备战2023年数学新中考二轮复习热点透析 疑难点拨06阅读理解类问题

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疑难点拨06 阅读理解类问题
考向分析
中考数学的阅读理解题能较好地考查学生阅读理解能力与日常生活体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力，决策判断能力，因而一直是近年来乃至今后全国各地中考命题的热点。这类题贴近实际，可以引导学生关心社会，对促进中学数学教学改革，强化学生的数学应用意识，优化学生的思维品质 ，提高学生的数学思维能力，培养学生的个性品质都具有重要意义。
阅读理解类问题这类题目首先提供一定的材料,或介绍一个概念,或给出一种解法等,篇幅一般都较长,大致分两部分:第一部分是阅读材料,内容十分广泛,它既可取材于学过的教材中相关的内容,也可以取材于高中数学教材相关的内容,还可以选用其它学科的内容;第二部分是根据阅读材料需解决的有关问题.考查目标除了初中数学和基础知识外,更注重考查阅读理解,分析转化,范例运用,探索归纳等多方面的素质和能力.
考点详解
一、快速阅读，把握大意
在阅读时不仅要特别留心短文中的事件情景、具体数据、关键语句等细节，还要注意问题的提出方式。据此估计是我们平常练习时的哪种类型，会涉及到哪些知识，一般是如何解决的，在头脑中建立初步印象。
二、仔细阅读，提炼信息
在阅读过程中不仅要注意各个关键数据，还要注意各数据的内在联系、标明单位，特别是一些特殊条件（如附加公式），以简明的方式列出各量的关系，提炼信息，读"薄"题目，同时还要能回到原题中去。
三、总结信息，建立数模
根据前面提炼的信息分析，通过文中关键词、句的提示作用，选用恰当的数学模型，例如由"大于、超过、不足……."等联想到建立不等式，由"恰好……，等于……"联想到建立方程，由"求哪种方案更经济……"联想到运用分类讨论方法解决问题，由"求出………和……的函数关系式或求最大值（最小值）"联想到建立函数关系，将题中的各种已知量用数学符号准确地反映出其内在联系。
四、解决数模，回顾检查
在建立好数学模型后，不要急于解决问题，而应回过头来重新审题，一是看看哪些数据、关系还没有用上，用得是否准确，要充分挖掘题中的条件并发挥它们的作用;二是关键词句的理解是否准确、到位;三是判断所列关系式是否符合生活经验;四是在解题过程中要善于反思，发现问题及时纠正。
真题再现
一、解答题
1．（2022·浙江衢州·九年级期末）已知四边形ABCD与AEFG都是正方形．

(1)【观察思考】如图1，点C在线段AF上，求的值．
(2)【深入学习】固定图1中的正方形ABCD，把正方形AEFG绕着点A逆时针旋转（0°＜α＜180°），如图2所示，连结CF，DG，还等于【观察思考】中的值吗？说明理由．
(3)【类比探究】在正方形AEFG旋转过程中，设CF，DG的中点分别是M，N，连结AM，MN，NA．
①猜想△AMN的形状，并证明你的猜想．
②当AC＝AG，MN∥AD时，求的值．
【答案】(1)=
(2)还等于【观察思考】中的值，理由见解析
(3)①△AMN是等腰直角三角形，证明见解析；②
【分析】
（1）根据正方形的性质，得FG∥CD，从而得到=，根据正方形对角线是边长的倍计算即可．
（2）根据正方形的性质，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明△DAG∽△CAF即可．
（3）①根据△DAG∽△CAF，证明△ADN∽△ACM，△AMN∽△ACD，得证AN=NM，∠MAN=∠AMN即可．
②根据△ANN 是等腰直角三角形，MN//AD ，证明B、A、N三点共线，同理可证，C，A，G 三点共线，利用三角形中位线定理证明或利用三角形全等证明．
(1)
如图1，∵四边形ABCD 与AEFG 都是正方形，点C 在线段AF 上，
∴AC=AD，CD∥FG，
∴=．

(2)
如图2，连接AC，在正方形ABCD 与AEFG 中，
AC=AD， AF=AG ， ∠CAD=∠EAF=45°，
∴，∠CAF=∠DAG，
∴△DAG∽△CAF，
∴，
即还等于【观察思考】中的值．

