2022-2023学年河北省石家庄中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年河北省石家庄中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，计算题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
　一、选一选：
1. 在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A. 支出20元与支出30元 B. 上升了6米和后退了7米
C. 卖出10斤米和盈利10元 D. 向东行30米和向北行30米
2. 下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（　　）
A. a2﹣1 B. a2+1 C. a2﹣2a+1 D. a2+2a+1
3. 已知点A(m，1)与点B（5，n）关于原点对称，则m和n的值为
A. m=5，n=－1 B. m=－5，n=1 C. m=－1，n=－5 D. m=－5，n=－1
4. 已知，则的值是
A. B. － C. 2 D. －2
5. 若y=x+2–b是反比例函数，则b的值是( )
A. 0 B. –2 C. 2 D. –0.5
6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O与AD、BC分别相交于E、F．若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）

A. 16 B. 14 C. 10 D. 12
7. 使有意义x的取值范围是（    ）
A. x＞ B. x＞- C. x≥ D. x≥-
8. 如图，四个图形是由立体图形展开得到，相应的立体图形依次是（　　）

A. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
9. 在中作边上的高，下列画确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（　　）

A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 2：3：4 D. 3：4：5
11. 点A，B在数轴上的地位如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：甲：b﹣a＜0；乙：a+b＞0；丙：|a|＜|b|；丁：ab＞0，其中正确的是（　　）

A 甲、乙 B. 丙、丁 C. 甲、丙 D. 乙、丁
12. 已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
13. 直角三角形两个直角边长分别是3、4，则这个直角三角形的第三边是（ ）
A. 5 B. C. 5或 D. 无法确定
14. 已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（　　）
A. 1                                            B. 2                                            C. 3                                            D. 4
15. 如图，下列条件使△ACD∽△ABC 成立的是（ ）

A. B. C. AC2＝AD·AB D. CD2＝AD·BD
16. 如图，正方形ABCD边长为4，点P从点A运动到点B，速度为1，点Q沿B﹣C﹣D运动，速度为2，点P、Q同时出发，则△BPQ的面积y与运动工夫t（t≤4）的函数图象是（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题：
17. 若，则x=_______；若=6，则x=_____．
18. 已知可分解因式为，其中、均为整数，则_____.
19. 如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC,并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间构成的暗影部分的面积为________．

三、计算题：
20. 26﹣（﹣+）×（﹣6）2．
21. 100÷（﹣2）2﹣（﹣2）÷（﹣ ）．
四、解 答 题：
22. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．
求证：BD=CE．

23. 如图，在等边△ABC中，DE分别是AB，AC上的点，且AD=CE．
（1）求证：BE=CD；
（2）求∠1+∠2的度数．

24. 在四张编号为A，B，C，D卡片（除编号外，其余完全相反）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．
（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；
（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？

25. “六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如表所示
型 号
A
B
C
进价（元/套）
40
55
50
售价（元/套）
50
80
65
（1）用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需求另外支出各种费用200元．
①求出利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；②求出利润的值，并写出此时三种玩具各多少套．
26. 如图，某翼装飞行员从离程度地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的程度距离BC（结果到1m）．

27. 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1，B(3,0),C(0,-3)，
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上能否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差？若存在，求出P点坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．


























2022-2023学年河北省石家庄中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选：
1. 在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A. 支出20元与支出30元 B. 上升了6米和后退了7米
C. 卖出10斤米和盈利10元 D. 向东行30米和向北行30米
【正确答案】A

【分析】根据正负数是表示一对意义相反的量，可以辨别出只要支出与支出表示的意义符合．
【详解】解：∵支出与支出表示的是一对意义相反的量，故选项A正确，符合题意；
∵上升了6米和后退了7米表示的不是一对意义相反的量，故选项B不正确，不符合题意；
∵卖出10斤米和盈利10元表示的不是一对意义相反的量，故选项C不正确，不符合题意；
∵向东行30米和向北行30米表示的不是一对意义相反的量，故选项D不正确，不符合题意，
故选A
此题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．
2. 下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（　　）
A. a2﹣1 B. a2+1 C. a2﹣2a+1 D. a2+2a+1
【正确答案】C

