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2023年山西大学附中中考数学一模试卷
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2023年山西大学附中中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）1．（3分）反比例函数y=kx（k≠0）经过点（2，3），则k的值为（ ）A．0 B．3 C．6 D．52．（3分）下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．对顶角相等 C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）A．6 B．5 C．4 D．35．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°6．（3分）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米7．（3分）志愿者是自愿贡献个人的时间和精力，在不计物质报酬的前提下为推动人类发展、社会进步和社会福利事业而提供服务的人员，某医院要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（ ）A．12 B．13 C．23 D．168．（3分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）A．12元 B．10元 C．11元 D．9元9．（3分）对于二次函数y=-13x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较10．（3分）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）A．70° B．50° C．145° D．35°或145°二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）对于函数y=2x，当x＞﹣2，y的取值范围是 ．12．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD＝2，则点B的坐标为 ．13．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ cm．（结果保留根号）14．（3分）规定：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2．例如a→=（1，3），b→=（2，4），则a→⋅b→=1×2+3×4＝2+12＝14．已知a→=（x+1，x﹣1），b→=（x﹣3，4），则a→⋅b→的最小值是 ．15．（3分）如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ．三、解答题：55分16．（4分）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．17．（6分）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点．（1）画MC⊥OA，垂足为C；（2）画∠AOB的平分线，交MC于D；（3）过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）18．（6分）新冠疫情爆发后，某市体育中考必考项目跑步项目实行免考，选测项目从足球运球、篮球运球、排球垫球中选一项．（1）小明同学从3个项目中任选一个，恰好是篮球运球的概率为 ；（2）小明同学和小亮同学分别从选测项目各选一个，求两人选择同一个项目的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）．19．（6分）如图，在直角坐标系中，直线y=-13x与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象求-13x＜kx的解集；（3）将直线y=-13x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式．20．（6分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝4，求CE•CP的值．21．（7分）已知函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6）．（1）求此一次函数解析式，并画图象；（2）求函数y＝2x+4图象与坐标轴围成的三角形的面积．22．（10分）如图，已知直线a∥b，点C在直线b上，点B到直线a，b的距离分别为1，2．（1）利用直尺和圆规作出以BC为底的等腰△ABC，使点A在直线a上（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．23．（10分）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．（1）直接写出抛物线C1的解析式 ；（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（52，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为 ． 2023年山西大学附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）1．（3分）反比例函数y=kx（k≠0）经过点（2，3），则k的值为（ ）A．0 B．3 C．6 D．5【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．【解答】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）经过点（2，3），∴k＝2×3＝6．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．对顶角相等 C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3，正确，是真命题，不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质，难度不大．4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案．【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．5．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】连接BD，由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数，根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB＝90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数．【解答】解：连接BD，如图所示．∵点D是弧AC的中点，∴∠ABD＝∠CBD．∵∠ABC＝50°，AB是半圆的直径，∴∠ABD=12∠ABC＝25°，∠ADB＝90°，∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝65°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键．6．（3分）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．构建方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR=CRtan63.5°=1302=65（米），∵tan∠ADH=AHDH，∴x-13065+0.75x=0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．（3分）志愿者是自愿贡献个人的时间和精力，在不计物质报酬的前提下为推动人类发展、社会进步和社会福利事业而提供服务的人员，某医院要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（ ）A．12 B．13 C．23 D．