2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（二模三模）含解析

这是一份2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（二模三模）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选精编精编，填 空 题精编精编精编，解 答 题精编精编精编等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（二模）
精编精编精编
一、选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）精编精编
1. 的相反数是（　　）精编
A. 3 B. ﹣3 C. D. 精编
2. 下列运算中，正确的是（　　）精编精编精编
A. 2x+2y=2xy B. （xy）2÷=（xy）3
C. （x2y3）2=x4y5 D. 2xy﹣3yx=xy精编精编精编
3. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是(　　)精编精编精编精编
精编精编
A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱精编
4. 口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列为随机的是（   ）精编精编精编精编
A. 随机摸出1个球，是白球  B. 随机摸出1个球，是红球精编
C. 随机摸出1个球，红球或黄球  D. 随机摸出2个球，都是黄球精编精编精编
5. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC 变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（ ）精编精编精编
精编
A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3精编精编
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1精编精编精编精编精编
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1精编精编精编
D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3精编精编
6. 如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p最小值是（　　）精编精编精编
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4精编精编精编精编精编精编精编
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）精编精编精编
7. 9的平方根是_________．精编
8. 若∠α=32°22′，则∠α的余角的度数为_____．精编精编
9. 化简：﹣3的结果是_____．精编精编
10. 精编汇总一组数据2、﹣2、4、1、0的方差是_____．精编精编精编
11. 若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，则3﹣a+b的值是_____．精编精编精编精编精编
12. 如图，直线 ∥，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=_____________°.精编
精编精编
13. 圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为_____ cm2．精编精编
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，则∠BOD等于_____．精编
精编精编
15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD=BC，则sin∠A=_____．精编精编精编精编
精编
16. 抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，则m的值为_____．精编精编精编精编
三、解 答 题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）精编精编精编
17. 计算或解方程精编精编
（1）（﹣）﹣2+|3tan30°﹣1|﹣（π﹣3）°； 精编精编精编
（2）=﹣3．精编精编
18. 近年来，“在初中数学教学时总使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了n名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果 绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，根据统计图表提供的信息，解答下列问题：精编精编
n名学生对使用计算器影响计算能力的发展看法人数统计表精编
看法精编精编
精编精编精编
没有影响精编精编精编
精编精编精编
影响不大精编精编精编
精编精编精编精编精编
影响很大精编精编精编精编精编
精编精编精编
学生人数（人）精编
精编精编
40精编精编精编精编
精编精编
60精编精编精编
精编精编精编精编
m精编

精编精编精编精编
（1）求n的值；精编精编精编精编
（2）统计表中的m= ；精编精编精编
（3）估计该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数．精编精编精编
19. 在一个不透明袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．精编
（1）从袋中任意摸出2个球，用树状图或列表求摸出的2个球颜色不同的概率；精编精编精编精编
（2）在袋子中再放入x个白球后，进行如下实验：从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀．经大量试验，发现摸到白球频率稳定在0.95左右，求x的值．精编精编精编
20. 学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．精编精编
21. 写出下列命题已知、求证，并完成证明过程．精编精编
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．精编精编精编
已知：如图，　 　．精编精编精编精编
求证：　 　．精编精编精编精编
证明：精编
精编精编
22. 如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角分别为∠ACE=60°，∠BCF=45°，这时点F相对于点E升高了4cm．求该摆绳CD的长度．（到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）精编精编精编精编精编
精编精编精编精编
23. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的点到路面的距离为6米．精编精编精编精编精编精编精编
（1）按如图所示建立平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；精编精编精编精编
（2）一辆货运卡车高为4m，宽为2m，如果该隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？精编
精编精编精编
24. 如图，在等边△ABC中，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN、MN，精编精编
（1）求证：△CMN是等边三角形；精编精编
（2）判断CN与⊙O的位置关系，并说明理由；精编精编精编精编
（3）若AD：AB=3：4，BN=4，求等边△ABC的边长．精编精编精编精编
精编精编
25. 如图1，矩形ABCD中，P是AB边上的一点（不与A，B重合），PE平分∠APC交射线AD于E，过E作EM⊥PE交直线CP于M，交直线CD于N．精编
（1）求证：CM=CN；精编精编精编精编
（2）若AB：BC=4：3，精编精编
①当=　 　时，E恰好是AD的中点；精编
②如图2，当△PEM与△PBC相似时，求值．精编精编精编精编
精编
26. 如图1，已知函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A、B，反比例函数y=点M．精编精编精编
（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．精编精编精编
（2）当函数y=ax+2的图象与反比例函数y=的图象有公共点M，且OM=，求a的值．精编
（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．精编精编精编











