江苏省常州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试卷（AB卷）含解析

这是一份江苏省常州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试卷（AB卷）含解析，共57页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题一，解答二等内容，欢迎下载使用。
江苏省常州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试卷
（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 计算3×（﹣2）的结果是（　　）
A. 5 B. ﹣5 C. 6 D. ﹣6
2. 小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（ ）
A. 25% B. 50% C. 75% D. 85%
3. 已知等腰三角形两条边长分别是7和3,则这个三角形的第三条边长是
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
4. 一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，是由五个相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）

A. B. C. D.
6. 如图，内有一点D，且，若，则的大小是( )

A. B. C. D.
7. 如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）

A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B. 弦AC长等于圆内接正十二边形的边长
C.
D. ∠BAC＝30°
8. 没有等式的解集是（ ）
A. －＜x≤2 B. －3＜x≤2 C. x≥2 D. x＜－3
9. 如图，□ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）

A. 6 cm B. 12 cm C. 4 cm D. 8 cm
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③m＞2，其中正确结论的个数是（　　）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填 空 题（每题4分，共24分）
11. 分解因式： ________ ．
12. 如图，点M是函数与的图象在象限内的交点，OM=4，则k的值为_______．

13. 如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得与相似.（只需写出一个）

14. 如图，点A（t，3）在象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是________．

15. 若，则=_____．
16. 如图，在中，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留）

三、解 答 题一（每题6分，共18分）
17. 计算：（﹣1）0+|2﹣|+3tan30°
18. 先化简，再求值：（），其中x=﹣3．
19. 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：∠A的平分线AD，AD交BC于点D；（保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若点D恰好在线段AB的垂直平分线上，求∠A的度数．

四、解答二（每题7分，共21分）
20. 某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同.已知该厂今年月份的电冰箱产量为万台，月份比月份多生产了万台.
（1）求该厂今年产量月平均增长率为多少？
（2）预计月份的产量为多少万台？
21. 国家规定“中小学生每天在校体育时间没有低于1小时”．为此，我区就“你每天在校体育时间是多少”的问题随机了区内300名初中学生．根据结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h B组：0.5h≤t＜1h C组：1h≤t＜1.5h D组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
（1）C组的人数是　 　．
（2）本次数据的中位数落在　 　组内；
（3）若我区有5400名初中学生，请你估计其中达国家规定体育时间的人约有多少？

22. 如图，小丽准备测一根旗杆AB的高度，已知小丽的眼睛离地面的距离EC=1.5米，次测量点C和第二次测量点D之间的距离CD=10米，∠AEG=30°，∠AFG=60°，请你帮小丽计算出这根旗杆的高度．(结果保留根号)

23. 如图，，以OA、OB为边作平行四边形OACB，反比例函数的图象点C．
求k的值；
根据图象，直接写出时自变量x的取值范围；
将平行四边形OACB向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上．

24. 如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接.

（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，求线段长.
25.
已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．

解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若没有存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t值；若没有存在，说明理由．















江苏省常州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试卷
（A卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 计算3×（﹣2）的结果是（　　）
A. 5 B. ﹣5 C. 6 D. ﹣6
【正确答案】D

【分析】根据有理数的乘法法则解决此题．
【详解】3×（−2）
=-3×2
＝−6
故选D
本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
2. 小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（ ）
A. 25% B. 50% C. 75% D. 85%
【正确答案】B

【详解】抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果，
故正面朝上的概率=50%.
故选B.
3. 已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则这个三角形的第三条边长是
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
【正确答案】B