16【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽到志愿者B和C的有2种结果，所以恰好抽到志愿者B和C的概率为26=13，故选：B．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（3分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）A．12元 B．10元 C．11元 D．9元【分析】设每件降价x元，则每件的销售利润为（65﹣x﹣45）元，每天可售出（30+5x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，可得出每件应降价10元．【解答】解：设每件降价x元，则每件的销售利润为（65﹣x﹣45）元，每天可售出（30+5x）件，根据题意得：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800，整理得：x2﹣14x+40＝0，解得：x1＝4，x2＝10，又∵要尽快减少库存，∴x＝10，∴每件应降价10元．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（3分）对于二次函数y=-13x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较【分析】根据y=-13x2+2中，-13＜0且对称轴为直线x＝0知x＞0时，y随x的增大而减小，据此解答可得．【解答】解：∵y=-13x2+2中，-13＜0且对称轴为直线x＝0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞0，∴y1＜y2，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．10．（3分）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）A．70° B．50° C．145° D．35°或145°【分析】分两种情况：当点C在A、B两点之外时；当点C在A、B两点之间时，由圆周角定理即可计算出∠ACB．【解答】解：当点C在A、B两点之外时，如图：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB=12∠AOB＝35°；当点C在A、B两点之间时，如图：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB=12（360°﹣∠AOB）＝145°，故∠ACB的度数为35°或145°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）对于函数y=2x，当x＞﹣2，y的取值范围是 y＜﹣1或y＞0 ．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：当x＝﹣2时，y＝﹣1，则于函数y=2x，当0＞x＞﹣2，y的取值范围是：y＜﹣1，当x＞0时，y的取值范围是：y＞0．故答案为：y＜﹣1或y＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确利用反比例函数的增减性分析是解题关键．12．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD＝2，则点B的坐标为 （2，0） ．【分析】连接CB，根据位似图形的概念得到点A为OC的中点，AB∥CD，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图：连接CB，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∴点A为OC的中点，AB∥CD，∵点B为OD的中点，∵CO＝CD＝2，∠OCD＝90°，∴OD=CO2+CD2=22，∴CB⊥OD，∵B（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．13．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ 10(5-1) cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金分割点的定义，即可解答．【解答】解：∵C为线段AB的黄金分割点，且AC较长线段，∴AC=5-12AB=5-12×20=10(5-1)cm，故答案为：10(5-1)．【点评】本题主要考查黄金分割点概念理解．熟记黄金比的值进行计算是解答本题的关键．14．（3分）规定：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2．例如a→=（1，3），b→=（2，4），则a→⋅b→=1×2+3×4＝2+12＝14．已知a→=（x+1，x﹣1），b→=（x﹣3，4），则a→⋅b→的最小值是 ﹣8 ．【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．【解答】解：根据题意知：a→⋅b→=（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．所以当x＝﹣1时，a→⋅b→=（﹣1+1）2﹣8＝﹣8．即a→⋅b→的最小值是﹣8．故答案是：﹣8．【点评】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．15．（3分）如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC＝12，那么线段GE的长为 4 ．【分析】先根据三角形重心性质得到AG＝2GD，AD＝CD=12BC＝6，再证明△AGE∽△ADC，然后利用相似比可计算GE的长．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴AD为中线，AG＝2GD，∴AD＝CD=12BC＝6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∴AGAD=GEDC，即GE6=23，∴GE＝4．故答案为4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解决本题的关键是理解三角形重心的性质．三、解答题：55分16．（4分）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，x2+12x＝﹣25，x2+12x+36＝﹣25+36，（x+6）2＝11，x+6＝±11，x+6=11或x+6=-11，x1=-6+11，x2=-6-11；（2）2x2+4x﹣1998＝0，x2+2x﹣999＝0，x2+2x＝999，x2+2x+1＝999+1，（x+1）2＝1000，x+1＝±1010，x+1＝1010或x+1＝﹣1010，x1=-1+1010，x2=-1-1010．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．17．（6分）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点．（1）画MC⊥OA，垂足为C；（2）画∠AOB的平分线，交MC于D；（3）过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）【分析】（1）利用过直线外一点作直线的垂线画MC⊥OA于C；（2）根据基本作图（作已知角的平分线）作OD平分∠AOB；（3）作∠ODE＝∠BOD可得到DE∥OB．【解答】解：（1）如图，MC为所作；（2）如图，OD为所作；（3）如图，DE为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．（6分）新冠疫情爆发后，某市体育中考必考项目跑步项目实行免考，选测项目从足球运球、篮球运球、排球垫球中选一项．（1）小明同学从3个项目中任选一个，恰好是篮球运球的概率为 13 ；（2）小明同学和小亮同学分别从选测项目各选一个，求两人选择同一个项目的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有91种等可能的结果，其中小明同学和小亮同学选择同一个项目的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）从3个球类项目中选一项，恰好是篮球运球的概率为13，故答案为：13；（2）把足球运球、篮球运球、排球垫球分别记为A、B、C，画树状图如下：共有91种等可能的结果，其中小明同学和小亮同学选择同一个项目的结果有3种，∴两人选择同一个项目的概率为39=13．