初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积课堂检测

这是一份初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积课堂检测，共19页。

9　弧长及扇形的面积


·知识点1　弧长公式及应用
1．(生活情境题)(2020·南充中考)如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为(A)

A．π B．2π C．3π D．4π
2．如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是(B)

A．π B．π C．2π D．2π
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若
∠AOC∶∠AOD∶∠DOB＝2∶7∶11，CD＝4，则的长为(D)

A．2π B．4π C． D．π
4．(2021·福州期末)若⊙O的半径为2，则270°的圆心角所对的弧长是__3π__．
5．(2020·宁波中考)如图，折扇的骨柄长为27 cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为__18π__ cm(结果保留π).

·知识点2　扇形的面积公式及应用
6．(概念应用题)(2020·湘潭中考)如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为__6π__．

7．一个扇形的面积是13π cm2，半径是6 cm，则此扇形的圆心角是__130__°.
8．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形DBE的面积为____．

9．(2021·莆田期末)已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为__12π__．
10．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为__2－π__．

11．(2021·福州期中)如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__π－__．


1．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为(C)

A． B．π C． D．
2．(2020·乐山中考)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为(A)

A． B． C． D．π
3．(2021·泉州模拟)已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为__60__°.
4．(2021·福州质检)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分面积为__4－π__．

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，则图中阴影部分的面积为__2π－__．

6．(2021·厦门质检)生活中的车轮都是圆形的，但除了圆之外，其实还有一种几何图形可以作为车的轮子，即莱洛三角形．莱洛三角形又称“勒洛三角形”、“圆弧三角形”，它是一种特殊三角形．分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，且该圆弧是以另外两个顶点为端点的一段劣弧．由这样的三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形．若有一个正三角形其边长为2，则由它所形成的莱洛三角形的周长为__2π__．

7．如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD.以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点(不与点A，B重合)，连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.
(1)①求证：△AOE≌△POC；
②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．
(2)若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形ODE(答案保留π).

【解析】见全解全析

·易错点　忽视条件“两面贴纸”
【案例】
如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为__350π__cm2__．(结果保留π)








9　弧长及扇形的面积
__必备知识·基础练
【对点达标】
1．A　由题意可得：点B运动路径的长度为＝π.
2．B　如图，设的圆心为O，

∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，
根据垂径定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB，OC＝＝3，
∴PC＝OP－OC＝5－3＝2，
∴AP＝＝2.
∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，
∴lPP′＝＝π.
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π.
3．D　∵∠AOC∶∠AOD∶∠DOB＝2∶7∶11，
∠AOD＋∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，
∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA＋∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝π.
4．【解析】∵⊙O的半径为2，圆心角为270°，
∴弧长＝＝3π.
答案：3π
5．【解析】∵折扇的骨柄长为27 cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π(cm).
答案：18π
6．【解析】阴影部分面积为＝6π.
答案：6π
7．【解析】设这个扇形的圆心角为n°，＝13π解得n＝130.
答案：130
8．【解析】∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，
∴扇形DBE的面积＝＝.
答案：
9．【解析】∵圆半径为4，弧长为6π，
∴扇形面积为：×4×6π＝12π.
答案：12π
10．【解析】连接OD，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，

∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，∴∠A＝∠AOB＝60°.
∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，
∴OD＝OA·sin A＝，
同理可知，△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝2×－
＝2－π.
答案：2－π
11．【解析】如图所示，连接BC，OD，OB，CD，

∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ACB＝70°，∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∴∠BCD＝30°，则∠BOD＝2∠BCD＝60°，又OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
则图中阴影部分的面积是S扇形B O D－S△BOD
＝－×22
＝π－.
答案：π－
__关键能力·综合练
1．C　∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB＝，∴cos ∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝60°，
∴的长＝＝.
2．A　∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴－＝π－π＝.
3．【解析】设这个扇形的圆心角是n°，
∵一个扇形的半径为6，弧长为2π，
∴＝2π，
解得：n＝60，
即这个扇形的圆心角是60°.
答案：60
4．【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝4，
∴∠A＝45°，AC＝＝2，
∴S△ABC＝AC2＝4，S扇形＝＝π，
∴S阴影＝S△ABC－S扇形＝4－π.
答案：4－π
5．【解析】过C作CD⊥AB于D，

∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°.
∵AC＝2，∴AB＝2AC＝4，
BC＝＝＝2，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，
∴CD＝＝＝.
∵△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，
∴B′C＝BC＝2，AC＝A′C＝2，∠BCB′＝60°.
∵∠A＝60°，AC＝A′C，
∴△ACA′是等边三角形，
∴AA′＝AC＝2，
∵AB＝4，∴A′B＝4－2＝2＝AA′，
∴S阴影部分＝S扇形C BB′＋S△BCA′－S△A′CB′
＝＋×2×－×2×2＝2π－.
答案：2π－
6．【解析】∵△ABC是正三角形，边长为2，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴莱洛三角形的周长为＋＋＝2π.

