面积相等 C．三边对应相等 D．周长相等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，分析、判断即可．
【详解】解：A、两边对应相等，不能使△ABC≌△DEF成立，该选项不符合题意；
B、面积相等，不能使△ABC≌△DEF成立，该选项不符合题意；
C、三边对应相等，根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，该选项符合题意；
D、周长相等，不能使△ABC≌△DEF成立，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等．
3．（2021·福建八年级期中）如图，D、E分别是AB、AC上的点，CD、BE相交于点O，已知．现在添加以下一个条件能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件、∠A=∠A，结合各选项条件分别依据“AAS、ASA、SSA、SAS”，逐一作出判断即可得，其中SSA不能任意判定三角形全等．
【详解】解：A．由CD=BE、∠A=∠A、AB=AC不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
B．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
C．由CD=BE、∠A=∠A、可依据“AAS”△ABE≌△ACD，此选项符合题意；
D．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
4．（2021·香河县第九中学八年级期中）如图，已知：，要证明，还需补充的条件是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】首先证明∠BAC=∠1+∠DAC=∠ADC+∠2=∠EAD，然后根据全等三角形的判定条件进行判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠1+∠DAC=∠ADC+∠2=∠EAD，
当AB=AE，BC=DE时，“SSA”不能判定△ABC≌△AED，故A选项不符合题意；
当AB=AE，AC=AD时，可以用“SAS”判定△ABC≌△AED，故B选项符合题意；
当AC=AE，BC=DE时，“SSA”不能判定△ABC≌△AED，故C选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
5．（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，在的两边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分与，重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．画法中用到三角形全等的判定方法是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】解：由图可知，，又，
在和中，
，
，
，
即是的平分线．
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
6．（2021·龙口市教学研究室八年级期中）如图，经过平行四边形的对角线中点的直线分别交边，的延长线于，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对
C．对 D．对
【答案】C
【分析】根据已知条件及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】：四边形为平行四边形，经过的中点，
，，，，，
又，，，
，
，
，
，
．
故图中的全等三角形共有5对．
故选:C
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有，，，等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
7．（2021·兰州市第五十五中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AD=CE，则∠BAC的度数是 ( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【分析】首先证明△BAD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，由∠ACE+∠CAE=90°，可得∠BAD+∠CAE=90°即可解答．
【详解】解：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠E=90，
在Rt△BAD和Rt△ACE中，
AB=AC、 AD=EC
∴△BAD≌△CAE（HL），
∴∠BAD=∠ACE，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAC =∠BAD+∠CAE=90°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
二、填空题
8．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．
【答案】
【分析】要利用判定，已知，公共边,只需要再添加一组对边相等即可．
【详解】解：∵，，
∴要利用判定，只需要在添加一组对边相等即可．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．
9．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知，经分析____________________，依据是__________．
【答案】
【分析】利用SAS得出全等三角形.
【详解】证明：∵AC＝BD，
∴AD＝BC，
在△ADF和△BCE中
∵ ，
∴△ADF≌△BCE（SAS）.