【分析】

【详解】由于（﹣a+1）2=a2-2a+1，故选C
3. 已知点A(m，1)与点B（5，n）关于原点对称，则m和n的值为
A. m=5，n=－1 B. m=－5，n=1 C. m=－1，n=－5 D. m=－5，n=－1
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据原点对称的点的特点，横纵坐标均互为相反数，可知m=-5，n=-1.
故选D.
4. 已知，则的值是
A. B. － C. 2 D. －2
【正确答案】D

【详解】分析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可．
解答：解：∵，
∴-=，
∴=，
∴=-2．
故选D．
5. 若y=x+2–b是反比例函数，则b的值是( )
A. 0 B. –2 C. 2 D. –0.5
【正确答案】C

【分析】根据反比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可．
【详解】解：由反比例函数的定义可得：2-b=0，
解得：b=2．
故选C．
考查了反比例函数的定义，解题关键是掌握反比例函数的定义条件：反比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O与AD、BC分别相交于E、F．若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）

A. 16 B. 14 C. 10 D. 12
【正确答案】D

【分析】由题意根据平行四边形的性质可知AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，所以△OAE≌△OCF，所以OF=OE=1.5，CF=AE，所以四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF，进而计算求出周长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，
∴△OAE≌△OCF，
∴OF=OE=1.5，CF=AE，
∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE
=ED+AE+CD+OE+OF
=AD+CD+OE+OF
=4+5+1.5+1.5
=12．
故选：D．
本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．

7. 使有意义的x的取值范围是（    ）
A. x＞ B. x＞- C. x≥ D. x≥-
【正确答案】C

【详解】由题意得：3x－1≥0，
解得x≥．
故选C．
8. 如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形依次是（　　）

A. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
【正确答案】C

【详解】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形依次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥．故选C．
9. 在中作边上的高，下列画确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】作哪一条边上的高,即从所对的顶点向这条边或这条边的延伸线作垂线段即可．三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
【详解】解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，
所以画确的是C选项
故选：C．
本题考查了本题考查了三角形的高的概念，解题的关键是正确作三角形一边上的高．
10. 如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（　　）

A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 2：3：4 D. 3：4：5
【正确答案】C

【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB、BC、AC的长分别12，18，24，∴S△OAB：S△OBC：S△OAC=AB：OB：AC=12：18：24=2：3：4．
故选C．
本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
11. 点A，B在数轴上的地位如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：甲：b﹣a＜0；乙：a+b＞0；丙：|a|＜|b|；丁：ab＞0，其中正确的是（　　）

A. 甲、乙 B. 丙、丁 C. 甲、丙 D. 乙、丁
【正确答案】C

【详解】试题解析: 甲正确.
乙错误.
丙正确.
丁错误.
故选C.
12. 已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题解析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时，
由题意得，．
故选B．
13. 直角三角形两个直角边长分别是3、4，则这个直角三角形的第三边是（ ）
A. 5 B. C. 5或 D. 无法确定
【正确答案】A

【分析】3、4均为直角边,可根据勾股定理求第三边长．
【详解】解：∵3、4的边都是直角边：
∴第三边的长为：＝5；
故选A．
此题次要考查的是勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的运用.
14. 已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（　　）
A. 1                                            B. 2                                            C. 3                                            D. 4
【正确答案】D

【分析】
【详解】∵，是方程，
∴，，，，
则
=
=
=4．
故选：D．
考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．
15. 如图，下列条件使△ACD∽△ABC 成立的是（ ）