2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（二模）
精编精编精编
一、选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）精编精编
1. 的相反数是（　　）精编精编
A. 3 B. ﹣3 C. D. 精编精编
【正确答案】D精编
精编精编精编精编
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．精编精编
【详解】解：的相反数为﹣．精编精编精编
故选：D．精编精编精编精编
本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．精编精编
2. 下列运算中，正确的是（　　）精编精编精编精编
A. 2x+2y=2xy B. （xy）2÷=（xy）3精编精编
C. （x2y3）2=x4y5 D. 2xy﹣3yx=xy精编精编精编
【正确答案】B精编精编精编精编精编精编精编

【详解】解：A．2x与2y不是同类项，不能合并，故A错误；精编精编精编
B．正确；精编精编精编
C．原式=x4y6，故C错误；精编精编精编
D．原式=﹣xy，故D错误；精编精编
故选B．精编精编精编
3. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是(　　)精编精编精编精编
精编精编精编精编
A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱精编精编精编
【正确答案】A
精编精编精编精编精编
【详解】试题分析：根据四棱锥的侧面展开图得出答案.精编
试题解析：如图所示：这个几何体是四棱锥.精编精编精编精编
故选A.精编精编
考点：几何体的展开图.精编精编精编

4. 口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列为随机的是（   ）精编
A. 随机摸出1个球，是白球  B. 随机摸出1个球，是红球精编精编精编精编
C. 随机摸出1个球，是红球或黄球  D. 随机摸出2个球，都是黄球精编精编精编
【正确答案】B精编精编精编精编
精编精编精编
【详解】A、从甲袋中随机摸出1个球，是白球是不可能；精编精编精编
B、从甲袋中随机摸出1个球，是红球是随机；精编精编
C、从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球是必然；精编精编精编精编
D、从乙袋中随机摸出2个球，都是黄球是不可能，精编精编精编精编
故选B．
必然指在一定条件下，一定发生的．不可能是指在一定条件下，一定不发生的，不确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的．精编精编
5. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC 变换得到Rt△ODE，若点C坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（ ）精编精编精编
精编精编精编
A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3精编精编精编
B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1精编精编精编
C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1精编精编精编精编
D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3精编精编精编
【正确答案】A精编精编精编精编
精编精编精编精编
【详解】根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．精编
故选A．精编精编
本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移．掌握旋转和平移的性质是解题关键．精编精编精编精编
精编精编精编
6. 如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p最小值是（　　）精编精编精编
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4精编精编精编精编
【正确答案】B精编精编
精编
【详解】解：p=a2+2b2+2a+4b+5=（a+1）2+2（b+1）2+2≥2，故选B．精编精编精编
点睛：本题考查配方法的应用、非负数的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用配方法和非负数的性质解答．
二、填 空 题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）精编
7. 9的平方根是_________．精编
【正确答案】±3精编精编精编
精编精编精编精编
【分析】根据平方根的定义解答即可．精编精编
【详解】解：∵（±3）2=9，精编精编精编
∴9的平方根是±3．精编
故答案为±3．精编精编精编精编
本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．精编精编精编精编精编
8. 若∠α=32°22′，则∠α的余角的度数为_____．精编精编精编
【正确答案】57°38'精编精编
精编精编精编
【详解】解：90°﹣∠α=90°﹣32°22′=57°38'．故答案为57°38'．精编精编
9. 化简：﹣3的结果是_____．精编精编
【正确答案】 精编精编
精编精编
【详解】解：原式==．精编精编
故．精编精编
10. 一组数据2、﹣2、4、1、0方差是_____．精编精编精编
【正确答案】4精编精编精编
精编精编精编
【详解】解：这组数据的平均数是：（2﹣2+4+1+0）÷5=1，则方差= [（2﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（4﹣1）2+（1﹣1）2+（0﹣1）2]=4．故答案为4．精编精编精编
11. 若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，则3﹣a+b的值是_____．精编精编精编精编
【正确答案】5精编
精编精编精编
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，∴a﹣b+2=0，∴a﹣b=﹣2，∴3﹣a+b=3﹣（a﹣b）=3+2=5．故答案为5．精编精编精编
点睛：此题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值．精编精编
12. 如图，直线 ∥，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=_____________°.精编精编
精编精编精编
【正确答案】140°精编精编精编
精编精编精编精编精编
【分析】先根据平行线性质，由//得∠3=∠1=40°，再根据平行线的判定，由∠α=∠β得AB//CD后根据平等线的性质得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°代入计算即可．精编精编精编
【详解】解：如图，精编精编精编
精编精编精编
∵//，精编精编精编精编
∴∠3=∠1=40°，精编精编精编精编精编
∵∠α=∠β，精编
∴AB//CD，精编精编
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°．精编精编
故140°．精编精编精编精编
考点：平行线的性质.精编精编
精编精编精编精编
13. 圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为_____ cm2．精编精编精编
【正确答案】24π精编精编精编
精编
【详解】试题解析：∵圆锥的底面半径为4cm，精编
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，精编精编精编精编
∴圆锥的侧面积=×8π×6=24π（cm2）．精编精编
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，则∠BOD等于_____．精编精编
精编精编
【正确答案】150°精编
精编精编
【详解】解：∵⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，∴∠C=75°，∴∠BOD=150°．故答案为150°．精编精编
点睛：此题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，正确掌握相关定理是解题关键．精编精编
15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD=BC，则sin∠A=_____．精编精编精编
精编精编精编
【正确答案】精编精编精编精编精编
精编精编精编
【详解】设AD=BC=x，精编精编精编精编精编
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，精编精编
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，精编精编精编
∴∠A=∠BCD，精编精编
∴△ABC∽△CBD，精编精编精编
∴AB：BC=BC：BD，即(x+BD)：x=x：BD，精编精编
∴BD=x，精编精编精编精编精编
∴sin∠A=sin∠BCD===．精编
故答案为．精编精编
16. 抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，则m的值为_____．精编精编精编
【正确答案】 精编精编精编

