初中数学北师大版九年级下册8 圆内接正多边形当堂检测题

8　圆内接正多边形

(打√或×)

1．任何一个正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，它们是同心圆，圆心叫正多边形的中心．(√)

2．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心．(×)

3．正n边形中心角的度数与正n边形的一个外角相等，等于.(√)

4．正多边形的半径等于它内切圆的半径．(×)

5．正多边形外接圆的半径就是它的边心距．(×)

6．圆有一个内接正多边形和一个外切正多边形．(×)

·知识点　正多边形的相关概念及性质

1．(概念应用题)正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应(A)

A．把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形

B．把圆n等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形

D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法

2．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是(C)

A．12    B．6    C．6    D．3

3．(2021·龙岩期末)在正六边形ABCDEF中，若BE＝10，则这个正六边形外接圆的半径是(B)

A．    B．5    C．    D．5

4．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为(D)

A．8    B．7    C．6    D．5

5．边长为6的正三角形的外接圆的周长为(D)

A．π    B．2π    C．3π    D．4π

6．(2021·福州质检)正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为(C)

A．1∶    B．∶2    C．2∶    D．∶1

7．某正多边形外接圆的半径为4，边心距为2，则该正多边形的边长为__4__．

8．(2021·厦门期中)边长为2的正方形ABCD的外接圆半径是____．

9.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.

(1)求证：△ABG≌△BCH；

(2)求∠APH的度数．

【解析】(1)∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，

在△ABG与△BCH中，

∴△ABG≌△BCH；

(2)由(1)知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG＝∠HBC，

∴∠BPG＝∠ABG＝120°，∴∠APH＝∠BPG＝120°.

1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是(B)

A．互余    B．互补    C．互余或互补    D．不能确定

2．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3∶a4∶a6等于(D)

A．1∶∶    B．1∶2∶3    C．3∶2∶1    D．∶∶1

3．(2021·厦门期末)如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF、BE，则关于△BFE外心的位置，下列说法正确的是(D)

A．在△ABF内    B．在△BFE内    C．在线段BF上    D．在线段BE上

4．(2021·泉州期中)如图，若干相同的正五边形排成环状．图中已经排好前3个正五边形，还需________个正五边形完成这一圆环．(B)

A．6    B．7    C．8    D．9

5．如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM∶S四边形MCDN的值为(A)

A．    B．    C．    D．

6．(2021·莆田期末)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是__72°__．

7．(2021·福州期末)如图，正△ABC内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是__π－__．

8．如图1，2，3，…，n，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图1中∠MON的度数；

(2)图2中∠MON的度数是________，图3中∠MON的度数是________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).

【解析】见全解全析

·易错点　误认为正多边形的边心距是正多边形的半径

【案例】一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A)

A．2    B．    C．1    D．

8　圆内接正多边形

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．√　2.×　3.√　4.×　5.×　6.×　

【对点达标】

1．A　正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形．

2．C　∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的直径是2，

∴⊙O的半径为1，

∴正六边形ABCDEF的边长为1，

∴正六边形ABCDEF的周长是：1×6＝6.

3．B　∵BE＝10，∴正六边形外接圆直径长为10，

∴这个正六边形外接圆的半径长为5.

4．D　这个正多边形的边数是360÷72＝5.

5．D　如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，

作OD⊥BC于D，连接OB，OC.

∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，

∴∠BOC＝120°，

∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3.

在Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝BD＝，

∴OB＝2OD＝2，∴⊙O的周长＝2π×2＝4π.

6．C　设正六边形的半径是r，则外接圆的半径是r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶.

7．【解析】∵正多边形外接圆的半径为4，边心距为2，

∴正多边形的边长的一半为：＝2，

∴边长为2×2＝4.

答案：4

8．【解析】作OE⊥AD于E，连接OD，则AE＝DE＝1，

∵∠EOD＝45°，

∴OE＝ED＝1.

在Rt△ODE中，OD＝＝.

答案：

9．解析见正文

__关键能力·综合练

1．B　设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．

2．D　设圆的半径是r，

如图1，内接正三角形的边长a3＝r，

如图2，内接正方形的边长是a4＝r，

如图3，正六边形的边长是a6＝r，

因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3∶a4∶a6＝∶∶1.

3．D　∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴六边形ABCDEF的内角和为(6－2)×180°＝720°，

∴∠A＝∠AFE＝＝120°，∵AB＝AF，

∴∠AFB＝＝＝30°，

∴∠BFE＝∠AFE－∠AFB＝120°－30°＝90°，

∴△BFE是直角三角形，BE是斜边，

∴△BFE的外心在BE边上．

4．B　延长正五边形的相邻两边，交于圆心O，

∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，

∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：

180°－72°－72°＝36°，∴360°÷36°＝10，

∴排成圆环需要10个正五边形，故排成圆环还需7个正五边形．

5．A　设正六边形的边长为a.

则S△PCD＝×a×a＝a2，

S四边形BCDE＝3×a2＝a2.

由题意MN是△PCD的中位线，

∴S△PMN＝S△PCD＝a2，

∴S四边形MNDC＝a2－a2＝a2，

∴S△BMC＝S△DNE＝(a2－a2)＝a2，

∵PM＝CM，

∴S△PBM＝S△BMC＝a2，

∴S△PBM∶S四边形MCDN＝1∶2.

6．【解析】如图，连接OA，OB.

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠AOB＝＝72°，

∴∠ADB＝∠AOB＝36°.

∵AB＝BC，

∴＝，

∴∠ADB＝∠BDC＝36°，

∴∠ADC＝72°.

答案：72°

7．【解析】设该圆的圆心为O，连接OA、OB，延长AO交BC于点D，

∵正△ABC内接于半径是1的圆，

∴O为△ABC的中心，OA＝OB＝1，∠ABC＝60°，

∴∠1＝∠ABC＝30°，AD⊥BC.

在Rt△ODB中，OD＝OB＝，

BD＝＝，

∴AD＝OA＋OD＝，BC＝2BD＝，

∴S阴影＝S圆－S△ABC＝π×12－BC·AD＝π－.

答案：π－

8．【解析】分别连接OB，OC，

(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵OC＝OB，O是外接圆的圆心，

∴CO平分∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴∠OBM＝∠OCN＝30°，

∵BM＝CN，OB＝OC，

∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM＝∠NOC，

∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°；

∴∠MON＝∠BOC＝120°；

(2)同(1)可得，图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°.

答案：90°　72°

(3)由(1)可知，在图1中∠MON＝＝120°；

在图2中，∠MON＝＝90°；

在图3中，∠MON＝＝72°…，

故当为正n边形时，∠MON＝.

【易错必究】

·易错点

【案例】A　设多边形的边数为n.

因为正多边形内角和为(n－2)·180°，

正多边形外角和为360°，根据题意得：

(n－2)·180°＝360°×2，

n－2＝2×2，

n＝6.

故正多边形为六边形．

边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，

所以正多边形的半径等于2.