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（6分）如图，在直角坐标系中，直线y=-13x与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象求-13x＜kx的解集；（3）将直线y=-13x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式．【分析】（1）将y＝3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；（2）根据图象即可求得；（3）连接AF、BF，设平移后的解析式为y=-13x+b，由平行线的性质可得出S△ABD＝S△ABC，结合正、反比例函数的对称性以及点A的坐标，即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）令一次函数y=-13x中y＝2，则2=-13x，解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，2），∵点A（﹣6，2）在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝﹣6×2＝﹣12，∴反比例函数的表达式为y=-12x；（2）由对称性可知：xB＝﹣xA，∵xA＝﹣6，∴xB＝6，由图象可知，-13x＜kx的解集为﹣6＜x＜0或x＞6；（3）连接AC、BC如图所示．设平移后的解析式为y=-13x+b，∵该直线平行直线AB，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABD的面积为36，∴S△ABC=12OC•（xB﹣xA）＝36，∴12b×12＝36，∴b＝6，∴平移后的直线的函数表达式为y=-13x+6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．20．（6分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝4，求CE•CP的值．【分析】（1）连接OP，根据圆周角定理可得∠AOP＝2∠ACP＝120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD＝90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连接BC，首先求出∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得CACP=CECA，然后可得CE•CP的值．【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连接OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°，∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，∵AB＝4，AC=ABsin45°=22．∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴CACP=CECA，∴CP•CE＝CA2＝（22）2＝8．【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．21．（7分）已知函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6）．（1）求此一次函数解析式，并画图象；（2）求函数y＝2x+4图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数的解析式，再画出图形即可；（2）先令x＝0，求出y的值，再令y＝0求出x的值即可得出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6），∴-2=-3k+b6=k+b，解得：k=2b=4，∴一次函数解析式为y＝2x+4；画出函数的图象如图：（2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积=12×2×4＝4．【点评】本题主要考查了一次函数图象的画法以及用待定系数法求函数解析式的方法．22．（10分）如图，已知直线a∥b，点C在直线b上，点B到直线a，b的距离分别为1，2．（1）利用直尺和圆规作出以BC为底的等腰△ABC，使点A在直线a上（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．【分析】（1）作BC的垂直平分线交直线a于点A即可；（2）根据题意，结合（1）证明△ABE≌△CAD，可得AE＝CD＝3，BE＝AD＝1，所以CF＝DE＝AE+AD＝4，利用割补法即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，点A即为所求；（2）如图，过点C作CD⊥a于D，则∠CDA+∠ABE＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠EAB+∠CAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠CAD，在△ABE和△CAD中，∠AEB=∠CDA∠AGE=∠CADAB=CA，∴△ABE≌△CAD（AAS），∴AE＝CD＝3，BE＝AD＝1，∴AB2＝AE2+BE2＝32+12＝10，∴△ABC的面积=12×AB2＝5．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的画法，平行线间的距离，等腰三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．23．（10分）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．（1）直接写出抛物线C1的解析式 y＝（x﹣1）2﹣4 ；（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（52，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为 n＝（1±22）m ．【分析】（1）逆向考虑，抛物线C2平移到抛物线C1，即可求抛物线C1的解析式；（2）求出A、B、P的点的坐标，设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，可以证明△BNQ∽△QMP，由相似可得12t2-2t-3=743-t，求出t即可；（3）求出M、N、E点坐标，设MD的解析式为y＝kx+b，将点M代入解析式可得y＝kx+m2﹣km，再由直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，联立方程kx+m2﹣km＝x2，由判别式Δ＝0可得k＝2m，则直线MD为y＝2mx﹣m2，在求出D点坐标代入MD的解析式即可求解．【解答】解：（1）由已知可知，抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y＝ax2+bx+c，∴抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵点P（52，t）在抛物线C1上，∴t＝（52-1）2﹣4，解得t=-74，∴P（52，-74），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴BMQN=PMBN，∴12t2-2t-3=743-t，∴t=-97或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t=-97，∴Q（-97，6049）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴Δ＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±22）m，故答案为n＝（1±22）m．【点评】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的平移特点，通过构造直角三角形相似求点的坐标，并会求直线与抛物线交点坐标是解题的关键． ABCA（B，A）（C，A）B（A，B）（C，B）C（A，C）（B，C）