(3)
①△ANN 是等腰直角三角形．理由如下：
如图3，∵△DAG∽△CAF，
∴，∠ADN=∠ACM，
∴△ADN∽△ACM，
∴，∠DAN=∠CAM，
∴∠MAN=∠CAD=45°，
∴△AMN∽△ACD，
∴，
∴，
∴AN=NM，
∴∠MAN=∠AMN，

∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠AMN=45°，
∴∠ANM=90°，
∴△ANN 是等腰直角三角形．
②∵△ANN 是等腰直角三角形
∴∠ANM=90°，
∵MN//AD ，
∴∠ANM=∠DAN=90°，
∴∠DAB+∠DAN=180°，
∴B、A、N三点共线，
同理可证，C，A，G 三点共线，
∵AC=AG，AN∥CD，
∴AN是△CDG的中位线，
∴；

当N 在BA 上时，

∵△ANN 是等腰直角三角形
∴∠MAN=45°，
∵MN//AD ，
∴∠ANM=∠DAN=90°，
∴∠CAG+∠GAE=180°，
∴C、A、E三点共线，
同理可证，C，M，F 三点共线，
∵AC=AG，FG∥AC，
∴△AMC≌△GMF，
∴GM=AM，
∴MN是△ADG的中位线，
∴；
综上可知，当MN//AD 时，．
2．（2022·江苏南通·八年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P（点P在图形W上），给出如下定义：若点，……，都在图形W上，且，那么称点，，……，是图形W关于点P的“等距点”，线段，，……，是图形W关于点P的“等距线段”．

(1)如图1，已知点B（－2，0），C（2，0），A（0，a）（）
①判断：点B，C △ABC关于点O的“等距点”，线段OA，OB △ABC关于点O的“等距线段”；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点O的两个“等距点”，分别在边AB，AC上，当相应的“等距线段”最短时，请在图1中画出线段，；
(2)如图2，已知C（4，0），A（2，2），P（3，0），若点C，D是△AOC关于点P的“等距点”，求点D的坐标；
(3)如图3，已知C（a，0）在x轴的正半轴上，．点P（x，0），△AOC关于点P的“等距点”恰好有四个，且其中一个点是点O，请直接写出点P横坐标的取值范围．（用含a的式子表示）
【答案】(1)①是；不是；②见解析
(2)D（2，0）或（3，1）
(3)＜x＜
【分析】
（1）①根据题意可得，，结合题中定义即可得出结果；
②根据题意及题中“等距点”可得，由相应的“等距线段”最短时，过点O分别作，，此时“等距线段”最短，据此作图即可得；
（2）根据勾股定理及其逆定理可得是等腰直角三角形，，结合题意可得：，，结合图形即可得出点的坐标；
（3）分两部分进行讨论：①当时，点P为线段OC的中点；②当时，；结合题中“等距点”的定义及含角直角三角形的性质依次分析即可得出点P横坐标的取值范围．
(1)
解：①∵点B（－2，0），C（2，0），A（0，a）（），
∴，，
∴点B，C是关于点O的“等距点”，线段OA，OB不是关于点O的“等距线段”；
故答案为：是；不是；
②∵关于点O的两个“等距点”，分别在边AB，AC上，
∴，
当相应的“等距线段”最短时，
过点O分别作，，此时“等距线段”最短，如图所示：

(2)
解：如图所示，

∵C（4，0），A（2，2），
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵P（3，0），
∴，
∴
∴，
∴D（2，0）或（3，1）；
(3)
解：①当时，点P为线段OC的中点，
∴，
∴点O、C是关于点P的“等距点”，
过点P作于点B，截取，连接PD，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴的关于点P的“等距点”有两个在OC上，有一个在AC上，
∵关于点P的“等距点”恰好有四个，且其中一个是点O，
∴，即；
②当时，，
，
则的关于点P的“等距点”有两个在OC上，有一个在AC上，
∵关于点P的“等距点”恰好有四个，且其中一个是点O，
，即；
综上可得：，
∴点P横坐标的取值范围为：．
3．（2021·北京·九年级期中）在平面直角坐标系中，图形的“外围矩形”定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设“外围矩形”的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的“外围矩形比”．如图①，矩形为的外围矩形，其外围矩形比．