A. B. C. AC2＝AD·AB D. CD2＝AD·BD
【正确答案】C

【详解】试题分析：本题次要考查的就是三角形类似的判定，本题根据有一个角相等，且对应角的两边对应成比例，则两个三角形类似可以得出答案.根据题意可得∠A为公共角，则要使三角形类似则必须满足=.
点晴：本题次要考查的就是三角形类似的判定定理，在有一个角相等的情况下，必须是角的两边对应成比例，如果不是角的两边对应成比例，则这两个三角形不类似；类似还可以利用有两个角对应相等的两个三角形全等.
16. 如图，正方形ABCD边长为4，点P从点A运动到点B，速度为1，点Q沿B﹣C﹣D运动，速度为2，点P、Q同时出发，则△BPQ的面积y与运动工夫t（t≤4）的函数图象是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题解析：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，即0≤t≤2，
此时AP=t，BP=4﹣t，QB=2t，
故可得y=PB•QB=（4﹣t）•2t=﹣t2+4t，函数图象为开口向下的抛物线；
②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，即2＜t≤4
此时AP=t，BP=4﹣t，△BPQ底边PB上的高保持不变，为正方形的边长4，
故可得y=BP×4=﹣2t+8，函数图象为直线．
综上可得全过程的函数图象，先是开口向下的抛物线，然后是直线；
故选B．
二、填 空 题：
17. 若，则x=_______；若=6，则x=_____．
【正确答案】 ①. ﹣ ②. ±216

【详解】由于x的立方等于，所以x=；由于|x|的立方等于6，所以|x|=216，所以x=±216.
故答案为 (1). ﹣ (2). ±216
18. 已知可分解因式为，其中、均为整数，则_____.
【正确答案】．

【详解】首先提取公因式3x﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a、b的值，从而可算出a+3b的值：
∵，
∴a=－7，b=－8．∴．
19. 如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC,并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间构成的暗影部分的面积为________．

【正确答案】80π-160

【分析】先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据类似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则成绩得解．
【详解】解：连接AC，

∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴，
∵AE=6，EF=8，FC=10，
∴

∴EM=3，FM=5，
在Rt△AEM中，AM=，
在Rt△FCM中，CM=，
∴AC=8，
在Rt△ABC中，AB=ACsin45°=8·，
∴S正方形ABCD=AB2=160，
圆的面积为： =80π，
∴正方形与其外接圆之间构成的暗影部分的面积为80π-160．
故答案为80π-160．
此题考查了类似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的运用．此题综合性较强，解题时要留意数形思想的运用.
三、计算题：
20. 26﹣（﹣+）×（﹣6）2．
【正确答案】25

【详解】试题分析：
先算乘方，再用乘法的分配律运算，留意去括号时符号的变化.
试题解析：
原式=26﹣（﹣+）×36=26﹣28+33﹣6=25．
21. 100÷（﹣2）2﹣（﹣2）÷（﹣ ）．
【正确答案】22

【详解】试题分析：
留意运算顺序，先乘方，再除法，做减法.
试题解析：
解：原式=100÷4﹣3=25﹣3=22．
四、解 答 题：
22. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．
求证：BD=CE．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：
由于AD=AE，故需证AB=AC，即证△ADC≌△AEB，有AD=AE，公共角∠A，再根据条件找一个角相等即可.
试题解析：
证明：∵∠ADC+∠BDC=180°，∠BEC+∠AEB=180°，
又∵∠BDC=∠CEB，
∴∠ADC=∠AEB．
在△ADC和△AEB中，
∠A=∠A（公共角），AD=AD（已知），∠ADC=∠AEB（已证），
∴△ADC≌△AEB（ASA）．
∴AB=AC．
∴AB﹣AD=AC﹣AE．
即BD=CE．
23. 如图，在等边△ABC中，DE分别是AB，AC上的点，且AD=CE．
（1）求证：BE=CD；
（2）求∠1+∠2的度数．

