初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理练习题

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这是一份初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理练习题，共4页。

*3.3　垂径定理

【基础巩固】

1.绍兴是著名的桥乡,如图所示,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水面宽AB为 (　　)

A.4 m B.5 m

C.6 m D.8 m

2.如图所示,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为 (　　)

A.4 B.8

C.2 D.4

3.如图所示,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),☉P的半径为,则点P的坐标为　　　　.

【能力提升】

4.CD是☉O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若AB=10,CD=8,则BE的长是 (　　)

A.8 B.2

C.2或8 D.3或7

5.如图所示,将☉O沿弦AB折叠,使经过圆心O,则∠OAB=　　　　.

6.如图所示,已知在☉O中,弦AB的长为24 cm,半径为13 cm,过O作OC⊥AB,求点O与AB的距离.

7.(邵阳中考)如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高EF=1 m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出所在圆O的半径r.

【拓展探究】

8.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心,OB为半径作圆,且☉O过A点,连接OA.

(1)如图(1)所示,若☉O的半径为5,求线段OC的长;

(2)如图(2)所示,过点A作AD∥BC交☉O于点D,连接BD,求的值.

9.一个半圆形桥洞截面如图所示,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=16 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.

(1)求半径OD;

(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?

【答案与解析】

1.B(解析:如图所示,连接OA,∵桥拱半径OC为5 m,∴OA=5 m,∵CD=8 m,∴OD=8-5=3(m),∴AD===4(m),∴AB=2AD=2×4=8(m).故选D.)

2.D(解析:∵☉O的直径AB=12,∴OB=AB=6,∵BP∶AP=1∶5,∴BP=AB=×12=2,∴OP=OB-BP=6-2=4,∵CD⊥AB,∴CD=2PC.如图所示,连接OC,在Rt△OPC中,∵OC=6,OP=4,∴PC= ==2,∴CD=2PC=2×2=4.故选D.)

3.(3,2)(解析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD=OA=3,在Rt△OPD中,∵OP=,OD=3,∴PD== =2,∴P(3,2).故填(3,2).)

4.C(解析:如图所示,连接OC,∵直径AB⊥CD,∴CE=DE=CD=×8=4,在Rt△OCE中,OC=AB=5,∴OE==3,当点E在半径OB上时,BE=OB-OE=5-3=2,当点E在半径OA上时,BE=OB+OE=5+3=8,∴BE的长为2或8.故选C.)

5.30°(解析:过点O作OC⊥AB于点D,交☉O于点C,∵将☉O沿弦AB折叠,使经过圆心O,∴OD=OC,∴OD=OA,∵OC⊥AB,∴∠OAB=30°.故填30°.)

6.解:如图所示,连接OA.∵OC⊥AB于点C,∴AC=·AB=12 cm,∵OA=13 cm,∴OC===5(cm),即O与AB的距离为5 cm.

7.解:∵弓形的跨度AB=3 m,EF为弓形的高,∴OE⊥AB,∴AF=AB= m,∵AB 所在圆O的半径为r,弓形的高EF=1 m,∴AO=r,OF=r-1,在Rt△AOF中,AO2=AF2+OF2,即r2=+(r-1)2,解得r=(m).答: AB 所在圆O的半径为 m.

8.解:(1)∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵OA=OB,∴∠BAO=∠B=30°,∴∠AOC=30°+30°=60°,∠OAC=90°,∵OA=5,∴OC=2AO=10.　(2)连接OD,由(1)知∠AOC=60°,∵AD∥BC,∴∠DAO=∠AOC=60°,∵OD=OA,∴∠ADO=60°,∴∠DOB=∠ADO=60°,∵OD=OB,∴△DOB是等边三角形,∴BD=OB=OA,在Rt△OAC中,由(1)知OC=2BD,由勾股定理得AC=BD,∴=.