2023新高考数学函数压轴小题专题突破 专题6 函数整数解问题（解析版）

专题6 函数整数解问题

1．已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数的取值范围为　　

A．， B．， 

C． D．

【解析】解：，即，

也就是，即，

令，则，

当时，，当时，．

在上单调递增，在上单调递减．

作出函数与的图象如图：

的图象过定点，，，

，．

实数的取值范围为，．

故选：．

2．已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由，得，

即，，

设，，

，

由得，函数为增函数，

由得，函数为减函数，

即当时，取得极大值，极大值为（1），

要使，，在，中恰有两个整数，则时，不满足条件．

则，当时，（2），当时，（3），即，，

则当直线在，之间满足条件，此时两个整数解为1，2，

此时满足，即得，即，

即的取值范围是，，

故选：．

3．已知函数，若的解集为，其中；不等式在中有且只有一个整数解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：设，，

由题设原不等式有唯一整数解，

即在直线下方，

，

在递减，在递增，

故，恒过定点，

结合函数图象得，

即，

，

故选：．

4．已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则

实数的取值范围为　　

A． B．， 

C．， D．，

【解析】解：设，

则

当时，，当时，，

所以函数在为增函数，在为减函数，

的解集为等价于的解集为，

即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方，

函数的图象与直线的位置关系如图所示，

由图可知：，

解得：，

故选：．

5．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：函数，不等式化为：．

分别令，．

．

可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

，（2）．如图所示．

不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，

正整数解为1，2，

，即．

解得：．

数的取值范围是，．

故选：．

6．已知函数，若恰有三个正整数，使得，则实数的取值范围是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

【解析】解：的定义域为，

由可得，

（1）显然时，不等式在上无解，不符合题意；

（2）当时，不等式为，

令，，则当时，，，

故不等式没有正整数解，不符合题意；

（3）当时，不等式为，

显然为增函数，

，令，则，

当时，，故在，上单调递减，

而（1），（2），

存在使得，

当，时，，当时，，

即当，时，，当时，，

在，上单调递增，在．上单调递减，

又（1），且时，，

故不等式的三个正整数解为1，2，3，

，即，解得：．

故选：．

7．已知函数若，若的解集中恰有两个正整数，则的取值范围为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：由得，

即，

即的解集中恰有两个正整数，

设，则，

由得得，由得得，

即当时函数取得极大值（1），

设函数，

作出函数的图象如图，

由图象知当，的解集中有很多整数解，不满足条件．

则当时，要使，的解集中有两个整数解，

则这两个整数解为和，

（2），（3），，，，

当直线过，，时，对应的斜率满足

，，得，，

要使，的解集中有两个整数解，

则，即，

即实数的取值范围是，，

故选：．

8．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：设，

则，

可设，

．

，

，

，

，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

（1），

当时，，

不等式的解集中恰有两个整数，结合图形可知，整数为1，2

（3）（2），

故选：．

9．已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，令得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

由当时，，当时，，

作出的大致函数图象如图所示：

，

（1）若，即，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；

（2）若，则或，

由图象可知有无穷多整数解，不符合题意；

（3）若，则或，

由图象可知无整数解，故有两个整数解，

（1）（2），且在，上单调递减，

的两个整数解必为，，

又（3），

，解得．

故选：．

10．函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：令，得：，

令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

结合函数的单调性得：，

即，解得：，

故选：．

11．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

作出的函数图象如图所示：

由仅有一个整数解得只有一整数解，

设，

由图象可知：当时，在上恒成立，不符合题意，

当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，

，即，解得．

故选：．

12．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数，

可得：，

在和上是增函数；在上是减函数，

当时，当时，

所以函数有三个不同的零点，

只需：满足，，，

解得

故选：．

13．已知函数，若不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：令，，

由题意知，存在2个正整数，使在直线的上方，

，

当时，，当时，，

（1），

且，（2），（3），

直线恒过点，且斜率为，

由题意可知，，

故实数的取值范围是，，

故选：．

14．已知函数，且有且只有一个整数解，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：时，的图象在轴下方，不符题意；

时，有且只有一个整数解，

即为有且只有一个整数解，

由与相切，设切点为，

可得，解得，，

由题意可得有且只有一个整数解，且为1，

可得，即，且，

即，

故选：．

15．函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：令，得：，

令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，

结合函数的单调性得，

即，解得：，

故选：．

16．已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数的取值范围为　　．

【解析】解：且的解集中有且只有一个正整数，

有且只有一个正整数使，

令，，易得的图象如图

的图象恒过，

结合和的图象特点可知．

且．

故答案为：．

17．已知函数，若关于的不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：即为，设，，

，

当时，，单增，当时，，单减，

（1），

当时，，

当时，，函数恒过，

分别画出函数及函数的图象如图所示，

由图可知，要使不等式有且仅有一个正整数解，则的图象在函数图象的上方只有一个正整数值2，

（3）且（2），

．

故答案为：．