【正确答案】（1）见解析；（2）60°．

详解】试题分析：
（1）证这两条线段所在的两个三角形全等，即△ACD≌△CBE（SAS）；
（2）由△ACD≌△CBE可得∠1=∠ACD，等边三角形的性质即可.
试题解析：
（1）证明：∵△ABC等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
AC=BC，∠A=∠BCE，AD=CE，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴BE=CD；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴∠1=∠ACD，
∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°．
24. 在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相反）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．
（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；
（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？

【正确答案】（1）；（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．

【详解】试题分析：
（1）根据等可能的概率的定义，分别确定总的可能性和是勾股数的情况的个数；
（2）用列表法列举出一切的情况和两张卡片上的数都是勾股数的情况即可.
试题解析：
（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=；
（2）列表法：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由列表可知，两次抽取卡片的一切可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，
∴P2=，
∵P1=，P2=，P1≠P2
∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．
25. “六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如表所示
型 号
A
B
C
进价（元/套）
40
55
50
售价（元/套）
50
80
65
（1）用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需求另外支出各种费用200元．
①求出利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；②求出利润的值，并写出此时三种玩具各多少套．
【正确答案】当x取值23时，P有值，值为595元．此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．

【详解】试题分析：
（1）利用三种玩具的总和是50套可求解；
（2）总费用是2350列方程可得y与x之间的函数关系式；
（3）①根据利润=支出﹣进价﹣其它费用列出p与x之间的函数关系式；
②根据题意确定自变量x的取值范围，由函数的性质可得到值，从而求解.
解：（1）已知共购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，故购进C种玩具套数为：50﹣x﹣y；
（2）由题意得40x+55y+50（50﹣x﹣y）=2350，整理得y=2x﹣30；
（3）①利润=支出﹣进价﹣其它费用，
故：p=（50﹣40）x+（80﹣55）y+（65﹣50）（50﹣x﹣y）﹣200，
又∵y=2x﹣30，
∴整理得p=15x+250，
②购进C种电动玩具的套数为：50﹣x﹣y=50﹣x﹣（2x﹣30）=80﹣3x，
据题意列不等式组，解得20≤x≤，
∴x的范围为20≤x≤，且x为整数，故x的值是23，
∵在p=15x+250中，k=15＞0，
∴P随x的增大而增大，
∴当x取值23时，P有值，值为595元．此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．
点睛：本题次要考查了与函数的性质相的函数的实践运用，解题中要打破两个难点，一是要经过理解题意得到利润=支出﹣进价﹣其它费用，二是题意确定自变量x的取值范围.
26. 如图，某翼装飞行员从离程度地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的程度距离BC（结果到1m）．

【正确答案】1575米

【详解】如图，过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F，

∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形，
∴EC＝DF．
在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1600．
∴AE＝AD·sin∠ADE＝1600sin15°，
DE＝AD·cos∠ADE＝1600cos15°，
∵EC＝AC－AE，∴EC＝500－1600sin15°．
在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝ECtan15°，
∴BC＝CF＋BF＝1600cos15°＋（500－1600sin15°）·tan15°≈1575．
∴运动员飞行的程度距离约为1575米．

27. 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1，B(3,0),C(0,-3)，
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上能否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差？若存在，求出P点坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

【正确答案】（1）y=x2-2x-3；（2）点P的坐标(1,-6)．（3）或

【详解】试题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得该抛物线的解析式．（2）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，若P到B、C的距离差，那么P点必为直线AC与抛物线对称轴的交点，可先求出直线AC的解析式，联立抛物线对称轴方程，即可得到点P的坐标．(3) 根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；(需留意的是圆心可能在轴上方，也可能在轴下方,需求分类讨论)
试题解析：
（1）将C(0,-3)代入y=ax2+bx+c，得 c=3．
将c＝3，B(3,0)代入y=ax2+bx+c，得 ．∵是对称轴，∴
将（2）代入（1）得：， ．所以，二次函数得解析式是．
（2）AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差的点．
∵C点的坐标为(0,-3)，A点的坐标为(-1,0)，
∴ 直线AC的解析式是，又对称轴为，∴ 点P的坐标(1,-6)．
（3）设，所求圆半径为r，则 ，
∵ 对称轴为， ∴．由（1）、（2）得：．
将代入解析式，得 ，
整理得： ．由于当时，，
解得，， （舍去），
当时，，解得， ， （舍去）．
所以圆的半径是或．
点睛：此题考查了二次函数解析式的确定,切线的性质等知识,综合性强,能力要求较高.考查先生数形的数学思想方法.