2023年山西大学附中中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）1．（3分）反比例函数y=kx（k≠0）经过点（2，3），则k的值为（ ）A．0 B．3 C．6 D．52．（3分）下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．对顶角相等 C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）A．6 B．5 C．4 D．35．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°6．（3分）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米7．（3分）志愿者是自愿贡献个人的时间和精力，在不计物质报酬的前提下为推动人类发展、社会进步和社会福利事业而提供服务的人员，某医院要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（ ）A．12 B．13 C．23 D．168．（3分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）A．12元 B．10元 C．11元 D．9元9．（3分）对于二次函数y=-13x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较10．（3分）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）A．70° B．50° C．145° D．35°或145°二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）对于函数y=2x，当x＞﹣2，y的取值范围是 ．12．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD＝2，则点B的坐标为 ．13．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ cm．（结果保留根号）14．（3分）规定：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2．例如a→=（1，3），b→=（2，4），则a→⋅b→=1×2+3×4＝2+12＝14．已知a→=（x+1，x﹣1），b→=（x﹣3，4），则a→⋅b→的最小值是 ．15．（3分）如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ．三、解答题：55分16．（4分）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．17．（6分）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点．（1）画MC⊥OA，垂足为C；（2）画∠AOB的平分线，交MC于D；（3）过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）18．（6分）新冠疫情爆发后，某市体育中考必考项目跑步项目实行免考，选测项目从足球运球、篮球运球、排球垫球中选一项．（1）小明同学从3个项目中任选一个，恰好是篮球运球的概率为 ；（2）小明同学和小亮同学分别从选测项目各选一个，求两人选择同一个项目的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）．19．（6分）如图，在直角坐标系中，直线y=-13x与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象求-13x＜kx的解集；（3）将直线y=-13x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式．20．（6分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝4，求CE•CP的值．21．（7分）已知函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6）．（1）求此一次函数解析式，并画图象；（2）求函数y＝2x+4图象与坐标轴围成的三角形的面积．22．（10分）如图，已知直线a∥b，点C在直线b上，点B到直线a，b的距离分别为1，2．（1）利用直尺和圆规作出以BC为底的等腰△ABC，使点A在直线a上（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．23．（10分）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．（1）直接写出抛物线C1的解析式 ；（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（52，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为 ． 2023年山西大学附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）1．（3分）反比例函数y=kx（k≠0）经过点（2，3），则k的值为（ ）A．0 B．3 C．6 D．5【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．【解答】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）经过点（2，3），∴k＝2×3＝6．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．对顶角相等 C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3，正确，是真命题，不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质，难度不大．4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案．【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．5．（3分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】连接BD，由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数，根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB＝90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数．【解答】解：连接BD，如图所示．∵点D是弧AC的中点，∴∠ABD＝∠CBD．∵∠ABC＝50°，AB是半圆的直径，∴∠ABD=12∠ABC＝25°，∠ADB＝90°，∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝65°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键．6．（3分）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．构建方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR=CRtan63.5°=1302=65（米），∵tan∠ADH=AHDH，∴x-13065+0.75x=0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．（3分）志愿者是自愿贡献个人的时间和精力，在不计物质报酬的前提下为推动人类发展、社会进步和社会福利事业而提供服务的人员，某医院要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（ ）A．12 B．13 C．23 D．16【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽到志愿者B和C的有2种结果，所以恰好抽到志愿者B和C的概率为26=13，故选：B．