【详解】由题意分两种情况讨论如下：
①当7为腰长，3为底边时，三边为7、7、3，能组成三角形，故第三边的长为7，
②当3为腰长，7为底边时，三边为7、3、3，因为3+3=6＜7，所以此种情况没有能组成三角形．
综上所述，第三边的长为7．
故选B．
点睛：已知等腰三角形两边长，求第三边长时，需注意以下两点：（1）要分已知两边分别为腰这两种情况讨论；（2）求出第三边长后要用三角形三边间的关系进行检验，看是否能够围成三角形，再作结论.
4. 一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据待定系数法求解即可．
【详解】解：设函数的解析式是y＝kx，
根据题意得：2k＝﹣3，解得：k＝﹣．
故函数的解析式是：y＝﹣x．
故选：A．
本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．
5. 如图，是由五个相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左面可看到1列小正方形的个数为：3，
故选D．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6. 如图，内有一点D，且，若，则的大小是( )

A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和，得，所以，又，根据等腰三角形等边对等角的性质得出，进而得出结果．
【详解】延长BD交AC于E．
，
．
又，
，
．
故选A．

本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
7. 如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）

A. 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.
D. ∠BAC＝30°
【正确答案】D

【详解】A选项中，因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；
B选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；
C选项中，因为OC⊥AB，根据垂径定理可得，，故C正确；
D选项中，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC= ∠BOC=∠BOA=×60°=15°，故D错误．
故选D．
8. 没有等式的解集是（ ）
A. －＜x≤2 B. －3＜x≤2 C. x≥2 D. x＜－3
【正确答案】B

【详解】解：解没有等式，得x＞－3；
解没有等式2－x≥0，得x≤2，
所以原没有等式组的解集为－3＜x≤2．
故选：B
9. 如图，□ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）

A. 6 cm B. 12 cm C. 4 cm D. 8 cm
【正确答案】D

【详解】解：∵▱ABCD的周长是28cm，
∴AB+AD=14cm，
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+BC+AC=22cm，
∴AC=（AB+BC+AC）-（AB+AC）=22-14=8(cm)．
故选：D．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③m＞2，其中正确结论的个数是（　　）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】D

【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断对错目中的各个小题是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故①正确，
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知a＜0，c＞0，则ac＜0，故②正确，
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知该函数有值，值是y＝2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2，故③正确，
故选：D．
此题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形的思想解答．

二、填 空 题（每题4分，共24分）
11. 分解因式： ________ ．
【正确答案】a(x2-3y)(x2+3y)

【详解】解：ax4﹣9ay2=a（x4﹣9y2）
=a（x2﹣3y）（x2+3y）．
故答案为: a（x2﹣3y）（x2+3y）．
本题考查分解因式，掌握平方差公式进行因式分解是本题的解题关键.

12. 如图，点M是函数与的图象在象限内的交点，OM=4，则k的值为_______．

【正确答案】

【分析】根据题意，设M点的坐标为（x，x），由坐标系中两点之间的距离得出x=2，即可确定点M的坐标，然后代入反比例函数即可确定k的值．
【详解】解：根据题意，设M点的坐标为（x，x），
根据勾股定理可得，
解得x=2，
点M（2，）
将点M代入反比例函数可得k=，
故答案为．
题目主要考查函数与反比例函数综合，勾股定理等，理解题意，掌握函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
13. 如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得与相似.（只需写出一个）

【正确答案】DF∥AC，或∠BFD=∠A

【分析】
【详解】试题分析： DF//C，或∠BFD=∠A．
理由：∵，,
∴
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF//AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF//C，或∠BFD=∠A．
考点：相似三角形的判定
14. 如图，点A（t，3）在象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是________．

【正确答案】2

【分析】根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵点A（t，3）在象限，
∴AB=3，OB=t，
又∵tanα==，
∴t=2．
故答案为2．

15. 若，则=_____．
【正确答案】9

【详解】要使有意义，
必须，，
解得：x=3，
代入得：y=0+0+2=2，
∴==9．
故答案为9．

16. 如图，在中，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留）

【正确答案】

【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．
【详解】解： 设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=．
故．
三、解 答 题一（每题6分，共18分）
17. 计算：（﹣1）0+|2﹣|+3tan30°
【正确答案】3

