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【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模二模）含解析
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这是一份【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模二模）含解析，共78页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只要一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
2．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
3．为迎接中国建党一百周年，某班50名同窗进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据有关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．如图，是由若干个相反的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年添加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件添加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
8．定义：函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则函数y＝﹣2x+m的特征数是（ ）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]
9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相反，当点P到达点C时，点Q也随之中止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填 空 题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
11．冠状是一类的总称，其直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 ．
12．如图所示，电路连接残缺，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 ．
14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”成绩：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 ．
15．若关于x的不等式组，有且只要2个整数解，则a的取值范围是 ．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中暗影部分面积的值是 ．
17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1An都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 ．（用含有正整数n的式子表示）
三、解 答 题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字阐明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．
19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为有效，需重新转动转盘），当转盘中止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的概率．
21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）
22．（7分）暑期将至，某校组织先生进行“防溺水”知识竞赛，老师从中随机抽取了部分先生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不残缺的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列成绩：
（1）本次共抽取 名先生，a的值为 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ ，E组所占比例为 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名先生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的先生人数．
23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相反桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，能否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出一切符合条件的点Q的坐标；若不存在，请阐明理由．
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只要一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【分析】先求出|﹣2|＝2，再根据倒数定义可知，2的倒数是．
解：|﹣2|的倒数是，
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算法则逐一判断即可．
解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；
C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；
D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
3．为迎接中国建党一百周年，某班50名同窗进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据有关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
【分析】经过计算成绩为91、92分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．
解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），
成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，
成绩从小到大陈列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，
因此中位数和众数与被遮盖的数据有关，
故选：C．
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式，再配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．如图，是由若干个相反的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解：根据主视图与左视图，行的正方体有1（只要一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，
∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，
∴不可能有6个．
故选：D．
6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年添加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件添加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解：设我国2018年至2020年快递业务支出的年平均增长率为x，
由题意得：507（1+x）2＝833.6，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
8．定义：函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则函数y＝﹣2x+m的特征数是（ ）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]
【分析】将函数y＝﹣2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y＝﹣2x+m+3，联立函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A（x1，0），B（x2，0），所以x1与x2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又A，B两点关于原点对称，所以x1+x2＝0，则，得到m＝﹣3，根据定义，得到函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]．
解：将函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，
设A（x1，0），B（x2，0），
联立，
∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，
∵x1和x2是方程的两根，
∴，
又∵A，B两点关于原点对称，
∴x1+x2＝0，
∴，
∴m＝﹣3，
根据定义，函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，
故选：D．
9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
解：①当MB'＝MN时，如图：
Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，
∴AM＝＝2，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当'＝MN时，如图：
∵'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相反，当点P到达点C时，点Q也随之中止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在Rt△APQ中，利用勾股定理可求出PQ2的长度，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．
解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，
∴PQ2＝2x2．
当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，
∴y＝PQ2＝2x2；
当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，
∴y＝PQ2＝32+32＝18；
当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，
∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．
故选：C．
二、填 空 题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
11．冠状是一类的总称，其直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 1.2×10﹣7 ．
【分析】值小于1的数也可以利用科学记数法表示，普通方式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故1.2×10﹣7．
12．如图所示，电路连接残缺，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故．
13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 75° ．
【分析】由“两直线平行，内错角相等”得到∠2＝∠C＝30°，再根据三角形的外角性质求解即可．
解：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠C＝30°，
∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，
故75°．
14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”成绩：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 ．
【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
解：设绳索长x尺，竿长y尺，
依题意得：．
故．
15．若关于x的不等式组，有且只要2个整数解，则a的取值范围是 ﹣1＜a≤1 ．
【分析】解每个不等式得出1≤x＜，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之即可．
解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，
解不等式2x﹣a＜5，得：x＜，
∵不等式组只要2个整数解，
∴2＜≤3，
解得﹣1＜a≤1，
故﹣1＜a≤1．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中暗影部分面积的值是 ﹣ ．
【分析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝2，再根据三角形中位线性质得到MN∥AC，MN＝AC，然后根据三角形类似得到＝（）2＝，故当△ABC的面积时，△MBN的面积，由C、O、M在一条直线时，△ABC的面积，求得△ABC的值，进而即可求得△MBN的面积值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得暗影部分的值．
解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴当△ABC的面积时，△MBN的面积，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积，
∴△ABC的面积值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S暗影＝﹣+＝﹣，
故﹣．
17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1An都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 （+，﹣+） ．（用含有正整数n的式子表示）
