2023新高考数学函数压轴小题专题突破 专题3 函数的周期性、对称性（解析版）

专题3函数的周期性、对称性

1．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ）

A． B．

C． D．

【解析】

函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，

，

，

即，

的周期为.

时，，

，

，

，

周期为4，，

当，

当，

做出函数图像，如下图所示：

令，

当，，

，两边平方得，

，

此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，

同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，

则要使函数在内与直线只有一个交点，

则满足，周期为4，

范围也表示为，

所以所有的取值范围是.

故选:D.

2．设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f (x)=x3，则下列四个命题：

①f(x)是以4为周期的周期函数．

②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3．

③f(x)在 处的切线方程为3x+4y-5=0．

④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是(　　)

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④

【解析】

当时,

当时, ,所以切线方程为

f(x)的图象关于x=±1对称,因此选D.

3．设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为（      ）

A．6    B．7    C．13    D．14

【解析】

由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．

4．定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（    )

A．15 B．16 C．17 D．18

【解析】

定义在上的奇函数满足，得 即 则 的周期为8．函数的图形如下：比如，当不同整数 分别为-1，1，2，5，7…时， 取最小值， ，

至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D

5．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】

因为偶函数满足，

所以，即，

所以函数是以6为周期的周期函数，

当时，，

所以，

当时，，函数递增；当时，，函数递减；

当当时，函数取得极大值，

作出函数在上的图象，如图所示：

因为不等式在上有且只有150个整数解，

所以不等式在上有且只有3个整数解，

当时，不符合题意，

故不等式在上有且只有3个整数解，

因为，

所以，即，

故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，

所以，，即，

故选：B

6．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ）

A．或 B．1或 C．或2 D．或1

【解析】

解：已知，①

且，分别是上的偶函数和奇函数，

则，

得：，②

①+②得：，

由于关于对称，

则关于对称，

为偶函数，关于轴对称，

则关于对称，

由于有唯一零点，

则必有，，

即：，

解得：或.

故选：A.

7．已知函数为R上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当(0，3)时，，则函数在区间上的（    ）

A．最小值为 B．最小值为

C．最大值为0 D．最大值为

【解析】

函数的图像关于点对称，.

又函数为奇函数，，函数是的周期函数，

，，

由周期性可知，函数在区间上的图像与在区间上的图像一样， 

又当时，，由指数函数性质知在区间上单调递减，

又函数为R上的奇函数，故当时，，故在上单调递减，且，

所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减，函数取得最小值.

故函数在区间上的最小值为

故选：A.

【点睛】

结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：

（1）若，则函数的；

（2）若，则函数的；

（3）若，则函数的；

（4）函数关于直线与对称，那么函数的 ；

（5）若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的；

（6）若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的

8．已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则下列结论错误的是（    ）

A．方程=0最多有四个解

B．函数的值域为[]

C．函数的图象关于直线对称

D．f(2020)=0

【解析】

由可得：，

则，所以函数的周期为2，

所以，正确，排除D；

再由以及，

所以，则函数的对称轴为，正确，排除C；

当时，，，

又函数是奇函数，时，，，

即时，

又因为函数的对称轴为，

所以时，

所以时

又因为函数的周期为2，

所以函数的值域为，正确，排除B；

故选：．

9．已知定义在上的函数满足，且当时，，函数，实数，满足.若，，使得成立，则的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【解析】

当时，，令可得.

∵，∴的周期为2，所以在[－1，5]的图象所示：

结合题意，当，时，取得最大值.最大值为1.

故选：B.

10．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ）

A．30 B．14 C．12 D．6

【解析】

由知函数的图象关于直线对称，

∵，是R上的奇函数，

∴，

∴，

∴的周期为4，

考虑的一个周期，例如，

由在上是减函数知在上是增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

对于奇函数有，，

故当时，，当时，，

当时，，当时，，

方程在上有实数根，

则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，

则由于，故方程在上有唯一实数，

在和上，

则方程在和上没有实数根，

从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，

当，方程的两实数根之和为，

当，方程的所有6个实数根之和为.

故选：A.

11．已知、都是定义域为的连续函数.已知：满足：①当时，恒成立；②都有.满足：①都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【解析】

因为都有，所以是偶函数，

又当时，恒成立，所以在上单调递增，

所以等价于，

只需，.

