2022-2023学年福建省泉州一中八年级（上）期中数学试卷

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2022-2023学年福建省泉州一中八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（4分）下列x的值能使二次根式有意义的是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（4分）下列计算正确的是（　　）A． B． C． D．3．（4分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　）A．12 B．7 C．2 D．144．（4分）下列计算中，错误的是（　　）A．5a3﹣a3＝4a3 B．（﹣a）2•a3＝a5 C．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5 D．2m•3n＝6m+n5．（4分）等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，则它的周长为（　　）A．10 B．13 C．17 D．13或176．（4分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）+x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+47．（4分）如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（　　）A．AD∥BC B．BE∥DF C．BE＝DF D．∠A＝∠C8．（4分）若2﹣x成立，则x的取值范围是（　　）A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数9．（4分）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）A．30° B．20° C．25° D．15°10．（4分）如图，在等边△ABC中，在BC边上取两点D、E，使∠DAE＝30°．若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则以x、y、z为边长的三角形的形状为（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、y、z的值而定二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）化简二次根式：　 　．12．（4分）如果一个数的平方等于5，那么这个数是　 　．13．（4分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为　 　°．14．（4分）分解因式：5x2﹣5y2＝　 　．15．（4分）已知a、b、c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则（b﹣c）2＝　 　．16．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE＝60°，若AD＝5，DE＝7，则CD＝　 　．三．解答题（共9小题）17．（8分）计算：．18．（8分）先化简，再求值：（2+3x）（2+3x）+5x（x﹣1）+（2x+1）2，其中x＝3．19．（8分）如图，点C、D在线段BF上，AB∥DE，∠A＝∠F，求证：BC＝DE．20．（8分）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．21．（8分）新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图，某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴中心B到地面的距离BD＝3m．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝1.8m；当从A处摆动到A'处时，有A'B⊥AB．（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．22．（10分）在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2可以用图（1）表示．（1）根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式 　 　．（2）有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．23．（10分）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．24．（12分）为庆祝泉州一中80周年校庆，两校区初一数学兴趣小组的同学们一起研究了以下一个有趣的数学问题：如果一个两位正整数m的个位数为8，那么就称m为“一中数”．（1）求证：对任意“一中数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m＝p2﹣q2，且p、q为正整数，则称数对（p，q）为“一中数对”，并规定：，例如68＝182﹣162，称数对（18，16）为“一中数对”，则，求小于50的“一中数”中，所有“一中数对”的H（m）的最大值．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作线段AD，使AB＝AD，连接BD、CD．（1）如图1，当∠ABC＝30°时，求∠BDC的度数；（2）如图2，求证：；（3）如图3，在（1）的条件下，过点D作DF⊥BD，垂足为点F，并延长FD到点E，使DA＝DE，连接AE交DC于点M，若BD＝DM＝2，求AE的长．2022-2023学年福建省泉州一中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（4分）下列x的值能使二次根式有意义的是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得，x≥1，故x的值可以为1，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．2．（4分）下列计算正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平方根和立方根的相关知识进行计算、辨别．【解答】解：∵5，∴选项A不符合题意；∵4，∴选项B不符合题意；∵±±2，∴选项C不符合题意；∵（）2＝（﹣2）2＝4，∴选项D符合题意，故选：D．【点评】此题考查了利用平方根与立方根的知识解决问题的能力，关键是能准确理解相关知识并进行正确的计算．3．（4分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　）A．12 B．7 C．2 D．14【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，CB＝CE，∵CE＝5，AC＝7，∴CB＝5，DC＝7，∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．故选：A．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．4．（4分）下列计算中，错误的是（　　）A．5a3﹣a3＝4a3 B．（﹣a）2•a3＝a5 C．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5 D．2m•3n＝6m+n【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则等知识求解即可求得答案．【解答】解：A、5a3﹣a3＝4a3，正确，本选项不符合题意；B、（﹣a）2•a3＝a5，正确，本选项不符合题意；C、（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5，正确，本选项不符合题意；D、2m•3n≠6m+n，错误，本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是合并同类项法则，同底数幂的乘法，需注意区别：同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘．5．（4分）等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，则它的周长为（　　）A．10 B．13 C．17 D．13或17【分析】因为边为3和7，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，∵3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有17．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．6．（4分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）+x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，由定义判断即可．