第11讲 乘法公式（4大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）

第11讲 乘法公式（4大考点）

一、平方差公式

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：如

（3）指数变化：如

（4）符号变化：如

（5）增项变化：如

（6）增因式变化：如

二、完全平方公式

完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.

四、补充公式

；；

    ；.

考点一：平方差公式

1.下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．

 (1)；       (2) ；

 (3) ；    (4) ；

(5) ；     (6) ．

2.计算：(1)59.9×60.1；                    (2)102×98．

3.计算(2＋1)()( )()()()＋1．

4.解方程：．

5.运用乘法公式计算：

（1）；                 （2）．

6.已知△ABC的三边长、、满足，试判断△ABC的形

状．

7.计算：（1）；             （2）；

（3）．

8.用简便方法计算：

 (1)899×901＋1；                             (2)99×101×10001；

 (3)－2006×2004；      

考点二：平方差公式的几何背景

1.（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是　   　．

2.（2020秋•邓州市期中）如图，将图①中大小相同的四个小正方形按图②所示的方式放置变为一个大正方形，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 

C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

考点三：完全平方公式

1.计算：

 (1)；     (2)；     (3)；     (4)．

2.计算：(1)；       (2)．           (3)．

3.已知，＝12．求下列各式的值：

(1) ；                       (2) ．

考点四：完全平方公式的几何背景

1.（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

2.（2021春•南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 　　  ．

3.（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（　　）

A．30 B．34 C．40 D．44

一、单选题

1．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）已知x²-2mx+9是完全平方式，则m的值为（    ）

A．±3 B．3 C．±6 D．6

2．（2021·北京四中八年级期中）如图1，将长为宽为的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）下列运算中，错误的是（    ）

A．·= B．（）³= C．（ab）²=a²b² D．（a＋b）³=a³+b³

4．（2021·福建南安·八年级期中）若x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k的取值是（    ）

A．5 B．±5 C．10 D．±10

5．（2021·山东临淄·八年级期中）已知，，那么（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

6．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（    ）

A． B．

C． D．

8．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期中）计算：的值是（      ）

A． B．

C． D．

二、填空题

9．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）已知实数a，b满足a-b=5，ab=4，则a+b=_______．

10．（2021·福建·厦门市第五中学八年级期中）杨辉三角形在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就出现，比欧洲发现的帕斯卡三角形（杨辉三角形）要早393年．如图为杨辉三角系数表的一部分，我们可以按照其中规律写出形如（a＋b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，再写出（a＋b）4的展开式．

（a＋b）＝a＋b

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

则（a＋b）4＝___．

11．（2021·四川兴文·八年级期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则的值是___________．

12．（2021·天津南开·八年级期中）已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，则a2+b2＝______．

13．（2021·江苏·苏州中学八年级期中）已知则＝____．

14．（2021·北京四中八年级期中）丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式，很快得到计算结果．

①______________；

请参考丽丽的方法进行运算：

②的值为____________．

15．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）若x2－2（m－3）x＋16是完全平方式，则m的值为________．

三、解答题

16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）计算：

（1）                        （2）

17．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）计算

（1）（－xyz）·x2y2·（－yz3）     （2）8m（m2－3m＋4）－m2（m－3）

（3）（m＋1）（m－1）（m2－1）         （4）（2x－3y－1）（2x＋3y＋1）

18．（2021·山东阳信·八年级期中）（1）化简：；

（2）先化简，再求值：，其中．

19．（2021·河南西峡·八年级期中）一块边长为的正方形纸板，在其中一个角剪去了一个边长为（）的小正方形，如图． 请根据图形的面积关系，利用剪拼的方法验证乘法公式．

20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图，一块空地是由边长为（2a＋3b）米，（2a－3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．

（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）

（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．

21．（2021·福建连江·八年级期中）用4个长为a，宽为b的长方形拼成如图所示的大正方形，根据此图：

（1）写出大正方形、中间小正方形与长方形的面积之间的等量关系式（用含a、b的等式表示），并运用乘法公式验证你写出的等量关系式；

（2）若a﹣b＝，a2+b2＝13，求（a+b）2的值．

22．（2021·四川恩阳·八年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1

∵（x+2）2≥0，

∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，

∴（x+2）2+1≥1

∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，

∴x2+4x+5的最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列各题

（1）当x＝　   　时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是　   　；

（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？

（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x=　   　（用含x，y的代数式表示） 请求出y+x的最小值．

23．（2021·四川恩阳·八年级期中）如图所示，图是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图围成一个较大的正方形．

（1）请用两种方法表示图中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；

（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？

（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果，，求的值．