2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项突破仿真模拟卷（二模三模）含解析

这是一份2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项突破仿真模拟卷（二模三模）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
考试时量为120分钟，满分为120分
一、选一选（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
1 计算|-2|+（-2）0＝（   ）
A. 2  B. －4 C. 0 D. 3
2. 下列计算正确的是（　　）
A. a2•a3＝a5 B. a2+a3＝a5 C. （a3）2＝a5 D. a3÷a2＝1
3. 如图，下列图形全部属于柱体的是（ ）
A. B. C. D.
4. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
5. 下列说确的是( )
A. －5是25的平方根 B. 25的平方根是5
C. －5是（－5）2的算术平方根 D. ±5是（－5）2的算术平方根
6. 将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（　　）

A （4，2） B. （2，4） C. （，3） D. （3，）
二、填 空 题（共10小题；共30分）
7. 计算：﹣|﹣1|=________．
8. 中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为：__________．
9. 函数中，自变量x的取值范围为_________．
10. 计算：﹣2（+2）2014（﹣2）2015=________．
11. 方程的解为____．
12. 如果x1、x2是一元二次方程x2-6x-2=0的两个实数根，那么x1+x2的值是(     )
A. 6 B. 2 C. -6 D. -2
13. 王在扬州某小区经营特色长鱼面，生意火爆，开业前5天情况如下：天46碗，第二天54碗，第三天69碗，第四天62碗，第五天87碗，如果要清楚地反映王的特色长鱼面在前5天的情况，没有能选择________统计图．
14. 正n边形的一个内角等于135°，则边数n的值为_________．
15. 定义：只有一组对角是直角四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．
如图，△ABC中，∠ABC=90º，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD，若∠DBC=60º，∠ACB=15º，BD=，则菱形ACEF的面积为_________．

16. 函数y1＝x与y2＝图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是_____．

三、解 答 题（本大题共9小题；满分72分）
17. 计算： （1）﹣a﹣1 （2）．
18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．

19. 如图，3×3方格分为上中下三层，层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定没有动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．

（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是______．
（2）若甲、乙均可在本层移动．
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．②黑色方块所构拼图是对称图形的概率是______．
20. （2017南京）“直角”在初中几何学习中无处没有在．
如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种没有同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

21. 是云南多地盛产的一种水果，今年某水果店在旺季，试成本为每千克20元的，规定试销期间单价没有低于成本单价，也没有高于每千克40元，经试销发现，量y（千克）与单价x（元）符合函数关系，如图是y与x 的函数关系图象．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围．

22. 如图，为的直径，点在上，连接、，过点的切线与的延长线交于点，，交于点．
(1)求证：；
(2)当的半径为5，时，求的长．

23. 邵阳市某校吴老师组织九（1）班同学开展数学，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．
（结果到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）

24. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
25. 折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出的等边三角形，请画出没有同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm．





















2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
考试时量为120分钟，满分为120分
一、选一选（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
1. 计算|-2|+（-2）0＝（   ）
A. 2  B. －4 C. 0 D. 3
【正确答案】D

【详解】分析：根据值的性质可得|﹣2|=2，再根据a0=1（a≠0）可得（﹣2）0=1，再计算有理数的加法即可．
详解：原式=2+1=3．
故选D．
点睛：本题主要考查了零指数幂和值，关键是掌握零指数幂：a0=1（a≠0）．
2. 下列计算正确的是（　　）
A. a2•a3＝a5 B. a2+a3＝a5 C. （a3）2＝a5 D. a3÷a2＝1
【正确答案】A

【详解】试题分析：A、同底数幂相乘，底数没有变，指数相加，原式=；B、两个没有是同类型，无法进行合并计算；C、幂的乘方法则：底数没有变，指数相乘，原式=；D、同底数幂相除，底数没有变，指数相减，原式=a.
考点：同底数幂的计算
3. 如图，下列图形全部属于柱体的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：A、有一个是三棱锥，故没有符合题意；
B、有一个是没有规则的多面体，故没有符合题意；
C、分别是一个圆柱体、两个四棱柱；
D、有一个是圆台，故没有符合题意．
故选：C．
4. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【正确答案】D

【详解】解：∵16＜19＜25，∴，则在4和5之间．
考点：二次根式的估算
5. 下列说确的是( )
A. －5是25的平方根 B. 25的平方根是5
C. －5是（－5）2的算术平方根 D. ±5是（－5）2的算术平方根
【正确答案】A

