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2022-2023学年江西省赣州市南康五中片区八年级（上）期中数学试卷
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2022-2023学年江西省赣州市南康五中片区八年级（上）期中数学试卷一．单选题（共18分）1．（3分）下面的四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．2．（3分）下列长度的三根小木棒，不能搭成三角形的是（ ）A．2，3，4 B．3，5，7 C．3，4，5 D．3，3，63．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）A． B． C． D．4．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（ ）A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′ B．∠B＝∠B′，BC＝B′C′，AB＝A′B′ C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，AB＝A′B′ D．∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③二．填空题（共18分）7．（3分）已知点P（3，﹣1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a，b），则ab的值为 ．8．（3分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为 （只写一种）．9．（3分）一机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为 m．10．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 ．12．（3分）在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ．三．解答题（每小题3分，共30分）13．（3分）如图，已知：在△AFD和△EBC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，AD∥BC，∠D＝∠B．求证：△ADF≌△CBE．14．（3分）一个多边形的内角和是1800°，它是几边形？15．（6分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c 0，b﹣a﹣c 0，c+b﹣a 0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．16．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D；（2）在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积．17．（6分）把下面的证明过程补充完整：如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO（已知），∴ ＝90°（垂直的定义），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝ （等量代换）∴ （ ）．∴∠EDO＝ （ ）．又∵∠CFB＝∠EDO∴∠CFB＝ （等量代换），∴CF∥DO（ ）．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的坐标：A′ ；B' ；C' ；（3）求△ABC的面积．四．解答题（每小题8分，共24分）19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝12cm，DE＝20cm，求CE的长度．20．（8分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在．请举例说明；若不存在，请说明理由．21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．五．解答题（每小题9分，共18分）22．（9分）在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝ ．（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．六．解答题（共12分）24．（12分）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 2022-2023学年江西省赣州市南康五中片区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单选题（共18分）1．（3分）下面的四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列长度的三根小木棒，不能搭成三角形的是（ ）A．2，3，4 B．3，5，7 C．3，4，5 D．3，3，6【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、3+5＞7，能构成三角形，不合题意；C、3+4＞5，能构成三角形，不合题意；D、3+3＝6，不能构成三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选：A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．4．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（ ）A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′ B．∠B＝∠B′，BC＝B′C′，AB＝A′B′ C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，AB＝A′B′ D．∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′，根据“ASA”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以A选项不符合题意；B．∠B＝∠B′，BC＝B′C′，AB＝A′B′，根据“SAS”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以B选项不符合题意；C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，则∠B′＝60°，AB＝A′B′，根据“SAS”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以B选项不符合题意；D．由∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′不能判断“△ABC≌△A′B′C′，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到AN＝BN，进而得出BN+CN＝AC＝7cm，再根据△BCN的周长是13cm，即可得到BC的长．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，∴AN＝BN，∴BN+CN＝AN+CN＝AC＝7（cm），又∵△BCN的周长是13cm，∴BC＝13﹣（BN+CN）＝13﹣7＝6（cm），故选：A．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【解答】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．二．填空题（共18分）7．（3分）已知点P（3，﹣1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a，b），则ab的值为 3 ．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a，b），∴a＝3，b＝1，则ab的值为：3×1＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．8．（3分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为 BD＝CE（答案不唯一） （只写一种）．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：添加条件为BD＝CE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SSS），故答案为：BD＝CE（答案不唯一）．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．9．（3分）一机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为 48 m．【分析】由题意知该机器人从开始到停止所行走的路线是正多边形，由多边形的外角和是360°，求出正多边形的边数即可解决问题．【解答】解：由题意知该机器人从开始到停止所行走的路线是正多边形，∵正多边形的外角是30°，多边形的外角和是360°，∴正多边形的边数是360°÷30°＝12，∴机器人从开始到停止所行走的路程为 4×12＝48m．故答案为：48．【点评】本题考查正多边形，关键是掌握正多边形的性质．10．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 1.5 cm．【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝1.5，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，∴PH＝PD＝1.5cm，∵点E是射线OB上的动点，∴PE的最小值为PH的值，即1.5cm．故答案为：1.5．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 60° ．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∴∠A′＝30°，∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，∵△AFE由△A′FE翻折而成，∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．12．（3分）在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 10°或25°或40° ．【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可．