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2022-2023学年河南省驻马店市确山县八年级（上）期中数学试卷
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2022-2023学年河南省驻马店市确山县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）A．0.5cm B．1.2cm C．1.5cm D．0.7cm2．（3分）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．4．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根5．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）A．30 B．27 C．35 D．406．（3分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对7．（3分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个9．（3分）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）A． B． C． D．10．（3分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．下列说法正确的是（ ）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的外角和度数是 ．12．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2022的值 ．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．14．（3分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西30°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠CAB等于 度．15．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．（2）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，判断△ABC的形状，并说明理由．17．（9分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．18．（9分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．19．（9分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，∠D＝∠C．（1）要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是 ．（2）根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？20．（9分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；②沿河岸直走15m有一棵树C，继续前行15m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为6.5m．（1）河流的宽度为 m；（2）请你说明他们做法的正确性．21．（9分）已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝ ，∴△C′O′D′≌△COD（ ）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（ ）22．（10分）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．（1）如图，若∠B＝50°，则∠AEF+∠FDC＝ ；（2）在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．23．（10分）问题情境七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八上教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明；变式拓展：（2）如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由． 2022-2023学年河南省驻马店市确山县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）A．0.5cm B．1.2cm C．1.5cm D．0.7cm【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近1.5cm，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．2．（3分）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】利用全等图形的定义进行判断即可．【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意；B、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；C、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意；D、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．3．（3分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：A选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D选项是轴对称图形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．4．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．【解答】解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．5．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）A．30 B．27 C．35 D．40【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．6．（3分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对【分析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．故选：B．【点评】考查全面准确的识图能力．7．（3分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO＝A′O，BO＝B′O，再有∠AOA′＝∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．9．（3分）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定和性质进行分析判断．【解答】解：选项A，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∵QA＝QB，∴点Q在线段AB的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项B，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，∵PB＝QB，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；选项D，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，∵PB＝QB，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查尺规作图，准确识图，掌握线段垂直平分线的判定和性质是解题关键．10．（3分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．下列说法正确的是（ ）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，∴A的说法不正确，不符合题意；∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，∴B的说法正确，符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，∴C的说法不正确，不符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，∴D的说法不正确，不符合题意；综上，B的说法正确．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的外角和度数是 360° ．【分析】多边形外角和是360°进行解答即可．【解答】解：根据题意可得，多边形外角和是360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查了多边形外角和，正确记忆多边形外角和是定值是解决本题的关键．12．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2022的值 1 ．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，∴a＝4，b＝﹣3，则（a+b）2022＝（4﹣3）2022＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（答案不唯一） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．14．（3分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西30°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠CAB等于 30 度．【分析】先根据方向角的定义得出∠DAC与∠DAB的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，∴∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝80°﹣50°＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了方向角，熟知方向角的定义是解题的关键．15．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 （1，6） ．【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC＝BE，AD＝CE，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8，∴CD＝OD﹣OC＝6，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，∴BE＝6，∴则B点的坐标是（1，6）故答案为（1，6）【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．（2）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）根据三角形的三边关系可得a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，进一步解答即可；（2）根据设∠A＝x，∠B＝x，∠c＝2x，由三角形的内角和定理得∠C的度数，即可判定△ABC的形状．【解答】解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，∴|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴设∠A＝x，∠B＝x，∠c＝2x，由三角形的内角和定理得，x+x+2x＝180°，∴x＝45°，∴2x＝90°，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了三角形三边关系、直角三角形的判定，熟练掌握这些知识是解题的关键．17．（9分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ 3 ．【分析】（1）利用网格特点，作AD的垂直平分线即可；（2）连接CD，与直线l的交点即为所求；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，直线l即为所求．（2）如图所示，点P即为所求；（3）△ABC的面积＝2×41×21×42×2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．18．（9分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（9分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，∠D＝∠C．（1）要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是 OA＝OB（答案不唯一） ．