【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因此得到直线A1B2的解析式，异样，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点B3的坐标，得出规律．
解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，
易知M1（1，0）是OA1的中点，
∴A1（2，0）．
可得B1的坐标为（1，1），
∴B1O的解析式为：y＝x，
∵P1O∥A1P2，
∴A1B2的表达式项系数相等，
将A1（2，0）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，
与y＝（x＞0）联立，解得B2（1+，﹣1+）．
仿上，A2（2，0）．
B3（+，﹣+），
依此类推，点Bn的坐标为（+，﹣+），
故答案为（+，﹣+）．
三、解 答 题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字阐明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．
【分析】先计算负整数次幂、零指数幂、三角函数、值的运算，再进行加减运算即可．
解：原式＝2+1﹣2×+2
＝﹣
＝．
19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
解：原式＝•
＝•
＝x（x+1）
＝x2+x，
解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
当x＝2时，原式＝22+2＝6．
20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为有效，需重新转动转盘），当转盘中止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的概率．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的结果有4种，
∴点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的概率为．
21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）
【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，在Rt△ACD中，由三角函数的定义得到AD＝CD，在Rt△ABD中，由三角函数的定义得到BD＝，根据BC＝BD﹣CD即可求出AD．
解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，
∴BD＝，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），
∴AD＝30（+1）≈82（m），
答：此段河面的宽度约82m．
22．（7分）暑期将至，某校组织先生进行“防溺水”知识竞赛，老师从中随机抽取了部分先生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不残缺的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列成绩：
（1）本次共抽取 150 名先生，a的值为 12 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ 144 ，E组所占比例为 4 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名先生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的先生人数．
【分析】（1）A组的频数a比B组的频数b小15，而A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a的值即可；
（2）求出“D组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比；
（3）求出b的值，“C组”频数以及“E组”频数即可；
（4）求出样本中成绩在80分以上的先生所占的百分比，即可估计全体中成绩在80分以上的先生人数．
解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，
因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），
a＝150×8%＝12（人），
故150，12；
（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，
“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，
故144，4；
（3）b＝a+15＝27（人），
“C组”频数为：150×30%＝45（人），
“E组”频数为：150×4%＝6（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（4）1500×＝660（人），
答：估计成绩在80分以上的先生人数大约为660人．
23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相反桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，根据数量＝总价÷单价，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相反桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为w元，根据所需资金总额＝甲种消毒液的×购进数量+乙种消毒液的×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用函数的性质即可处理最值成绩．
解：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，
依题意得：＝，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝30．
答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，
依题意得：m≥（300﹣m），
解得：m≥75．
设所需资金总额为w元，则w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．
答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出∠PAO＝90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP＝∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（，根据全等三角形的性质得出∠PDO＝∠PAO＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据全等得出PA＝PD，根据平行四边形的性质得出PD＝OB，求出PA＝OA，再求出答案即可．
（1）证明：连接OD，
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD，
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°．
25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．
【分析】（1）经过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM＝BN；
（2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN＝90°，再根据勾股定理，线段相等进行代换，即可证明结论成立；
②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN，设BN＝x，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长．
（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠O＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MN2+BN2＝MN2，
∵△MON都是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；
②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
如图4，当点，M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x+3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
综上所述，线段AM的长为或．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，能否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出一切符合条件的点Q的坐标；若不存在，请阐明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由于BC为定值，所以当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，如图1，连接AC交对称轴于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求，再利用勾股定理求出AC、BC，即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论：①以AC为边时，由四边形ACPQ是菱形，可得CP＝CA，建立方程求解即可，②以AC为对角线时．由四边形ACPQ是菱形，可得CP＝PA，建立方程求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周长的最小值是：3+．
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
设P（1，t），
①以AC为边时，如图2，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴CP＝CA，
∴12+（3﹣t）2＝32+32，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），
∴Q1（4，﹣），Q2（4，），
②以AC为对角线时，如图3，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴CP＝PA，
∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），Q3（2，2），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2）．
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选(每小题出的选项中只要一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应地位上按要求涂黑，每小题3分，共2分)
1. -2021相反数是（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
2. 截至北京工夫2021年1月3日6时，我国执行火星探测任务的“天问一号”火星探测器曾经在轨飞行约163天，飞行里程打破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里，数据8300000用科学记数法表示为（ ）
A. 8.3×105 B. 8.3×106 C. 83×105 D. 0.83×107
3. 下列分类标识的图案既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说确的是（ ）
A. “清明时节雨纷纷”必然
B. 为了了解一批灯管的运用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙组队员的身高比较划一
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A. 85° B. 75° C. 60° D. 30°
7. 实数a、b、c在数轴上对应点的地位如图所示．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不残缺)，下列结论错误的是（ ）
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形统计图中的m为10%
C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D. 样本中选择公共交通出行的有2400人
9. 一元二次方程，配方后可形（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
11. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -6
12. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 当时，y随x增大而增大
C. 方程的根为0和2
D. 当时，x的取值范围是
13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
14. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同起点、同方向匀速跑步，先到起点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的工夫x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间距离超过32米的工夫范围是；
④乙到达起点时，甲距离起点还有68米．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填 空 题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分)
15. 在函数中，自变量x的取值范围是_____．
16. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，经过无人机的镜头C测一段程度雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同不断线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，)
17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