【详解】试题分析：
代入30°角的正切函数值，0指数幂的意义和二次根式的运算法则进行计算即可.
试题解析：
原式=1+2-+=3．
18. 先化简，再求值：（），其中x=﹣3．
【正确答案】x+2,-1

【详解】试题分析：
先按分式的相关运算法则计算化简，再代值计算即可.
试题解析：
原式=
=
=
=.
当x=﹣3时，原式=﹣3+2=﹣1．
19. 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）求作：∠A的平分线AD，AD交BC于点D；（保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若点D恰好在线段AB的垂直平分线上，求∠A的度数．

【正确答案】(1)见解析；（2）60°

【详解】试题分析：
（1）先以点A为圆心，任意长为半径作弧交∠BAC两边于两个点，再分别以这两个点为圆心，大于这两个点间的距离的一半为半径作弧，两弧交于一点，过这一点作射线AD交BC边于点D，则射线AD为所求的点；
（2）由点D在AB的垂直平分线上可得AD=BD，由此即可得到∠B=∠DBA，平分∠CAB，即可得到∠B=∠DAB=∠DAC，∠B+∠DAB+∠DAC=90°，即可求得∠B=∠DAB=∠DAC=30°.
试题解析：
（1）如下图所示：AD即为所求：

（2）∵点D恰好在线段AB的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB=∠DAC，
∵∠B+∠DAB+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAB=∠DAC=30°，
∴∠BAC=60°．
四、解答二（每题7分，共21分）
20. 某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同.已知该厂今年月份的电冰箱产量为万台，月份比月份多生产了万台.
（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？
（2）预计月份的产量为多少万台？
【正确答案】（1）20%；（2）8.64万台．

【详解】试题分析：
（1）设每个月的月平均增长率为x，则5月的产量为5(1+x)台，6月份的产量为5(1+x)2台，由此即可根据6月份比5月份多生产1.2万台可得方程：5（1+x）2﹣5（1+x）=1.2
，解方程即可得到所求答案；
（2）根据（1）中所得结果即可按7月份的产量为5(1+x)3，即可计算出7月份的产量了.
试题解析：
（1）设该厂今年产量的月平均增长率是x，根据题意得：
5（1+x）2﹣5（1+x）=1.2
解得：x=﹣1.2（舍去），x=0.2=20%．
答：该厂今年的产量的月增长率为20%；
（2）7月份的产量为：5（1+20%）3=8.64（万台）．
答：预计7月份的产量为8.64万台．
21. 国家规定“中小学生每天在校体育时间没有低于1小时”．为此，我区就“你每天在校体育时间是多少”的问题随机了区内300名初中学生．根据结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h B组：0.5h≤t＜1h C组：1h≤t＜1.5h D组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
（1）C组的人数是　 　．
（2）本次数据的中位数落在　 　组内；
（3）若我区有5400名初中学生，请你估计其中达国家规定体育时间的人约有多少？

【正确答案】（1）120；（2）C；（3）3240人

【详解】试题分析：
（1）由被抽查学生总数为300条形统计图中的已知数据即可求出C组的人数；
（2）由中位数的定义可知，这300个数据的中位数是：按从小到大的顺序排列后的第150和第151个数据的平均数，而由（1）条形统计图中的数据可知，这两个数据都在C组，故可得这组数据的中位数落在C组；
（3）由（1）中所得C组的人数条形统计图中D组的人数可计算出达到国家规定的体育时间的人数所占的百分比，用5400乘以这个百分比即可得到所求的数量了.
试题解析：
（1）C组的人数是300﹣（20+100+60）=120（人），
故答案为120．
（2）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，
故数据的中位数落在C组，
故答案为C.
（3）达国家规定体育时间的人数约占×=60%．
∴达国家规定体育时间人约有5400×60%=3240（人）．
22. 如图，小丽准备测一根旗杆AB的高度，已知小丽的眼睛离地面的距离EC=1.5米，次测量点C和第二次测量点D之间的距离CD=10米，∠AEG=30°，∠AFG=60°，请你帮小丽计算出这根旗杆的高度．(结果保留根号)