（2）根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？【分析】（1）根据题意，可以条件OA＝OB即可；（2）先证明△AOD≌△BOC（AAS），从而可得BD＝AC，∠OAB＝∠OBA，根据ASA证明△ABD≌△BAC即可．【解答】（1）可以添加一个条件：OA＝OB，故答案为：OA＝OB（答案不唯一）；（2）在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OD＝OC，∵OA＝OB，∴BD＝AC，∠OAB＝∠OBA，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．（9分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；②沿河岸直走15m有一棵树C，继续前行15m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为6.5m．（1）河流的宽度为 6.5 m；（2）请你说明他们做法的正确性．【分析】（1）根据全等三角形的性质就得到结论；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）解：河流的宽度为6.5m，故答案为：6.5；（2）证明：如图，由作法知：AB⊥BD，ED⊥BD，BC＝DC＝15m，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝6.5m，即他们的做法是正确的．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．21．（9分）已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝ DC ，∴△C′O′D′≌△COD（ SSS ）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（ 全等三角形的对应角相等 ）【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∠A′O′B′即为所求；（2）证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）故答案为：DC，SSS，全等三角形的对应角相等．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．22．（10分）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．（1）如图，若∠B＝50°，则∠AEF+∠FDC＝ 100° ；（2）在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．【分析】（1）在△BDE中，利用三角形内角和定理，可求出∠BDE+∠BED的度数，结合折叠的性质，可得出∠FDE+∠FED的度数，再由平角等于180°，即可求出∠AEF+∠FDC的度数；（2）∠AEF+∠FDC＝2∠B，在△BDE中，利用三角形内角和定理，可用∠B表示出∠BDE+∠BED的度数，结合折叠的性质，可用∠B表示出∠FDE+∠FED的度数，再由平角等于180°，即可找出∠AEF+∠FDC＝2∠B．【解答】解：（1）在△BDE中，∠B＝50°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．由折叠的性质，可知：∠FDE＝∠BDE，∠FED＝∠BED，∴∠FDE+∠FED＝∠BDE+∠BED＝130°．又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC＝180°，∠BED+∠FED+∠AEF＝180°，∴∠AEF+∠FDC＝180°﹣（∠BED+∠FED）+180°﹣（∠BDE+∠FDE）＝360°﹣（∠BDE+∠BED）﹣（∠FDE+∠FED）＝360°﹣130°﹣130°＝100°．故答案为：100°；（2）∠AEF+∠FDC＝2∠B．证明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B．由折叠的性质，可知：∠FDE＝∠BDE，∠FED＝∠BED，∴∠FDE+∠FED＝∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B．又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC＝180°，∠BED+∠FED+∠AEF＝180°，∴∠AEF+∠FDC＝180°﹣（∠BED+∠FED）+180°﹣（∠BDE+∠FDE）＝360°﹣（∠BDE+∠BED）﹣（∠FDE+∠FED）＝360°﹣（180°﹣∠B）﹣（180°﹣∠B）＝2∠B，即∠AEF+∠FDC＝2∠B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．23．（10分）问题情境七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八上教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明；变式拓展：（2）如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论．（2）①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论．②结论：OE﹣OF＝OP．证明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得结论．【解答】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE．（2）①解：结论：PE＝PF．理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE．②解：结论：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM∠AOB＝60°，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:53:42；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214 证法1：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器测量所得）又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．证法1：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器测量所得）又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
2022-2023学年河南省驻马店市确山县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）A．0.5cm B．1.2cm C．1.5cm D．0.7cm2．（3分）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．4．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根5．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）A．30 B．27 C．35 D．406．（3分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对7．（3分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个9．（3分）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）A． B． C． D．10．（3分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．下列说法正确的是（ ）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的外角和度数是 ．12．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2022的值 ．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．14．（3分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西30°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠CAB等于 度．15．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．（2）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，判断△ABC的形状，并说明理由．17．（9分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．18．（9分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．19．（9分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，∠D＝∠C．（1）要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是 ．（2）根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？20．（9分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；②沿河岸直走15m有一棵树C，继续前行15m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为6.5m．（1）河流的宽度为 m；（2）请你说明他们做法的正确性．21．（9分）已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝ ，∴△C′O′D′≌△COD（ ）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（ ）22．（10分）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．（1）如图，若∠B＝50°，则∠AEF+∠FDC＝ ；（2）在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．23．（10分）问题情境七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八上教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明；变式拓展：（2）如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由． 2022-2023学年河南省驻马店市确山县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1．（3分）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）A．0.5cm B．1.2cm C．1.5cm D．0.7cm【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近1.5cm，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．2．（3分）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】利用全等图形的定义进行判断即可．【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意；B、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；C、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意；D、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．3．（3分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：A选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D选项是轴对称图形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．4．（3分）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．【解答】解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．5．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）A．30 B．27 C．35 D．40【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．6．（3分）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对【分析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．故选：B．【点评】考查全面准确的识图能力．7．