2022-2023学年河北省石家庄中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A. 2与 B. （﹣1）2与1 C. ﹣1与（﹣1）2 D. 2与|﹣2|
2. 设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c大小关系是（　　）
A. b＞c＞a B. c＞a＞b C. a＞b＞c D. b＞a＞c
3. 中国京剧脸谱艺术是广大戏曲爱好者非常喜欢的艺术门类，在国内外流行的范围相当广泛，曾经被大家公认为是汉民族传统文明的标识之一. 下列脸谱中，属于轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4. 如右图是用八块完全相反的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）

A. B.
C. D.
5. 如图，已知直线a∥b，则∠1+∠2﹣∠3=（　　）

A. 180° B. 150° C. 135° D. 90°
6. 下列各数中最小的数是（　　）
A. B. ﹣1 C. D. 0
7. 小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上一切先生投进球数的扇形统计图．根据图，下列关于班上一切先生投进球数的统计量，正确的是（　　）

A. 中位数为3 B. 中位数为2.5
C. 众数5 D. 众数为2
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（　　）

A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对
9. 如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
10. 定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式左边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识处理成绩：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0
11. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则暗影部分的面积为（　　）

A. 12π B. 6π C. 9π D. 18π
12. 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现毛病后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度前往A地，甲车以2a千米/时的速度前往A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的工夫为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用工夫为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（　　）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
13. 已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是(　　)

A. B. C. D.
14. 如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（　　）

A. B. C. D.
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（　　）

A. B. 2﹣2 C. 2﹣2 D. 4
16. 已知函数f（x）=x2+λx，p、q、r为△ABC的三边，且p＜q＜r，若对一切的正整数p、q、r都满足f（p）＜f（q）＜f（r），则λ的取值范围是（　　）
A. λ＞﹣2 B. λ＞﹣3 C. λ＞﹣4 D. λ＞﹣5
二、填 空 题
17. 64立方根是_______．
18. 如图所示，此时树的影子是在_____（填太阳光或灯光）下的影子．

19. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），过A作AA1⊥OB，垂足为点A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；则A2A3=_____；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样不断作下去，则A2017的纵坐标为_____．

三、解 答 题
20. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
21. 在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相反）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．
（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；
（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？

22. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请处理下列成绩：

（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　°
（2）在探求等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．
23. 如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延伸交BD于D．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2cm，AC=3cm，求BD的长．

24. 两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延伸线上，经过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和地位关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想能否还成立，若成立，请证明，不成立请阐明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．

25. 在东东方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时辰测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西，且与相距的处；，又测得该轮船位于的北偏东，且与相距的处．
（1）求该轮船航行的速度．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请阐明理由．

26. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上能否存在一点P，使得△PBC的面积？若存在，求出△PBC面积的值；若不存在，请阐明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．







2022-2023学年河北省石家庄中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A. 2与 B. （﹣1）2与1 C. ﹣1与（﹣1）2 D. 2与|﹣2|
【正确答案】C

【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行逐一分析，看选项中的两个数和能否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．
【详解】解：A、2+＝；
B、（﹣1）2+1＝2；
C、﹣1+（﹣1）2＝0；
D、2+|﹣2|＝4．
故选：C．
此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．
2. 设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（　　）
A. b＞c＞a B. c＞a＞b C. a＞b＞c D. b＞a＞c
【正确答案】A