(1)如图②，若点，，则外围矩形比的值为 　　；
(2)已知点，在函数的图象上有一点，若的外围矩形比，求点的坐标；
(3)已知点，动点在抛物线上，若的外围矩形比，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或
【分析】
（1）过点作轴于点，作轴于点，则矩形为的“外围矩形”，由点，得到OC、BC的长，利用公式求出k值；
（2）设点坐标为，分三种情况：①当时，作外围矩形，当时，当时，求出x得到点D坐标；②当时，作外围矩形，由公式求出x得到点D坐标；③当时，作外围矩形，根据公式求出x得到点D坐标；
（3）①当时，过点作轴于点，轴于点，当点在正方形内的抛物线上时，的外围矩形比．当时，的外围矩形比．过点作轴于点，轴于点， 设，由公式可得．由此得到m的取值范围；②当时，过点作轴于点，轴交过点作轴的垂线与点，设， 由公式得，或．
计算当时，当时，求出m值可得结论．
(1)
解：如图②，

过点作轴于点，作轴于点，则矩形为的“外围矩形”，
点，
，，
外围矩形比的值为，
故答案为：；
(2)
解：点为函数的图象上的点，设点坐标为，分以下三种情况：
①当时，如图3所示，作外围矩形，

点坐标为，，
，，
当时，，
解得：

当时，，
解得：，
，
②当时，如图4所示，作外围矩形，

，
，
解得：，
，
③当时，如图5所示，作外围矩形，

点坐标为，，
，
，，
，
，
，此方程无解，
当时，满足条件的点不存在，
综上所述，点的坐标为或或；
(3)
解：①当时，
过点作轴于点，轴于点，
当点在正方形内的抛物线上时，的外围矩形比．
令，则．
解得：．

当时，的外围矩形比．
过点作轴于点，轴于点，如图，

设，则，，
的外围矩形比．
，
．
②当时，
过点作轴于点，轴交过点作轴的垂线与点，如图，

设，则，，
．
，或．
当时，，
解得：（舍去）或．
当时，，
解得：（舍去）或．
或，
解得：（舍去）．
，
．
综上，若的外围矩形比，点的横坐标的取值范围为或．
4．（2021·北京·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为．
(1)，，
①的值是　　；
②点在轴上，若，则点的坐标是　　．
(2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为．
①当点的坐标为时，求的值；
②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标．
【答案】(1)①5；②或；
(2)①当点的坐标为时，的值为4；②的最小值是3，此时点的坐标是或
【分析】
（1）①根据的含义即可求得；
②设，则可得与，由即得关于x的方程，解方程即可；
（2）①由已知易得点P的坐标，设点为线段上任意一点，则，从而可得与，进而求得，由t的取值范围即可求得的最大值，最后可求得的值；
②由已知易得，，或，设点，则，求出及，当=时，有最小值，从而可得关于t的方程，解方程即可求得t的值，从而可求得此时的最小值及点P的坐标．
(1)
①，，
，，
则，
故答案是5．
②，点在轴上，设，
，，
，
，
或，解得，或，
的坐标是或．
故答案是或．
(2)
①点、在轴上，点在点的上方，，点的坐标为，
点的坐标为，
设点为线段上任意一点，则；
点的坐标为，
，，
；
由，可得；
，
的最大值是4，
．

②，，或，
设点，则，
，，
当，，时，有最小值，
即时，有最小值，
或，则有最小值为3，
点的坐标为或，
的最小值是3，此时点的坐标是或．
5．（2022·湖南·长沙市北雅中学八年级期末）阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数a，b，由于，所以，即，所以，并且当时，；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；
(1)比较大小： 2x（其中）， 2（其中），（填“≥”、“≤”或“＝”）；
(2)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是 （填序号）；
(3)已知：，求代数式的值；
(4)当x为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
【答案】(1)≥；≥
(2)①②④
(3)
(4)时，有最小值3.
【分析】
（1）由题意依据由于，所以，即，进行分析计算即可；
（2）根据题意利用分子的次数大于或等于分母的次数的分式称为假分式进行分析判断即可；
（3）由题意变形可得，继而代入进行运算即可；
（4）根据题意将假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，进而依据二次根式的双重非负性得出为非负数以此进行分析即可得出答案.
(1)
解：由于，其中，所以，即，
由于，其中，所以，即，
故答案为：≥；≥.
(2)
解：∵分子分母的次数都为1，、分子的次数大于分母的次数，
∴①②④属于假分式，
故答案为：①②④.
(3)
解：由可得，
所以.
(4)
解：由题意可得，
∵，
∴为非负数，即，
∴，此时，解得，
∴时，有最小值3.
6．（2022·北京西城·八年级期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．