18. 如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接CG并延伸，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③，④，其中正确结论的序号是_____________．
三、解 答 题(在答题卡上解答，答在本试卷上有效，解答时要写出必要的文字阐明、证明过或演算步骤．共8题，满分96分)
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
21. 某学校九年级有12个班，每班50名先生，为了调查该校九年级先生平均每天的睡眠工夫，并规定如下：设每个先生平均每天的睡眠工夫为t(单位，小时)，将搜集到的先生平均每天睡眠工夫按t≤6、6
A．随机抽取一个班的先生
B．从12个班中，随机抽取50名先生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名先生，平均每天的睡眠工夫数据如表：
睡眠工夫t(小时)
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数(人)
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________；
②估计九年级先生平均每天睡眼工夫的人数大约为多少；
（3）从样本中先生平均每天睡眠工夫4个先生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠工夫都是6小时的概率．
22. 为传承传统文明，某地青少年计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
23. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，C，交对角线BD于点E，且，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的地位关系，并阐明理由；
（2）若，，求⊙O的半径．
25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上能否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请阐明理由．
26. 数学课上，有这样一道探求题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探求的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探求过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【成绩发现】
小明研讨了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研讨了时，如图2，求出了___________，___________；
【类比探求】
他们又共同研讨了α=120°时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
他们终于共同探求得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选(每小题出的选项中只要一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应地位上按要求涂黑，每小题3分，共2分)
1. -2021的相反数是（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：-2021的相反数是2021，
故选：A．
本题考查了相反数的概念，解题关键是明确相反数的定义，精确求解．
2. 截至北京工夫2021年1月3日6时，我国执行火星探测任务的“天问一号”火星探测器曾经在轨飞行约163天，飞行里程打破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里，数据8300000用科学记数法表示为（ ）
A. 8.3×105 B. 8.3×106 C. 83×105 D. 0.83×107
【正确答案】B
【分析】直接利用科学记数法的定义及表示方式，其中，为整数求解即可．
【详解】解：根据科学记数法的定义及表示方式，其中，为整数，
则数据8300000用科学记数法表示为：，
故选：B．
本题考查了科学记数法的表示方式，解题的关键是：掌握其定义和表达方式，根据题意确定的值．
3. 下列分类标识的图案既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形和对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
本题考查轴对称图形、对称图形，理解轴对称图形和对称图形是解答关键．
4. 下列说确的是（ ）
A. “清明时节雨纷纷”是必然
B. 为了了解一批灯管的运用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙组队员的身高比较划一
【正确答案】D
【分析】根据发生的可能性的大小判断即可．
【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机，故不符合题意；
B、为了了解一批灯管的运用寿命，不宜采用普查的方式进行，应采用抽查的方式进行，故不符合题意；
C、一组数据2，5，4，5，6，7众数、中位数都是，平均数为，故选项错误，不符合题意；
D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，
，
乙组队员的身高比较划一，故选项正确，符合题意；
故选：D．
本题考查了必然、随机、不可能、解题的关键是：理解几种的定义．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据去括号法则可判断A，根据合并同类项法则可判断B，根据乘法公式可判断C，利用单项式乘法法则与积的乘方法则可判断D．
【详解】解：A. ，故选项A去括号不正确，不符合题意；
B. ，故选项B合并同类项正确，符合题意；
C. ，故选项C公式展开不正确，不符合题意；
D. ，故选项D单项式乘法计算不正确，不符合题意．
故选择B．
本题考查去括号法则，同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法，掌握去括号法则，同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法是解题关键．
6. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A. 85° B. 75° C. 60° D. 30°
【正确答案】B
【详解】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
7. 实数a、b、c在数轴上对应点的地位如图所示．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据a+b=0，确定原点的地位，根据实数与数轴即可解答．
【详解】解：∵a+b=0，
∴原点在a，b的两头，
如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，，
故选：C．
本题考查了实数与数轴，处理本题的关键是确定原点的地位．
8. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不残缺)，下列结论错误的是（ ）
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形统计图中的m为10%
C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D. 样本中选择公共交通出行的有2400人
【正确答案】D
【分析】条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．
【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是，正确，不符合题意；
B、 故扇形图中的m为10%，正确，不符合题意；
C、若“五一”期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，正确，不符合题意；
D、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，错误，符合题意；
故选：D．
本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟习样本、用样本估计总体是解题的关键，另外留意学会分析图表．
9. 一元二次方程，配方后可形为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】把常数项移到方程左边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方方式即可
【详解】解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故选：A．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的方式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
10. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
【正确答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论．
【详解】解：连接AC，如图，
∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴，
∴
∴
故选：B．
此题次要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
11. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -6
【正确答案】B
【分析】把点P的坐标代入函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a-2b+1的值．
【详解】解：∵点P（a，b）在函数的图象上，
∴b=4a+3，
8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式的值等于-5．
故选：B．
本题考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足图象的解析式是关键．
12. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 当时，y随x增大而增大
C. 方程的根为0和2
D. 当时，x取值范围是
【正确答案】C
【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】解：将代入抛物线的解析式得；
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．
13. 一个几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据三视图可知此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长母线2．
【详解】解：此几何体为圆锥，
圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，
侧面积，
故选：A．
本题考查由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题关键．
14. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同起点、同方向匀速跑步，先到起点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的工夫x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的工夫范围是；
④乙到达起点时，甲距离起点还有68米．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】B
【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求工夫=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5（t-12）-4(t-12)32，和乙到起点，甲距起点列不等式4 t+12400-32解不等式可判断③；
根据乙到达起点工夫，求甲距起点距离可判断④即可
【详解】解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为=5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为米/秒，
∴乙追上甲所用工夫为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人次相遇时，距离起点60米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过32米设工夫为t秒，
∴5（t-12）-4(t-12)32，
∴t44，
当乙到达起点中止运动后，
4 t+12400-32，
∴t89，
甲、乙两人之间的距离超过32米的工夫范围是；
故③正确；
④乙到达起点时，
甲距起点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离起点还有68米．
故④正确；
正确的个数为3个．
故选择B．
本题考查函数的图像运用成绩，细心阅读标题，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握函数的图像运用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出发工夫，拐点的意义是解题关键．
二、填 空 题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分)
15. 在函数中，自变量x的取值范围是_____．
【正确答案】x≥－1且x≠
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：
解得：x≥-1且x≠
故x≥－1且x≠．
本题考查函数自变量的范围，普通从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
16. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，经过无人机的镜头C测一段程度雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同不断线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，)
【正确答案】438