（3分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO＝A′O，BO＝B′O，再有∠AOA′＝∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．9．（3分）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定和性质进行分析判断．【解答】解：选项A，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∵QA＝QB，∴点Q在线段AB的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项B，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，∵PB＝QB，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；选项D，连接PA，PB，QA，QB，∵PA＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，∵PB＝QB，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查尺规作图，准确识图，掌握线段垂直平分线的判定和性质是解题关键．10．（3分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．下列说法正确的是（ ）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，∴A的说法不正确，不符合题意；∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，∴B的说法正确，符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，∴C的说法不正确，不符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，∴D的说法不正确，不符合题意；综上，B的说法正确．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的外角和度数是 360° ．【分析】多边形外角和是360°进行解答即可．【解答】解：根据题意可得，多边形外角和是360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查了多边形外角和，正确记忆多边形外角和是定值是解决本题的关键．12．（3分）已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2022的值 1 ．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，∴a＝4，b＝﹣3，则（a+b）2022＝（4﹣3）2022＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（答案不唯一） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．14．（3分）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西30°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠CAB等于 30 度．【分析】先根据方向角的定义得出∠DAC与∠DAB的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，∴∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝80°﹣50°＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了方向角，熟知方向角的定义是解题的关键．15．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 （1，6） ．【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC＝BE，AD＝CE，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8，∴CD＝OD﹣OC＝6，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，∴BE＝6，∴则B点的坐标是（1，6）故答案为（1，6）【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．（2）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）根据三角形的三边关系可得a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，进一步解答即可；（2）根据设∠A＝x，∠B＝x，∠c＝2x，由三角形的内角和定理得∠C的度数，即可判定△ABC的形状．【解答】解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，∴|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴设∠A＝x，∠B＝x，∠c＝2x，由三角形的内角和定理得，x+x+2x＝180°，∴x＝45°，∴2x＝90°，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了三角形三边关系、直角三角形的判定，熟练掌握这些知识是解题的关键．17．（9分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ 3 ．【分析】（1）利用网格特点，作AD的垂直平分线即可；（2）连接CD，与直线l的交点即为所求；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，直线l即为所求．（2）如图所示，点P即为所求；（3）△ABC的面积＝2×41×21×42×2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．18．（9分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（9分）如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，∠D＝∠C．（1）要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是 OA＝OB（答案不唯一） ．（2）根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？【分析】（1）根据题意，可以条件OA＝OB即可；（2）先证明△AOD≌△BOC（AAS），从而可得BD＝AC，∠OAB＝∠OBA，根据ASA证明△ABD≌△BAC即可．【解答】（1）可以添加一个条件：OA＝OB，故答案为：OA＝OB（答案不唯一）；（2）在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OD＝OC，∵OA＝OB，∴BD＝AC，∠OAB＝∠OBA，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．（9分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；②沿河岸直走15m有一棵树C，继续前行15m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为6.5m．（1）河流的宽度为 6.5 m；（2）请你说明他们做法的正确性．【分析】（1）根据全等三角形的性质就得到结论；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）解：河流的宽度为6.5m，故答案为：6.5；（2）证明：如图，由作法知：AB⊥BD，ED⊥BD，BC＝DC＝15m，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝6.5m，即他们的做法是正确的．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．21．（9分）已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝ DC ，∴△C′O′D′≌△COD（ SSS ）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（ 全等三角形的对应角相等 ）【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∠A′O′B′即为所求；（2）证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，∴△C′O′D′≌△COD（SSS）∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）故答案为：DC，SSS，全等三角形的对应角相等．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．22．（10分）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．（1）如图，若∠B＝50°，则∠AEF+∠FDC＝ 100° ；（2）在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．【分析】（1）在△BDE中，利用三角形内角和定理，可求出∠BDE+∠BED的度数，结合折叠的性质，可得出∠FDE+∠FED的度数，再由平角等于180°，即可求出∠AEF+∠FDC的度数；（2）∠AEF+∠FDC＝2∠B，在△BDE中，利用三角形内角和定理，可用∠B表示出∠BDE+∠BED的度数，结合折叠的性质，可用∠B表示出∠FDE+∠FED的度数，再由平角等于180°，即可找出∠AEF+∠FDC＝2∠B．【解答】解：（1）在△BDE中，∠B＝50°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．由折叠的性质，可知：∠FDE＝∠BDE，∠FED＝∠BED，∴∠FDE+∠FED＝∠BDE+∠BED＝130°．又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC＝180°，∠BED+∠FED+∠AEF＝180°，∴∠AEF+∠FDC＝180°﹣（∠BED+∠FED）+180°﹣（∠BDE+∠FDE）＝360°﹣（∠BDE+∠BED）﹣（∠FDE+∠FED）＝360°﹣130°﹣130°＝100°．故答案为：100°；（2）∠AEF+∠FDC＝2∠B．证明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B．由折叠的性质，可知：∠FDE＝∠BDE，∠FED＝∠BED，∴∠FDE+∠FED＝∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B．又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC＝180°，∠BED+∠FED+∠AEF＝180°，∴∠AEF+∠FDC＝180°﹣（∠BED+∠FED）+180°﹣（∠BDE+∠FDE）＝360°﹣（∠BDE+∠BED）﹣（∠FDE+∠FED）＝360°﹣（180°﹣∠B）﹣（180°﹣∠B）＝2∠B，即∠AEF+∠FDC＝2∠B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．23．（10分）问题情境七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八上教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明；变式拓展：（2）如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论．（2）①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论．②结论：OE﹣OF＝OP．证明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得结论．【解答】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE．（2）①解：结论：PE＝PF．理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE．②解：结论：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM∠AOB＝60°，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:53:42；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214 证法1：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器测量所得）又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．证法1：如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器测量所得）又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
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