【解答】解：A．从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；C．是因式分解，故C符合题意；D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是关键．7．（4分）如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（　　）A．AD∥BC B．BE∥DF C．BE＝DF D．∠A＝∠C【分析】在△ADF与△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【解答】解：∵AE＝CF，∴AF＝CE，A、添加AD∥BC，可得到∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．B、添加BE∥DF，可得到∠BEC＝∠AFD，不能判定△ADF≌△CBE，故本选项符合题意．C、添加BE＝DF，由全等三角形的判定定理SSS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．D、添加∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（4分）若2﹣x成立，则x的取值范围是（　　）A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数【分析】根据二次根式的性质，利用|a|以及绝对值的意义进行解答即可．【解答】解：∵|x﹣2|＝2﹣x，∴x﹣2≤0，∴x≤2，故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握|a|以及绝对值的意义是正确解答的前提．9．（4分）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）A．30° B．20° C．25° D．15°【分析】由等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠CAD30°，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，进而可求解．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的一条中线，∴AD⊥BC，∠CAD∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故选：D．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．10．（4分）如图，在等边△ABC中，在BC边上取两点D、E，使∠DAE＝30°．若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则以x、y、z为边长的三角形的形状为（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、y、z的值而定【分析】如图，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，证明△ADE≌△AFE（SAS），可得∠ECF＝120°，从而得答案．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，∴∠ACF＝∠B＝60°，CF＝BD＝x，∠CAF＝∠BAD，AD＝AF，∵∠DAE＝30°，∴∠CAF+∠CAE＝∠EAF＝30°＝∠DAE，∵AE＝AE，AD＝AF，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴EF＝DE＝y，∴∠ECF＝60°+60°＝120°，∴△EFC是钝角三角形，即以x、y、z为边长的三角形为钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，利用旋转作三角形全等是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）化简二次根式：　　．【分析】原二次根式的被开方数中含有未开尽方的因数4，因此要将它开方到根号外．【解答】解：2．【点评】化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．12．（4分）如果一个数的平方等于5，那么这个数是　　．【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±）2＝5∴这个数是±．故答案是：±【点评】本题主要考查了平方根的定义，一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．13．（4分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为　30　°．【分析】根据△ACB≌△A′CB′，可得∠ACB＝∠A′CB′，然后利用∠BCB′＝30°和等量代换即可求出∠ACA′的度数．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∵∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′＝∠ACB﹣∠A′CB，∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°．故答案为：30°【点评】此题主要考查学生对全等三角形的性质这一知识点的理解和掌握，关键是根据△ACB≌△A′CB′，可得∠ACB＝∠A′CB′，此题比较简单，要求同学们应熟练掌握．14．（4分）分解因式：5x2﹣5y2＝　5（x+y）（x﹣y）　．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．15．（4分）已知a、b、c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则（b﹣c）2＝　4　．【分析】直接利用已知结合完全平方公式将原式变形求出答案．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝7﹣1﹣17，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2﹣11＝﹣11，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴（b﹣c）2＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了因式分解的应用以及偶次方的性质，正确将原式变形是解题关键．16．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE＝60°，若AD＝5，DE＝7，则CD＝　2　．【分析】利用等腰三角形的性质得出，∠CAE＝∠CEA，再证出∠DAC＝∠CEA，在AE上截取EM＝AD，进而得出△ACD≌△ECM，进而得出△MCD为等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵CA＝CB，CE＝CA，∴BC＝CE，∠CAE＝∠CEA，∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DAC+∠ACD＝∠EDC＝60°，∴∠DAC＝∠CEA＝15°，在AE上截取EM＝AD，连接CM．在△ACD和△ECM中，，∴△ACD≌△ECM（SAS），∴CD＝CM，∵∠CDE＝60°，∴△MCD为等边三角形，∴CD＝DM＝7﹣5＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定和三角形外角的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．三．解答题（共9小题）17．（8分）计算：．【分析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和立方根的意义化简运算即可．【解答】解：原式3﹣21．【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，算术平方根的意义和立方根的意义，正确利用上述法则与性质是解题的关键．18．（8分）先化简，再求值：（2+3x）（2+3x）+5x（x﹣1）+（2x+1）2，其中x＝3．【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（2+3x）（2+3x）+5x（x﹣1）+（2x+1）2＝4+12x+9x2+5x2﹣5x+4x2+4x+1＝18x2+11x+5，当x＝3时，原式＝18×（3）2+11×3+5＝162+9+5＝176．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式化简求值的方法是关键．19．（8分）如图，点C、D在线段BF上，AB∥DE，∠A＝∠F，求证：BC＝DE．