【正确答案】旗杆的高度为（1.5+）米．

【详解】试题分析：
由已知条件易证∠AEF=30°，从而可得∠EAF=∠FEA，由此即可得到AF=EF=10，∠AFG=30°，∠AGF=90°，在△AGF中可求得AG的长，再由AB=AG+BG即可得到AB的长了.
试题解析：
如下图，由题意知：∠AEG=30°，∠AFG=60°，EF=CD=10米，BG==EC=1.5米，
∴∠EAF=∠AFG﹣∠AEG=30°，
∴∠EAF=∠FEA，
可得：AF=EF=10米．
则AG=AF•sin∠AFG=10×=（米），
故AB=AG+GB=（1.5+）米，
答：旗杆的高度为（1.5+）米．

23. 如图，，以OA、OB为边作平行四边形OACB，反比例函数的图象点C．
求k的值；
根据图象，直接写出时自变量x的取值范围；
将平行四边形OACB向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上．

【正确答案】（1）；（2）或；（3）向上平移12个单位．

【详解】分析：由，以OA、OB为边作平行四边形OACB，可求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得k的值；
观察图象即可求得时自变量x的取值范围；
首先求得当时，反比例函数上的点的坐标，继而可求得将平行四边形OACB向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上．
详解：平行四边形OACB中，，
，
把代入，得：，
解得：；
时自变量x的取值范围为：或；
把代入，
解得：，
向上平移个单位．  
点睛：此题考查了反比例函数的性质以及平行四边形的性质注意掌握反比例函数上的点的坐标特征．
24. 如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接.

（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，求线段的长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24．

【分析】（1）先证OC∥AD，得到∠ACO＝∠DAC．由OC＝OA，得到∠ACO＝∠，故有∠DAC＝∠，即AC平分∠DAB；
（2）由AD⊥PD，得到∠DAC＋∠ACD＝90°，又AB为⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，故∠PCB＋∠ACD＝90°，从而有∠DAC＝∠PCB，又∠DAC＝∠，得到∠＝∠PCB，由CE平分∠ACB，得到∠ACF＝∠BCF，故有∠＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，从而∠PFC＝∠PCF，故PC＝PF；
（3）易证∠△PAC∽△PCB，得到．由tan∠ABC＝，得到，故．设，，则，由勾股定理有，得到，求出k的值．从而求出PC的长．
【详解】（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD．又AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO＝∠DAC．
又OC＝OA，
∴∠ACO＝∠，
∴∠DAC＝∠，即AC平分∠DAB．
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC＋∠ACD＝90°，又AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠PCB＋∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB，
又∠DAC＝∠，
∴∠＝∠PCB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又tan∠ABC＝，
∴，
∴．设，，则在Rt△POC中，，
∵AB=14，
∴，
∵，
∴，
∴k＝6（k＝0没有合题意，舍去）．
∴．
25.
已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．

解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若没有存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）t=2
（2）当t = 3时，y最小=
（3）当t = 1s，点P、Q、F三点同一条直线上

【详解】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE =" CQ."
由题意知：CE = t，BP ="2" t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t =" 2" s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.
（2）过P作，交BE于M，∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴. ∴PM =.
∵BC =" 6" cm，CE = t， ∴BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =－=－
==.
∵，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小=.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2.
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作，交AC于N，
∴.
∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() =．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴. ∴.
∵∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点同一条直线上.
















