初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系练习题

3.4.1 弧、弦、圆心角

1．下列命题中，正确的是（　　）

A．圆心角相等，所对的弦相等 B．三点确定一个圆

C．长度相等的弧是等弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心

【答案】D

【分析】

根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．

【详解】

解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；

B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；

C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；

D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．

2．下列四个命题：

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．

真命题的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，

真命题有3个，

故选：C．

【点睛】

考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．

3．如图，中，弦相交于点，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据三角形外角的性质得出的度数，然后根据圆周角定理可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质以及圆周角定理，熟知同弧或等弧所对的圆周角相等是解本题的关键．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（    ）

A．52° B．26° C．64° D．128°

【答案】A

【分析】

先利用直角三角形的两锐角互余得出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解即可．

【详解】

解：，，

，

，

，

，

的度数为．

故选A．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对弧的度数是解题的关键．

5．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】

先根据圆心角的性质可得，继而求出，根据等腰三角形的性质可得，根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】

∵，，

∴，

∴，

∵，为中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，

故选B．

【点睛】

本题主要考查圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理.

6．已知中，，则弦和的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】C

【分析】

根据弦和弧之间关系和三角形三边关系即可求证.

【详解】

如图，取的中点，则，

∵，

∴，

∴，

∵ ，

∴ ．

故选C.

【点睛】

本题主要考查弦和弧之间关系和三角形三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握弦和弧之间关系和三角形三边关系.

7．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．到、的距离相等

【答案】A

【分析】

根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．

【详解】

在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，

∵，AO=DO=BO=CO

∴（SSS）

可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；

而由题意不能推出，故A项结论错误．

故选：A

【点睛】

此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．

8．如图，为的直径，C，D为上的两点，且C为的中点，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据垂径定理的推论，可得 ，又由，可求出，即可求解．

【详解】

解：∵为的直径，且C为的中点，

∴ ，

∵，

∴ ，

∵ ，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，能得到是解题的关键．

9．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】A

【分析】

设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解．

【详解】

解：如图，设DE交OB于点M，

∵点F是弧的中点，

∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE，

∴DE=2DM，

∴∠EDO=∠DEO= （180°-60°-60°）=30°，

∵的半径是4，

∴OM= OD=2，

在 中，由勾股定理得：

，

∴DE=2DM= ．

故选：A．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

10．如图，半径为5的⊙A中，弦所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（    ）

A． B． C．4 D．3

【答案】D

【分析】

作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3.

【详解】

解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∠BAC+∠BAF=180°，

∴∠DAE=∠BAF，

∴，

∴DE=BF=6，

∵AH⊥BC，

∴CH=BH，

而CA=AF，

∴AH为△CBF的中位线，

∴AH=BF=3，

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，解题的关键是熟练运用相应的定理．

11．如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．

【答案】一定

【分析】

根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．

【详解】

解：∵∠1=∠2，

∴AB=AC,

∴=，

故答案为：一定．

【点睛】

本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．

12．如图，点，，，，，分别在上，，，连接，．与全等吗？为什么？

【答案】与全等，见解析

【分析】

由AC＝BD，CE＝DF，根据弦与弧的关系，可得，，则可证得，继而可得AE＝BF，然后利用SSS证得△ACE与△BDF全等．

【详解】

理由：∵，，

∴，，

∴，即，

∴，

在和中，，

∴．

【点睛】

此题考查了弦与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

13．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．若，求的度数．

【答案】65°．

【分析】

连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．

【详解】

解：如图，连接AD．

∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，

∴∠ACD＝70°．

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝70°，

∴∠CAD＝180°−70°−70°＝40°，

∴∠DAE＝90°−40°＝50°．

又∵AD＝AE，

∴∠DEA＝∠ADE＝（180°−50°）＝65°．

【点睛】

本题直角三角形两锐角互余，圆的半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

14．如图，在中，，是两条弦，，，垂足分别为，．

（1）如果，那么与相等吗？说明理由；

（2）如果，那么与相等吗？与相等吗？与呢？

【答案】（1）相等，见解析；（2），，，见解析

【分析】

（1）求出∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE＝OF．

（2）证，推出，根据垂径定理求出AB＝CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．

【详解】

解：（1）解：OE＝OF，

理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，

∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠EOB＝∠FOD，

∵在△EOB和△FOD中，

∴△EOB≌△FOD（AAS），

∴OE＝OF．；

（2），，．

理由：∵，，

∴，

又∵，，∴，

∴，

∵，，，，

∴，，

∴，∴，．

【点睛】

本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

15．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且 ．

（1）求证：AE＝BF；

（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．

【答案】（1）见解析；（2）．

【分析】

（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；

（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

【详解】

（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠B，

∵，

∴∠AOE＝∠BOF，

在△AOE和△OBF中，

，

∴△AOE≌△BOF（ASA），

∴AE＝BF．

（2）解：连接OA，如图2所示：

∵OM⊥AB，

∴AM＝AB＝6，

设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，

在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝(x+3)2，

解得：x＝，

∴OM＝．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．