答案：2π
7．【解析】(1)①在△AOE和△POC中，
∴△AOE≌△POC(SAS)；
②∵△AOE≌△POC，∴∠E＝∠C，
∵∠1＋∠E＝∠2，∴∠1＋∠C＝∠2.
(2)当∠C最大时，CP与小半圆相切，如图，

∵OC＝2OA＝2，∴OC＝2OP，
∵CP与小半圆相切，∴∠OPC＝90°，
∴∠OCP＝30°，
∴∠DOE＝∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴S扇形ODE＝＝π.
【易错必究】
·易错点
【案例】【解析】∵AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，
∴AD＝10 cm，
∴贴纸的面积为S＝2×(S扇形ABC－S扇形ADE)
＝2×(－)＝350π(cm2).
答案：350π cm2
阶段专项提升练五　圆的有关计算和证明
【典例1】【解析】连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝1.

∴GE＝，OG＝.
∴C(，－).
答案：(，－)
【变式1】【解析】连接OC，OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，

∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°－∠CPD＝90°－36°＝54°.
答案：54
【变式2】【解析】如图，

∵四边形CDEF为正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5－0.25×2＝2，∴CD＝2×＝，
∴正方形CDEF的周长为4尺．
答案：4
【典例2】【解析】FA1的长＝＝，
A1B1的长＝＝，
B1C1的长＝＝，C1D1的长＝＝，
D1E1的长＝＝，E1F1的长＝＝，
∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度＝＋＋…＋＝＝7π.
答案：7π
【变式1】A　∠AOB＝360°－270°＝90°，则∠ABO＝45°，
则∠OBO1＝45°，
O旋转的长度是：2×＝π，
O移动的距离是：＝π，
则圆心O所经过的路线长是：π＋π＝6π.
【变式2】【解析】(1)∵△OPE的内心为M，
∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，
∴∠PMO＝180°－∠MPO－∠MOP
＝180°－(∠EOP＋∠OPE)，
∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，
∴∠PMO＝180°－(∠EOP＋∠OPE)
＝180°－(180°－90°)＝135°.

(2)如图，∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO＝∠PMO＝135°，
所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(和)；点M在扇形BOC内时，过C，M，O三点作⊙O′，连接O′C，O′O，
在优弧CO上取点D，连接DC，DO，
∵∠CMO＝135°，
∴∠CDO＝180°－135°＝45°，
∴∠CO′O＝90°，
而OA＝4 cm，
∴O′O＝OC＝×4＝2(cm)，
∴弧OMC的长＝＝ π(cm).
同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为 π cm，
所以内心M所经过的路径长为2× π＝2 π(cm).
【典例3】【解析】连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝8，∴⊙O的半径为8.
∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝∠AOD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵DC⊥BE于点C，
∴CD＝OD＝4，OC＝OD＝4，∴BC＝8＋4＝12，
S阴影＝S△AOB＋S扇形OAD＋S扇形ODE－S△BCD＝×8×4＋2×－×12×4＝－8.
答案：－8
【变式1】D　∵点E为BC的中点，且AE⊥BC，
∴AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，
∴∠B＝60°，BE＝EC＝BC＝2，
∴AE＝＝＝2，
∴S菱形ABCD＝BC·AE＝8，
S扇形AGH＋S扇形BEH＋S扇形CEF＋S扇形DGF＝π·22＝4π，
∴图中阴影部分的面积是：8－4π.

【变式2】A　连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，

CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝10π，
∴图中阴影部分的面积为10π.
【变式3】【解析】如图，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝2.
∠ABD＝∠ADB＝60°，∴BO＝DO＝.
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，
∴BO＝OE＝OD＝OF，
∴△BEO，△DFO是等边三角形，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，∴∠EOF＝60°，
∴阴影部分的面积＝2×(S△ABD－S△DFO－S△BEO－S扇形OEF)＝2×(×12－×3－×3－)
＝3－π.
答案：3－π
【变式4】【解析】连接OC，

∵DB，DC为切线，B，C为切点，
∴DB＝DC.
又DB＝BC＝6，
∴△BCD为等边三角形．
∴∠BOC＝360°－90°－90°－60°＝120°，
∵弦BC⊥OD交⊙O于点C，
∴∠OMB＝90°，
∴∠OBM＝90°－60°＝30°，且BM＝3.
∴OM＝，OB＝2.
∴S阴影部分＝S扇形OBC－S△OBC
＝－×6×＝4π－3(cm2).
【变式5】解析见正文