江苏省常州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试卷
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
2. 数据99500用科学记数法表示为（　　）
A. 0.995×105 B. 9.95×105 C. 9.95×104 D. 9.5×104
3. 下列运算正确的是（　　）
A. ﹣a•a3=a3 B. ﹣（a2）2=a4 C. x﹣x= D. （﹣2）（+2）=﹣1
4. 数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
5. 如图，现将一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
6. 点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 无法确定
7. 上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

1
2
3
4
5
成绩（m）
8.2
8.0
8.2
7.5
7.8


A 8.2，8.2 B. 8.0，8.2 C. 8.2，7.8 D. 8.2，8.0
8. 如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )

A. m B. m
C m D. m
9. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A B. C. D.
10. 如图5，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在象限内有一点C，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 分解因式：a2-4a+4=___
12. 一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为_____．
13. 若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____．
14. 有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．
15. 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.

16. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，那么的取值范围是__________.
17. 如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．

18. 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．

三、解 答 题：（共76分）
19. 计算：
（1）2-2+﹣sin30°；
（2）（1+）÷．
20. （1）解方程：x2﹣6x+4=0；
（2）解没有等式组.
21. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长．

22. 在一个没有透明布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣2、l、2，它们除了数字没有同外，其它都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字l的小球的概率为　 　．
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线y=kx+b没有第四象限的概率．
23. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．

（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
24. 某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．
（1）当参加旅游的人数没有超过10人时，人均收费为　 　元；
（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少．

25. 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略没有计，结果保留根号形式）

26. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求点C的坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．
（3）若把上一问中的反比例函数记为y1，点B′，C′所在的直线记为y2，请直接写出在象限内当y1＜y2时x的取值范围．

27. 如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A没有重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
（1）若点E是的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值？值是多少？

28. 如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；
(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若没有存在，请说明理由．


江苏省常州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试卷
（B卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
【正确答案】C

【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：-5的倒数是．
故选C．
2. 数据99500用科学记数法表示为（　　）
A. 0.995×105 B. 9.95×105 C. 9.95×104 D. 9.5×104
【正确答案】C

【详解】分析：
按照科学记数法的定义：“把一个数表示为的形式，其中，n为整数的记数方法叫做科学记数法”进行解答即可.
详解：
.
故选C.
点睛：本题考查的是用科学记数法表示值大于1的数的方法，解题的关键有两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. ﹣a•a3=a3 B. ﹣（a2）2=a4 C. x﹣x= D. （﹣2）（+2）=﹣1
【正确答案】D

【详解】分析：
分别根据“同底数幂的乘法法则”、“幂的乘方的运算法则”、“合并同类项的法则”及“二次根式的乘法法则”进行判断即可.
详解：
A选项中，因为，所以A中运算错误；
B选项中，因为，所以B中运算错误；
C选项中，因为，所以C中运算错误；
D选项中，因为，所以D中运算正确.
故选D.
点睛：本题考查的是“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”、“合并同类项”和“二次根式的乘法”及“平方差公式的应用”，解题的关键是熟记相关的运算法则并能正确用于计算.
4. 数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
【正确答案】A

【详解】解：∵总人数为50，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，
∴第5组的频数为：50-12-10-15-8=5，
∴第5组的频率=5÷50=0.1.
故选A.
5. 如图，现将一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】先根据“两直线平行，同位角相等”的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2∠3，
∴3∠3+60°=180°，
∴∠3=40°，
∴∠1=2×40°=80°，
故选：D．
.
本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
6. 点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 无法确定
【正确答案】B

【详解】分析：
由反比例函数中，k>0可知，该函数的图象分布在、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）的横坐标分别为-2、-3即可判断出y1、y2的大小关系.
详解：
∵在反比例函数中，k>0，
∴该函数的图象分布在、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）中，0>-2>-3，
∴y1＜y2.
点睛：本题是一道考查反比例函数的性质的题目，熟记反比例函数图象所分布的象限和在每个象限内的增减性与k的取值的正、负的关系是解题的关键.
7. 上体育课时，小明5次投掷实心球成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