故答案为：①，②，③.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键
10．（2021·青岛大学附属中学八年级期中）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线．如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是的平分线．小旭这样画的理论依据是______．
【答案】HL
【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP=∠NOP，可证OP是∠AOB的平分线．
【详解】解：∵∠OMP=∠ONP=90°，且OM=ON，OP=OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：HL．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OMP≌Rt△ONP是本题的关键．
11．（2021·全国八年级课时练习）已知线段a，b，c，求作，使．
①以点B为圆心，c的长为半径画弧；
②连接；
③作；
④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．
作法的合理顺序是__________．
【答案】③①④②
【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．
【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求．
故答案为：③①④②．
【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（2021·全国八年级课时练习）如图，AD=BC，若利用“SSS”来证明△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是__________．
【答案】
【分析】根据“SSS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．
【详解】解：∵AD=BC，BD=DB，
∴当添加AB=CD时，可根据“SSS”判断△ABD≌△CDB．
故答案为：AB=CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．（2021·全国八年级课时练习）如图，AC=BD，AF=DE，BF=CE，∠E=30°，∠A=45°，则∠ACE=__________．
【答案】
【分析】利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，即可求解．
【详解】解：∵AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，
∴AB=DC，
又∵AF=DE，BF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，
∴∠D=∠A=45°，
∴∠ACE=∠D+∠E=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
14．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知，要使，需加的两个条件是__________．
【答案】
【分析】根据得到，根据SAS添加条件即可；
【详解】∵，
∴，
当时，得到；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了探索全等三角形全等的条件，准确分析判断是解题的关键．
15．（2021·全国八年级课时练习）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C爬到D所用的最短时间与它爬行线段__________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母）
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定及性质证明CD=BE即可得到结论．
【详解】∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌（SAS），
∴．
故答案为：BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题
16．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知在中，求证：．
【分析】利用SAS证明，得到，即可求解．
【详解】证明：在和中，
∴．
∴．
又∵，即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的证明与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
17．（2021·全国八年级课时练习）已知：如图，，E是的中点，，
求证：（1）；
（2）．
【分析】（1）根据∠ECD＝∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；
（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵E是的中点，∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2021·全国八年级课时练习）如图，在中，是锐角，，是高，你能说明吗？
【分析】根据AAS易证△AEC≌△AFB，再利用全等三角形的性质即可求证结论．
【详解】解：∵、是高，
∴，
在和中，
∴△AEC≌△AFB（AAS），
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“AAS”证得△AEC≌△AFB．
19．（2021·全国八年级课时练习）如图，．求证：．
【分析】利用直线平行得出以及，再根据题意求得，最后利用ASA定理来证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解决问题的关键．
20．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知．求证：．
【分析】利用全等，来求得，利用内错角相等求得．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与应用，以及两直线平行的判定，熟练掌握是关键．
21．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．
（1）证明：；
（2）试说明：；
（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；
（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE
【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据（1）的结论，进而可得；
（3）方法同（1）证明，进而可得
（4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
（2） 解：∵，
∴，．
又∵，
∴．
（3） 解：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∴，，，
∴
（4） 解：．理由如下：
∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
22．（2021·四川省成都市七中育才学校）如图1，已知中，，点是上一点，且．，于点，交于点．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，求的面积；
（3）如图3，点是延长线上一点，且，连接，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析部分
【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可．
（2）如图2中，在上取一点，使得，连接．设，想办法构建方程求出即可解决问题．
（3）如图3中，过点作于点，与交于点，连接，证明，推出，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2中，在上取一点，使得，连接．
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
．
（3）证明：如图3中，过点作于点，与交于点，连接．
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
第05讲 全等三角形的判定（6大考点）
考点考向
一.全等三角形的判定
三角形全等判定方法1：
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
三角形全等判定方法2：
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
三角形全等判定方法3：
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
三角形全等判定方法4：
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
直角三角形全等的判定：
图形
定理
符号
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）
在中，，
二、用尺规作三角形
1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．
图4－4－16
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；
图4－4－17
(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；
图4－4－18
(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；
图4－4－19
图4－4－20
(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形
已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．
图4－4－21
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
作法：(1)作∠DAF＝∠α；
图4－4－22
图4－4－23
(2)在射线AF上截取线段AB＝c；
图4－4－24
(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
3、已知三角形的三条边，求作这个三角形
已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．
图4－4－25
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法：(1)作一条线段BC＝a；
图4－4－26
(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；
图4－4－27
(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－28
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等
三、证题的思路（难点）
考点精讲
考点一：利用SAS判断两个三角形全等
1.（2020惠州市期末）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.
求证：AF=CE.
【分析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
2.（2019·武汉市期中）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.
【解析】证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..
∵点C为AB中点，∴AC=CB.
又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）
3.（2019·兰州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
【答案】（1）证明见解析；（2）75．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数.