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（3分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）A．12元 B．10元 C．11元 D．9元【分析】设每件降价x元，则每件的销售利润为（65﹣x﹣45）元，每天可售出（30+5x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，可得出每件应降价10元．【解答】解：设每件降价x元，则每件的销售利润为（65﹣x﹣45）元，每天可售出（30+5x）件，根据题意得：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800，整理得：x2﹣14x+40＝0，解得：x1＝4，x2＝10，又∵要尽快减少库存，∴x＝10，∴每件应降价10元．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（3分）对于二次函数y=-13x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较【分析】根据y=-13x2+2中，-13＜0且对称轴为直线x＝0知x＞0时，y随x的增大而减小，据此解答可得．【解答】解：∵y=-13x2+2中，-13＜0且对称轴为直线x＝0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞0，∴y1＜y2，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．10．（3分）A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为（ ）A．70° B．50° C．145° D．35°或145°【分析】分两种情况：当点C在A、B两点之外时；当点C在A、B两点之间时，由圆周角定理即可计算出∠ACB．【解答】解：当点C在A、B两点之外时，如图：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB=12∠AOB＝35°；当点C在A、B两点之间时，如图：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB=12（360°﹣∠AOB）＝145°，故∠ACB的度数为35°或145°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）对于函数y=2x，当x＞﹣2，y的取值范围是 y＜﹣1或y＞0 ．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：当x＝﹣2时，y＝﹣1，则于函数y=2x，当0＞x＞﹣2，y的取值范围是：y＜﹣1，当x＞0时，y的取值范围是：y＞0．故答案为：y＜﹣1或y＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确利用反比例函数的增减性分析是解题关键．12．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD＝2，则点B的坐标为 （2，0） ．【分析】连接CB，根据位似图形的概念得到点A为OC的中点，AB∥CD，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图：连接CB，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∴点A为OC的中点，AB∥CD，∵点B为OD的中点，∵CO＝CD＝2，∠OCD＝90°，∴OD=CO2+CD2=22，∴CB⊥OD，∵B（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．13．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ 10(5-1) cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金分割点的定义，即可解答．【解答】解：∵C为线段AB的黄金分割点，且AC较长线段，∴AC=5-12AB=5-12×20=10(5-1)cm，故答案为：10(5-1)．【点评】本题主要考查黄金分割点概念理解．熟记黄金比的值进行计算是解答本题的关键．14．（3分）规定：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2．例如a→=（1，3），b→=（2，4），则a→⋅b→=1×2+3×4＝2+12＝14．已知a→=（x+1，x﹣1），b→=（x﹣3，4），则a→⋅b→的最小值是 ﹣8 ．【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．【解答】解：根据题意知：a→⋅b→=（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．所以当x＝﹣1时，a→⋅b→=（﹣1+1）2﹣8＝﹣8．即a→⋅b→的最小值是﹣8．故答案是：﹣8．【点评】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．15．（3分）如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC＝12，那么线段GE的长为 4 ．【分析】先根据三角形重心性质得到AG＝2GD，AD＝CD=12BC＝6，再证明△AGE∽△ADC，然后利用相似比可计算GE的长．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴AD为中线，AG＝2GD，∴AD＝CD=12BC＝6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∴AGAD=GEDC，即GE6=23，∴GE＝4．故答案为4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解决本题的关键是理解三角形重心的性质．三、解答题：55分16．（4分）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，x2+12x＝﹣25，x2+12x+36＝﹣25+36，（x+6）2＝11，x+6＝±11，x+6=11或x+6=-11，x1=-6+11，x2=-6-11；（2）2x2+4x﹣1998＝0，x2+2x﹣999＝0，x2+2x＝999，x2+2x+1＝999+1，（x+1）2＝1000，x+1＝±1010，x+1＝1010或x+1＝﹣1010，x1=-1+1010，x2=-1-1010．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．17．（6分）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点．（1）画MC⊥OA，垂足为C；（2）画∠AOB的平分线，交MC于D；（3）过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）【分析】（1）利用过直线外一点作直线的垂线画MC⊥OA于C；（2）根据基本作图（作已知角的平分线）作OD平分∠AOB；（3）作∠ODE＝∠BOD可得到DE∥OB．【解答】解：（1）如图，MC为所作；（2）如图，OD为所作；（3）如图，DE为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．（6分）新冠疫情爆发后，某市体育中考必考项目跑步项目实行免考，选测项目从足球运球、篮球运球、排球垫球中选一项．（1）小明同学从3个项目中任选一个，恰好是篮球运球的概率为 13 ；（2）小明同学和小亮同学分别从选测项目各选一个，求两人选择同一个项目的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有91种等可能的结果，其中小明同学和小亮同学选择同一个项目的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）从3个球类项目中选一项，恰好是篮球运球的概率为13，故答案为：13；（2）把足球运球、篮球运球、排球垫球分别记为A、B、C，画树状图如下：共有91种等可能的结果，其中小明同学和小亮同学选择同一个项目的结果有3种，∴两人选择同一个项目的概率为39=13．