在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，
①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ：
②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．
（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
【答案】（1）①；②0；（2）；（3）4或1
【分析】
（1）①作图，求出，再根据定义求值即可；②通过数形结合的思想即可得到；
（2）根据求△ABC关于直线的对称度的最大值，即是求最大值即可；
（3）存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，即转变为APQ是等腰三角形，需要分类进行讨论，分；；，同时需要满足t的值为整数．
【详解】
解：（1）①当时，根据题意作图如下：

，
为等腰直角三角形，
，
，
根据折叠的性质，
，
，
关于直线的对称度的值是：，
故答案是：；
②如图：


根据等腰三角形的性质，当时，有
,
ABC关于直线的对称度为1，
故答案是：0；
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，要使得△ABC关于直线的对称度的最大值，
则需要使得最大，如下图：


当时，取到最大，
根据，可得为的中位线，
，
，
△ABC关于直线的对称度的最大值为：；
（3）若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，
即为等腰三角形即可，
①当时，为等腰三角形，如下图：

，
；
②当时，为等腰三角形，如下图：

，
；
③当时，为等腰三角形，如下图：

设，则，
根据勾股定理：，
，
解得：，
（不是整数，舍去），
综上：满足题意的整数的值为：4或1．
7．（2022·云南·昆明市第三中学七年级期末）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数．事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？
例：将化为分数形式：
由于，设，即①
则②
再由②－①得：，
解得，于是得：
同理可得：，．
根据阅读材料回答下列问题：
(1)______；
(2)昆三中地址为惠通路678号，寓意着三中学子都能被理想学校录取，请将化为分数形式，并写出推导过程（注：）
【答案】(1)
(2)，过程见解析
【分析】
（1）设，即①，则②，再把两个方程相减即可得到答案；
（2）设，即①，则②，再把两个方程相减即可得到答案.
(1)
解：由于，设，即①
则②
再由②－①得：，
解得，于是得：
(2)
解：由于，设，即①
则②
再由②－①得：，
解得，于是得：.
8．（2022·福建福州·七年级期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
(2)若关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；
(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．
【答案】(1)是，理由见详解
(2) 或 ；
(3)或
【分析】
（1）分别解出两个方程，再根据新定义，即可求解；
（2）分别解出两个方程，再根据新定义，得到，再根据m为正数，即可求解；
（3）分别解出两个方程，再根据新定义，得到 ，即可求解．
(1)
解：是，理由如下：
2x＝5x﹣12，
解得： ，
3（y﹣1）﹣y＝1，
去括号得： ，
解得： ，
∴ ，
∴关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；
(2)
解：x﹣＝n﹣1，
去分母得： ，
解得： ，
2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m
去括号得： ，
解得： ，
∵关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，
∴，
即 ，
∴ 或，
即 或
∵m为正数，
∴ 或 ；
(3)
解：sx+t＝h，解得： ，
s（y﹣k+1）＝h﹣t，解得： ，
∵关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，
∴，
解得： ，
即或．
9．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）阅读题在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3﹣x2因式分解的结果为x2（x﹣1），当x＝5时，x2＝25，x﹣1＝04，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝10时，x﹣1＝09，x+1＝11，x+2＝12，此时可以得到数字密码091112．
(1)根据上述方法，当x＝12，y＝5时，求多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）
(2)若一个直角三角形的周长12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到密码；（只需一个即可）
(3)若多项式x2+（m﹣3n）x﹣6n因式分解后，利用本题的方法，当x＝25时可以得到一个密码2821，求m、n的值．
【答案】(1)120717；121707，171207．
(2)1225
(3)m=5，n=2
【分析】
（1）首先把x3-xy2分解因式，然后求出当x=12，y=5时，x-y、x+y的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可．
（2）由题意得：，求出xy的值是多少，再根据x3y+xy3=xy（x2+y2），求出可得的数字密码为多少即可．
（3）首先根据密码为2821，可得：当x=25时，x2+（m﹣3n）x﹣6n=（x+3）（x-4），据此求出m、n的值各是多少即可．
(1)
x3-xy2=x（x-y）（x+y），
当x=12，y=5时，x-y=07，x+y=17，
可得数字密码是120717；也可以是121707，171207．
(2)
由题意得：，
解得xy=12，
而x3y+xy3=xy（x2+y2），
∴可得数字密码为1225．
(3)
∵密码为2821，
∴当x=25时，
∴x2+（m﹣3n）x﹣6n=（x+3）（x-4），
即：x2+（m-3n）x-6n=x2-x-12，
∴，
解得．
10．（2021·上海虹口·期中）【阅读材料】三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过探究，小明发现有一些分数，可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，，…；
，＝﹣，…；
(1)请观察小明发现的拆分方法，填空：
①＝；
②＝．
(2)请归纳以上拆分规律，计算下列各题：
①；
②；
(3)请运用以上拆分规律，直接写出下列算式的结果：
＝　 　；
＝　 　．
【答案】(1)①4，5；②4，5；
(2)①；②
(3)，
【分析】
（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）仿照所给的等式的规律进行求解即可；
（3）仿照所给的等式的规律进行求解即可．
(1)
由小明的方法可得①；②；
故答案为：①4，5；②4，5；
(2)
①，
，
，
，
；
②，
，
，
；
(3)
（3），
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
11．（2022·湖南岳阳·八年级期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题，观察下列等式：