【详解】解：∵抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，而在3＜x＜4位于x轴上方，∴抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，∵在﹣1＜x＜0位于x轴下方，∴抛物线过点（﹣1，0），把（﹣1，0）代入y=mx2﹣2mx+m﹣3得m+2m+m﹣3=0，解得m=，故答案为．精编
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．精编精编精编
三、解 答 题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）精编精编
17. 计算或解方程精编精编精编
（1）（﹣）﹣2+|3tan30°﹣1|﹣（π﹣3）°； 精编精编精编精编
（2）=﹣3．
【正确答案】（1）2+；（2）无解．精编精编
精编精编精编
【详解】试题分析：（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及值的代数意义化简即可得到结果；精编精编精编
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．精编精编精编精编
试题解析：解：（1）原式==；精编精编精编
（2）去分母得：1=x﹣1﹣3x+6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．精编精编
18. 近年来，“在初中数学教学时总使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了n名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果 绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，根据统计图表提供的信息，解答下列问题：精编
n名学生对使用计算器影响计算能力的发展看法人数统计表精编
看法
精编精编
没有影响
精编精编精编
影响不大精编精编
精编精编精编
影响很大精编精编精编
精编精编精编精编精编
学生人数（人）精编
精编
40精编精编
精编
60精编精编
精编精编精编
m精编
精编精编精编精编

精编精编
（1）求n的值；精编精编精编
（2）统计表中的m= ；精编精编
（3）估计该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数．
【正确答案】（1）200；（2）100；（3）900.精编精编精编精编
精编精编
【详解】试题分析：（1）将“没有影响”的人数÷其占总人数百分比=总人数n即可；精编精编
（2）用总人数减去“没有影响”和“影响不大”的人数可得“影响很低”的人数m；精编精编精编精编
（3）将样本中“影响很大”的人数所占比例乘以该校总人数即可得．精编精编精编精编
试题解析：（1）n=40÷20%=200（人）．精编精编
答：n的值为200；精编精编精编精编
（2）m=200-40-60=100；精编精编
（3）1800×=900（人）．精编
答：该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数约为900人．精编精编精编
故答案为（2）100．精编精编
考点：1.扇形统计图；2.用样本估计总体．
19. 在一个不透明袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．精编精编精编
（1）从袋中任意摸出2个球，用树状图或列表求摸出的2个球颜色不同的概率；精编精编精编精编精编
（2）在袋子中再放入x个白球后，进行如下实验：从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀．经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，求x的值．精编精编
【正确答案】（1）树状图见解析,；（2）16．精编精编