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（6分）如图，在直角坐标系中，直线y=-13x与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象求-13x＜kx的解集；（3）将直线y=-13x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式．【分析】（1）将y＝3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；（2）根据图象即可求得；（3）连接AF、BF，设平移后的解析式为y=-13x+b，由平行线的性质可得出S△ABD＝S△ABC，结合正、反比例函数的对称性以及点A的坐标，即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）令一次函数y=-13x中y＝2，则2=-13x，解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，2），∵点A（﹣6，2）在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝﹣6×2＝﹣12，∴反比例函数的表达式为y=-12x；（2）由对称性可知：xB＝﹣xA，∵xA＝﹣6，∴xB＝6，由图象可知，-13x＜kx的解集为﹣6＜x＜0或x＞6；（3）连接AC、BC如图所示．设平移后的解析式为y=-13x+b，∵该直线平行直线AB，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABD的面积为36，∴S△ABC=12OC•（xB﹣xA）＝36，∴12b×12＝36，∴b＝6，∴平移后的直线的函数表达式为y=-13x+6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．20．（6分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝4，求CE•CP的值．【分析】（1）连接OP，根据圆周角定理可得∠AOP＝2∠ACP＝120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD＝90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连接BC，首先求出∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得CACP=CECA，然后可得CE•CP的值．【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连接OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°，∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，∵AB＝4，AC=ABsin45°=22．∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴CACP=CECA，∴CP•CE＝CA2＝（22）2＝8．【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．21．（7分）已知函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6）．（1）求此一次函数解析式，并画图象；（2）求函数y＝2x+4图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数的解析式，再画出图形即可；（2）先令x＝0，求出y的值，再令y＝0求出x的值即可得出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6），∴-2=-3k+b6=k+b，解得：k=2b=4，∴一次函数解析式为y＝2x+4；画出函数的图象如图：（2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积=12×2×4＝4．【点评】本题主要考查了一次函数图象的画法以及用待定系数法求函数解析式的方法．22．（10分）如图，已知直线a∥b，点C在直线b上，点B到直线a，b的距离分别为1，2．（1）利用直尺和圆规作出以BC为底的等腰△ABC，使点A在直线a上（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．【分析】（1）作BC的垂直平分线交直线a于点A即可；（2）根据题意，结合（1）证明△ABE≌△CAD，可得AE＝CD＝3，BE＝AD＝1，所以CF＝DE＝AE+AD＝4，利用割补法即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，点A即为所求；（2）如图，过点C作CD⊥a于D，则∠CDA+∠ABE＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠EAB+∠CAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠CAD，在△ABE和△CAD中，∠AEB=∠CDA∠AGE=∠CADAB=CA，∴△ABE≌△CAD（AAS），∴AE＝CD＝3，BE＝AD＝1，∴AB2＝AE2+BE2＝32+12＝10，∴△ABC的面积=12×AB2＝5．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的画法，平行线间的距离，等腰三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．23．（10分）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．（1）直接写出抛物线C1的解析式 y＝（x﹣1）2﹣4 ；（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（52，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为 n＝（1±22）m ．【分析】（1）逆向考虑，抛物线C2平移到抛物线C1，即可求抛物线C1的解析式；（2）求出A、B、P的点的坐标，设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，可以证明△BNQ∽△QMP，由相似可得12t2-2t-3=743-t，求出t即可；（3）求出M、N、E点坐标，设MD的解析式为y＝kx+b，将点M代入解析式可得y＝kx+m2﹣km，再由直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，联立方程kx+m2﹣km＝x2，由判别式Δ＝0可得k＝2m，则直线MD为y＝2mx﹣m2，在求出D点坐标代入MD的解析式即可求解．【解答】解：（1）由已知可知，抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y＝ax2+bx+c，∴抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵点P（52，t）在抛物线C1上，∴t＝（52-1）2﹣4，解得t=-74，∴P（52，-74），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴BMQN=PMBN，∴12t2-2t-3=743-t，∴t=-97或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t=-97，∴Q（-97，6049）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴Δ＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±22）m，故答案为n＝（1±22）m．【点评】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的平移特点，通过构造直角三角形相似求点的坐标，并会求直线与抛物线交点坐标是解题的关键． ABCA（B，A）（C，A）B（A，B）（C，B）C（A，C）（B，C）
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