山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年九年级上学期阶段性综合素养评价（四）数学试卷

这是一份山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年九年级上学期阶段性综合素养评价（四）数学试卷，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年九年级上学期阶段性综合素养评价（四）数学试卷

一、单选题
1．下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（     ）
A． B． C． D．
2．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且
4．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．90°
5．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（    ）

A． B． C． D．
6．如图，大同南站某自动扶梯的倾斜角为，自动扶梯的长为15米，则大厅两层之间的高度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．以上都不对
7．下列事件中是必然事件的是（    ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
8．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ）
A． B．
C． D．
9．如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中， 四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），顶点C在反比例函数y=的图像上，若 AD:AB=1：2，则k的值是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．6

二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是_____________．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠DCE＝55°，则∠BOD＝________°．

13．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．

14．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为______．

15．如图，在边长为4的正方形中，为边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则当取得最小值时，的值为_____________．


三、解答题
16．计算：
(1)解方程：；
(2)．
17．冰天雪地也是金山银山，北京张家口即将联合举办2022年北京冬季奥运会（简称“冬奥会“），在我国刮起了冰雪运动的旋风．某校为了了解七年级学生最喜爱的冬奥会项目，校团委宣传部李老师通过学校公众号向七年级学生发放调查问卷，要求如实填写并提交．

收集数据：李老师从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：
ADABDCADEBEBCEDACADCCADDCDBDAECECDCADCDC
整理分析：李老师整理了这组数据并将结果绘制成两幅均不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全条形统计图．
(2)在扇形统计图中，m＝ 　 ，“项目E”所对应扇形圆心角的度数为 　 ．
(3)最喜爱“B．滑冰”项目的有1名女生和3名男生，从中任选2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长均为1．

(1)按要求作图：先将绕原点逆时针旋转得到，再以原点为位似中心，在原点异侧画，使它与的相似比为；
(2)写出点，的坐标．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积．
20．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）
       
21．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
斯库顿定理：如图1．在中，为的平分线，则．下面是该定理的证明过程：
证明：如图2，是的外接圆，延长交于点，连接．
∵为的平分线，
∴．
∵，（依据①__________________________）
．（依据②_________________________）


又，
．
．
……

任务：
（1）证明过程中的依据是：
①__________________________________．
②__________________________________．
（2）将证明过程补充完整：
（3）如图3．在圆内接四边形中，对角线，相交于点．若，，，，，请利用斯库顿定理，直接写出线段的长．

22．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案
1．B
【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此定义即可判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据反比例函数的增减性列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得：m＜﹣2．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
3．D
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解．
【详解】解：根据题意得：a≠0且，即
，
解得：且，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．D
【详解】已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D．
5．C
【详解】解：找到从左面看所得到的图形即可：
从左面看易得有两层，上层右边是1个正方形；下层有1个长方形，且中间有一看不见的竖线．
故选C．
6．A
【分析】根据题意得，，即可得．
【详解】解：根据题意得，，
（米），
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握正弦的定义．
7．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握三种事件的区别与联系成为解答本题的关键．
8．C
【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．
【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度，
相当于将函数图像向下平移2个单位长度，
将轴向左平移3个单位长度，
相当于将函数图像向右平移3个单位长度，
则平移以后的函数解析式为：
化简得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键．
9．A
【分析】先利用圆周角定理可得，然后可得△ABC是等腰直角三角形，进而可得△AOC和△BOC都为等腰直角三角形，于是得到，然后根据扇形面积公式可进行求解．
【详解】解：∵为直径，
∴，
∵，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，则OA=OB=1，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都为等腰直角三角形，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式及圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式及圆周角定理是解题的关键．
10．B
【分析】如图（见解析），先根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据矩形的性质得出，，然后根据直角三角形的性质、角的和差得出，最后根据相似三角形的判定与性质求出BE、CE的长，从而可得出点C的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得出答案．
【详解】如图，过点C作轴于点E
点A的坐标为，点B的坐标为

四边形ABCD是矩形，
，


又

，即
解得

点C的坐标为
将点代入反比例函数的解析式得：
解得
故选：B．

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
11．
【分析】把抛物线化成顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是．
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，把抛物线化成顶点式是解题的关键．
12．110°
【分析】首先根据邻补角的定义求得∠BCD的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后利用圆周角定理求得∠BOD的度数．
【详解】解：∵∠DCE＝55°，
∴∠BCD＝125°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
13．（，2）或（﹣，2）
【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点的坐标为（）或（-）
【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
14．
【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可解答．
【详解】解：由题意可知，正方形的面积为，
因为黑色部分的总面积为，
所以向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的实际应用，涉及几何概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
15．
【分析】先利用辅助圆确定当取得最小值时的位置，再利用勾股定理建立方程和正切的定义求解即可．
【详解】解：∵正方形边长为4，为边的中点，
∴
如图，以为直径作圆，则该圆是以点E为圆心，2为半径的圆，
连接，与圆交于点M，
则当位于点M处时，取最小值，
记当位于点M处时的折痕为，连接，设，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴中，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了用辅助圆确定动点的某个特殊位置，求一个角的正切，勾股定理，正方形的性质等内容，解题关键是确定当取得最小值时的位置．
16．(1)，
(2)