1
2
3
4
5
成绩（m）
8.2
8.0
8.2
7.5
7.8


A. 8.2，8.2 B. 8.0，8.2 C. 8.2，7.8 D. 8.2，8.0
【正确答案】D

【详解】解：按从小到大的顺序排列小明5次投球的成绩：7.5，7.8，8.0，8.2，8.2．
其中8.2出现2次，出现次数至多，8.0排在第三，
∴这组数据的众数与中位数分别是：8.2，8.0．
故选D．
本题考查众数；中位数．
8. 如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )

A. m B. m
C. m D. m
【正确答案】A

【详解】设MN=xm，
在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x，
在Rt△AMN中,tan∠MAN= ，
∴tan30∘= =3√3，
解得：x=8( +1)，
则建筑物MN的高度等于8( +1)m；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相求边的长.
9. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：
如下图，过点A作AD⊥l3于点D，过点C作CE⊥l3于点E，则由题意可得AD=3，CE=5，再证△ABD≌△BCE即可得到BD=CE=5，从而在Rt△ADB中由勾股定理可得AB=，这样△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC即可得到AC=.
详解：
如下图，过点A作AD⊥l3于点D，过点C作CE⊥l3于点E，
∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
又∵AB=BC，
∴△ABD≌△BCE，
∴BD=CE，
∵由题意可得：CE=5，AD=2，
∴BD=5，
∴在Rt△ABD中由勾股定理可得AB=，
∵△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴AC=.
故选B.
点睛：本题是一道综合考查三角形全等和勾股定理的应用的题目，作出如图所示的辅助线，构造出一对全等三角形△ABD和△BCE是正确解答本题的关键.

10. 如图5，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在象限内有一点C，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，可得出△AOE∽△COF，再根据相似三角形的性质得出，再由，可得出 ，由此即可得出结论．
【详解】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，如下图所示：

由直线AB与反比例函数的对称性可知点A和点B关于点O对称，





又




又

∵点C在象限，
∴k＝8，
故答案为D．
本题主要考查三角函数和相似三角形的性质，利用数形的思想将函数图像与几何图形相是求解本题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 分解因式：a2-4a+4=___
【正确答案】（a-2）2．

【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2．
故（a-2）2．
12. 一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为_____．
【正确答案】2

【详解】由平均数的公式得：（51+2+x+4+5）÷5=3，
解得x=3；
∴方差=[（1-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（3-3）2+（5-3）2]÷5=2；
故答案是：2．
13. 若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____．
【正确答案】6

【详解】设多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
故6．
14. 有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．
【正确答案】

【详解】∵投掷这个正六面体，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，
∴其概率是=．
此题考查概率的求法：如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
15. 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.

【正确答案】12

【详解】设 ，
根据平行线分线段成比例定理可得：



故
16. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，那么的取值范围是__________.
【正确答案】k＞－且k≠0

【详解】由题意知，k≠0，方程有两个没有相等的实数根，
所以△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞-1/4 且k≠0．
17. 如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．

【正确答案】20 cm．

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【详解】解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
根据勾股定理，得（cm）．

故20cm.
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
18. 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．

【正确答案】

【分析】由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
【详解】解：逆时针旋转得到，
，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
．
故．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形思想与方程思想的应用．
三、解 答 题：（共76分）
19. 计算：
（1）2-2+﹣sin30°；
（2）（1+）÷．
【正确答案】(1)2;(2) x+1

【详解】分析：
（1）根据本题特点，代入30°角的正弦函数值，再负指数幂的意义和二次根式的性质进行计算即可；
（2）这是一道分式的混合计算题，按照分式的相关运算法则计算即可.
详解：
（1）原式=；
（2）原式=.
点睛：（1）第1小题的解题要点是熟记：sin30°=和理解负指数幂的意义：（其中为正整数）；（2）第2小题的解题要点是：把1化为表达，这样分式的加法法则和除法法则即可正确解答本题了.
20. （1）解方程：x2﹣6x+4=0；
（2）解没有等式组.
【正确答案】（1）3±；（2）﹣1≤x＜3

【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）分别求出没有等式组中两没有等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出没有等式组的解集．
【详解】（1）△=36﹣16=20
∴x==3±
（2）
由①得：x＜3
由②得：x≥﹣1
∴﹣1≤x＜3
此题考查了解一元二次方程和一元没有等式组，掌握相关知识是解题关键．
21. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长．

【正确答案】（1）详见解析；（2）.

