初中数学北师大版九年级下册第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系第1课时一课一练

4　圆周角和圆心角的关系

第1课时

(打√或×)

1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角称为圆周角．(√)

2．圆周角的度数等于圆心角度数的一半．(×)

3．长度相等的弧所对的圆周角相等．(×)

·知识点1　圆周角的定义

1．(概念应用题)下列图形中的角是圆周角的是(C)

2．如图，图中的圆周角共有__4__个，其中所对的圆周角是__∠C与∠D__，所对的圆周角是__∠A与∠B__．

·知识点2　圆周角定理及推论1

3．(2021·厦门模拟)如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为(B)

A．26°    B．52°    C．54°    D．56°

4．(2020·内江中考)如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是(A)

A．30°    B．40°    C．50°    D．60°

5．(2021·莆田期末)如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠BAO＝32°，则∠ACB的度数是(C)

A．32°    B．45°    C．58°    D．64°

6．如图，四边形ABCD的顶点均在⊙O上，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为(C)

A．55°    B．60°    C．65°    D．70°

7．如图，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧的中点，则∠CAB＝__65__°.

8．(2020·随州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为__30°__．

1．在同圆中，同弦所对的圆周角(C)

A．相等    B．互补    C．相等或互补    D．互余

2．如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC＝40°，则∠A的度数为(C)

A．40°    B．45°    C．50°    D．55°

3．如图，圆O的半径为6，点A、B、C在圆O上，且∠ACB＝45°，则弦AB的长是(C)

A．5    B．6    C．6    D．6

4．如图，A，B，C，D四个点在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中，相等的角有(C)

A．2对    B．3对    C．4对    D．5对

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于点E，若∠CBA＝20°，则∠AOE的度数为(D)

A．120°    B．80°    C．110°    D．100°

6．(2020·宜宾中考)如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos ∠A＝____．

7．如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠AOB＋∠ACB＝90°，那么∠ACB的大小是__30°__．

8．如图，在⊙O中，弦AC＝2，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝____．

9．(2021·厦门期末)如图，AB是⊙O的直径，点C在上，点D在AB上，AC＝AD，OE⊥CD于E.若∠COD＝84°，则∠EOD的度数是__21°__．

10.如图，四边形ABCD的顶点均在⊙O上，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.

(1)若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；

(2)求证：∠1＝∠2.

【解析】(1)∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝40°.

由圆周角定理，得∠CAB＝∠CDB＝40°，∠CAD＝∠CBD＝40°，

∴∠BAD＝40°＋40°＝80°.

(2)∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB，

∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠CAB，

∵∠BAC＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.

·易错点　忽略弦所对的圆周角不唯一而致错

【案例】在⊙O中，直径为4，弦AB＝2，点C是圆上不同于A、B的点，那么∠ACB度数为__60°或120°__．

4　圆周角和圆心角的关系

第1课时

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．√　2.×　3.×　

【对点达标】

1．C　A．图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故A选项错误；

B．图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故B选项错误；

C．图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故C选项正确；

D．图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故D选项错误．

2．4　∠C与∠D　∠A与∠B

3．B　∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC.

∵∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°.

4．A　连接OB，如图，∵点B是的中点，

∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×120°＝60°，

∴∠D＝∠AOB＝30°.

5．C　∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝32°，

∴∠AOB＝180°－32°－32°＝116°，

∴∠ACB＝∠AOB＝58°.

6．C　∵BC＝CD，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC＝35°.

∵∠ABD＝∠ACD＝45°，

∴∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－70°－45°＝65°.

7．【解析】∵∠AOB＝100°，C为优弧的中点，

∴∠C＝∠AOB＝50°，

∴∠CAB＝∠CBA＝(180°－50°)÷2＝65°.

答案：65

8．【解析】∵∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°，而AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAC＝30°.

答案：30°

__关键能力·综合练

1．C　在同圆中，同弦所对的圆周角相等或互补．

2．C　∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∵∠OCB＝∠OBC＝40°，

∴∠BOC＝180°－2×40°＝100°，

∴∠A＝∠BOC＝50°.

3．C　连接OA，OB，如图，

∵∠ACB＝45°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝90°.

∵⊙O的半径为6，

∴OA＝OB＝6，

∴AB＝OA＝6.

4．C　根据同弧所对的圆周角相等，得∠BAC＝∠BDC，∠CBD＝∠DAC，

∠DCA＝∠DBA，∠ADB＝∠ACB，所以共四对．

5．D　连接OC，如图，

∵AB⊥CD，∴∠CFB＝90°.

∵∠CBA＝20°，

∴∠AOC＝2∠CBA＝40°，

∠BCD＝90°－∠CBA＝70°，

∴的度数是40°.

∵DE∥BC，

∴∠BCD＋∠D＝180°，

∴∠D＝110°，

∴的度数是220°，

∴的度数是360°－220°＝140°，

∴的度数是140°－40°＝100°，

∴∠AOE＝100°.

6．【解析】∵△OBC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，∴∠A＝30°，

∴cos ∠A＝cos 30°＝.

答案：

7．【解析】∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＋∠ACB＝90°，

∴3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°.

答案：30°

8．【解析】∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝90°.

∵OA＝OC＝R，

∴R2＋R2＝(2)2，解得R＝.

答案：

9．【解析】∵＝，∠COD＝84°，

∴∠A＝∠COD＝42°.

又∵AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACD＝＝69°.

∵OE⊥CD，∴∠OED＝90°.

∴∠EOD＝90°－69°＝21°.

答案：21°

10．解析见正文

【易错必究】

·易错点

【案例】【解析】如图，过O作OD⊥AB于D，连接OA，OB.在Rt△OAD中，OA＝2，AD＝，

∴∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，

∴∠AEB＝∠AOB＝60°.

同理∠AFB＝120°.

①当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AEB＝60°；

②当点C在劣弧AB上时，∠ACB＝∠AFB＝120°；

故∠ACB的度数为60°或120°.

答案：60°或120°