【详解】试题分析：（1）画出树形图，得到所有可能结果，找到2个球颜色不同的数目，即可求出其概率．精编
（2）根据在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，由白球的频率，即可求出x的值．精编
试题解析：解：（1）树状图如下所示：精编精编精编精编精编精编
精编精编精编精编
由树形图可知所有可能情况共12种，其中2个球颜色不同的数目有6种，所以2个球颜色不同的概率==；精编精编精编
（2）由题意可得：=0.95，解得：x=16，经检验x=16是原方程的解，所有x的值为16．精编精编
点睛：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出A或B的概率．同时本题还考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．精编精编
20. 学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．精编精编精编精编精编
【正确答案】每套课桌椅成本82元．精编精编
精编精编精编精编
【详解】解：设每套课座椅的成本为元． 精编精编精编
则 精编
解得 精编精编精编
经检验，符合题意．精编精编精编精编
答：每套课座椅的成本为82元．精编精编精编精编
21. 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．精编精编精编精编
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．精编精编
已知：如图，　 　．精编精编精编精编精编
求证：　 　．精编精编精编精编
证明：精编
精编精编精编
【正确答案】∠B=∠C，AB=AC，证明见解析.精编精编精编
精编
【分析】根据图示，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据∠B=∠C证明△ABC为等腰三角形，从而得出结论．精编精编
【详解】在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC，精编精编精编精编
故答案为∠B=∠C，AB=AC；精编精编精编精编精编
证明：过点A作AD⊥BC于D，精编精编
∴∠ADB=∠ADC=90°，精编精编精编
在△ABD和△ACD中，精编精编
，精编精编精编精编
∴△ABD≌△ACD（AAS），精编精编
∴AB=AC．精编精编精编
精编精编精编精编
本题考查了命题与定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握文字证明题的解题过程与解题方法是解题的关键.精编精编精编
22. 如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角分别为∠ACE=60°，∠BCF=45°，这时点F相对于点E升高了4cm．求该摆绳CD的长度．（到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）精编精编
精编精编精编
【正确答案】摆绳CD的长度为25.1cm．精编精编精编
精编精编
【详解】试题分析：过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，解直角三角形即可．精编精编精编精编
试题解析：解：分别过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，垂足分别为G、H，设摆绳CD的长度为xcm．则CE=CF=xcm．精编精编精编精编
由题意知：HG=4，∠CEG=60°，∠CFH=45°．精编精编
Rt△CEG中，sin∠CEG=，∴CG=CE•sin∠CEG=x•sin60°，在Rt△CFH中，sin∠CFH=，∴CH=CF•sin∠CFH=x•sin45°．精编精编精编精编
∵HG=CG﹣CH，∴x•sin60°﹣x•sin45°=4，解得x=≈25.1．精编
答：摆绳CD的长度为25.1cm．精编精编精编
精编精编精编精编
点睛：此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出CG与CH的长是解题关键．精编精编精编
23. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的点到路面的距离为6米．精编
（1）按如图所示建立平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；精编精编精编
（2）一辆货运卡车高为4m，宽为2m，如果该隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？精编精编精编精编
精编精编精编精编
【正确答案】（1）y=﹣（x﹣4）2+6；（2）这辆货车能通过．精编