因为都有，即，所以是周期函数，周期为2，

当时，，所以，

故时，，

求导得，，令，解得，，

当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，

所以时，，

所以，

又因为，所以，

则，解得或.

所以实数的取值范围是.

故选：D.

二、多选题

12．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（    ）

A．是周期为2的函数 B．

C．的值域为 D．在上有4个零点

【解析】

解：对于A，为偶函数，其图像关于轴对称，把的图像向右平移1个单位得到的图像，所以图象关于对称，

即，所以，

为上的奇函数，所以，所以，

用替换上式中的得， ，

所以，，则是周期为4的周期函数.故A错误.

对于B，定义域为R的奇函数，则，

是周期为4的周期函数，则；

当时，，则，

则，

则.故B正确.

对于C，当时，，此时有，

又由为上的奇函数，则时，，

，函数关于对称，所以函数的值域.故C正确.

对于D，，且时，，

，，

，，

①时，，此时函数的零点为0，2；

是奇函数，，

②时，的周期为，，

，此时函数零点为4；

③时，，

，此时函数零点为6；

④时，，，此时函数无零点；

综合以上有，在上有4个零点.故D正确；

故选：BCD

13．已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________

① 对任何，都有；

② 函数的值域是；

③ 存在，使得；④ “函数在区间上单调递减”的充要条

件是“存在，使得”；

【解析】

对于①，对任何，都有，

当时，，

所以，①正确；

对于②，取

从而函数的值域为[0，+∞），②正确；

对于③，时，，

对任意，恒有成立，，

所以

解得，∴③正确；

对于④，充分性：令 则

所以

必要性：令，

由函数在区间上单调递减，所以

即，又当时，，且 为减函数，

所以存在，使得，则，

所以⊆

∴函数在区间⊆上单调递减，④正确；

综上所述，正确结论的序号是①②③④．

故答案为①②③④．

14．定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对，有；

②函数的值域为；

③存在，使得；

【解析】

因为,所以①对;

因为当时，，当时，，

当时，，

当时，，

因此当时， ，

从而函数的值域为；所以②对;

因为，所以由上可得,

即，无解.所以③错；

综上正确结论的序号是①②

15．已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时， ，则函数在区间上的零点个数是__________．

【解析】

因为函数定义域为R，周期为3，所以

如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知

在 上的零点为

所以共有9个零点

16．已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．

【解析】

试题分析：由于定义域为的奇函数满足，

∴函数 为周期函数，且周期为8，

当时，，

函数在区间上的零点的个数，

即为函数 与 的交点的个数，

作出函数 上的函数的图象，

显然，当 时，交点最多，符合题意，

此时，零点的和为 .

17．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.

【解析】

已知定义在上的函数

若在定义域上有四个不同的解

等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，

联立可得有两个解，即

可设，则，

进而且不恒为零，可得在单调递增.

由可得

时，单调递减；

时，单调递增，

即在处取得极小值且为

作出的图象，可得时，有两个解.

故答案为：

18．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则下列命题：

①对任意，都有；

②函数在上递减，在上递增；

③函数的最大值是1，最小值是0；

④当时，.

其中正确命题的序号有_________.

【解析】

由题意，函数对任意的恒有，

可得，所以①正确；

由时，为单调递增函数，

因为函数是定义在上的偶函数，可得时，函数为单调递减函数，

又由函数的周期为，可得函数在上递减，在上递增，所以②正确；

由②可得，当时，函数取得最小值，最小值为；

当时，函数取得最大值，最大值为，

根据函数的周期性，可得函数的最大值为，最小值为，所以③不正确；

当时，则，

可得，所以④正确.

故答案为：①②④.

19．已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________.

【解析】

解：因为是定义在上的奇函数，且满足

所以，

所以的最小正周期为

又因为数列满足，且①；

当时，②；

①减②得，所以，

所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即

所以

又

所以被除余

所以

故答案为：0

20．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论：

①函数的定义域为，值域为；

②函数的图象关于直线对称；

③函数在上是增函数；

④函数是偶函数；

其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.

【解析】

因为，函数，

所以

当时，，当时，，

当时，，

当时，，

函数图象如图所示：

由图象可知：①函数的定义域为，值域为，故正确；

②函数的图象关于直线对称，故正确；

③函数在上不单调，故错误；

④其函数关于y轴对称，所以是偶函数，故正确.

故答案为：①②④