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，图形计算即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
（米），
在中，，
则（米），
则（米），
故答案是：．
本题查考了解直角三角形的运用——仰角俯角成绩，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求解．
17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
【正确答案】
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：如图，
设正六边形的是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB=（mm）．
故．
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，纯熟运用锐角三角函数进行求解是关键．
18. 如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接CG并延伸，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③，④，其中正确结论的序号是_____________．
【正确答案】①②④
【分析】由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD=，BE=CE=，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由类似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH=DM=2=MH，由垂直平分线的性质可得AD=AH；由平行线分线段成比例可求GH的长，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为的正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD=，BE=CE=，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE=∠BAE，DE=AE，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC=，CE=，
∴，
∵S△DCE=×CD×CE=×DE×CH，
∴CH=2，
∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF=，
∴HF=CF-CH=3，
∴，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，
∵DC=，CH=2，
∴，
∵∠CDH+∠ADM=90°，∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDH=∠DAM，且AD=CD，∠CHD=∠AMD=90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴DM=CH=2，AM=DH=4，
∴MH=DM=2，且AM⊥DH，
∴AD=AH，故④正确；
∵DE=5，DH=4，
∴HE=1，ME=HE+MH=3，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴，
∴
∴HG=，故③错误，
所以，正确结论是①②④
故答案为①②④．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，类似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，纯熟运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解 答 题(在答题卡上解答，答在本试卷上有效，解答时要写出必要的文字阐明、证明过或演算步骤．共8题，满分96分)
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算m的值代入化简结果中求值可得．
【详解】解：
∵
∴当时，原式．
本题次要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）根据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
此题次要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
21. 某学校九年级有12个班，每班50名先生，为了调查该校九年级先生平均每天的睡眠工夫，并规定如下：设每个先生平均每天的睡眠工夫为t(单位，小时)，将搜集到的先生平均每天睡眠工夫按t≤6、6
A．随机抽取一个班的先生
B．从12个班中，随机抽取50名先生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名先生，平均每天的睡眠工夫数据如表：
睡眠工夫t(小时)
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数(人)
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________；
②估计九年级先生平均每天睡眼工夫的人数大约为多少；
（3）从样本中先生平均每天睡眠工夫的4个先生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠工夫都是6小时的概率．
【正确答案】（1）B；（2）①7，7；②144人；（3）
【分析】(1)根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行分析；
(2)①由众数好中位数的定义求解即可；
②由九年级人数乘以平均每天睡眼工夫t≥8的人数所占的比例即可；
(3)画树状图,共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠工夫都是6小时的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）不具有全面性，
故答案是：B．
（2）①这组数据的众数为小时，中位数为，
故答案是：．
解②：估计九年级先生平均每天睡眠工夫的人是大约为：
答：九年级先生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人．
（3）画树状图如下：
∴由树状图可知，一切等可能结果有12种，2人睡眠工夫都是6小时的结果有2种．
∴．
本题考查了用列表法求概率以及抽样调查、众数和中位数等知识，解题的关键是：列表法可以不反复不遗漏的列出一切可能的结果，合适于两步完成的，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 为传承传统文明，某地青少年计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
【正确答案】（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本
【分析】（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可处理成绩．
（2）设这次购买《西游记》本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，即可处理成绩．
【详解】解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元，
则
解得
答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别60元、60元．
（2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)．
《红楼梦》每本售价为 (元)，
设这次购买《西游记》本，则：
解得
∵为正整数，
∴取．
答：这次购买《西游记》最多为88本．
本题考查了二元方程组的运用以及一元不等式的运用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元不等式．
23. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
【正确答案】（1）①12；②或；（2）
【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；
（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的值和最小值即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴点A、B的“相关矩形”如图所示，
∴点A、B的“相关矩形”周长=
故12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且
∴点C的坐标为或
设直线AC的解析式为，
将，代入解得，
∴
将，代入解得，
∴
∴符合题意得直线AC的解析式为或．
（2）∵点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数的图象（3，-2）时，k=-6，
当函数的图象（6，-4）时，k=-24，
∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需求理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要留意将新旧知识贯穿．
24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，C，交对角线BD于点E，且，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的地位关系，并阐明理由；
（2）若，，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）相切，理由见解析；（2）5
【分析】（1）连接OB，由，可得，由，可证，可得，可得即可；
（2）由，可求，由， 可求，由勾股定理可求，利用垂径定理可得，进而，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】解：（1）AB与相切．理由如下：
连接OB，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵、是菱形的对角线
∴，，
∴
∴
∴，
∴是的切线
（2）又∵、是菱形的对角线，，
∴，
∵，
∴
∴在Rt△BMC中，
∴
∵OE⊥BC，BC为弦，
∴
∵
∴
设的半径为R；在Rt△OFB中，OB2=OF2+BF2，
∴
解得
∴的半径为5．
本题考查圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数，勾股定理，一元方程，掌握圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数，勾股定理，一元方程是解题关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上能否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请阐明理由．
【正确答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，由于PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相反，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得，
∴；
故答案为；
（2）将代得，
∴，
设直线的解析式为将，，
得，
解得，，
∴，
∵，交于点，
∴为定值，
∵，
把，记为定值，
过点作轴，垂足为，交于点，
设，则，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴有值，此时，
将代入中，得；
（3）存在，符合题意的点坐标为或或；
当点Q在x轴上方抛物线上时，
由于PF在x轴上，
又∵，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相反，
∴y=，
∴，
∴解得，
∵x=时为E点，
∴，
Q1()，
当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵PF在x轴上，
又∵四边形为平行四边形，
∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以yQ=，
∴，
整理得，
△=，
解得，
∴Q2（），Q3（），
符合题意的点坐标为或或．
本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．
26. 数学课上，有这样一道探求题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探求的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探求过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【成绩发现】
小明研讨了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研讨了时，如图2，求出了___________，___________；
【类比探求】
他们又共同研讨了α=120°时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
他们终于共同探求得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．
【正确答案】（1）【成绩发现】，60°；，45°；【类比探求】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30°
【分析】（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可处理，依此可得出规律；
（2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可处理成绩．
【详解】（1）【成绩发现】如图1，连接AE，PF，延伸EF、AP交于点Q，
当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝60°，
当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
如图2，连接AE，PF，延伸EF、AP交于点Q，
∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝45°，
【归纳总结】
由此，可归纳出，＝∠ACB＝；
（2）当，连接AE，PF，延伸EF、AP交于点Q，
∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝30°．