【详解】试题分析：（1）根据题意可知顶点坐标和点B坐标，设抛物线的函数表达式为顶点式，代入即可求出表达式；精编
（2）利用宽2m求出高为5m，所以可以通过．精编精编
试题解析：解：（1）如图1，由题意得：点C（4，6），B（8，2），设抛物线的函数表达式：y=a（x﹣4）2+6，把（8，2）代入得：a（8﹣4）2+6=2，a=﹣，∴y=﹣（x﹣4）2+6；精编精编精编
（2）如图2，当DE=2时，AD=AE﹣DE=4﹣2=2，当x=2时，y=﹣（2﹣4）2+6=5＞4，∴这辆货车能通过．精编精编精编
精编精编
点睛：本题是二次函数的应用，属于抛物线型隧道或拱桥问题，此类题一般函数表达式求法比较简单，但若货运卡车等是否能通过隧道问题，有两种情况：单向车道或双向车道，要仔细审题，可以利用宽来计算高，也可以利用高来计算宽，把对应的坐标代入即可．精编精编精编精编精编
24. 如图，在等边△ABC中，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN、MN，精编精编精编精编精编
（1）求证：△CMN是等边三角形；精编精编
（2）判断CN与⊙O的位置关系，并说明理由；精编精编精编精编精编精编
（3）若AD：AB=3：4，BN=4，求等边△ABC的边长．精编精编精编
精编
【正确答案】（1）证明见解析;（2）CN是⊙O的切线,理由见解析；（3）等边△ABC的边长是3．精编精编精编
精编精编精编
【详解】试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理得到△BCN≌△ACM，由全等三角形的性质得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，求得∠MCN=∠ACB=60°，即可得到结论；精编
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACO=∠BCO=ACB=30°，根据角的和差得到∠OCN=90°，根据切线的判定定理得到结论；精编精编精编
（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．精编精编
试题解析：解：（1）在△BCN与△ACM中，∵BC=AC，∠CBN=∠CAM，BN=AM，∴△BCN≌△ACM，∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，∴∠BCN﹣∠ACN=∠ACM﹣∠ACN，即∠MCN=∠ACB=60°，∴△CMN是等边三角形；精编精编
（2）连接OA．OB．OC，在△BOC与△AOC中，∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，∴△BOC≌△AOC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，∵∠ACB=∠MCN=60°，∴∠ACN=60°，∴∠OCN=90°，∴OC⊥CN，∴CN是⊙O的切线；精编精编精编
（3）∵∠ADB=∠ACB=60°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠BAD=∠MAB，∴△ABD∽△AMB，∴，∵AM=BN=4，∴AB=3，∴等边△ABC的边长是3．精编精编
精编精编精编
点睛：本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键．精编
25. 如图1，矩形ABCD中，P是AB边上的一点（不与A，B重合），PE平分∠APC交射线AD于E，过E作EM⊥PE交直线CP于M，交直线CD于N．精编精编
（1）求证：CM=CN；精编精编精编精编
（2）若AB：BC=4：3，精编精编精编
①当=　 　时，E恰好是AD的中点；精编精编精编精编
②如图2，当△PEM与△PBC相似时，求的值．精编精编
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【正确答案】（1）证明见解析;（2）①；②．精编精编
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【详解】试题分析：（1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质、互余两角关系、对顶角相等以及角平分线证出∠CMN=∠N，即可得出结论；精编精编精编精编精编精编
（2）①由题意得出M、N、C三点重合，由ASA证明△APE≌△DFE，得出AP=DF，PE=FE，由线段垂直平分线的性质证出AP+CD=PC，设AD=3，AB=4，过P作PF⊥CD于F，设AP=DE=x，则PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，由勾股定理得出方程，解方程即可；精编精编精编
②分两种情况：1．若△PEM∽△CCBP，则∠EPM=∠BCP，得出PE∥BC，不成立；精编精编精编精编
　2．若△PEM∽△PBC，则∠APB=∠EPM=∠BPC=60°，设AB=4a，BC=AD=3a，则PB= a，AP=（）a，AE=（）a，设PE与CD交于点F，证出△PEM∽△FEN，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出，即可得出结果．精编精编精编
试题解析：解：（1）延长PE交CD的延长线于F，如图1所示：精编精编
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=∠ADC=∠EDF═90°，AB=CD，AD=BC，∴∠APE+∠AEP=90°，∴∠F=∠APE，∵EM⊥EN，∴∠PEN=∠FEN=90°，∴∠CPE+∠PME=90°，∠F+∠N=90°，∵PE平分∠APC，∴∠APE=∠MPE，又∵∠PME=∠CMN，∴∠CMN=∠N，∴CM=CN；精编精编精编
（2）①若E是AD的中点，则M、N、C三点重合，∵E为AD的中点，∴AE=DE，在△APE和△DFE中，∵∠A=∠EDF，AE=DE，∠AEP=∠DEF，∴△APE≌△DFE（ASA），∴AP=DF，PE=FE，∵EM⊥EN，∴PC=FC，∵FC=CD+DF，∴AP+CD=PC，设AD=3a，AB=4a，过P作PF⊥CD于F，如图2所示：精编精编
设AP=DE=x，则PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，由勾股定理得：（4﹣x）2+32=（4+x）2，解得：x=a，4﹣x=a，∴=；精编精编精编精编精编
②分两种情况：精编精编精编精编精编精编
　1．若△PEM∽△CCBP，则∠EPM=∠BCP，∴PE∥BC，不成立；精编
　2．若△PEM∽△PBC，则∠APE=∠EPM=∠BPC=60°，设AB=4a，BC=AD=3a，则PB=a，AP=（）a，AE=（）a，设PE与CD交于点F，如图3所示：精编精编
∵AB∥CD，∴∠EFN=∠BFC=∠APE=60°，∴∠N=∠M=90°﹣60°=30°，∵EM⊥PE，∴∠NEF=∠PEM=90°，∴△PEM∽△FEN，∴，∵AB∥CD，∴，∴==．精编精编精编精编
精编精编精编精编精编
点睛：本题是四边形综合题．有一定难度，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，证明三角形相似是解决问题的关键．精编精编
26. 如图1，已知函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A、B，反比例函数y=点M．精编精编精编精编精编
（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．精编精编精编
（2）当函数y=ax+2的图象与反比例函数y=的图象有公共点M，且OM=，求a的值．精编
（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．精编精编
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【正确答案】（1）k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）a=±；（3）k的取值范围是2≤k≤3．精编精编精编精编
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【详解】试题分析：（1）把a=﹣3代入函数y=ax+2，与反比例函数组成方程组，用m表示k即可；精编精编精编
（2）根据△=0，得k=﹣，利用勾股定理解得a的值；精编精编精编
（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，得点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），由OO'为沿直线y=x平移，可知：O向上平移一个单位，再向右平移一个单位得到O'，由此规律得A′（2，1），B′（1，3），在函数图象上的点满足解析式，解得k．
试题解析：解：（1）当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x=，∵点M精编汇总的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，则：，﹣3x+2=，当x=m时，﹣3m+2=，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；精编精编
（2）由题意得：，ax+2=，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线有公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则：，解得：，∵OM=，∴12+（﹣）2=（）2，a=±；精编精编精编
（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3．精编精编
点睛：本题考查了反比例函数的图象和性质、函数与坐标轴的交点、待定系数法求解析式及两函数的交点问题等，利用图象解决问题，第三问中根据O到O'的平移得到规律是关键．