直接写出以下算式的结果：
______；（n为正整数）＝______；
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
，，
再根据平方根的定义可得
，，
直接写出以下算式的结果：
______，______，______：
（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：

【答案】（1），（n为正整数）；（2），，；（3）
【分析】
（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可；
（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；
（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可.
【详解】
解：（1），


故答案为：，（n为正整数）
（2）


故答案为：，，
（3）

12．（2022·广东深圳·八年级期末）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．

【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°；
【分析】
（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【详解】
解：（1）①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；
∠2=∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，

∵∠1=42°，
∴∠4=∠1=42°，
∴∠6=180°42°42°=96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6=180°，
∴∠2=84°，
∴∠5=∠7=，
∴∠3=180°48°42°=90°．
故答案为：84°；90°；
13．（2021·江西上饶·九年级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．
（1）求a，b，c的值；
（2）在平面直角坐标系中描出点A'，C'，并画出“部分抛物线”K；
（3）求“部分抛物线”K的解析式；
（4）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．
①直接写出m的取值范围；
②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．

【答案】（1）a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3；（2）见解析；（3）y＝x2﹣10x+21（x≥3）；（4）①m＞0或m＝﹣4；②5．
【分析】
（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可；
（2）先根据点A'、C'与点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）关于直线x＝3对称，求出点A′、C′的坐标，再描出点A'，C'，并画出“部分抛物线”K；
（3）由（1）得原抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，将其配成顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，则翻折后得到的抛物线的顶点为（5，﹣4），再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）；
（4）①先求出K与L的公共点为B（3，0），再结合图象，确定m的取值范围是m＞0或m＝﹣4；
②按m＞0和m＝﹣4两种情况分类讨论，当m＞0时，先求出直线BM的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当m＝﹣4时，则△MNB不是等腰直角三角形．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
故a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3．
（2）由（1）得C（0，﹣3），
由题意可知，点A'、C'与点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）关于直线x＝3对称，
∴A'（7，0），C'（6，﹣3），
描出点A'（7，0），C'（6，﹣3），画出“部分抛物线”K如图1所示．

（3）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4），
∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21，
∵K与L关于直线x＝3对称，
∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．
（4）由得，
∴K与L的公共点为B（3，0），
①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，
∴m＞0；
如图3，当直线y＝m′在点B下方，
直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4），
此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，
∴m＝﹣4，
综上所述，m＞0或m＝﹣4．
②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形，
设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3），
∵BM＝BN，∠MBN＝90°，
∴∠BMN＝∠BNM＝45°，
∵MN∥x轴，
∴∠OBD＝∠BMN＝45°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝∠ODB＝45°，
∴OB＝OD＝3，
∴D（0，3），
设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，
∵点M在直线y＝﹣x+3上，
∴M（x，﹣x+3），
∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3，
解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去），
∴M（﹣2，5），
∴m＝5；
如图3，m＝﹣4，
∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16，
∴BM2+BN2≠MN2，
∴此时△MNB不是等腰直角三角形，
综上所述，m的值是5．


