第13章 轴对称（单元提升卷）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）

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第13章 轴对称（单元提升卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．下列图案中，不属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D．
【点评】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN＝BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC＝AC，求出BC的长为多少即可．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC＝7（cm），
∴AN+NC+BC＝7（cm），
∵AN+NC＝AC，
∴AC+BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7﹣4＝3（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
4．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（　　）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．若点A（x，5）与点B（2，y）关于y轴对称，则x+y的值是（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．
【解答】解：∵点A（x，5）与点B（2，y）关于x轴对称，
∴x＝﹣2，y＝5，
则x+y＝﹣2+5＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
8．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
9．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
10．下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．
【解答】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
二．填空题（共8小题）
11．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE＝　2　m．

【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB＝BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE＝AD：BD，从而有AE＝CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE＝BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
【解答】解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AE：CE＝AD：BD，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，
∴DE＝2．
故答案是2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半．解题的关键是证明DE是△ABC的中位线．
12．已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是　17　cm．
【分析】根据题意分两种情况：第一种是底边长为7时构不成三角形要排除，第二种情况是底边长为3，然后再将三边长相加即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，
∴此等腰三角形的周长＝7+7+3＝17cm，
故答案为：17．
【点评】此题是等腰三角形的性质，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解本题的关键是用三角形的三边关系判断能否构成三角形．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为　4或6　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．

【分析】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
14．如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为　　．

【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，再由三角形ABC的边长为4，得出BE的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°AB＝AC＝4，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF＝AD，CE＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝2，
∴AF＝1，CF＝3，CE＝，
∴BE＝．
故答案为．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，以及含30°角直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．
15．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n＝　0　．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2＝4，3＝n+5，
解得：m＝2，n＝﹣2，
∴m+n＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC＝6，则PD＝　3　．

【分析】过点P作PE⊥OA于E，根据角平分线定义可得∠AOP＝∠BOP＝15°，再由两直线平行，内错角相等可得∠BOP＝∠OPC＝15°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°．
∵PC∥OB，
∴∠BOP＝∠OPC＝15°，
∴∠PCE＝∠AOP+∠OPC＝15°+15°＝30°，
又∵PC＝6，
∴PE＝PC＝3，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，
∴PD＝PE＝3，
故答案为3．

【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键．
17．把一张纸各按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝　55　度．

【分析】根据题意∠B′OG＝∠BOG，根据平角和角平分线的定义即可求得．
【解答】解：由题意可得∠B′OG＝∠BOG，
则∠B′OG＝（180﹣∠AOB′）÷2＝55°．
故答案为55．
【点评】已知折叠问题就是已知图形全等，因而得到相等的角．
18．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝　87　°．

【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE＝∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE＝∠ABC＝（180°﹣31°﹣∠A）＝（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠DBE＝∠C，
∴∠DBE＝∠ABC＝（149°﹣∠A）＝∠C＝31°，
∴∠A＝87°．
补充：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠C＝∠DBC＝31°，
∵DB平分∠ABC，
∴∠DBA＝∠DBC＝31°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣2∠DBC＝87°，
故答案为：87．
【点评】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，关键是根据角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点进行分析．
三．解答题（共8小题）
19．已知等腰三角形的三边长a＝5x﹣1，b＝6﹣x，c＝4，求x的值．
【分析】分三种情况求解后利用三角形的三边关系验证．
【解答】解：若a＝b，则5x﹣1＝6﹣x，
得x＝，
三边长分别为，，4，符合三角形三边关系；
若a＝c，则5x﹣1＝4，
得x＝1，
三角形的三边长为4，5，4，符合三角形三边关系；
若b＝c，则6﹣x＝4，
得x＝2，
三角形的三边长为9，4，4，不构成三角形；
综上所述，符合要求的x值为或1；
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是分类讨论．
20．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF；
（3）求△BDE的面积．