【详解】试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．
解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；
B、25的平方根是±5，故选项错误；
C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；
D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．
故选A．
6. 将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（　　）

A. （4，2） B. （2，4） C. （，3） D. （3，）
【正确答案】D

【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．
【详解】解：如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，

∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO，
∴∠AEO∽△COM，
∴，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
△ABN和△OCM中

∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选D．
本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出CM的长是解题关键．
二、填 空 题（共10小题；共30分）
7. 计算：﹣|﹣1|=________．
【正确答案】1

【详解】解：原式
故1．
8. 中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为：__________．
【正确答案】3.7×105

【详解】科学记数法是指：a×，且1≤＜10，n为原数的整数位数减一，370000=3.7×．
故3.7×105．

9. 函数中，自变量x的取值范围为_________．
【正确答案】x＜1．

【分析】
【详解】根据题意得：1﹣x＞0，解可得x＜1；
故x＜1．
考点：函数自变量的取值范围．
10. 计算：﹣2（+2）2014（﹣2）2015=________．
【正确答案】4﹣

【详解】分析：先将（﹣2）2015，化为（﹣2）2014（﹣2），再根据积的乘方的逆运算将（+2）2014（﹣2）2014化为[（+2）（﹣2）2014，得（﹣1）2014，由此得出结果．
详解： 原式=﹣2×[（+2）2014（﹣2）2014（﹣2）]
=﹣2[（﹣1）2014（﹣2）]
=﹣2+4
=4﹣；
故答案为4﹣．
点睛：本题是二次根式的混合运算，主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握公式是关键：（ab）n=an，反之也成立，an=（ab）n，一般应用于指数很大的情况下，要注意二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
11. 方程的解为____．
【正确答案】．

【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元方程，检验即可求解.
【详解】，
经检验，是原方程的根．
12. 如果x1、x2是一元二次方程x2-6x-2=0的两个实数根，那么x1+x2的值是(     )
A. 6 B. 2 C. -6 D. -2
【正确答案】A

【分析】由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=6．
【详解】解：∵x1+x2=﹣，∴x1+x2=6．
故答案6．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
13. 王在扬州某小区经营特色长鱼面，生意火爆，开业前5天情况如下：天46碗，第二天54碗，第三天69碗，第四天62碗，第五天87碗，如果要清楚地反映王的特色长鱼面在前5天的情况，没有能选择________统计图．
【正确答案】扇形

【详解】试题分析：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般没有能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
解：根据题意，得
要表示长鱼面的前5天情况，即数量，应选用条形统计图或折线统计图，没有能选用扇形统计图．
故答案为扇形．
考点：统计图的选择．
14. 正n边形的一个内角等于135°，则边数n的值为_________．
【正确答案】8

【分析】先根据多边形的外角与相邻的内角互补求出外角的度数，再根据外角和求边数即可．
【详解】解：多边形的外角是：180°﹣135°=45°，
∴n==8．
故8．
本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解答本题的关键．
15. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．
如图，△ABC中，∠ABC=90º，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD，若∠DBC=60º，∠ACB=15º，BD=，则菱形ACEF的面积为_________．

【正确答案】

【分析】首先取AC的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，判断出A、B、C、D四点共圆，点G是圆心；然后求出∠BGD＝90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；解直角三角形，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可．
【详解】解：如图，取AC的中点G，连接BG、DG，

∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，
∴∠BGD＝30°+60°＝90°，
∴△BGD等腰直角三角形，
∴BG＝DG＝ ，
∴AC＝2，
∴AD＝ ，
∴，
∴菱形ACEF的面积为：

故12 ．
此题主要考查了菱形的性质、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识的应用是关键．

16. 函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是_____．

【正确答案】①③

【详解】分析：图形判断各个选项是否正确即可．
详解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；
②在每个象限内，没有同自变量的取值，函数值的变化是没有同的，故错误；
③y=x+=（﹣）2+4≥4，当且仅当x=2时取“=”．即在象限内，点的坐标为（2，4），故正确；
∴正确的有①③．
故答案为①③．

点睛：考查根据函数图象判断相应取值；正确理解图形是解决本题的关键．
三、解 答 题（本大题共9小题；满分72分）
17. 计算： （1）﹣a﹣1 （2）．
【正确答案】（1） ;(2) .