本题次要考查了三角形类似的判定与性质，经过处理本题感遭到：图形在变化但处理成绩的方法不变，领会“变中不变”的思想．
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只要一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
2．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
3．为迎接中国建党一百周年，某班50名同窗进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据有关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．如图，是由若干个相反的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年添加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件添加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
8．定义：函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则函数y＝﹣2x+m的特征数是（ ）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]
9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相反，当点P到达点C时，点Q也随之中止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填 空 题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
11．冠状是一类的总称，其直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 ．
12．如图所示，电路连接残缺，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 ．
14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”成绩：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 ．
15．若关于x的不等式组，有且只要2个整数解，则a的取值范围是 ．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中暗影部分面积的值是 ．
17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1An都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 ．（用含有正整数n的式子表示）
三、解 答 题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字阐明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．
19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为有效，需重新转动转盘），当转盘中止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的概率．
21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）
22．（7分）暑期将至，某校组织先生进行“防溺水”知识竞赛，老师从中随机抽取了部分先生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不残缺的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列成绩：
（1）本次共抽取 名先生，a的值为 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ ，E组所占比例为 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名先生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的先生人数．
23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相反桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，能否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出一切符合条件的点Q的坐标；若不存在，请阐明理由．
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只要一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【分析】先求出|﹣2|＝2，再根据倒数定义可知，2的倒数是．
解：|﹣2|的倒数是，
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算法则逐一判断即可．
解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；
C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；
D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
3．为迎接中国建党一百周年，某班50名同窗进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据有关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
【分析】经过计算成绩为91、92分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．
解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），
成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，
成绩从小到大陈列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，
因此中位数和众数与被遮盖的数据有关，
故选：C．
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式，再配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．如图，是由若干个相反的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解：根据主视图与左视图，行的正方体有1（只要一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，
∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，
∴不可能有6个．
故选：D．
6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年添加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件添加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解：设我国2018年至2020年快递业务支出的年平均增长率为x，
由题意得：507（1+x）2＝833.6，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
8．定义：函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则函数y＝﹣2x+m的特征数是（ ）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]
【分析】将函数y＝﹣2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y＝﹣2x+m+3，联立函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A（x1，0），B（x2，0），所以x1与x2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又A，B两点关于原点对称，所以x1+x2＝0，则，得到m＝﹣3，根据定义，得到函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]．
解：将函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，
设A（x1，0），B（x2，0），
联立，
∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，
∵x1和x2是方程的两根，
∴，
又∵A，B两点关于原点对称，
∴x1+x2＝0，
∴，
∴m＝﹣3，
根据定义，函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，
故选：D．
9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
解：①当MB'＝MN时，如图：
Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，
∴AM＝＝2，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当'＝MN时，如图：
∵'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相反，当点P到达点C时，点Q也随之中止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在Rt△APQ中，利用勾股定理可求出PQ2的长度，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．
解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，
∴PQ2＝2x2．
当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，
∴y＝PQ2＝2x2；
当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，
∴y＝PQ2＝32+32＝18；
当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，
∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．
故选：C．
二、填 空 题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
11．冠状是一类的总称，其直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 1.2×10﹣7 ．
【分析】值小于1的数也可以利用科学记数法表示，普通方式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所运用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故1.2×10﹣7．
12．如图所示，电路连接残缺，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故．
13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 75° ．
【分析】由“两直线平行，内错角相等”得到∠2＝∠C＝30°，再根据三角形的外角性质求解即可．
解：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠C＝30°，
∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，
故75°．
14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”成绩：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 ．
【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
解：设绳索长x尺，竿长y尺，
依题意得：．
故．
15．若关于x的不等式组，有且只要2个整数解，则a的取值范围是 ﹣1＜a≤1 ．
【分析】解每个不等式得出1≤x＜，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之即可．
解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，
解不等式2x﹣a＜5，得：x＜，
∵不等式组只要2个整数解，
∴2＜≤3，
解得﹣1＜a≤1，
故﹣1＜a≤1．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中暗影部分面积的值是 ﹣ ．
【分析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝2，再根据三角形中位线性质得到MN∥AC，MN＝AC，然后根据三角形类似得到＝（）2＝，故当△ABC的面积时，△MBN的面积，由C、O、M在一条直线时，△ABC的面积，求得△ABC的值，进而即可求得△MBN的面积值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得暗影部分的值．
解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴当△ABC的面积时，△MBN的面积，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积，
∴△ABC的面积值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S暗影＝﹣+＝﹣，
故﹣．
17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1An都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 （+，﹣+） ．（用含有正整数n的式子表示）
【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因此得到直线A1B2的解析式，异样，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点B3的坐标，得出规律．