【分析】（1）依据等边三角形的性质，即可得到AD的长，进而运用勾股定理得出BD的长；
（2）依据等腰三角形的性质，即可得到BF＝EF；
（3）先求得BE＝BC+CE＝9，再根据∠DBE＝30°，DB＝3，即可得出DF＝DB＝，进而得到△BDE的面积．
【解答】解：（1）∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3；
（2）证明∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF；
（3）∵AD＝CD，CE＝CD，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵∠DBE＝30°，DB＝3，
∴DF＝DB＝×3＝，
∴△BDE的面积＝BE•DF＝×9×＝．

【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识的运用．
21．已知P（a+1，b﹣2），Q（4，3）两点．
（1）若P，Q两点关于x轴对称，求a+b的值
（2）若点P到y轴的距离是3，且PQ∥x轴，求点P的坐标．
【分析】（1）依据P，Q两点关于x轴对称，即可得到a，b的值，进而得出a+b的值；
（2）依据点P到y轴的距离是3，且PQ∥x轴，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵P，Q两点关于x轴对称，
∴a+1＝4，b﹣2＝﹣3，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴a+b＝3﹣1＝2；
（2）∵点P到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为3或﹣3，
又∵PQ∥x轴，
∴点P的纵坐标为3，
∴P（3，3）或（﹣3，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t为何值时，△BCP为等腰三角形；
（2）当t为何值时，点P与所在边对角顶点连线正好平分所在边的对角？直接写出t的值．

【分析】（1）分类讨论：若点P在AC上，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，CP＝BC，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值；
（2）分情况讨论：点P分别在三边上时，分别为各边对角的平分线上，画图，根据角平分线的性质作辅助线，可解答．
【解答】解：（1）分四种情况：
①如图1，点P在CA上，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，

则4t＝8﹣6，
解得t＝（s）；
②如图2，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，

∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷4＝5（s）；
③如图3，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，
则S△ABC＝＝，CD＝4.8，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷4＝5.3（s）；
④如图4，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，

∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷4＝（s）；
综上所述，t为s或5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形．
（2）①如图5，过P作PE⊥AB，

点P恰好在∠ABC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴CP＝EP，
∵PB＝PB，
∴Rt△BCP≌Rt△BEP（HL），
∴BC＝BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
设CP＝x，则AP＝8﹣x，PE＝x，
∴Rt△AEP中，AE2+PE2＝AP2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CP＝3，AP＝5，
∴4t＝5，
t＝；
②如图6，点P也在∠BAC的角平分线上，过P作PE⊥AB于E，
∴AE＝AC＝8，

∴BE＝10﹣8＝2，
设CP＝x，则BP＝6﹣x，PE＝x，
∴Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，
即22+x2＝（6﹣x）2，
解得x＝，
∴CP＝，
∴AC+CP＝8+＝4t
t＝；
③如图7，P在∠ACB的角平分线上，过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥BC于E，则PD＝PE，

设PD＝x，则CD＝CE＝x，AD＝8﹣x，
∵PD∥BC，
∴，即，
x＝，
∴PE＝，BE＝6﹣＝，
∴PB＝＝，
∴CA+BC+BP＝6+8+＝4t，
t＝，
综上，t的值为s或s或s．
【点评】本题以动点问题为背景，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形．
23．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．

【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质得出BE＝CE，得出∠ABE＝∠DBE＝30°，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BE，

∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝BE，DE＝BE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵∠A＝90°，AE＝6，∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE＝12，
∴CE＝BE＝12．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）将△ABC向下平移四个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1）；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2（点A1、B1、C1的对称点分别是点A2、B2、C2），并直接写出点C2的坐标．

【分析】（1）依据△ABC向下平移四个单位长度，即可画出平移后的△A1B1C1；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并得到点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了平移，轴对称变换的运用，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
25．如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．

【分析】根据三角形的外角的性质求出∠ACB，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．
【解答】解：∵∠CBD为△ABC的外角，∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
AB＝15×（9.5﹣8）＝22.5，
∴AB＝BC＝22.5，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝11.25，
∴从B到D用的时间为11.25÷15＝小时＝45分钟，
则当船继续航行，10时15分到达灯塔C在正东方向．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、方向角，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
26．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠A＝30°，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，
∴BC＝2CH，
∴AB＝4CH，
在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，
∴CH＝MH，
∴AB＝4MH．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．