14．（2021·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：
＝
＝
＝
（1）利用分组分解法分解因式：
   ①；
   ②
（2）因式分解：=_______（直接写出结果）．
【答案】（1）① ；②；（2）．
【分析】
（1）仿照题目所给例题进行分组分解因式即可；
（2）利用平方差和完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】
解：（1）①


；
②

=
=；
（2）

，
故答案为：．
15．（2021·广东·深圳市南山区前海中学七年级期中）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1．
根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020．
【答案】
【分析】
依据题例的方法乘2后，错位相减即可．
【详解】
解：设,
则，
两式相减得：

即
16．（2021·上海静安·七年级期末）阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：＝．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．
【答案】（1）；（2）2或4或-10或16
【解析】
【分析】
（1）按照定义拆分即可，＝．
（2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式，＝，若要值为整数，只需为整数即可，故x=2或4或-10或16．
【详解】
（1）

＝
．
（2）

＝

若要值为整数，只需为整数即可
当x=2时
当x=4时
当x=-10时
当x=16时
故x=2或4或-10或16．
17．（2021·江西景德镇·七年级期中）现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2
归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．
（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．
拓展应用
（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．

【答案】（1），见解析；（2）1秒或4秒或16秒
【分析】
（1）用表示出点，然后求解即可；
（2）分三种情况讨论求解即可，当点B是线段AC的中点、点C是线段AB的中点、点A是线段BC的中点时，分别求解即可．
【详解】
（1）；理由：H点：b＝c＋m，G点：a＝c－m，
，即．
（2）运动t秒后A、B、C三点表示的数分别为A：－3－2t，B：1－t，C：9－4t
①当点B是线段AC的中点时：
②当点C是线段AB的中点时：
③当点A是线段BC的中点时：
综上所述，t的值为1秒或4秒或16秒．
18．（2021·北京市第五十七中学八年级期中）在平面直角坐标系中，对任意的点P(x，y)，定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|y|．任取点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记(x1，y2)，(x2，y1)，若此时|A|2+|B|2≤||2+||2成立，则称点A，B相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ；
①A(﹣2，1)，B(3，2)；②C(4，﹣3)，D(2，4)．
（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有 个；
②求所有满足①条件的所有点中与点E(3，3)相关的点的个数；
③对于满足①条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大值．

【答案】（1）②；（2）①169；②108；③n的最大值是108．
【分析】
（1）①根据相关点定义由A(﹣2，1)，B(3，2)，得出A′（-2，2），B′（3，1），求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；
②根据相关点定义由C(4，﹣3)，D(2，4)，得出，求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；
（2）①根据﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6， 可得x共13个整数，y共13个整数，利用有理数的乘法可得所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个即可；
②根据相关点定义设点E(3，3)的相关点Q（m，n）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．根据点E，Q是相关点，得出，因式分解得：，解绝对值不等式得出不等式组的解集，7×4=28个.，7×4=28个；,，4×7=28个.，4×7=28个；四个区域点数求和即可；
③设点A（x,y）其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．根据A、B是相关点，可得，因式分解得：，得出不等式组的解集或或或，由②发现由y=x与y=-x，分成四个部分，满足条件或或或是在每部分中长方形区域，在区域内都满足任意两点都是相关点，每个区域中都有两个点在y=x与y=-x上，根据x=y讨论即可得解．
【详解】
解：（1）①A(﹣2，1)，B(3，2)；A′（-2，2），B′（3，1），
∴，
∴；，
∵＞，
∴①不是相关点，
②C(4，﹣3)，D(2，4)，，
，
∴；，
∵＜，
∴②是相关点；
故答案为：②；
（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．
∴x=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共13个整数，
∴y=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共13个整数，
所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个，
故答案为169；
②点E(3，3)，设点Q（m，n）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．
∵点E，Q是相关点，
∴，
整理得：，
因式分解得：，
∴或，
由得出两组解，
当时，
m=-3，-2，-1，0，1，2，3；n=-3，-4，-5，-6，7×4=28个；
当时，
m=-3，-2，-1，0，1，2，3；n=3，4，5，6，7×4=28个；
由，得出两组解，
当时，
m=-3，-4，-5，-6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；
当时，
m=3，4，5，6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；
（3，3）（3，-3）（-3，-3）（-3，3）各用两次，
所有与点E(3，3)相关的点的个数有4×28-4=108个，
故答案为108；