【分析】先由平行线得出∠B＝∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵AB∥DE∴∠B＝∠EDF；在△ABC和△FDE中，，∴△ABC≌△FDE（ASA），∴BC＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．20．（8分）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．【分析】（1）先求出x的值，再根据x＝1﹣2a列出方程，求出a的值；（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出a，然后求出x，最后求出这个正数．【解答】解：（1）∵x的算术平方根为3，∴x＝32＝9，即1﹣2a＝9，∴a＝﹣4；（2）根据题意得：x+y＝0，即：1﹣2a+3a﹣4＝0，∴a＝3，∴x＝1﹣2a＝1﹣2×3＝1﹣6＝﹣5，∴这个正数为（﹣5）2＝25．【点评】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系．21．（8分）新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图，某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴中心B到地面的距离BD＝3m．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝1.8m；当从A处摆动到A'处时，有A'B⊥AB．（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中， ∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.8；∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2，∴A'F＝1.2，即A'到BD的距离是1.2m．（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝2m，作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，即A'到地面的距离是1m．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2可以用图（1）表示．（1）根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式 　（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2　．（2）有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．【分析】（1）由，图（2）中最大的长方形的面积等于各部分来看面积之和，列式可得答案；（2）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；根据面积相等可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【解答】解：（1）图（2）中最大的长方形的面积为：（a+2b）（2a+b），各部分来看面积之和为：2a2+5ab+2b2，故可得等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）如图：或这个长方形的代数意义是：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，充分利用面积相等来列式、数形结合是解答本题的关键．23．（10分）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．【分析】先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，而∠B＝∠C＝45°，所以∠B＝∠DAF，再加上BE＝AF，AD＝BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，从而得出∠EDF＝90°，即△DEF是等腰直角三角形．【解答】证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点，∴ADBD＝CD，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即：∠EDF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是画出辅助线AD，再证出△BDE≌△ADF和∠EDF＝90°．24．（12分）为庆祝泉州一中80周年校庆，两校区初一数学兴趣小组的同学们一起研究了以下一个有趣的数学问题：如果一个两位正整数m的个位数为8，那么就称m为“一中数”．（1）求证：对任意“一中数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m＝p2﹣q2，且p、q为正整数，则称数对（p，q）为“一中数对”，并规定：，例如68＝182﹣162，称数对（18，16）为“一中数对”，则，求小于50的“一中数”中，所有“一中数对”的H（m）的最大值．【分析】（1）设“一中数”m的个位数字为x，用x表示m，再化简判断；（2）先求出所有的满足条件的m，再求出H（m）的值，再比较求值．【解答】解：（1）设“一中数”m的个位数字为x，则m＝10x+8，则m2﹣64＝（10a+8）2﹣64＝100a2+160a+64﹣64＝20（5x2+6x），所以m2﹣64一定为20的倍数；（2）小于50的“一中数”有：48＝132﹣112＝82﹣42＝72﹣12，28＝82﹣62，∴H（48），H（，48），H（48），H（，28），所以所有的小于50的“一中数对”的H（m）的最大值为：．【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作线段AD，使AB＝AD，连接BD、CD．（1）如图1，当∠ABC＝30°时，求∠BDC的度数；（2）如图2，求证：；（3）如图3，在（1）的条件下，过点D作DF⊥BD，垂足为点F，并延长FD到点E，使DA＝DE，连接AE交DC于点M，若BD＝DM＝2，求AE的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质分别求出∠ADB和∠ADC的度数，即可求解；（2）设∠BAD＝x，则∠DAC＝∠BAC﹣x，由等腰三角形的性质分别求出∠ADB和∠ADC的度数，可得结论；（3）首先证明△DMN是等边三角形，可得DM＝DN＝MN＝2，由“ASA”可证△ACM≌△BAN，可得AM＝BN＝4，由“AAS”可证△ADM≌△EDN，可得NE＝AM＝4，即可求解．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，设∠BAD＝x，则∠DAC＝120°﹣x，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB90°，∠ADC＝∠ACD＝30°，∴∠BDC＝90°30°120°；（2）证明：设∠BAD＝x，则∠DAC＝∠BAC﹣x，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB90°，∠ADC＝∠ACD90°，∴∠BDC＝90°90°180°，∴∠BDC∠BAC＝180°；（3）解：如图3，延长ED至H，使DH＝DE，连接AH，过点D作DQ⊥AH于Q，过点A作AP⊥CD于P，连接BM，延长BD交AE于N，∵DE＝AD＝DH，∴∠EAH＝90°，∵DQ⊥AH，HD＝AD，∴∠ADQ＝∠HDQ，∠DQH＝∠EAH，∴DQ∥EA，设∠BAD＝x，则∠DAC＝120°﹣x，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB90°，∠ADC＝∠ACD＝30°，∴∠DBC＝∠ABD﹣30°＝60°，∵DF⊥BC，∴∠BDF＝90°﹣∠DBC＝30°，∴∠DBF＝∠ADC，∴∠BDQ＝∠CDQ，又∵BD＝DM＝2，∠BDC＝120°，∴DQ⊥BM，∠DBM＝∠DMB＝30°，∴BM⊥AE，∴∠BMN＝90°＝∠BMA，又∵∠DBM＝∠DMB＝30°，∴∠DMN＝∠DNM＝60°，∴△DMN是等边三角形，∴DM＝DN＝MN＝2，∴BN＝4，∵∠DMN＝∠DNM＝60°＝∠AMC，∴∠MAC+∠ACM＝120°＝∠BAN+∠ABN，又∵∠BAC＝120°＝∠BAN+∠MAC，∴∠BAN＝∠ACM，∠MAC＝∠ABN，又∵AB＝AC，∴△ACM≌△BAN（ASA），∴AM＝BN＝4，∵AD＝AE，∴∠E＝∠DAE，∵∠DMN＝∠DNM＝60°，∴∠DNE＝∠DMA＝120°，又∵AD＝DE，∴△ADM≌△EDN（AAS），∴NE＝AM＝4，∴AE＝NE+MN+AM＝4+4+2＝10．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 22:14:45；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214