第09讲 轴对称中最短路径问题(四种题型）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）

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第09讲 轴对称中最短路径问题（四种题型）
考点精讲

题型一：两点的所有连线中，线段最短
如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)

解析：利用两点之间线段最短得出答案．
解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．

方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
题型二：运用轴对称解决距离最短问题
在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．
解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．
方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．
题型三：最短路径选址问题
如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?
(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．
解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；
　　
(2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
题型四：运用轴对称解决距离之差最大问题
如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．

解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．
解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.

方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．
巩固提升

一．选择题（共7小题）
1．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．5 D．
【分析】点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵A（1，1），
∴点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），
连接A′B交x轴于P，
则此时，PA+PB＝A′B的值最小，
过A′作A′C⊥BC，
∴A′B2．
∴PA+PB最小值为2，
故选A．

【点评】此题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
2．（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（　　）

A．3 B． C．3.5 D．
【分析】作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值．
【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'NAM'（7﹣1）＝3，
∴PM+PN的最小值为 3，
故选：A．

【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．（2021秋•仓山区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（　　）

A． B．3 C．3 D．2
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝
1
2
AB＝
1
2
×6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BFAB6＝3，
∴CF3，
∴CE+EF的最小值为3，
故选：C．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
4．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值＝BE′，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，
则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′，
∴AE′＝AE＝1，
∴CE'＝3﹣1＝2，
作E'F⊥BC于F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴CF＝1，E'F，
∴BF＝3﹣1＝2，
∵AC＝BC＝3，
∴BE'．
故选：B．

【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．
5．（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（　　）

A．5 B．6 C． D．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，
∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴∠ADB＝90°，
∵D为BC的中点，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，
∵S△ABCAB•CEBC•AD，
∴6.5•CE＝5×6，
∴CE，
∴PE+PB的最小值为，
故选：C．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
6．（2022春•兴宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，P是边BC上一动点，P、D不与C重合，当AE＝13时，求PD+PE的最小值（　　）

A．24 B．25 C．26 D．
【分析】作D关于BC的对称点G，连接GE则PD+PE＝GE，当PD+PE的值最小时，GE最小，当GE⊥AB时，GE最小，即求得GEAE＝13．
【解答】解：作D关于BC的对称点G，连接GE，
则PD＝PG，
∴PD+PE＝PD+PG＝GE，
当PD+PE的值最小时，GE最小，
∴当GE⊥AB时，GE最小，
∵AE＝13，∠B＝30°
∴GEAE＝13．
故选：D．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
7．（2022春•蜀山区校级期中）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的一动点，点P为BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，故PE+PC＝AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，根据勾股定理求出AE即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，ECBC＝3，
连接AE，交BD于P，
∴PA＝PC，
∴PE+PC＝PE+PA＝AE，
线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△ACE中，
AE3，
∴PE+PC的最小值是3．
故选：C．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
二．填空题（共1小题）
8．（2022春•武昌区期中）如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC＝5，AC＝12，AB＝13，则CE+EF的最小值为 　　．

【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法，求出CF，即为CE+EF的最小值．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CE+EF的最小值为CF．
∵BC＝5，AC＝12，AB＝13，
∴，
∴CF，
即CE+EF的最小值为：，
故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
三．解答题
9．（2022春•海淀区校级期中）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求出的最小值．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得△ACP和△BDP为等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA和PB，从而求得PA+PB；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；
（3）设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA；设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB，结合（2）即可求得．
【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，


∴AC＝CP，∠ACP＝90°，
∴∠CAP＝∠CPA＝45°，
∴PA，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′＝PA，
∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，
∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，
∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，
∴BD＝PD＝2，
∴PB2，
∴AP+PB23；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，
∴BD+AC＝BD+DE＝4，
即BE＝4，
在RT△A′BE中，A′B5，
∴AP+BP＝5；
（3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA，

设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB，
∵DE＝AC＝2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B3，
∴的最小值是3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
10．（2020秋•遂宁期末）如图，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短（不写作法）．

【分析】利用轴对称图形的性质，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，则M是所求的点．
【解答】解：如图，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，点M是所求的点．

【点评】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质．
11．（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 　α+β＝180°　；
②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 　8　；
（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，
①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；
②线段BC、DC、CE之间的数量是 　CE＝BC+CD　．


【分析】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；
②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；
②根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，AD＝AE，
∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，
当AD⊥BC时，AD最短，
即四边形ADCE周长的值最小，
∵点A到直线BC的距离是3，
∴AD＝AE＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，
故答案为：8；
（2）①成立，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，
即α+β＝180°；
②∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
故答案为：CE＝BC+CD．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键．
12．（2021•旌阳区模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AC于D，E为BC边上一点，AE、BD交于点F，EG∥BD．
（1）求证：AB＝AG；
（2）当∠BAE＝30°，BE＝2时，在EG上有一动点P，求AP+BP的最小值．

【分析】（1）根据平行线的性质得出EG⊥AC，然后根据角平分线的性质即可得出BE＝EG，进而通过证得Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）得出结论；
（2）根据题意得出A与C关于EG对称，连接BC，与EG的交点即为P点，此时PA+BP的值最小，最小值为BC的长，解直角三角形求得BC的长即可．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC于D，EG∥BD，
∴EG⊥AC，
∵AE平分∠BAC，∠ABC＝90°，
∴BE＝EG，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AB＝AG；
（2）∵∠BAE＝30°，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴AE＝EC，
∵EG⊥AC，
∴AG＝CG，
∴A与C关于EG对称，
连接BC与EG的交点即为P点，此时P点与E重合，PA+PB＝BC，值最小，
∵BE＝2，∠BAE＝30°，
∴ABBE＝2，
在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴BCAB6，
∴AP+BP的最小值为6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
13．（2020秋•盘龙区期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）四边形BCC1B1的面积为　12　．

【分析】（1）先分别画出A、B、C关于DE的对称点，再连接即可；
（2）作C关于DE的对称点C1，连接AC1，交DE于Q，则Q为所求；
（3）根据梯形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
；

（2）如图所示：
；

（3）

∵每小格均为边长是1的正方形，
∴CC1＝4+4＝8，BB1＝2+2＝4，BB1和CC1之间的距离为2，
∴四边形BCC1B1的面积为（8+4）×2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了轴对称的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，能正确画出对称图形是解此题的关键．
14．（2020秋•日照期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 　50　度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，
∵AB＝8，△MBC的周长是14，
∴BC＝14﹣8＝6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．

【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．