【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°,AB=CD,BC=AD，AD∥BC,
∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中，
∴△ADE≌△FAB(AAS)，
∴AE=BF=1
∵BF=FC=1
∴BC=AD=2
故Rt△ADE中，∠ADE=30°,DE=,
∴的长==.

22. 在一个没有透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣2、l、2，它们除了数字没有同外，其它都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字l的小球的概率为　 　．
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线y=kx+b没有第四象限的概率．
【正确答案】（1）；（2）直线y=kx+b没有第四象限的概率为．

【详解】试题分析：（1）一共有3个球，摸到每个球的机会都一样，摸到标有数字1的小球只有一种可能，因此P（摸出的球为标有数字l的小球）=；
（2画出表格，从表格可知一共有9种可能，其中有4种满足条件，从而求得概率.
试题解析：（1） ；
（2）列表如下：

-2
1
2
-2
-2，-2
-2，1
-2，2
1
1，-2
1，1
1，2
2
2，-2
2，1
2，2
P（直线没有第四象限）=
23. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．

（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2-2

【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，根据BF=BD-DF求出答案．
【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC，
∴AE=AD，AB=AC，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠DAB，
∴△AEC≌△ADB．
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45° ，
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴BD=2，
又∵四边形ADFC是菱形，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=2-2．
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
24. 某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．
（1）当参加旅游的人数没有超过10人时，人均收费为　 　元；
（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少．

【正确答案】（1）240；（2）20．

【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数没有超过10人时，人均收费为240元，
故240．
（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，
∴收费标准在BC段，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 ，
解得 ，
∴y=﹣6x+300，
由题意（﹣6x+300）x=3600，
解得x=20或30（舍弃），
答：参加这次旅游的人数是20人．
25. 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略没有计，结果保留根号形式）

【正确答案】OC＝100米；PB＝米．

【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAB，利用60°三角函数值以及坡度，求出OC，再分别表示出CF和PF，然后根据两者之间的关系，列方程求解即可．
【详解】解：过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝100（米），
由坡度＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝100﹣x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝100﹣x，
∴x＝，即PB＝米．

本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并图形利用三角函数解直角三角形．
26. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求点C的坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．
（3）若把上一问中的反比例函数记为y1，点B′，C′所在的直线记为y2，请直接写出在象限内当y1＜y2时x的取值范围．

【正确答案】（1）C（﹣3，2）；（2）y1=， y2=﹣x+3； （3）3＜x＜6．

【详解】分析：
（1）过点C作CN⊥x轴于点N，由已知条件证Rt△CAN≌Rt△AOB即可得到AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3点C在第二象限即可得到点C的坐标；
（2）设△ABC向右平移了c个单位，则（1）可得点C′，B′的坐标分别为（﹣3+c，2）、（c，1），再设反比例函数的解析式为y1=，将点C′，B′的坐标代入所设解析式即可求得c的值，由此即可得到点C′，B′的坐标，这样用待定系数法即可求得两个函数的解析式了；
（3）（2）中所得点C′，B′的坐标和图象即可得到本题所求答案.
详解：
（1）作CN⊥x轴于点N，
∴∠CAN=∠CAB=∠AOB=90°，
∴∠CAN+∠CAN=90°，∠CAN+∠OAB=90°，
∴∠CAN=∠OAB，
∵A（﹣2，0）B（0，1），
∴OB=1，AO=2，
在Rt△CAN和Rt△AOB，
∵ ，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵点C在第二象限，
∴C（﹣3，2）；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，则C′（﹣3+c，2），则B′（c，1），
设这个反比例函数的解析式为：y1=，
又点C′和B′在该比例函数图象上，把点C′和B′的坐标分别代入y1=，得﹣6+2c=c，
解得c=6，即反比例函数解析式y1=，
此时C′（3，2），B′（6，1），设直线B′C′的解析式y2=mx+n，
∵ ，
∴ ，
∴直线C′B′的解析式为y2=﹣x+3；
（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（3，2），B′（6，1），
∴若y1＜y2时，则3＜x＜6．