【解答】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论．①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1，∵∠BAD＝∠BDA（180°﹣80°）＝50°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C∠ADB＝25°；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2，∵AD＝BD，∠B＝80°，∴∠BAD＝∠B＝80°，∴∠ADB＝180°﹣80°×2＝20°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C∠ADB＝10°；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3，则∠ADB＝∠B＝80°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C∠ADB＝40°．故答案为：10°或25°或40°．【点评】本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键．三．解答题（每小题3分，共30分）13．（3分）如图，已知：在△AFD和△EBC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，AD∥BC，∠D＝∠B．求证：△ADF≌△CBE．【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠C，根据线段的和差求出AF＝CE，根据AAS三角形全等的判定定理即可证明△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明的关键是：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．（3分）一个多边形的内角和是1800°，它是几边形？【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可求解．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得n＝12．故答案为：它是12边形．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．15．（6分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c ＜ 0，b﹣a﹣c ＜ 0，c+b﹣a ＞ 0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．16．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D；（2）在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积．【分析】（1）根据题意，取格点M，连接BM并延长，交AC于点D，则BD 即为所求．（2）根据题意，取BC得中点，即为所求的点E．【解答】解：（1）如图①，BD即为所求．（2）如图②，点E即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键．17．（6分）把下面的证明过程补充完整：如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO（已知），∴ ∠AED ＝90°（垂直的定义），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝ ∠AED （等量代换）∴ DE∥OB （ 同位角相等，两直线平行 ）．∴∠EDO＝ ∠BOD （ 两直线平行，内错角相等 ）．又∵∠CFB＝∠EDO∴∠CFB＝ ∠BOD （等量代换），∴CF∥DO（ 同位角相等，两直线平行 ）．【分析】根据垂直的定义、平行线的判断定理和性质定理解答即可．【解答】证明：∵DE⊥AO（已知），∴∠AED＝90°（垂直的定义），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠AED（等量代换），∴DE∥OB（同位角相等，两直线平行）．∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠CFB＝∠EDO，∴∠CFB＝∠BOD（等量代换），∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠AED，∠AED，DE∥OB，同位角相等，两直线平行，∠BOD，两直线平行，内错角相等，∠BOD，同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质，掌握平行线的判断定理是解题的关键．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的坐标：A′ （3，4） ；B' （4，1） ；C' （1，2） ；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）∵A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2），∴A'（3，4），B'（4，1），C'（1，2）．故答案为：（3，4）；（4，1）；（1，2）．（3）△ABC的面积为3×34．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．四．解答题（每小题8分，共24分）19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝12cm，DE＝20cm，求CE的长度．【分析】（1）由∠BAC＝90°，则∠BAD+∠CAD＝90°，又BD⊥MN，CE⊥MN，则∠CAD+∠ACE＝90°，∠BDA＝∠AEC＝90°，AAS即可证明△ABD≌△CAE；（2）由（1）得，BD＝AE，AD＝CE，由BD＝12cm，则AE＝12cm，又DE＝20cm，则AD＝AE+DE＝12cm+20cm＝32cm，所以，CE＝AD＝32cm；【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，又∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠CAD+∠ACE＝90°，∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，又AB＝AC，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵BD＝12cm，DE＝20cm，∴AE＝12cm，AD＝AE+DE＝12cm+20cm＝32cm，∴CE＝32cm．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．（8分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在．请举例说明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设三角形的三个内角为α、β、γ，根据特征角的定义可得α＝2β，然后利用三角形的内角和定理求出γ，即可得解；（2）根据特征角的定义和三角形的内角和定理分别求出α、β、γ，然后判断即可．【解答】解：设三角形的三个内角为α、β、γ，（1）∵α＝2β，且α+β+γ＝180°，∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数30°；（2）不存在．∵α＝2β，且α+β+γ＝180°，∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120°的三角形．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解特征角的定义并求出三角形的三个内角的度数是解题的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．五．解答题（每小题9分，共18分）22．（9分）在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，根据角的和差得到∠DBC＝∠DCB，于是得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠ABC（180°﹣40°）＝70°，推出△DBC是等边三角形，求得∠DBC＝60°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，即∠DBC＝∠DCB，∴△BCD是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC（180°﹣40°）＝70°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠DBC＝∠DCB，∴△DBC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠ABE＝10°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形世界地图根据．23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝ 15° ．（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可．【解答】解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠CAD＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°（∠B+∠C）]（∠C﹣∠B），∵∠C﹣∠B＝30°，∴∠DAE30°＝15°，故答案为：15°；（3）∵∠C﹣∠B＝α，∴∠DAEα．【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．六．解答题（共12分）24．（12分）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【分析】探索延伸：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF＝AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可．【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD，探索延伸：结论仍然成立，证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:53:25；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214