解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，
易知M1（1，0）是OA1的中点，
∴A1（2，0）．
可得B1的坐标为（1，1），
∴B1O的解析式为：y＝x，
∵P1O∥A1P2，
∴A1B2的表达式项系数相等，
将A1（2，0）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，
与y＝（x＞0）联立，解得B2（1+，﹣1+）．
仿上，A2（2，0）．
B3（+，﹣+），
依此类推，点Bn的坐标为（+，﹣+），
故答案为（+，﹣+）．
三、解 答 题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字阐明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．
【分析】先计算负整数次幂、零指数幂、三角函数、值的运算，再进行加减运算即可．
解：原式＝2+1﹣2×+2
＝﹣
＝．
19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
解：原式＝•
＝•
＝x（x+1）
＝x2+x，
解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
当x＝2时，原式＝22+2＝6．
20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为有效，需重新转动转盘），当转盘中止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的概率．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的结果有4种，
∴点（x，y）落在平面直角坐标系象限内的概率为．
21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）
【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，在Rt△ACD中，由三角函数的定义得到AD＝CD，在Rt△ABD中，由三角函数的定义得到BD＝，根据BC＝BD﹣CD即可求出AD．
解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，
∴BD＝，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），
∴AD＝30（+1）≈82（m），
答：此段河面的宽度约82m．
22．（7分）暑期将至，某校组织先生进行“防溺水”知识竞赛，老师从中随机抽取了部分先生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不残缺的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列成绩：
（1）本次共抽取 150 名先生，a的值为 12 ；
（2）在扇形统计图中，n＝ 144 ，E组所占比例为 4 %；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名先生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的先生人数．
【分析】（1）A组的频数a比B组的频数b小15，而A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a的值即可；
（2）求出“D组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比；
（3）求出b的值，“C组”频数以及“E组”频数即可；
（4）求出样本中成绩在80分以上的先生所占的百分比，即可估计全体中成绩在80分以上的先生人数．
解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，
因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），
a＝150×8%＝12（人），
故150，12；
（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，
“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，
故144，4；
（3）b＝a+15＝27（人），
“C组”频数为：150×30%＝45（人），
“E组”频数为：150×4%＝6（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（4）1500×＝660（人），
答：估计成绩在80分以上的先生人数大约为660人．
23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相反桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，根据数量＝总价÷单价，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相反桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为w元，根据所需资金总额＝甲种消毒液的×购进数量+乙种消毒液的×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用函数的性质即可处理最值成绩．
解：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，
依题意得：＝，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝30．
答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，
依题意得：m≥（300﹣m），
解得：m≥75．
设所需资金总额为w元，则w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．
答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出∠PAO＝90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP＝∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（，根据全等三角形的性质得出∠PDO＝∠PAO＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据全等得出PA＝PD，根据平行四边形的性质得出PD＝OB，求出PA＝OA，再求出答案即可．
（1）证明：连接OD，
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD，
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°．
25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．
【分析】（1）经过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM＝BN；
（2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN＝90°，再根据勾股定理，线段相等进行代换，即可证明结论成立；
②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN，设BN＝x，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长．
（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠O＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MN2+BN2＝MN2，
∵△MON都是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；
②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
如图4，当点，M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x+3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
综上所述，线段AM的长为或．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，能否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出一切符合条件的点Q的坐标；若不存在，请阐明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由于BC为定值，所以当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，如图1，连接AC交对称轴于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求，再利用勾股定理求出AC、BC，即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论：①以AC为边时，由四边形ACPQ是菱形，可得CP＝CA，建立方程求解即可，②以AC为对角线时．由四边形ACPQ是菱形，可得CP＝PA，建立方程求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周长的最小值是：3+．
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
设P（1，t），
①以AC为边时，如图2，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴CP＝CA，
∴12+（3﹣t）2＝32+32，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），
∴Q1（4，﹣），Q2（4，），
②以AC为对角线时，如图3，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴CP＝PA，
∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），Q3（2，2），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2）．
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选(每小题出的选项中只要一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应地位上按要求涂黑，每小题3分，共2分)
1. -2021相反数是（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
2. 截至北京工夫2021年1月3日6时，我国执行火星探测任务的“天问一号”火星探测器曾经在轨飞行约163天，飞行里程打破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里，数据8300000用科学记数法表示为（ ）
A. 8.3×105 B. 8.3×106 C. 83×105 D. 0.83×107
3. 下列分类标识的图案既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说确的是（ ）
A. “清明时节雨纷纷”必然
B. 为了了解一批灯管的运用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙组队员的身高比较划一
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A. 85° B. 75° C. 60° D. 30°
7. 实数a、b、c在数轴上对应点的地位如图所示．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不残缺)，下列结论错误的是（ ）
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形统计图中的m为10%
C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D. 样本中选择公共交通出行的有2400人
9. 一元二次方程，配方后可形（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
11. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -6
12. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 当时，y随x增大而增大
C. 方程的根为0和2
D. 当时，x的取值范围是
13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
14. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同起点、同方向匀速跑步，先到起点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的工夫x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间距离超过32米的工夫范围是；
④乙到达起点时，甲距离起点还有68米．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填 空 题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分)
15. 在函数中，自变量x的取值范围是_____．
16. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，经过无人机的镜头C测一段程度雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同不断线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，)
17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
18. 如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接CG并延伸，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③，④，其中正确结论的序号是_____________．
三、解 答 题(在答题卡上解答，答在本试卷上有效，解答时要写出必要的文字阐明、证明过或演算步骤．共8题，满分96分)