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为75．
考点二 ：利用ASA判断两个三角形全等
1.（2019·玉林市期中）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．
求证：△AEC≌△BED；
【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
【详解】∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
2.（2019·德州市期末）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.
【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答
【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD.
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD＝CE.
考点三： 利用AAS判断两个三角形全等
1.（2019·黄石市期中）如图，在ABCD中，经过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．
（1）求证：△AED≌△CFB；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再根据垂线的性质可得∠CFB＝∠AED＝90°，再根据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠CBF＝∠ADE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠CFB＝∠AED＝90°，
∴△AED≌△CFB（AAS）．
（2）证明：∵△AED≌△CFB，
∴AE＝CF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
2.（2019·兴义市期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．
【分析】根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上 可证得结论；
根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到
【详解】证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
3.（2019·温州市期中）如图，已知，，，在同一直线上，，，.试说明：.
【分析】由AB∥CD可得∠BAC=∠DCA，由AF=CE可得AE=CF，由AAS可得△ABE≌△CDF．
【详解】证明∵，
∴
∵，
∴，即.
在和中，
，
∴（AAS）
考点四： 利用SSS判断两个三角形全等
1.（2019·德州市期中）已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE＝DF．
【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明．
【详解】证明：如图，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（全等三角形对应边上的高相等）．
2.（2019·阳泉市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2.
【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE≌△ACE,即可得到结论.
【详解】证明:AB=AC,AD=AD,BD=CD,
在△ABD和△ACD中,
△ABD≌△ACD, ∠BAE=∠CAE,
在△ABE和△ACE中,
△ABE≌△ACE
∠1=∠2.
3.（2019·鄂州市期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
4.（2020·石家庄市期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【解析】
（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=CF+CE，
∴BC="EF"
∵AB=DE，AC="DF"
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点五 ：利用HL判断两个直角三角形全等
1.（2019·云龙县期中）已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC
【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．
【详解】证明：如图，连接CD，
∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴AD=BC．
2.（2019·开封市期中）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
求证：（1）；（2）．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据全等三角形的性质得到∠C=∠A，根据平行线的判定即可得到AB∥CD.
【详解】证明： ∵ DE⊥ AC， BF⊥ AC
∴ ∠DEC=∠BFA=90°
在Rt△ DEC和Rt△ BFA中
AB=CD
DE=BF
∴ Rt△ DCE≌Rt△ BFA（HL）
∴ AF=CE
∴ ∠C=∠A
∴ AB∥ CD
考点六：用尺规作三角形
1.已知三角形的边和角作三角形
1 已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.
图4－4－29
[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C，再利用两角夹边作图．
解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC＝a；(3)分别以B，C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射线BM，CN交于点A.△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－30
[归纳总结] (1)做此类题时，不妨先画个草图，再对草图进行分析，以确定作图的思路与顺序；
(2)已知两边和夹角可以作出三角形，与全等判定方法的“SAS”对应；已知两角及夹边可以作出三角形，与全等判定方法的“ASA”对应；已知三边，可以作出三角形，与全等判定方法的“SSS”对应．
2.（2021·全国八年级课时练习）如图，已知线段a、b和，用尺规作一个三角形，使．（要求：不写已知、求作、作法、只画图，保留作图痕迹）
【分析】先作，再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，即可．
【详解】解：先作，
再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，连接，即为所求，如图所示：
【点睛】本题考查了复杂作图，利用了作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，是基本作图，需熟练掌握．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
3.（2021·全国八年级课时练习）如图，已知线段．
求作：直角，使，
作法：（1）作；
（2）以点C为圆心，__________为半径画弧，交射线于点B；
（3）以点B为圆心，__________为半径画弧，交射线于点A；
（4）连接__________，则就是所求．
【答案】（2）a的长；（3）c的长；（4）
【分析】作∠MCN＝90°，在射线CM上截取BC＝a，以B为圆心，c的长为半径画弧，交射线CN于点A，连接AB，△ABC就是所求．
【详解】作法：（1）作；
（2）以点C为圆心，a的长为半径画弧，交射线于点B；
（3）以点B为圆心，c的长为半径画弧，交射线于点A；
（4）连接就是所求如图所示：
故答案为：a的长；c的长；．
【点睛】此题主要考查的是作一条线段等于已知线段的作法以及直角三角形的作法，要灵活掌握．
2.用尺规作较复杂的几何图形
1.已知两边和第三边上的中线，求作三角形．
解： 已知△ABC中的AB，AC和BC边上的中线AD(如图①所示)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC.