2022-2023学年江西省赣州市南康五中片区八年级（上）期中数学试卷一．单选题（共18分）1．（3分）下面的四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．2．（3分）下列长度的三根小木棒，不能搭成三角形的是（ ）A．2，3，4 B．3，5，7 C．3，4，5 D．3，3，63．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）A． B． C． D．4．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（ ）A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′ B．∠B＝∠B′，BC＝B′C′，AB＝A′B′ C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，AB＝A′B′ D．∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③二．填空题（共18分）7．（3分）已知点P（3，﹣1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a，b），则ab的值为 ．8．（3分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为 （只写一种）．9．（3分）一机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为 m．10．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 ．12．（3分）在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ．三．解答题（每小题3分，共30分）13．（3分）如图，已知：在△AFD和△EBC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，AD∥BC，∠D＝∠B．求证：△ADF≌△CBE．14．（3分）一个多边形的内角和是1800°，它是几边形？15．（6分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c 0，b﹣a﹣c 0，c+b﹣a 0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．16．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D；（2）在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积．17．（6分）把下面的证明过程补充完整：如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO（已知），∴ ＝90°（垂直的定义），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝ （等量代换）∴ （ ）．∴∠EDO＝ （ ）．又∵∠CFB＝∠EDO∴∠CFB＝ （等量代换），∴CF∥DO（ ）．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的坐标：A′ ；B' ；C' ；（3）求△ABC的面积．四．解答题（每小题8分，共24分）19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝12cm，DE＝20cm，求CE的长度．20．（8分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在．请举例说明；若不存在，请说明理由．21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．五．解答题（每小题9分，共18分）22．（9分）在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝ ．（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．六．解答题（共12分）24．（12分）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 2022-2023学年江西省赣州市南康五中片区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单选题（共18分）1．（3分）下面的四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列长度的三根小木棒，不能搭成三角形的是（ ）A．2，3，4 B．3，5，7 C．3，4，5 D．3，3，6【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、3+5＞7，能构成三角形，不合题意；C、3+4＞5，能构成三角形，不合题意；D、3+3＝6，不能构成三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选：A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．4．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是（ ）A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′ B．∠B＝∠B′，BC＝B′C′，AB＝A′B′ C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，AB＝A′B′ D．∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：A．∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AC＝A′C′，根据“ASA”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以A选项不符合题意；B．∠B＝∠B′，BC＝B′C′，AB＝A′B′，根据“SAS”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以B选项不符合题意；C．∠A＝∠A′＝80°，∠B＝60°，∠C′＝40°，则∠B′＝60°，AB＝A′B′，根据“SAS”可判断“△ABC≌△A′B′C′，所以B选项不符合题意；D．由∠A＝∠A′，BC＝B′C′，AB＝A′B′不能判断“△ABC≌△A′B′C′，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到AN＝BN，进而得出BN+CN＝AC＝7cm，再根据△BCN的周长是13cm，即可得到BC的长．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，∴AN＝BN，∴BN+CN＝AN+CN＝AC＝7（cm），又∵△BCN的周长是13cm，∴BC＝13﹣（BN+CN）＝13﹣7＝6（cm），故选：A．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【解答】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．二．填空题（共18分）7．（3分）已知点P（3，﹣1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a，b），则ab的值为 3 ．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a，b），∴a＝3，b＝1，则ab的值为：3×1＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．8．（3分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为 BD＝CE（答案不唯一） （只写一种）．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：添加条件为BD＝CE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SSS），故答案为：BD＝CE（答案不唯一）．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．9．（3分）一机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为 48 m．【分析】由题意知该机器人从开始到停止所行走的路线是正多边形，由多边形的外角和是360°，求出正多边形的边数即可解决问题．【解答】解：由题意知该机器人从开始到停止所行走的路线是正多边形，∵正多边形的外角是30°，多边形的外角和是360°，∴正多边形的边数是360°÷30°＝12，∴机器人从开始到停止所行走的路程为 4×12＝48m．故答案为：48．【点评】本题考查正多边形，关键是掌握正多边形的性质．10．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 1.5 cm．【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝1.5，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，∴PH＝PD＝1.5cm，∵点E是射线OB上的动点，∴PE的最小值为PH的值，即1.5cm．故答案为：1.5．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．11．（3分）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 60° ．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∴∠A′＝30°，∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，∵△AFE由△A′FE翻折而成，∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．12．（3分）在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 10°或25°或40° ．【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可．【解答】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论．