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
21. 某学校九年级有12个班，每班50名先生，为了调查该校九年级先生平均每天的睡眠工夫，并规定如下：设每个先生平均每天的睡眠工夫为t(单位，小时)，将搜集到的先生平均每天睡眠工夫按t≤6、6
A．随机抽取一个班的先生
B．从12个班中，随机抽取50名先生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名先生，平均每天的睡眠工夫数据如表：
睡眠工夫t(小时)
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数(人)
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________；
②估计九年级先生平均每天睡眼工夫的人数大约为多少；
（3）从样本中先生平均每天睡眠工夫4个先生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠工夫都是6小时的概率．
22. 为传承传统文明，某地青少年计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
23. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，C，交对角线BD于点E，且，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的地位关系，并阐明理由；
（2）若，，求⊙O的半径．
25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上能否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请阐明理由．
26. 数学课上，有这样一道探求题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探求的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探求过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【成绩发现】
小明研讨了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研讨了时，如图2，求出了___________，___________；
【类比探求】
他们又共同研讨了α=120°时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
他们终于共同探求得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．
【中考数学】2022-2023学年内蒙古呼和浩特市专项提升仿真模拟试卷（一模）
一、选一选(每小题出的选项中只要一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应地位上按要求涂黑，每小题3分，共2分)
1. -2021的相反数是（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：-2021的相反数是2021，
故选：A．
本题考查了相反数的概念，解题关键是明确相反数的定义，精确求解．
2. 截至北京工夫2021年1月3日6时，我国执行火星探测任务的“天问一号”火星探测器曾经在轨飞行约163天，飞行里程打破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里，数据8300000用科学记数法表示为（ ）
A. 8.3×105 B. 8.3×106 C. 83×105 D. 0.83×107
【正确答案】B
【分析】直接利用科学记数法的定义及表示方式，其中，为整数求解即可．
【详解】解：根据科学记数法的定义及表示方式，其中，为整数，
则数据8300000用科学记数法表示为：，
故选：B．
本题考查了科学记数法的表示方式，解题的关键是：掌握其定义和表达方式，根据题意确定的值．
3. 下列分类标识的图案既是轴对称图形，又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形和对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
本题考查轴对称图形、对称图形，理解轴对称图形和对称图形是解答关键．
4. 下列说确的是（ ）
A. “清明时节雨纷纷”是必然
B. 为了了解一批灯管的运用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙组队员的身高比较划一
【正确答案】D
【分析】根据发生的可能性的大小判断即可．
【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机，故不符合题意；
B、为了了解一批灯管的运用寿命，不宜采用普查的方式进行，应采用抽查的方式进行，故不符合题意；
C、一组数据2，5，4，5，6，7众数、中位数都是，平均数为，故选项错误，不符合题意；
D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，
，
乙组队员的身高比较划一，故选项正确，符合题意；
故选：D．
本题考查了必然、随机、不可能、解题的关键是：理解几种的定义．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据去括号法则可判断A，根据合并同类项法则可判断B，根据乘法公式可判断C，利用单项式乘法法则与积的乘方法则可判断D．
【详解】解：A. ，故选项A去括号不正确，不符合题意；
B. ，故选项B合并同类项正确，符合题意；
C. ，故选项C公式展开不正确，不符合题意；
D. ，故选项D单项式乘法计算不正确，不符合题意．
故选择B．
本题考查去括号法则，同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法，掌握去括号法则，同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法是解题关键．
6. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A. 85° B. 75° C. 60° D. 30°
【正确答案】B
【详解】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
7. 实数a、b、c在数轴上对应点的地位如图所示．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据a+b=0，确定原点的地位，根据实数与数轴即可解答．
【详解】解：∵a+b=0，
∴原点在a，b的两头，
如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，，
故选：C．
本题考查了实数与数轴，处理本题的关键是确定原点的地位．
8. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不残缺)，下列结论错误的是（ ）
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形统计图中的m为10%
C. 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D. 样本中选择公共交通出行的有2400人
【正确答案】D
【分析】条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．
【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是，正确，不符合题意；
B、 故扇形图中的m为10%，正确，不符合题意；
C、若“五一”期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，正确，不符合题意；
D、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，错误，符合题意；
故选：D．
本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟习样本、用样本估计总体是解题的关键，另外留意学会分析图表．
9. 一元二次方程，配方后可形为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】把常数项移到方程左边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方方式即可
【详解】解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故选：A．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的方式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
10. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
【正确答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论．
【详解】解：连接AC，如图，
∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴，
∴
∴
故选：B．
此题次要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
11. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -6
【正确答案】B
【分析】把点P的坐标代入函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a-2b+1的值．
【详解】解：∵点P（a，b）在函数的图象上，
∴b=4a+3，
8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式的值等于-5．
故选：B．
本题考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足图象的解析式是关键．
12. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 当时，y随x增大而增大
C. 方程的根为0和2
D. 当时，x取值范围是
【正确答案】C
【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】解：将代入抛物线的解析式得；
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．
13. 一个几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据三视图可知此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长母线2．
【详解】解：此几何体为圆锥，
圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，
侧面积，
故选：A．
本题考查由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题关键．
14. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同起点、同方向匀速跑步，先到起点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的工夫x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的工夫范围是；
④乙到达起点时，甲距离起点还有68米．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】B
【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求工夫=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5（t-12）-4(t-12)32，和乙到起点，甲距起点列不等式4 t+12400-32解不等式可判断③；
根据乙到达起点工夫，求甲距起点距离可判断④即可
【详解】解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为=5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为米/秒，
∴乙追上甲所用工夫为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人次相遇时，距离起点60米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过32米设工夫为t秒，
∴5（t-12）-4(t-12)32，
∴t44，
当乙到达起点中止运动后，
4 t+12400-32，
∴t89，
甲、乙两人之间的距离超过32米的工夫范围是；
故③正确；
④乙到达起点时，
甲距起点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离起点还有68米．
故④正确；
正确的个数为3个．
故选择B．
本题考查函数的图像运用成绩，细心阅读标题，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握函数的图像运用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出发工夫，拐点的意义是解题关键．
二、填 空 题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分)
15. 在函数中，自变量x的取值范围是_____．
【正确答案】x≥－1且x≠
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：
解得：x≥-1且x≠
故x≥－1且x≠．
本题考查函数自变量的范围，普通从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
16. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，经过无人机的镜头C测一段程度雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同不断线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，)
【正确答案】438
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，图形计算即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
（米），
在中，，
则（米），
则（米），
故答案是：．
