第二十七章 相似单元测试-2022-2023九年级下册基础考点三步通关（人教版）

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第二十七章 相似三角形单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·福建省大田县教师进修学校九年级期中）已知在某地图上A、B两地之间的距离为，这两地的实际距离为，则该地图的比例尺为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先统一单位，再将图上距离与实际距离相比即可．
【详解】解：∵，
∴该地图的比例尺为：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，解题的关键是掌握比例尺的定义，注意先统一单位．
2．（2022·河北邯郸·九年级期中）若，则下列式子不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用比例的性质得出a与b，c与d的关系，进而代入各选项求出答案．
【详解】解：∵，
∴，故选项D正确，不合题意；
∴，故选项A正确，不合题意；
∴，故选项B错误，符合题意；
∴，故选项C正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质和等式的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
3．（2022·陕西西安·九年级期末）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，则的长为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得，，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，点P是的边AC上一点，如果添加一个条件后可以得到，那么以下添加的条件中不正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A.当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B.当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C.当AB2＝AP•AC，即时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D.无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
5．（2022·浙江·九年级单元测试）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）

A．8m B．9m C．16m D．18m
【答案】A
【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴

故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
6．（2022·安徽·涡阳县曹市中学九年级期中）如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是(   )

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【分析】可分别求出三角形的边长，再根据三边对应成比例，三角形相似，进行判断即可．
【详解】第一个三角形的边长分别为：，，；
第二个三角形的边长分别为：，，；
第三个三角形的边长分别为：，，；
第四个三角形的边长分别为：，，；
，
对应边成比例的是①和③，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，求解出所给图形的三边长是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似多边形的性质进行求解即可.
【详解】解:
图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OF1分别是两个正方形的边心距, △OC1F 是等腰直角三角形, 因而OF: OC1=因而则的值为 .
故选B.
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似, 边心距的比, 半径的比都等于相似比.
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
9．（2022·河北·邢台三中九年级期中）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边按图2放置，从“矩”的一端（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．若，，，，则的高度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和图形，可以得到 然后根据相似三角形的性质，可以得到．
【详解】解：由图2可得，
∴，
∵
∴
∴
∴，
即
解得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2022·重庆巴蜀中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】∵点，与C关于原点对称，且位似比为，
∴的坐标为
即
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的有关知识是解题的关键．
11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，则女孩的影子扫过的图形的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，利用三角形相似列方程求出影子的长，再计算人影扫过的面积．
【详解】解：如下图所示：

设AP=x，由题意可知：△COA∽△BPA，
∴，代入数据，，，
∴，解得，
∴所以人影扫过的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，读懂题意，计算过程中细心即可．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
【详解】∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
13．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段作匀速运动，同时点E从点B出发，沿射线以每秒个单位的速度作匀速运动，当点D与点B重合时两点停止运动，连接．设点D运动的时间为x秒，的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，根据题意得：，则，先根据△BDQ是等腰直角三角形，可得，再证明△BEP∽△QDP，可得，从而得到，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，

根据题意得：，则，
∵，
∴∠ABC=45°，，
∴△BDQ是等腰直角三角形，
∴，
∵BF⊥BC，
∴BF∥DQ，
∴△BEP∽△QDP，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴该函数图象为位于y轴以及右侧的抛物线的一段．
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，二次函数的图象，根据题意得到函数解析式是解题的关键．
14．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，在△中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E，下列结论：①△与△一定相似；②△与△一定相似；③当时，，其中正确的结论个数有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定①②正确；根据相似三角形对应边成比例，利用得出比例式求得的长，进而得出③正确．
【详解】解：，，
， ．
，
，
又，
．故①正确；
，
．
，
．
．
又，
．故②正确；
，
．
．
∴．故③正确；
综上，正确的结论有：①②③．
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行相似三角形的判定是解题的关键．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·浙江·南海实验学校九年级期中）为了美观，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．若一本书的长为，则它的宽为________．
【答案】##
【分析】根据黄金分割的定义，即可求解．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比设计成黄金比，长为，
∴它的宽为
【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握把线段分成两条线段和，且点C叫做线段AB的黄金分割点，则是解题的关键．
16．（2022·广东·深圳市福田区深大附中创新中学九年级期中）如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，记所得的像是．设点A的坐标是，则点A对应的点的横坐标是____________．