【详解】分析：（1）先将原式通分，然后变为同分母分式，然后再相减，即可解答本题；
（2）先将原式能因式分解的先因式分解，然后再化简即可解答本题．
详解：（1）原式=
=
=
=；
（2）原式 =
=
=．
点睛：本题考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．

【正确答案】证明见解析．

【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
19. 如图，3×3的方格分为上中下三层，层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定没有动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．

（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是______．
（2）若甲、乙均可在本层移动．
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．②黑色方块所构拼图是对称图形的概率是______．
【正确答案】（1）；（2）①；②.

【分析】（1）由乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能，其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是；（2）①由树状图得到黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率；②黑色方块所构拼图中是对称图形有两种情形，①甲在B处，乙在F处，②甲在C处，乙在E处，所以黑色方块所构拼图是对称图形的概率是．
【详解】（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能，其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 ．
故答案为．（2）①由树状图可知，黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率= ．

②黑色方块所构拼图中是对称图形有两种情形，
甲在B处，乙在F处或甲在C处，乙在E处，
所以黑色方块所构拼图是对称图形的概率是 ．
故答案为 ．
本题考查了轴对称图形、对称图形、树状图、概率公式的知识点，解题的关键是熟练掌握这些概念.
20. （2017南京）“直角”在初中几何学习中无处没有在．
如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种没有同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

【正确答案】答案见解析．

【详解】试题分析：（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（2）根据圆周角定理，可得答案．
试题解析：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°；

（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．

21. 是云南多地盛产的一种水果，今年某水果店在旺季，试成本为每千克20元的，规定试销期间单价没有低于成本单价，也没有高于每千克40元，经试销发现，量y（千克）与单价x（元）符合函数关系，如图是y与x 的函数关系图象．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围．

【正确答案】（1）y=-2x+340，（2）20≤x≤40

【详解】试题分析：（1）根据函数图象点（20，300）和点（30，280），利用待定系数法即可求出y与x函数关系式；
（2）根据试销期间单价没有低于成本单价，也没有高于每千克40元，的成本价即可得出x的取值范围．
试题解析：
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：

解得：
∴y与x的函数解析式为y=-2x+340，
(2) ∵试销期间单价没有低于成本单价，也没有高于每千克40元，且的成本为每千克20元，
∴自变量x的取值范围是20≤x≤40．
22. 如图，为的直径，点在上，连接、，过点的切线与的延长线交于点，，交于点．
(1)求证：；
(2)当的半径为5，时，求的长．

【正确答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)连接，易知∠CBD=∠ABO=90°，根据同角的余角相等可得，再根据可得，进一步即可得出，问题即得解决；
(2)先利用求得BD的长，再证，从而得，由此可得的长，而易求，进一步即可得出结果．
【详解】(1)证明：连接，
∵为的直径，∴，
∵是的切线，∴，
∴，
∵、是的半径，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴．

(2)解：由(1)可得，
在中，∵，∴，
∵，，
∴．
∴，即，∴，
∵，∴，
∴．
本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，熟练运用相似三角形的判定与性质，属于中考常考题型．
23. 邵阳市某校吴老师组织九（1）班同学开展数学，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．
（结果到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）

【正确答案】

【分析】延长交的延长线于，作于，由三角函数求出、的长，得出，设，根据正切的定义求出，得出方程，解方程即可．
【详解】解：延长交的延长线于，作于，
如图所示：

在中，，，
则，，
，，
，
，
设，
，，，
，，
，
，
解得：；
答：电线杆高为．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义来求解．
24. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
【正确答案】（1）（2）

【分析】（1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式．
（2）抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，根据梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．
【详解】（1）将A（―1，0）代入中，得：0=4a+4，解得：a=－1．
∴该抛物线解析式为．
（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴CD=1．
∵A（－1，0），∴B（3，0），即OB=3．
∴．
25. 折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出的等边三角形，请画出没有同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm．

【正确答案】（1）理由见解析；（2）答案见解析；（3）本题答案没有，如图⑥；（4）．

【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；
（2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；
（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；
（4）证明△AEF∽△DCE，得出，设AE=x，则AD=CD=4x，DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．
（2）以点B为，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；
再以点B为位似，将△△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2；
如图⑤所示；
（3）本题答案没有，举例如图⑥所示；
（4）如图⑦所示：
△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD，
∴∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，
∴，
设AE=x，则AD=CD=4x，
∴DE=AD﹣AE=3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得： ，
解得：x=，
∴AD=4×=；
故答案为．