本题查考了解直角三角形的运用——仰角俯角成绩，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求解．
17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
【正确答案】
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：如图，
设正六边形的是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB=（mm）．
故．
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，纯熟运用锐角三角函数进行求解是关键．
18. 如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接CG并延伸，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③，④，其中正确结论的序号是_____________．
【正确答案】①②④
【分析】由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD=，BE=CE=，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由类似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH=DM=2=MH，由垂直平分线的性质可得AD=AH；由平行线分线段成比例可求GH的长，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为的正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD=，BE=CE=，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE=∠BAE，DE=AE，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC=，CE=，
∴，
∵S△DCE=×CD×CE=×DE×CH，
∴CH=2，
∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF=，
∴HF=CF-CH=3，
∴，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，
∵DC=，CH=2，
∴，
∵∠CDH+∠ADM=90°，∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDH=∠DAM，且AD=CD，∠CHD=∠AMD=90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴DM=CH=2，AM=DH=4，
∴MH=DM=2，且AM⊥DH，
∴AD=AH，故④正确；
∵DE=5，DH=4，
∴HE=1，ME=HE+MH=3，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴，
∴
∴HG=，故③错误，
所以，正确结论是①②④
故答案为①②④．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，类似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，纯熟运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解 答 题(在答题卡上解答，答在本试卷上有效，解答时要写出必要的文字阐明、证明过或演算步骤．共8题，满分96分)
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算m的值代入化简结果中求值可得．
【详解】解：
∵
∴当时，原式．
本题次要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）根据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
此题次要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
21. 某学校九年级有12个班，每班50名先生，为了调查该校九年级先生平均每天的睡眠工夫，并规定如下：设每个先生平均每天的睡眠工夫为t(单位，小时)，将搜集到的先生平均每天睡眠工夫按t≤6、6
A．随机抽取一个班的先生
B．从12个班中，随机抽取50名先生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名先生，平均每天的睡眠工夫数据如表：
睡眠工夫t(小时)
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数(人)
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________；
②估计九年级先生平均每天睡眼工夫的人数大约为多少；
（3）从样本中先生平均每天睡眠工夫的4个先生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠工夫都是6小时的概率．
【正确答案】（1）B；（2）①7，7；②144人；（3）
【分析】(1)根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行分析；
(2)①由众数好中位数的定义求解即可；
②由九年级人数乘以平均每天睡眼工夫t≥8的人数所占的比例即可；
(3)画树状图,共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠工夫都是6小时的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）不具有全面性，
故答案是：B．
（2）①这组数据的众数为小时，中位数为，
故答案是：．
解②：估计九年级先生平均每天睡眠工夫的人是大约为：
答：九年级先生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人．
（3）画树状图如下：
∴由树状图可知，一切等可能结果有12种，2人睡眠工夫都是6小时的结果有2种．
∴．
本题考查了用列表法求概率以及抽样调查、众数和中位数等知识，解题的关键是：列表法可以不反复不遗漏的列出一切可能的结果，合适于两步完成的，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 为传承传统文明，某地青少年计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
【正确答案】（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本
【分析】（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可处理成绩．
（2）设这次购买《西游记》本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，即可处理成绩．
【详解】解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元，
则
解得
答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别60元、60元．
（2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)．
《红楼梦》每本售价为 (元)，
设这次购买《西游记》本，则：
解得
∵为正整数，
∴取．
答：这次购买《西游记》最多为88本．
本题考查了二元方程组的运用以及一元不等式的运用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元不等式．
23. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
【正确答案】（1）①12；②或；（2）
【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；
（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的值和最小值即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴点A、B的“相关矩形”如图所示，
∴点A、B的“相关矩形”周长=
故12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且
∴点C的坐标为或
设直线AC的解析式为，
将，代入解得，
∴
将，代入解得，
∴
∴符合题意得直线AC的解析式为或．
（2）∵点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数的图象（3，-2）时，k=-6，
当函数的图象（6，-4）时，k=-24，
∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需求理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要留意将新旧知识贯穿．
24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，C，交对角线BD于点E，且，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的地位关系，并阐明理由；
（2）若，，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）相切，理由见解析；（2）5
【分析】（1）连接OB，由，可得，由，可证，可得，可得即可；
（2）由，可求，由， 可求，由勾股定理可求，利用垂径定理可得，进而，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】解：（1）AB与相切．理由如下：
连接OB，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵、是菱形的对角线
∴，，
∴
∴
∴，
∴是的切线
（2）又∵、是菱形的对角线，，
∴，
∵，
∴
∴在Rt△BMC中，
∴
∵OE⊥BC，BC为弦，
∴
∵
∴
设的半径为R；在Rt△OFB中，OB2=OF2+BF2，
∴
解得
∴的半径为5．
本题考查圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数，勾股定理，一元方程，掌握圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数，勾股定理，一元方程是解题关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上能否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请阐明理由．
【正确答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，由于PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相反，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得，
∴；
故答案为；
（2）将代得，
∴，
设直线的解析式为将，，
得，
解得，，
∴，
∵，交于点，
∴为定值，
∵，
把，记为定值，
过点作轴，垂足为，交于点，
设，则，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴有值，此时，
将代入中，得；
（3）存在，符合题意的点坐标为或或；
当点Q在x轴上方抛物线上时，
由于PF在x轴上，
又∵，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相反，
∴y=，
∴，
∴解得，
∵x=时为E点，
∴，
Q1()，
当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵PF在x轴上，
又∵四边形为平行四边形，
∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以yQ=，
∴，
整理得，
△=，
解得，
∴Q2（），Q3（），
符合题意的点坐标为或或．
本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．
26. 数学课上，有这样一道探求题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探求的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探求过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【成绩发现】
小明研讨了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研讨了时，如图2，求出了___________，___________；
【类比探求】
他们又共同研讨了α=120°时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
他们终于共同探求得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．
【正确答案】（1）【成绩发现】，60°；，45°；【类比探求】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30°
【分析】（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可处理，依此可得出规律；
（2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可处理成绩．
【详解】（1）【成绩发现】如图1，连接AE，PF，延伸EF、AP交于点Q，
当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝60°，
当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
如图2，连接AE，PF，延伸EF、AP交于点Q，
∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝45°，
【归纳总结】
由此，可归纳出，＝∠ACB＝；
（2）当，连接AE，PF，延伸EF、AP交于点Q，
∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝30°．
本题次要考查了三角形类似的判定与性质，经过处理本题感遭到：图形在变化但处理成绩的方法不变，领会“变中不变”的思想．
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