【详解】∵b＞0，bc＞a2≥0，
∴c≥0，
∵a2﹣2ab+c2=0，
∴c2=2ab﹣a2=a（2b﹣a）≥0，
若a＜0，则﹣a＞0，2b﹣a＞0，
∴a（2b﹣a）＜0，
这与a（2b﹣a）≥0相矛盾，
∴a≥0，
∵b2+c2≥2bc＞2a2，
∴b2﹣a2+2ab＞2a2，
∴b2﹣3a2+2ab＞0，
∴（b+3a）（b﹣a）＞0，
∵b＞0，a≥0，b+3a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴b＞a，
∵a2+c2=2ab，
∴a2﹣2ac+c2=2ab﹣2ac，
∴（a﹣c）2=2a（b﹣c）≥0，
∴b≥c，
若b=c，则a2﹣2ab+c2=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2=0，
∴a=b，bc=a2，
这与bc＞a2相矛盾，
∴b＞c，
∵a2+c2=2ab，
∴c2=a（2b﹣a）＞a（2a﹣a）=a2，
即c2＞a2，
∴c＞a，
综上可知：b＞c＞a．
故答案为A．
3. 中国京剧脸谱艺术是广大戏曲爱好者非常喜欢的艺术门类，在国内外流行的范围相当广泛，曾经被大家公认为是汉民族传统文明的标识之一. 下列脸谱中，属于轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】A. 不是轴对称图形；B. 是轴对称图形；C. 不是轴对称图形；
D. 不是轴对称图形；故选B.
4. 如右图是用八块完全相反的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，留意一切从正面看到的棱都应表如今主视图中.
【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.

故选B．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.
5. 如图，已知直线a∥b，则∠1+∠2﹣∠3=（　　）

A. 180° B. 150° C. 135° D. 90°
【正确答案】A

【详解】解：如图所示：

∵a∥b，
∴∠2+∠4=180°，
∵∠4=∠5，
∴∠2+∠5=180°，
∵∠1=∠3+∠5，
∴∠1+∠2﹣∠3=180°，
故选A．
6. 下列各数中最小的数是（　　）
A. B. ﹣1 C. D. 0
【正确答案】C

【详解】根据实数比较大小的方法，可得
﹣＜﹣＜﹣1＜0，
∴各数中最小的数是：﹣．
故选C．
7. 小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上一切先生投进球数的扇形统计图．根据图，下列关于班上一切先生投进球数的统计量，正确的是（　　）

A. 中位数为3 B. 中位数为2.5
C. 众数为5 D. 众数为2
【正确答案】D

【详解】由图可知：班内同窗投进2球的人数最多，故众数为2；
由于不知道每部分的具体人数，所以无法判断中位数．
故选D.
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（　　）

A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对
【正确答案】C

【详解】试题解析：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；
由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；
共有6对相等的角．
故选C．

9. 如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：设∠ABE=x，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，
所以50°+x+x=90°，
解得x=20°．
故选B．
10. 定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式左边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识处理成绩：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0
【正确答案】B

【详解】∵2☆a的值小于0，
∴22•a+a＜0，解得a＜0，
∴△=b2﹣4×2×a＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根．
故选B．
11. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则暗影部分的面积为（　　）

A. 12π B. 6π C. 9π D. 18π
【正确答案】B

【分析】根据图形分析可得求图中暗影部分面积实为求扇形部分面积，将原图暗影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【详解】解：如图所示：连接BO，CO，OA，

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴OA∥BC，
∴S△ABC=S△OBC，
∴S阴=S扇形OBC
∴图中暗影部分面积为：S扇形OBC==6π．
故选B．
12. 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现毛病后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度前往A地，甲车以2a千米/时的速度前往A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的工夫为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用工夫为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（　　）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】A