2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项突破仿真模拟卷
（三模）
一、选一选（每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在下面的表格内）．
1. 2017的倒数是（ ）.
A. 2017 B. C. D.
2. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
3. 在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A. 3 cm B. 27 cm C. 12 cm D. 6 cm
4. 如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（　　）

A. B. C. D.
5. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 打开电视机，正在播广告，必然
B. 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
6. 若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A. （3，﹣6） B. （﹣3，6）
C. （﹣3，﹣6） D. （3，6）
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 某校开展“节约每一滴水”，为了了解开展一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表：
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
04
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）
A. 130m3 B. 135m3 C. 6.5m3 D. 260m3
9. 矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A. 点B、C均在圆P外； B. 点B在圆P外、点C在圆P内；
C. 点B在圆P内、点C在圆P外； D. 点B、C均在圆P内．
10. 已知函数y1＝kx＋b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图
所示，则当y1＜y2时，x取值范围是（ ）

A. x＜－1或0＜x＜3 B. －1＜x＜0或x＞3
C. －1＜x＜0 D. x＞3
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．
12. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
13. 如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为_______________．

14. 二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2是由y=﹣3（x+3）2_____平移得到的．
15. 如图，若BC∥DE，，S△ABC=4，则四边形BCED的面积S四边形DBCE=_____．

16. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中是真命题的为_____（填序号）．
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．

18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_________（填序号）

三、解 答 题（共96分）
19. 化简求值：_________．（其中x满足）．
20. 没有透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）次任意摸出一个球（没有放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到没有同颜色球的概率．
21. 某学校有1500名学生参加首届“我爱我们的课堂”为主题的图片制作比赛，赛后随机抽取部分参赛学生的成绩进行整理并制作成图表如下：
频率分布统计表

频率分布直方图

分数段

频数

频率



60≤x＜70

40

0.40

70≤x＜80

35

b

80≤x＜90

a

0.15

90≤x＜100

10

0.10









请根据上述信息，解答下列问题：
（1）表中：a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）如果将比赛成绩80分以上（含80分）定为，那么率是多少？并且估算该校参赛学生获得的人数．
22. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．

(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)
23. 已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
(1)求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
(2)求FG的长．

24. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．发现：单价是30元
时，月量230件，而单价每上涨1元，月量就减少10件，但每件玩具
售价没有能高于40元． 设每件玩具的单价上涨了x元时（x为正整数），月利润
为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具售价定为多少元时，月利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月利润？的月利润是多少？
25. 已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G没有与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的四边形，并证明你的猜想．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（没有与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.



















2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项突破仿真模拟卷
（三模）
一、选一选（每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在下面的表格内）．
1. 2017的倒数是（ ）.
A. 2017 B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据倒数的定义直接得出答案.
【详解】解：2017的倒数是，
故选C.
本题考查了倒数的概念，是基础题.
2. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
【正确答案】B

【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
3. 在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A. 3 cm B. 27 cm C. 12 cm D. 6 cm
【正确答案】C

【详解】设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，如下图所示，则：

由题意可得：OA=OC=12cm，CO⊥AB，OD=DC=6cm
∵CO⊥AB
∴由垂径定理可得：AD=DB
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：AD2=AO2﹣OD2，
AD==6cm，
∴AB=12cm
∴垂直平分半径的弦长为12cm
故选C.
4. 如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】从上面看可得到一个矩形里面有一个圆，
故选B．
5. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 打开电视机，正在播广告，是必然
B. 在连续5次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
【正确答案】D

【详解】A、打开电视机，正在播广告，是随机，没有是必然，故该选项错误；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩没有稳定，而没有是稳定，故该选项错误；
C、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是，没有是30%，故该选项错误；
D、从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球，是必然，故该选项正确，故该选项错误；
故选D．
6. 若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A. （3，﹣6） B. （﹣3，6）
C. （﹣3，﹣6） D. （3，6）
【正确答案】A