【分析】（1）根据因式分解法可解答此方程；
（2）首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行化简求值即可．
【详解】（1）解：；


，
（2）解：原式
【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程，本题也考查了特殊三角函数的混合运算．
17．(1)见解析
(2)30，45°
(3)，树状图见解析，

【分析】（1）先求出最喜爱“D．冰球和冰壶”项目的人数和最喜爱“E．冬季两项”项目的人数，然后补全统计图即可；
（2）根据总人数乘以m%等于最喜爱“D．冰球和冰壶”项目的人数即可求出m，用360度乘以最喜爱“E．冬季两项”项目的人数占比即可求出“项目E”所对应扇形圆心角的度数；
（3）列出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到恰好为1名男生1名女生的结果数最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：最喜爱“D．冰球和冰壶”项目的人数为12人，最喜爱“E．冬季两项”项目的人数为5人，
∴补全统计图如下：

（2）解：由题意得：，
∴，
“项目E”所对应扇形圆心角的度数为
（3）解列树状图如下：

由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好为1名男生1名女生的结果数为6种，
∴恰好选中1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确理解题意读懂统计图是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）根据旋转作图，确定的位置，再根据位似比等于相似比，使，画出；
（2）根据图形直接写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；

（2）如图可知：，．
【点睛】本题考查旋转作图，位似作图．熟练掌握旋转三要素，以及位似比等于相似比，是解题的关键．
19．(1)一次函数的解析式为；
(2)的面积为9．

【分析】（1）先求得，得到，，再通过待定系数法求函数解析式；
（2）先求得直线交x轴于点C的坐标，再利用求解．
【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设直线交x轴于点C，

令，则，
∴点C，
∴
．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握坐标系内求图形面积的方法．
20．49cm
【分析】过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果．
【详解】解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，
∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵AC=40cm，
∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，
∴CD=cm，
∴在Rt△BCD中，BC=cm，
∴支架BC的长为49cm．

【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊直角三角形．
21．（1）①同弧或等弧所对的圆周角相等，②两角分别相等的两个三角形相似；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由图可知和所对的弧是同一条弧，根据同弧或者等弧所对圆周角相等可知结论；已知两角分别相等的两个三角形相似；
（2）已知两角分别相等的两个三角形相似可知，进而得到比例关系，最后得出结论；
（3）由斯库顿定理，得，从而求出的值，再根据两角分别相等的两个三角形相似可知：，进而得出的值，最后由线段和可知的值．
【详解】解：（1）①同弧或等弧所对的圆周角相等
∵和所对的弧是同一条弧
∴①应填：同弧或等弧所对的圆周角相等
②两角分别相等的两个三角形相似
∵题目中的结论是两个三角形相似，用的方式是三角形的两个角分别相等
∴②应填两角分别相等的两个三角形相似
（2）∵，.
.



（3）
∵.
∴弧弧
∴
∴平分.
由斯库顿定理，得
又∵，，，，
∴.
解得或（舍去）。
∵, .
∴
∴
∴
解得
∴
【点睛】本题是一道阅读理解题，通过读材料运用已知条件得到斯库顿定理，理解并会运用斯库顿定理是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）30°或150°，的长最大值为，此时
【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．
【详解】解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，
即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°−30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A． O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质，注意特殊角的三角函数值的应用．
23．（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【分析】（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；
（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD=，再求最值即可；
（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.
【详解】解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上，
令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，
∴B（6，0），D（0，-6），
∵点C和点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
∵抛物线经过点B和点C，代入，
，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）设点P坐标为（m，0），
则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6），
∴MN=-m+6=，
∴S△BMD=S△MNB+S△MND
=
=
=-3（m-2）2+48
当m=2时，S△BMD最大=48，
此时点P的坐标为（2，0）；
（3）存在，
由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），
设点Q的坐标为（0，n），
当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，
即Q（0，12）；

当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图，
可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，
即Q（0，-4）；

当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，
分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，
∵∠MQN=90°，
∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，
∴∠NQF=∠QME，
∴△MEQ∽△QFN，
∴，即，
解得：n=或，
∴点Q（0，）或（0，），

综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.