点睛：本题是一道综合考查“全等三角形”、“函数”、“反比例函数”和“平移的性质”的综合题，解题的关键是：（1）通过作如图所示的辅助线，构造出全等三角形Rt△CAN和Rt△AOB；（2）利用平移的性质点B、C的坐标表达出点C′和B′的坐标，由点C′和B′都在反比例函数的图象上列出方程，解方程可得点C′和B′的坐标，从而使问题得到解决.
27. 如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A没有重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
（1）若点E是的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值？值是多少？

【正确答案】（1）∠F=30°；（2）见解析；（3）当x= 时，值=9．

【详解】分析：
（1）如图，连接OE，由OD∥OE可得∠DOE=∠OEB，由点E是的中点可得∠DOE=∠BOE，由OB=OE可得∠OBE=∠OEB，由此可得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，CF⊥AB即可得到∠F=30°；
（2）过点O作OM⊥BE于点M，由此可得BE=2BM，再证△OBM≌△DOC可得BM=OC，这样即可得到结论BE=2OC；
（3）由OD∥BF可得△COD∽△CBF，由此可得，由AB=4，AC=x（2）中结论可得OD=OB=BE=2，BC=4-x，OC=2-x，BE=2OC=4-2x，由此即可解得BF=，从而可得EF=BF-BE=，这样即可把BE•EF用含x的代数式表达出来，化简配方即可求得所求答案了.
详解：
（1）如图1，连接OE．
∵，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）如图1，过O作OM⊥BE于M，
∵OB=OE，
∴BE=2BM，
∵OD∥BF，
∴∠COD=∠B，
在△OBM与△DOC中 ，
∴△OBM≌△DOC，
∴BM=OC，
∴BE=2OC；
（3）∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴，
∵AC=x，AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
∴OC=2﹣x，BE=2OC=4﹣2x，
∴，
∴BF=，
∴EF=BF﹣BE=，
∴BE•EF=，
∴当时，值=9．

点睛：（1）解第1小题的要点是连接OE，由OD∥BF，点E为是的中点及OB=OE证得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°；（2）解第2小题的要点是作OM⊥BE于点M，构造出全等三角形△OBM和△DOC得到BM=OC，这样垂径定理BE=2BM即可得到结论BE=2OC；（3）解第3小题的要点是OC、BC、BE都用含x的式子表达出来，这样利用△COD∽△CBF即可把BF用含x的式子表达出来，由此即可把BE•EF用含x的式子表达出来，再整理配方即可得到所求结果了.
28. 如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；
(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1)E(，0)，A(﹣1，0)；(2)y=；(3)存在，点Q坐标为(，0)或( ，0)

【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC＝，列出方程即可解决．
（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．
【详解】解：(1)∵对称轴x=，
∴点E坐标(，0)，
令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴点A坐标(﹣1，0)．
故答案分别为(，0)，(﹣1，0)．
(2)如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴抛物线解析式为y=．
(3)如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，
∴M(m，﹣m+3)，N(m，﹣m2+m+3)，作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=m，
解得：m=或0(舍弃)，
∴Q1(，0)．
②当N在直线BC下方时，(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m，
解得m=或0(舍弃)，
∴Q2(，0)，
综上所述：点Q坐标为(，0)或( ，0)．
本题考查二次函数综合题、圆、翻折变换、三角函数、函数等知识，解题的关键是通过三角函数建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．