2023无锡江阴高三上学期期末考试数学含解析

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江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷数  学2023.1注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．已知全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则（    ）A．0 B． C．2 D．53．给出下列四个命题，其中正确命题为（    ）A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件C．是函数为奇函数的充要条件D．是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（    ）A． B． C． D．5．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．6．已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是（    ）A．  B．C．  D．7．在平面直角坐标系xOy中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是（    ）A．  B．C．  D．8．设，，，这三个数的大小关系为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9．若，，且，则下列结论正确的是（    ）A．  B．C．  D．10．已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB的面积为S，时间t（单位：时），全科免费下载公众号《高中僧课堂》则以下说法中正确的选项是（    ）A．时针OA旋转的角速度为B．分针OB旋转的角速度为C．一小时内（即时），为锐角的时长是D．一昼夜内（即时），S取得最大值为44次11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）A．事件B与事件相互独立 B．C．  D．12．已知P为抛物线上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（    ）A．的最小值为5B．若线段AB的中点为M．则△NAB的面积为C．若，则直线的斜率为2D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，满足直线GH的斜率为，则EF平分三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）13．在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为__________．14．的展开式中x的升幂排列的第3项为__________．15．已知函数，曲线在点处的切线与y轴相交于点，则函数的极小值为__________．16．（第一空2分，第二空3分）已知向量，向量与向量的夹角为，，则向量__________；若向量与向量的夹角为，向量，其中，当时，实数a的取值范围为__________．四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）17．（本题满分10分）已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D．（1）用正弦定理证明：；（2）若，，，求BD．18．（本题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和．19．（本题满分12分）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；（2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：，，．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面PAD，点M满足．（1）若，求证：平面平面PCM；（2）设平面MPC与平面PCD的夹角为，若，求的值．21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线上的点到原点O的最短距离为．以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为．（1）求椭圆的标准方程：（2）设AB是过椭圆中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点（与O不重合），若M是l与椭圆的交点，求△AMB的面积的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数．（1）若有两个零点，求a的取值范围；（2）若方程有两个实数根，，且，证明：．
 江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷参考答案一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【答案】A【解析】，，，，选A．2．【答案】D【解析】为纯虚数，∴，∴，∴，选D．3．【答案】C【解析】“”是“”的充要条件，A错．“”是“”的既不充分又不必要条件，B错．时，是奇函数，充分，为奇函数，则，则为充要条件，故答案选C．4．【答案】B【解析】设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，正六棱柱的侧面积，正六棱锥的母线长，又∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，则，∴，选B．5．【答案】C【解析】，∴为奇函数关于原点对称，排除B．时，，∴排除D．，，排除A，选C．6．【答案】D【解析】，，成等比数列，，∴，∴，选D．7．【答案】B【解析】，则，，圆心，，都在，则两圆内切或内含．∴，∴，故选B．8．【答案】C【解析】，∵，∴，且时，（泰勒展开式求导易证）∴，∴，∴，选C．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9．【答案】AB【解析】，则，A对，C错．，则，B对，D错，选AB．10．【答案】ACD【解析】OA旋转的角速度为，A对．OB旋转的角速度为，B错．或，，则或，，C对．的周期为且每个周期仅岀现一次最大值故最大值取得的次数为，D对，选ACD．11．【答案】BD【解析】，，先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，，先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，．，B对．，，，C错．，A错．，D对．12．【答案】ACD【解析】在抛物线上，∴，抛物线：，．对于A，过点P作抛物线的准线的垂线FD，垂足为D，由抛物线定义可知，连接DM，则M，P，D三点共线时，取最小值，A对．对于B，∵为AB中点，则，∵，在直线l上，，∴，N到直经l的距离，则，B错．对于C，设代入得，令，，，，，，，∴，C对．对于D，在抛物线上且轴，设，，易知EG，EH斜率存在，，，，则，，则EF平分，D对．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）13．【答案】【解析】由题意，∴，双曲线：．14．【答案】【解析】展开式第项展开式第项，，，，，，，，，．15．【答案】【解析】切点，，切线：过，∴，或3，在，，，．16．【答案】；【解析】设，，，∴或，∴或，与夹角的，则∴∴，，，，∴，∴，∴．四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）17．【解析】（1）在和中，分别由正弦定理∵，由AD平分，∴．（2）∵，，，∴，∵AD平分，由（1）知，∴．18．【解析】（1）设公差为d，∴∴，∴．（2）∴，①，②①②∴．19．【解析】（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，，，，∴X的分布列如下：X1234P．（2）．∴符合该项指标的学生人数为：人每个学生通过投的概率对，∴最终通过学校选拔人数，∴．20．【解析】（1）证明：∵，，，∴．∵，∴，而，∴，∴．∵平面PAD，平面ABCD，∴平面平面PAD且平面平面，由平面PAD，平面ABCD，∴，且，，，∴，∴，又∵，∴平面PCM．又∵平面，∴平面平面，或由，∴且平面，所以平面平面；（2）如图建系，∵，∴，∴，，，，∴，，，设平面MPC与平面PCD的一个法向量分别为，，∴，∵，∴，∵，∴．21．【解析】（1）曲线围成的图形如图∴，即且，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）方法一：①若AB斜率为0，则；②若AB斜率不存在，则；③若AB斜率存在且不为0，设AB方程为，∴∵，∴令，，∴一方面，另一方面综上：面积的取值范围为．方法二：设，，不妨设，由A，M在椭圆上，而，③①③，且由解得综上：面积的取值范围为．22．【解析】（1）．当时，，在R上，不可能有两个零点；当时，令且在上；上，要使有两个零点，首先必有当时，注意到，，，∴在和上各有一个零点，符合条件．综上：实数a的取值范围为．（2）由有两个实根，，∴令，∴有两个实根，，要证：只需证：由，结合①知①②证：，即证：而，证毕！