数学北师大版8 圆内接正多边形综合训练题

3.8圆内接正多边形

1．已知圆的半径是2，则该圆内接正六边形的面积为（　　）

A．6 B．3 C．9 D．12

2．如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（　　）

A．60° B．45° C．36° D．30°

3．下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　）

A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 

B．存在一个正多边形，它的外角和为720° 

C．任何正多边形都有一个外接圆 

D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形

4．若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2

5．正十边形的中心角是（　　）

A．18° B．36° C．72° D．144°

6．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

7．已知某正多边形的半径等于边长，则该多边形的边数为 　   　．

8．若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是 　   　．

9．已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为 　   　cm．

10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，且⊙O的半径为5，则弧DE的长为 　   　（结果保留π）．

11．如图，正六边形ABCDEF的面积是，则对角线AD的长是 　   　．

12．边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　   　．

13．一个正六边形外接圆的半径等于2cm，则这个正六边形的周长等于 　   　cm．

14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是 　   　．

15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．

（1）求∠CPD的度数；

（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．

16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，＝，求证：BM＝CM．

17．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧的长度．

参考答案

1．解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，

∠AOB＝60°，OA＝OB＝2，

则△OAB是正三角形，

∵OC＝OA•sin∠A＝，

∴S△OAB＝AB•OC＝，

∴正六边形的面积为6，

故选：A．

2．解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，

∴AE＝ED，∠AED＝＝108°，

∴∠EAD＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，

故选：C．

3．解：A．正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B．任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意；

C．任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意；

D．正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意．

故选：C．

4．解：连接OA、OB，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，

∴∠AOB＝＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝4，

∴OA＝OB＝AB＝4，

即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，

故选：B．

5．解：正十边形的中心角为：＝36°．

故选：B．

6．解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形．

OC＝OA•sinA＝×＝，

则S△OAB＝AB•OC＝××＝，

则正六边形的面积为6×＝3．

故选：C．

7．解：∵正多边形的半径与边长相等，

∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，

∴正多边形的中心角为60°

∵正多边形所有中心角的和为360°，

∴360°÷60°＝6，

∴正多边形的边数为6，

故答案为：6．

8．解：如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝90°，AB＝BC，

∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝8，AB＝BC＝AC＝4，

故答案为：4．

9．解：如图所示：连接BO，

由题意可得，OD⊥BC，OD＝cm，∠OBD＝30°，

故BO＝2DO＝2（cm）．

故答案为：2．

10．解：如图所示：连接OE、OD．

∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为5，

∴∠COD＝＝72°，

∴的长为：＝2π．

故答案为2π．

11．解：设正六边形ABCDEF的边长为x，

∵正六边形ABCDEF的面积是，

∴6×＝24，

解得x＝4

连接AC，

∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝∠BAF＝120°，

∴∠ACB＝∠BAC＝30°，

∴∠ACD＝90°，

∵∠BAD＝∠FAD＝60°，

∴∠CAD＝30°，

∴AD＝2CD＝2×4＝8，

故答案为：8．

12．解：连接OA，OB，作OG⊥AB于点G，

∵正六边形的边长为4cm，

∴正六边形的外接圆的半径4cm，

内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO＝×4＝2，

因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为＝．

故答案为：．

13．解：∵正六边形外接圆的半径等于边长，

∴正六边形的边长＝2cm，

正六边形的周长＝6×2＝12（cm），

故答案为：12．

14．解：在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝120°，

∵CB＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣120°）＝30°，

故答案为：30°．

15．解：（1）连接OD，OC，

∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴∠DOC＝90°．

∴；

（2）连接PO，OB，

∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴∠COB＝90°，

∵点P为BC的中点，

∴＝，

∴，

∴n＝360÷45＝8．

16．证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD，

∴＝，

∵＝，

∴+＝+，即＝，

∴BM＝CM．

17．解：∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，

∴OM⊥AB，ON⊥AC，∠A＝（5﹣2）×180÷5＝108°，

∴∠AMO＝∠ANO＝90°，

∴∠MON＝180°﹣∠A＝72°，

∵⊙O的半径为2，

∴劣弧的长度为：＝π．