作法：如图②，(1)作线段A′B′＝AB；
(2)以A′为圆心，2AD为半径画弧，以B′为圆心，以AC为半径画弧，交前弧于点E′；
(3)作线段A′E′的中点D′；
(4)连接B′D′并延长到C′，使D′C′＝B′D′；
(5)连接A′C′.
△A′B′C′就是所求作的三角形．
① ②
巩固提升
一、单选题
1．（2021·全国八年级课时练习）如图，点B在上，，要通过“”判定，可补充的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“ASA”的判定方法添加条件即可．
【详解】解：在△ABC与△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
2．（2021·全国八年级课时练习）下列一定能使△ABC≌△DEF成立的是（ ）
A．两边对应相等 B．面积相等 C．三边对应相等 D．周长相等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，分析、判断即可．
【详解】解：A、两边对应相等，不能使△ABC≌△DEF成立，该选项不符合题意；
B、面积相等，不能使△ABC≌△DEF成立，该选项不符合题意；
C、三边对应相等，根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，该选项符合题意；
D、周长相等，不能使△ABC≌△DEF成立，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等．
3．（2021·福建八年级期中）如图，D、E分别是AB、AC上的点，CD、BE相交于点O，已知．现在添加以下一个条件能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件、∠A=∠A，结合各选项条件分别依据“AAS、ASA、SSA、SAS”，逐一作出判断即可得，其中SSA不能任意判定三角形全等．
【详解】解：A．由CD=BE、∠A=∠A、AB=AC不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
B．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
C．由CD=BE、∠A=∠A、可依据“AAS”△ABE≌△ACD，此选项符合题意；
D．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
4．（2021·香河县第九中学八年级期中）如图，已知：，要证明，还需补充的条件是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】首先证明∠BAC=∠1+∠DAC=∠ADC+∠2=∠EAD，然后根据全等三角形的判定条件进行判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠1+∠DAC=∠ADC+∠2=∠EAD，
当AB=AE，BC=DE时，“SSA”不能判定△ABC≌△AED，故A选项不符合题意；
当AB=AE，AC=AD时，可以用“SAS”判定△ABC≌△AED，故B选项符合题意；
当AC=AE，BC=DE时，“SSA”不能判定△ABC≌△AED，故C选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
5．（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，在的两边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分与，重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．画法中用到三角形全等的判定方法是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】解：由图可知，，又，
在和中，
，
，
，
即是的平分线．
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
6．（2021·龙口市教学研究室八年级期中）如图，经过平行四边形的对角线中点的直线分别交边，的延长线于，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对
C．对 D．对
【答案】C
【分析】根据已知条件及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】：四边形为平行四边形，经过的中点，
，，，，，
又，，，
，
，
，
，
．
故图中的全等三角形共有5对．
故选:C
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有，，，等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
7．（2021·兰州市第五十五中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AD=CE，则∠BAC的度数是 ( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【分析】首先证明△BAD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，由∠ACE+∠CAE=90°，可得∠BAD+∠CAE=90°即可解答．
【详解】解：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠E=90，
在Rt△BAD和Rt△ACE中，
AB=AC、 AD=EC
∴△BAD≌△CAE（HL），
∴∠BAD=∠ACE，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAC =∠BAD+∠CAE=90°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
二、填空题
8．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．
【答案】
【分析】要利用判定，已知，公共边,只需要再添加一组对边相等即可．
【详解】解：∵，，
∴要利用判定，只需要在添加一组对边相等即可．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．
9．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知，经分析____________________，依据是__________．
【答案】
【分析】利用SAS得出全等三角形.