2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（三模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）
1. 已知，则a+b= 】
A. ﹣8 B. ﹣6 C. 6 D. 8
2. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 2a•3a=6a B. （﹣a3）2=a6 C. 6a÷2a=3a D. （﹣2a）3=﹣6a3
4. 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ 　　）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 39
6. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（　　）

A. B.
C. D.
8. 数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（　　）
A. 极差是20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91
9. 如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形周长之和，则只要知道（ ）

A. 矩形ABCD的周长 B. 矩形②的周长 C. AB的长 D. BC的长
10. 如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边圆心，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为（ ）

A. 3cm B. cm C. cm D. cm
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）
11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_________．
12. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为______．
13. 使根式有意义的x的取值范围是___．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．

15. 因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=______．
16. 如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k=_____．

17. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．

18. 在△ABC中，∠ABC＜20°，三边长分别为a，b，c，将△ABC沿直线BA翻折，得到△ABC1；然后将△ABC1沿直线BC1翻折，得到△A1BC1；再将△A1BC1沿直线A1B翻折，得到△A1BC2；…，若翻折4次后，得到图形A2BCAC1A1C2的周长为a+c+5b，则翻折11次后，所得图形的周长为_____________．（结果用含有a，b，c的式子表示）

三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：（）﹣2﹣+6tan30°﹣|﹣2|；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=．
20. 解方程与不等式组：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）识图：如图（1），损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径线段为．
（2）探究：在上述损矩形ABCD内，是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；若不存在，请说明理由．
（3）实践：已知如图三条线段a、b、c，求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．

22. 小军同学在学校组织的社会调查中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．

（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．
23. 如图所示，AB是⊙O直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．

24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
25. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，求大楼AB的高度是多少？(到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)

26. 如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若不能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF．
①▱ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．

27. 如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为 ；
（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的值及S取值时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持（1）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有 个．

28. 如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．











2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（三模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）
1. 已知，则a+b=【 】
A. ﹣8 B. ﹣6 C. 6 D. 8
【正确答案】B

【详解】非负数的性质，值，算术平方，求代数式的值．
∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得a=1，b=﹣7．
∴a+b=1+（﹣7）=﹣6．故选B．
2. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
【正确答案】B

【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围.
详解】解：∵4 ＜ 6 ＜ 9 ，
∴，即，
∴，
故选：B
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 2a•3a=6a B. （﹣a3）2=a6 C. 6a÷2a=3a D. （﹣2a）3=﹣6a3
【正确答案】B