【详解】
由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．故选A．
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】解：，
由①得：x≥1，由②得：x＜2，
在数轴上表示没有等式的解集是：，
故选D．
8. 某校开展“节约每一滴水”，为了了解开展一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表：
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）
A. 130m3 B. 135m3 C. 6.5m3 D. 260m3
【正确答案】A

【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0.325=130（m3），
故选A．
9. 矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A. 点B、C均在圆P外； B. 点B在圆P外、点C在圆P内；
C. 点B在圆P内、点C在圆P外； D. 点B、C均在圆P内．
【正确答案】C

【详解】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD==7，
PC==9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
10. 已知函数y1＝kx＋b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图
所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）

A. x＜－1或0＜x＜3 B. －1＜x＜0或x＞3
C. －1＜x＜0 D. x＞3
【正确答案】B

【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1，3），（3，-1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（-1，3），（3，-1），
∴当y1＜y2时，-1＜x＜0或x＞3；
故选B．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．
【正确答案】1

【详解】解：∵x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m=0
4-4m=0
m=1
故1
12. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【正确答案】20%

【详解】分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）
故答案为20%．
13. 如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为_______________．

【正确答案】26°

【分析】连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三角形的性质求解．
【详解】解：连接OA．

∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠B=64°，
∴∠P=90°-64°=26°．
故26°．
本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．
14. 二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2是由y=﹣3（x+3）2_____平移得到的．
【正确答案】向右平移6个单位，再向下平移2个单位．

【详解】新抛物线的顶点为（3，2），原抛物线的顶点为（﹣3，0），
∴二次函数y=﹣3（x+3）2的图象向右平移6个单位，再向下平移2个单位，便得到二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2的图象，
故答案为向右平移6个单位，再向下平移2个单位．
15. 如图，若BC∥DE，，S△ABC=4，则四边形BCED的面积S四边形DBCE=_____．

【正确答案】

【详解】∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AB：AD=3：4，
∴S△ABC：S△ADE=9：16，
∴S四边形DBCE：S△ABC=7：9，
∵△ABC的面积为4，
∴四边形DBCE的面积为．
故答案为．
16. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中是真命题的为_____（填序号）．
【正确答案】①③④．

【详解】（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1是正确的，利用SAS判定即可；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1是错误的，SSA没有能判定两个三角形全等，角必须是夹角；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两对角相等的三角形相似判定即可；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可，
综上可知①③④，
故答案为①③④．
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．

【正确答案】

【详解】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，

则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO=，
∴sin∠OAB=．
故答案为．
18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_________（填序号）

【正确答案】①③

【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，
∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴x=﹣1时，a﹣b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴c=﹣5a，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误．
故①③．
此题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象可知抛物线的对称轴为x=2，开口向下，以及抛物线与x轴交于点（-1，0），从而可判断所给的结论．
三、解 答 题（共96分）
19. 化简求值：_________．（其中x满足）．
【正确答案】1

【分析】原式项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：

=


，
则．
∴原式=．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

20. 没有透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）次任意摸出一个球（没有放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到没有同颜色球的概率．
【正确答案】（1）袋中黄球的个数为1个；（2）两次摸到没有同颜色球的概率为：P=．

【详解】（1）由题意可知袋中共有球的个数为4个．
（2）考查用画树状图或列表格的
方法求概率．
21. 某学校有1500名学生参加首届“我爱我们的课堂”为主题的图片制作比赛，赛后随机抽取部分参赛学生的成绩进行整理并制作成图表如下：
频率分布统计表

频率分布直方图

分数段

频数

频率



60≤x＜70

40

0.40

70≤x＜80

35

b

80≤x＜90

a

0.15

90≤x＜100

10

0.10









请根据上述信息，解答下列问题：
（1）表中：a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）如果将比赛成绩80分以上（含80分）定为，那么率是多少？并且估算该校参赛学生获得人数．
【正确答案】（1）a＝15，b＝0.35；（2）如下图；（3）25℅，375


【详解】试题分析：（1）根据组的频数与频率可求出总的人数，然后根据第二组的频数和第三组的频率即可求出a和b的值；
（2）根据（1）中求出的a值，可补全频数分布直方图；
（3）率=第三组和第四组的频率之和×；用总人数乘以率，计算即可得解．
（1）总的人数=40÷0.40=100人，
∵第二组的频数为35，
∴b=35÷100=0.35；
∵第三组的频率为0.15，
∴a=100×0.15=15；
（2）补全频数分布直方图如下所示：