【详解】证明：∵AC＝BD，
∴AD＝BC，
在△ADF和△BCE中
∵ ，
∴△ADF≌△BCE（SAS）.
故答案为：①，②，③.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键
10．（2021·青岛大学附属中学八年级期中）数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线．如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是的平分线．小旭这样画的理论依据是______．
【答案】HL
【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP=∠NOP，可证OP是∠AOB的平分线．
【详解】解：∵∠OMP=∠ONP=90°，且OM=ON，OP=OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：HL．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OMP≌Rt△ONP是本题的关键．
11．（2021·全国八年级课时练习）已知线段a，b，c，求作，使．
①以点B为圆心，c的长为半径画弧；
②连接；
③作；
④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．
作法的合理顺序是__________．
【答案】③①④②
【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．
【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求．
故答案为：③①④②．
【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（2021·全国八年级课时练习）如图，AD=BC，若利用“SSS”来证明△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是__________．
【答案】
【分析】根据“SSS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．
【详解】解：∵AD=BC，BD=DB，
∴当添加AB=CD时，可根据“SSS”判断△ABD≌△CDB．
故答案为：AB=CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．（2021·全国八年级课时练习）如图，AC=BD，AF=DE，BF=CE，∠E=30°，∠A=45°，则∠ACE=__________．
【答案】
【分析】利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，即可求解．
【详解】解：∵AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，
∴AB=DC，
又∵AF=DE，BF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，
∴∠D=∠A=45°，
∴∠ACE=∠D+∠E=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
14．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知，要使，需加的两个条件是__________．
【答案】
【分析】根据得到，根据SAS添加条件即可；
【详解】∵，
∴，
当时，得到；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了探索全等三角形全等的条件，准确分析判断是解题的关键．
15．（2021·全国八年级课时练习）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C爬到D所用的最短时间与它爬行线段__________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母）
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定及性质证明CD=BE即可得到结论．
【详解】∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌（SAS），
∴．
故答案为：BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题
16．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知在中，求证：．
【分析】利用SAS证明，得到，即可求解．
【详解】证明：在和中，
∴．
∴．
又∵，即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的证明与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
17．（2021·全国八年级课时练习）已知：如图，，E是的中点，，
求证：（1）；
（2）．
【分析】（1）根据∠ECD＝∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；
（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵E是的中点，∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2021·全国八年级课时练习）如图，在中，是锐角，，是高，你能说明吗？
【分析】根据AAS易证△AEC≌△AFB，再利用全等三角形的性质即可求证结论．
【详解】解：∵、是高，
∴，
在和中，
∴△AEC≌△AFB（AAS），
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“AAS”证得△AEC≌△AFB．
19．（2021·全国八年级课时练习）如图，．求证：．
【分析】利用直线平行得出以及，再根据题意求得，最后利用ASA定理来证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解决问题的关键．
20．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知．求证：．
【分析】利用全等，来求得，利用内错角相等求得．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与应用，以及两直线平行的判定，熟练掌握是关键．
21．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．
（1）证明：；
（2）试说明：；
（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；
（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE
【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据（1）的结论，进而可得；
（3）方法同（1）证明，进而可得
（4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
（2） 解：∵，
∴，．
又∵，
∴．
（3） 解：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∴，，，
∴
（4） 解：．理由如下：
∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
22．（2021·四川省成都市七中育才学校）如图1，已知中，，点是上一点，且．，于点，交于点．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，求的面积；
（3）如图3，点是延长线上一点，且，连接，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析部分
【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可．
（2）如图2中，在上取一点，使得，连接．设，想办法构建方程求出即可解决问题．
（3）如图3中，过点作于点，与交于点，连接，证明，推出，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2中，在上取一点，使得，连接．
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
．
（3）证明：如图3中，过点作于点，与交于点，连接．
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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