③设点A（x,y）其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．
∵A、B是相关点，
∴，
整理得：，
因式分解得：，
或，
∴或，
∴或或或，
∴当x=y时，四点,组成正方形，由对角线y=x与y=-x，分成四个部分，每个部分中满足条件或或或是在每部分中长方形区域，在区域内都满足任意两点都是相关点，
每个区域中都有两个点在与上，当点P（x，y），
当x=y=0时，为坐标轴上点，4个区域中，每个区域有7个点，4各区域有（7-1）×4+1=25个，
当x=y=1时，正方形四个顶点为（1，1），（-1，1），（-1，-1），（1，-1），对角线分成4个区域中，正方形每边有3点，每个区域有三行，每行有6个点，每个区域有6×3=18个点，4个区域有（18-1）×4=68个，
当x=y=2时，正方形四个顶点为（2，2），（-2，2），（-2，-2），（2，-2），对角线分成4个区域中，正方形每边有5点，每个区域有五行，每行有5个点，4个区域中，每个区域有5×5=25个点，4个区域有（25-1）×4=96个，
当x=y=3时，正方形四个顶点为（3，3），（-3，3），（-3，-3），（3，-3），对角线分成4个区域中，正方形每边有7点，每个区域有七行，每行有4个点，4个区域中，每个区域有4×7=28个点，4个区域有（28-1）×4=108个，
当x=y=4时，正方形四个顶点为（4，4），（-4，4），（-4，-4），（4，-4），对角线分成4个区域中，正方形每边有9点，每个区域有九行，每行有3个点，4个区域中，每个区域有3×9=27个点，4个区域有（27-1）×4=104个，
当x=y=5时，正方形四个顶点为（5，5），（-5，5），（-5，-5），（5，-5），对角线分成4个区域中，正方形每边有11点，每个区域有十一行，每行有2个点，4个区域中，每个区域有2×11=22个点，4个区域有（22-1）×4=84个，
当x=y=6时，正方形四个顶点为（6，6），（-6，6），（-6，-6），（6，-6），对角线分成4个区域中，正方形每边有13点，每个区域有十三行，每行有1个点，4个区域中，每个区域有1×13=13个点，4个区域有（13-1）×4=48个，
∴n的最大值是108．
19．（2021·山东青岛·九年级期中）[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝＝3条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽共有 　 　条线段，高共有 　 　条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 　 　线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【答案】（3）27；（4）21，378；（5），n3(n+1)38；（6）组成这个正方体的小立方块的个数是125个
【分析】
[问题探究]
（3）把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
（4）先得到宽共有多少条线段，高共有多少条线段，再把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
[问题解决]
（5）先根据数线段的方法得到长、宽、高三边的线段条数，再把它们相乘即可求解；
[结论应用]
（6）由（5）的结论，根据等量关系：由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，列出方程求解即可．
【详解】
解：[问题探究]
（3）3×3×3＝27（个）．
故答案为：27．
（4）由题意，宽有：（条），
高有：（条），
长方体共有：3×6×21＝378（个）．
故答案为：6，21，378．
[问题解决]
（5）由题意，长、宽、高各有条线段，
∴图中共有个长方体．
故答案为：，n3(n+1)38；
[结论应用]
（6）依题意有：n3(n+1)38=3375，
∴，
解得n1＝5，n2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴5×5×5＝125（个）．
答：组成这个正方体的小立方块的个数是125个．
20．（2021·湖南张家界·七年级期中）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+x+0.25）＝3x2+2x．
整理，得．
①当y≠3时，∵x为实数，∴，∴y≤4且y≠3；
②当y＝3时，．即为，方程有解（x的值存在）；
∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【答案】
【分析】
模仿例题，利用根的判别式解决问题即可．
【详解】
将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+2x+1）＝3x2+x+2，
整理，得 （y﹣3）x2+（2y﹣1）x+（y﹣2）＝0，
①当 y≠3 时，∵x为实数，
∴＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0；
∴ 且 y≠3，
②当y＝3时，（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+（y﹣2）＝0 即为 5x+1＝0，方程有解（ x 的值存在）；
∴．
因此，y的最小值为．