初中数学7 切线长定理巩固练习

*7　切线长定理

(打√或×)

1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，称为这点到圆的切线长．(√)

2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线是两条切线夹角的平分线．(√)

3．切线与切线长都是过圆外一点作的圆的切线，它们意思一样．(×)

·知识点　切线长定理

1．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为(C)

A．40°    B．140°    C．70°    D．80°

2．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是(D)

A．15°    B．30°    C．60°    D．75°

3．(2021·泉州模拟)如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为(B)

A．70°    B．90°    C．60°    D．45°

4．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝(B)

A．    B．2    C．2    D．3

5．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若△PCD的周长等于3，则PA的值是(A)

A．    B．    C．    D．

6．(2021·莆田期中)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O切线EF分别交PA，PB于E，F，切点C在弧AB上，若PA的长为5，则△PEF的周长是__10__．

7．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为__48__．

8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.

(1)求∠APB的度数；

(2)当OA＝3时，求AP的长．

【解析】见全解全析

1．如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)

A．    B．    C．2    D．3

2．如图⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM＋CN＝4，则⊙O的面积为(C)

A．π    B．2π    C．4π    D．0.5π

3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为(A)

A．9    B．10    C．3    D．2

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin ∠CBE＝(D)

A．    B．    C．    D．

5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为__3__．

6．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝__2__．

7．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝__219°__．

8.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，求tan ∠APB的值．

【解析】连接OA，OB，OP，延长BO交PA于点F.

∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，

∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB.

∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋PD＋DB＝PA＋PB＝3r，

∴PA＝PB＝r.

在Rt△PBF和Rt△OAF中，∠FAO＝∠FBP，∠OFA＝∠PFB，

∴Rt△PBF∽Rt△OAF.

∴＝＝＝，∴AF＝BF.

在Rt△FBP中，∵PF2－PB2＝FB2，∴(PA＋AF)2－PB2＝FB2，

∴(r＋BF)2－(r)2＝BF2，解得BF＝r.∴tan ∠APB＝＝＝.

·易错点　忽视多解情况

【案例】在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是(D)

A．5    B．2    C．5或2    D．2或－1

*7　切线长定理

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．√　2.√　3.×　

【对点达标】

1．C　∵PA是圆的切线．

∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，

根据四边形内角和定理可得：

∠AOB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠P

＝360°－90°－90°－40°＝140°，

∴∠ACB＝∠AOB＝70°.

2．D　连接OD，

∵CA，CD是⊙O的切线，

∴OA⊥AC，OD⊥CD，

∴∠OAC＝∠ODC＝90°，

∵∠ACD＝30°，

∴∠AOD＝360°－∠C－∠OAC－∠ODC＝150°，

∴∠DBA＝∠AOD＝75°.

3．B　由AD∥BC，得∠ADC＋∠BCD＝180°，

又AD，DC，BC与⊙O相切，

∴∠ODC＝∠ADC，∠OCD＝∠BCD，

∴∠ODC＋∠OCD＝×180°＝90°，

∴∠DOC＝90°.

4．B　∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，

∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，

∴△PAB是等边三角形，∴AB＝AP＝2.

5．A　∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，

∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB

∵△PCD的周长等于3，

∴PA＋PB＝3，∴PA＝.

6．【解析】∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，

⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝5，

∴△PEF的周长＝PE＋EF＋PF＝PA＋PB＝10.

答案：10

7．【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，

∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，

∴AD＋BC＝AB＋CD＝24，

∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝24＋24＝48.

答案：48

8．【解析】(1)∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，

∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°.

∴在四边形OAPB中，

∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°.

(2)如图，连接OP；

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PO平分∠APB，即∠APO＝∠APB＝30°.

又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∠APO＝30°，

∴AP＝＝3.

__关键能力·综合练

1．C　在Rt△BCM中，tan 60°＝＝，

得到BC＝＝2，

∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，

∴BC为⊙O的切线，又CD也为⊙O的切线，

∴CD＝BC＝2.

2．C　设⊙O与正方形ABCD的边CD切于点E，与BC切于点F，

连接OE，OF，

则四边形OECF是正方形，

∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°.

∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，

∴△OEM≌△OFN(ASA)，

∴EM＝NF，∴CM＋CN＝CE＋CF＝4，

∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π.

3．A　作DH⊥BC于H，如图，

∵四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∵AB为直径，

∴AD和BC为⊙O的切线，

∵CD和MN为⊙O的切线，

∴DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF，

∵四边形ABHD为矩形，

∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝6.

设BC＝x，则CH＝x－2，CD＝x＋2，

在Rt△DCH中，∵CH2＋DH2＝DC2，

∴(x－2)2＋62＝(x＋2)2，解得x＝，

∴CB＝CE＝，

∴△MCN的周长＝CN＋CM＋MN

＝CN＋CM＋NF＋MF

＝CN＋CM＋NE＋MB

＝CE＋CB

＝9.

4．D　取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，

∵AB，AE都为圆的切线，

∴AE＝AB.

∵OB＝OE，AO＝AO，

∴△ABO≌△AEO(SSS)，

∴∠OAB＝∠OAE，

∴AO⊥BE.

在Rt△AOB中，AO2＝OB2＋AB2，

∵OB＝1，AB＝3，∴AO＝，

∵∠BOF＝∠BOA，∠BFO＝∠ABO，

∴△BOF∽△AOB

∴BO∶AO＝OF∶OB

∴1∶＝OF∶1

∴OF＝

∴sin ∠CBE＝＝.

5．【解析】∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.

∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，

∴BD＝PB＝AB－AP＝8－5＝3.

答案：3

6．【解析】∵CD，CE分别与⊙O相切于点D，E，

∴CD＝CE，∵∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝CD，∴AD＝CE，

∵AD＝2，∴CE＝2.

答案：2

7．【解析】连接AB，

∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，

∵∠P＝102°，

∴∠PAB＝∠PBA＝(180°－102°)＝39°.

∵∠DAB＋∠C＝180°，

∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°.

答案：219°

8．解析见正文

【易错必究】

·易错点

【案例】D　设Rt△ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，三边上的切点分别为D，E，F，连接ID，IE，IF，得正方形，则正方形的边长即为r，

如图所示：

当BC为直角边时，AC＝＝10，

根据切线长定理，得AD＝AF＝AB－BD＝6－r，

CE＝CF＝BC－BE＝8－r，∴AF＋FC＝AC＝10，

即6－r＋8－r＝10，解得r＝2；

当BC为斜边时，AC＝＝2，

根据切线长定理，得BD＝BF＝6－r，

CE＝CF＝2－r，∴BC＝BF＋CF＝6－r＋2－r＝8，

解得r＝－1.∴所以这个三角形的内切圆的半径是2或－1.