①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1，∵∠BAD＝∠BDA（180°﹣80°）＝50°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C∠ADB＝25°；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2，∵AD＝BD，∠B＝80°，∴∠BAD＝∠B＝80°，∴∠ADB＝180°﹣80°×2＝20°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C∠ADB＝10°；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3，则∠ADB＝∠B＝80°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C∠ADB＝40°．故答案为：10°或25°或40°．【点评】本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键．三．解答题（每小题3分，共30分）13．（3分）如图，已知：在△AFD和△EBC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，AD∥BC，∠D＝∠B．求证：△ADF≌△CBE．【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠C，根据线段的和差求出AF＝CE，根据AAS三角形全等的判定定理即可证明△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明的关键是：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．（3分）一个多边形的内角和是1800°，它是几边形？【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可求解．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得n＝12．故答案为：它是12边形．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．15．（6分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c ＜ 0，b﹣a﹣c ＜ 0，c+b﹣a ＞ 0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．16．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D；（2）在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积．【分析】（1）根据题意，取格点M，连接BM并延长，交AC于点D，则BD 即为所求．（2）根据题意，取BC得中点，即为所求的点E．【解答】解：（1）如图①，BD即为所求．（2）如图②，点E即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键．17．（6分）把下面的证明过程补充完整：如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO（已知），∴ ∠AED ＝90°（垂直的定义），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝ ∠AED （等量代换）∴ DE∥OB （ 同位角相等，两直线平行 ）．∴∠EDO＝ ∠BOD （ 两直线平行，内错角相等 ）．又∵∠CFB＝∠EDO∴∠CFB＝ ∠BOD （等量代换），∴CF∥DO（ 同位角相等，两直线平行 ）．【分析】根据垂直的定义、平行线的判断定理和性质定理解答即可．【解答】证明：∵DE⊥AO（已知），∴∠AED＝90°（垂直的定义），又∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠AED（等量代换），∴DE∥OB（同位角相等，两直线平行）．∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠CFB＝∠EDO，∴∠CFB＝∠BOD（等量代换），∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠AED，∠AED，DE∥OB，同位角相等，两直线平行，∠BOD，两直线平行，内错角相等，∠BOD，同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质，掌握平行线的判断定理是解题的关键．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的坐标：A′ （3，4） ；B' （4，1） ；C' （1，2） ；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）∵A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2），∴A'（3，4），B'（4，1），C'（1，2）．故答案为：（3，4）；（4，1）；（1，2）．（3）△ABC的面积为3×34．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．四．解答题（每小题8分，共24分）19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝12cm，DE＝20cm，求CE的长度．【分析】（1）由∠BAC＝90°，则∠BAD+∠CAD＝90°，又BD⊥MN，CE⊥MN，则∠CAD+∠ACE＝90°，∠BDA＝∠AEC＝90°，AAS即可证明△ABD≌△CAE；（2）由（1）得，BD＝AE，AD＝CE，由BD＝12cm，则AE＝12cm，又DE＝20cm，则AD＝AE+DE＝12cm+20cm＝32cm，所以，CE＝AD＝32cm；【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，又∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠CAD+∠ACE＝90°，∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，又AB＝AC，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵BD＝12cm，DE＝20cm，∴AE＝12cm，AD＝AE+DE＝12cm+20cm＝32cm，∴CE＝32cm．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．（8分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在．请举例说明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设三角形的三个内角为α、β、γ，根据特征角的定义可得α＝2β，然后利用三角形的内角和定理求出γ，即可得解；（2）根据特征角的定义和三角形的内角和定理分别求出α、β、γ，然后判断即可．【解答】解：设三角形的三个内角为α、β、γ，（1）∵α＝2β，且α+β+γ＝180°，∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数30°；（2）不存在．∵α＝2β，且α+β+γ＝180°，∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120°的三角形．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解特征角的定义并求出三角形的三个内角的度数是解题的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．五．解答题（每小题9分，共18分）22．（9分）在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，根据角的和差得到∠DBC＝∠DCB，于是得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠ABC（180°﹣40°）＝70°，推出△DBC是等边三角形，求得∠DBC＝60°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，即∠DBC＝∠DCB，∴△BCD是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC（180°﹣40°）＝70°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠DBC＝∠DCB，∴△DBC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠ABE＝10°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形世界地图根据．23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数（2）若∠C﹣∠B＝30°，则∠DAE＝ 15° ．（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可．【解答】解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠CAD＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°（∠B+∠C）]（∠C﹣∠B），∵∠C﹣∠B＝30°，∴∠DAE30°＝15°，故答案为：15°；（3）∵∠C﹣∠B＝α，∴∠DAEα．【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．六．解答题（共12分）24．（12分）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【分析】探索延伸：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF＝AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可．【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD，探索延伸：结论仍然成立，证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:53:25；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214
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