【详解】解：①由函数图象，得a=120÷3=40，
故①正确，
②由题意，得5.5﹣3﹣120÷（40×2），
=2.5﹣1.5，
=1．
∴甲车维修的工夫为1小时；
故②正确，
③如图：

∵甲车维修的工夫是1小时，
∴B（4，120）．
∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达．
∴E（5，240）．
∴乙行驶速度为：240÷3=80，
∴乙前往的工夫为：240÷80=3，
∴F（8，0）．
设BC的解析式为y1=k1t+b1，EF的解析式为y2=k2t+b2，由图象得，
，，
解得，，
∴y1=80t﹣200，y2=﹣80t+640，
当y1=y2时，
80t﹣200=﹣80t+640，
t=5.25．
∴两车在途中第二次相遇时t的值为5.25小时，
故弄③正确，
④当t=3时，甲车行的路程为：120km，乙车行的路程为：80×（3﹣2）=80km，
∴两车相距路程为：120﹣80=40千米，
故④正确，
故选A．
13. 已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是(　　)

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE=PE，PF=CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．
则y=2x，为反比例函数．
故选A．
14. 如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】如图所示：分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴

∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴；
设B（﹣m，），A（n，），
则BM=，AN=，OM=m，ON=n，
∴mn=，mn=；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=①；
∵△BOM∽△OAN，
∴②，
由①②知tan∠OAB=.
故选B．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（　　）

A. B. 2﹣2 C. 2﹣2 D. 4
【正确答案】B

【详解】如图，

∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′地位时，线段CE取得最小值，
∵AB=4，
∴OA=OB=OE′=2，
∵BC=6，
∴OC=，
则CE′=OC﹣OE′=﹣2，
故选B．
次要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键．
16. 已知函数f（x）=x2+λx，p、q、r为△ABC的三边，且p＜q＜r，若对一切的正整数p、q、r都满足f（p）＜f（q）＜f（r），则λ的取值范围是（　　）
A. λ＞﹣2 B. λ＞﹣3 C. λ＞﹣4 D. λ＞﹣5
【正确答案】D

【详解】∵f（r）﹣f（q）＞0，
r2+λr﹣（q2+λq）=r2﹣q2+λr﹣λq=（r+q）（r﹣q）+λ（r﹣q），
=（r﹣q）（r+q+λ）＞0①
又∵q＜r，
∴（r+q+λ）＞0，λ＞﹣（r+q），
同理，（q﹣p）（q+p+λ）＞0②，
又∵p＜q，
∴（q+p+λ）＞0，λ＞﹣（p+q），
（r﹣p）（r+p+λ）＞0③
又∵p＜r，
∴（r+p+λ）＞0，λ＞﹣（r+q）
又∵p＜q＜r，
∴λ为﹣（p+q），
p、q、r三者均为正整数，p＜q＜r，且p、q、r为△ABC的三边，即需满足p+q＞r，
∴p的最小值应为2（如P为1，q可为2，r可为3，1+2=3，不满足p+q＞r的条件），则q的最小值应为3，
∴λ＞﹣5
故选D．
运用了二次函数的增减性（单调性）．
二、填 空 题
17. 64的立方根是_______．
【正确答案】4

【分析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】解：∵43=64，
∴64立方根是4，
故4.
此题次要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
18. 如图所示，此时树的影子是在_____（填太阳光或灯光）下的影子．

【正确答案】太阳光

【详解】此时的影子是在太阳光下（太阳光或灯光）的影子，
理由是：经过作图发现相应的直线是平行关系．
故答案为太阳光
19. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），过A作AA1⊥OB，垂足为点A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；则A2A3=_____；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样不断作下去，则A2017的纵坐标为_____．

【正确答案】 ①. ②. ()2017

【详解】∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴OA1=OA=，OA2=OA1═，OA3=OA2═，OA4=OA3═，…，
∴OAn=OA=2．
∵∠AOB=30°，
∴A2A3=OA2=，
∴A2017A2018=OA2017=．
故答案为；．
考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”图形找出变化规律OAn=OA=2()n是解题的关键．
三、解 答 题
20. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【正确答案】-