【答案】3
【分析】作轴于点D，轴于点E，先证，推出，设点的横坐标是a，根据，求出相关线段长度，代入求解即可．
【详解】解：如图，作轴于点D，轴于点E，

，，
，
，
设点的横坐标是a，
，，
，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．
17．（2022·广东·南山实验教育集团九年级期中）如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为______．

【答案】
【分析】根据，，，得到，可知，，再运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，，，，，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即路灯的高是，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定与性质的实际运用，理解实际情况并能准确判定三角形的相似，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
18．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，在梯形中，，与相交于点，如果，那么：______．

【答案】：##
【分析】首先根据，可得：：；然后根据∽，可得：：：：，进而可得：：，：：，：：，设，分别表达和进而可得结论．
【详解】解：在梯形中，，，
：：；
，
∽，
：：：：，
：：，：：，：：，
设，则，，
，
：：：．
故答案为：：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）（1）已知线段，，求线段，的比例中项线段的长度．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）6；（2）．
【分析】（1）根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案；
（2）设，，代入计算，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
，
（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项c是6．
（2）设，，
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中所有的点、线都在同一平面内）求证：；

【答案】见解析
【分析】由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
∵是的一个外角，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键．
21．（2022·四川省成都市七中育才学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，．

(1)作出关于轴对称的图形；
(2)以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为；
(3)求的面积．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)6．

【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得到、、的坐标，然后描点连线即可得到所求图形；
（2）把A、B、C三点坐标都乘以，得到、、的坐标，然后描点连线即可得到所求图形；
（3）利用割补法，把三角形的面积转化为正方形和四个直角三角形的面积之差进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；

（3）解：的面积
【点睛】本题考查了轴对称变换，位似变换，三角形的面积，解题关键是掌握位似变换：在直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形的对应点的坐标比等于或．
22．（2022·山东济南·九年级期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小明的身高为米，求旗杆的高．

【答案】3米
【分析】先证明∽，列比例式可得的长，再证明∽，可得的长，最后由线段的差可得结论．
【详解】解：，
，
，
∽，
，
即，
，
同理得∽，
，
即，
，
(米)，
答：旗杆的高是米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等知识的应用，解题的关键掌握相似三角形的判定．
23．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，一块材料的形状是锐角△，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，这个正方形零件的边长是多少？

【答案】
【分析】设正方形零件的边长为．则，由题意易得，进而可得，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为x，则，
∴，
解得：，
答：这个正方形零件的边长为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（2022·全国·九年级课时练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．

请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，

∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，

则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．
【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
25．（2022·山东·夏津县教学工作研究室二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．

（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：．
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
【答案】（1）是等腰三角形，证明见详解；（2）证明见详解；（3）．
【分析】（1）如图1中，是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可；
（2）如图2中，过点作交于，则．首先证明，再证明，即可解决问题；
（3）如图3中，过点作于，则，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1中，是等腰三角形；

理由：平分，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，过点作交于，则，

，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（3）解：如图3中，过点作于，则，

，
，
，
，，
又，，
，
设，，则，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
26．（2022·山东济南·九年级期中）如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，设点P、Q运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．

(1)求经过几秒后，的面积等于？
(2)经过几秒，与相似？
(3)①是否存在t，使得的面积等于？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；②设四边形的面积为S，请直接写出S的最大值或最小值．
【答案】(1)秒
(2)秒，或秒
(3)①不存在，理由见解析；②的最小值是

【分析】（1）根据的面积等于，建立方程求解，即可得出答案
（2）分和，得出比例式，建立方程求解，即可得出结果
（3）①假设存在t，利用的面积等于，建立方程，判断方程得方程无实数根，即可得出结论；②先得出，即可求出答案
【详解】（1）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
∵的面积等于，
∴
∴，即
∴
即经过秒后，的面积等于
（2）∵，
∴①当时，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
解得：；
由①②可得：当经过秒或秒与相似
（3）①不存在，理由:
假设存在t，使得的面积等于，
∴
∴，
∴，
而，
∴此方程无实数根，
∴不存在t，使得的面积等于
②设四边形的面积为
∴




∴当时，S有最小值，最小值为
【点睛】此题是相似三角形形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，用方程的思想解决问题是解本题的关键