（3）率=（0.15+0.10）×=25%，
1500×25%=375（人）．
考点：统计图的应用
点评：统计图的应用初中数学的，是中考必考题，一般难度没有大，需熟练掌握.
22. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．

(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)
【正确答案】（1）12m（2）27m

【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用，求出即可．
（2）利用Rt△AME中，，求出AE即可．
【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．

设AB为x．
在Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF＋FC=x＋13．
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，
又∵，∴，解得：x≈12．
∴教学楼的高12m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25．
在Rt△AME中，，
∴AE=MEcos22°≈．
∴A、E之间的距离约为27m．
23. 已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
(1)求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
(2)求FG的长．

【正确答案】（1）证明见解析；
（2）FG的长为．

【详解】试题分析：（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．
试题解析：（1）连接OD，

∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B=∠C=∠ODB=60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是圆O的切线；
（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，
∴BD=OB=OD=6，
∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，
∵Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=×6=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∵∠FAG=60°，
∴FG=AFsin60°=．
24. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．发现：单价是30元
时，月量是230件，而单价每上涨1元，月量就减少10件，但每件玩具
售价没有能高于40元． 设每件玩具的单价上涨了x元时（x为正整数），月利润
为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月利润？的月利润是多少？
【正确答案】（1）（且为正整数）；（2）所以每件玩具售价定为32元时，月利润恰为2520元；（3）所以每件玩具的售价为36或37元时，可使月利润，的月利润为元

【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月量为（230-10x），然后根据月利润=一件玩具的利润×月量即可求出函数关系式；
（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，解方程求出x的值即可；
（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
函数关系式为y=-10x2+130x+2300(0＜x≤10且x为正整数)；
（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，
整理得，即，
解得x1=2，x2=11（没有合题意，舍去），
当x=2时，30+x=32（元），
答：每件玩具的售价定为32元时，月利润恰为2520元；
（3）根据题意得：
y=-10x2+130x+2300
=-10（x-6.5）2+2722.5，
∵a=-10＜0，
∴当x=6.5时，y有值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得利润，的月利润是2720元．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
25. 已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G没有与正方形顶点重合，且在CD同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的四边形，并证明你的猜想．

【正确答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形PEFD是菱形．理由见解析．

【详解】试题分析：（1）①作PM⊥DG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2PC；
②根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；
（2）与（1）中②的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形．
试题解析：（1）①作PM⊥DG于M，如图1，

∵PD=PG，
∴MG=MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC=MD，
∴DG=2PC；
②∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中，,
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形；
（2）解：四边形PEFD是菱形．理由如下：
作PM⊥DG于M，如图2，

与（1）一样同理可证得△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．
点睛：本题考查了四边形综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题.
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（没有与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

【正确答案】（1）（2）①

②满足题意的点P有三个，分别是

【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答；
②分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角边”证明△APH和△GAO全等，根据全等三角形对应边相等可得PH=AO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，根据正方形的性质可得AP=FP，∠APF=90°，再根据同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角边角”证明△APM和△FPN全等，根据全等三角形对应边相等可得PM=PN，从而得到点P的横坐标与纵坐标相等，再根据二次函数的解析式求解即可．
【详解】解：（1）令，则，解得，当时，，∴点A（2，0），B（﹣8，），把点A、B代入抛物线得，，解得：，所以，该抛物线的解析式；
（2）①∵点P在抛物线上，点D在直线上，∴PD=，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵直线解析式，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD==，即；∵，∴当x=﹣3时，值为15；
②∵点A（2，0），∴AO=2，
分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，∴∠PAH=∠AGO，在△APH和△GAO中，∵∠PAH=∠AGO，∠AHP=∠GOA=90°，AP=AG，∴△APH≌△GAO（AAS），∴PH=AO=2，∴点P的纵坐标为2，∴，整理得，，解得，∴点P（，2）或P（，2）；
（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，∴∠APM=∠FPN，在△APM和△FPN中，∵∠APM=∠FPN，∠AMP=∠FNP=90°，AP=AF，∴△APM≌△FPN（AAS），∴PM=PN，∴点P的横坐标与纵坐标相等，∴，整理得，，解得，（舍去），∴点P(，)．
综上所述，存在点P(，2)或P(，2)或P(，)．

考点：二次函数综合题．