【分析】先化简，再解不等式组确定x的值，代入求值即可.
【详解】（﹣）÷，
=÷
=
解不等式组，
可得：﹣2＜x≤2，
∴x=﹣1，0，1，2，
∵x=﹣1，0，1时，分式有意义，
∴x=2，
∴原式==﹣．
21. 在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相反）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．
（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；
（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？

【正确答案】（1）；（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．

【详解】试题分析：
（1）根据等可能的概率的定义，分别确定总的可能性和是勾股数的情况的个数；
（2）用列表法列举出一切的情况和两张卡片上的数都是勾股数的情况即可.
试题解析：
（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=；
（2）列表法：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由列表可知，两次抽取卡片的一切可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，
∴P2=，
∵P1=，P2=，P1≠P2
∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．
22. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请处理下列成绩：

（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　°
（2）在探求等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．
【正确答案】（1）140°，75°；（2）证明见解析；（3）见解析；（4）2或2．

【详解】试题分析：（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=75°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；
（2）连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（3）根据等对角四边形的定义画出图形即可求解；
（4）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延伸AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；
②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．
试题解析：
（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，
∴∠D=∠B=75°，
∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°；
（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD；
（3）如图所示：
（4）解：分两种情况：
①当∠ADC=∠ABC=90°时，延伸AD，BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=10，
∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2，
∴AC=；
②当∠BCD=∠DAB=60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=AD=2，
∴DM=2，
∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN=BM=3，BN=DM=2，
∵∠BCD=60°，
∴CN=，
∴BC=CN+BN=3，
∴AC=．
综上所述：AC的长为或．
故答案为140，75．


四边形综合标题：考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需求进行分类讨论，经过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．
23. 如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延伸交BD于D．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2cm，AC=3cm，求BD的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）根据题意得出AB平分CE，由垂径定理得推论得出AB⊥CE，再由BD∥CE，得出BD是⊙O的切线；
（2）连接BE，则∠AEB=90°，在直角三角形中，利用三角函数的定义求得AD，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出BD的长．
试题解析：
（1）证明：
∵AB是直径，（1分）
∴AB⊥CE
∵BD∥CE，
∴DB⊥AB，
∴BD是⊙O的切线
（2）解：连接BE，∵AB为⊙O的直径（4分），
∴∠AEB=90°
∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝
∴在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，

∴
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝．

24. 两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延伸线上，经过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和地位关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想能否还成立，若成立，请证明，不成立请阐明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．

【正确答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．

【详解】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，即可推出答案；
（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．
试题解析：
（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案为相等，垂直．
（2）答：成立，
证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．

（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，
同（1）可证
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°﹣90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，FH⊥FG，
结论是FH=FG，FH⊥FG.
运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能纯熟地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
25. 在东东方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时辰测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西，且与相距的处；，又测得该轮船位于的北偏东，且与相距的处．
（1）求该轮船航行的速度．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请阐明理由．

【正确答案】（1）；（2）轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸．

【分析】（1）根据，由勾股定理可求出BC的长度，航速=路程/工夫即可；
（2）作，，垂足分别为、，设直线交于点，根据已知条件和构造的直角三角形，求出BD、CE、AE的长度，再根据，分别求出EF、AF的长，根据，得出轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸.
【详解】（1）由题意，得，∴．
∴轮船航行的速度为．
（2）能．作，，垂足分别为、，设直线交于点．

则，，．
∵，，∴．
又，∴．
∴．∴．
∴．∴．
∵，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸．
本题属于实践运用题，需求留意的是，的结论，要根据，得出轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头靠岸.
26. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上能否存在一点P，使得△PBC的面积？若存在，求出△PBC面积的值；若不存在，请阐明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求值．
【正确答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．

【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