【分析】A、根据单项式乘单项式的方法判断即可；B、根据积的乘方的运算方法判断即可；C、根据整式除法的运算方法判断即可；D、根据积的乘方的运算方法判断即可．
【详解】解：∵2a•3a=6a2， ∴选项A不正确；
∵（﹣a3）2=a6， ∴选项B正确；
∵6a÷2a=3， ∴选项C不正确；
∵（﹣2a）3=﹣8a3，∴选项D不正确
故选：B
本题考查整式的除法；幂的乘方；积的乘方；单项式乘单项式．
4. 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】由位似图形中，对应点的连线必过位似（即相交于一点）可知，上述四个选项所涉及的图形中，只有第三个不是位似图形，其余三个都是，故选C.
5. 一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ 　　）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 39
【正确答案】B

【详解】设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，即展开后的弧长为2πr，
∵展开后的侧面积为半圆，
∴侧面积为：πR2，
∴侧面积=×2πrR=πR2，
∴R=2r，
由勾股定理得，（2r）2=r2+（3）2，
∴r=3，R=6，
∴圆锥的侧面积=18π．
故选B.
点睛：设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出圆锥侧面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，再利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，继而求得圆锥的侧面积．
6. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
【正确答案】A

【详解】二次函数图象与平移变换．
据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．故选A．
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（　　）

A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：由主视图和左视图可得此几何体上面为台体，下面为柱体，由俯视图为圆环可得几何体为．故选D．
考点：由三视图判断几何体．

8. 数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（　　）
A. 极差是20 B. 中位数是91 C. 众数是98 D. 平均数是91
【正确答案】D

【详解】试题分析：因为极差为：98﹣78=20,所以A选项正确;
从小到大排列为：78,85,91,98,98，中位数为91，所以B选项正确；
因为98出现了两次,最多,所以众数是98，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误.
故选D．
考点：①众数②中位数③平均数④极差.
9. 如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（ ）

A. 矩形ABCD的周长 B. 矩形②的周长 C. AB的长 D. BC的长
【正确答案】D

【详解】解：设BC的长为x，AB的长为y，矩形②的长为a，宽为b，
由题意可得，①④两块矩形的周长之和是：

故选D．
10. 如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边圆心，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为（ ）

A. 3cm B. cm C. cm D. cm
【正确答案】A

【分析】利用垂径定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解得结果．
【详解】过O点作OM⊥AB，

∴ME=DM=1cm，
设MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，
∴AO=h
∵AO=7-x，
∴h＝7−x，
在Rt△DMO中，
h2=x2-1，
∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或x=3，
故选A．
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线，数形，建立等量关系是解答此题的关键．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）
11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_________．
【正确答案】12

【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．
【详解】解：∵360°÷30°=12，
∴这个多边形为十二边形，
故12．
本题考查了多边形的外角，关键是明确多边形的外角和为360°．
12. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为______．
【正确答案】7.36×105人．

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确的值是易错点，由于736000有6位，所以可以确定n=6-1=5．
【详解】800万×9.2%=736000=7.36×105人．
故答案为7.36×105人．
13. 使根式有意义的x的取值范围是___．
【正确答案】

【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须，
解得：，
故．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．

【正确答案】100°

【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．
故答案是：100°．
考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它旋转所得的图形中，对应点到旋转的距离相等，任意一组对应点与旋转的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出∠CAE=40°．
15. 因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=______．
【正确答案】．

【详解】解：原式


故答案为．
本题考查因式分解，常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
16. 如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k=_____．

【正确答案】1

【详解】试题解析：连接CO,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且
∴CO⊥AB
则
∵
∴∠DAO=∠COE，
又∵
∴△AOD∽△OCE，
∴
∴
∵点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，
∴
∴ 即
∴
又∵
∴
故答案为1．
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
17. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．

【正确答案】4

【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；相加即可．
【详解】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO=
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，

②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°

∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴AQ=2AC,
又∵CQ=,
∴AQ=2
∴OQ=2﹣1=1,则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4
故答案为4.
考点：解直角三角形
18. 在△ABC中，∠ABC＜20°，三边长分别为a，b，c，将△ABC沿直线BA翻折，得到△ABC1；然后将△ABC1沿直线BC1翻折，得到△A1BC1；再将△A1BC1沿直线A1B翻折，得到△A1BC2；…，若翻折4次后，得到图形A2BCAC1A1C2周长为a+c+5b，则翻折11次后，所得图形的周长为_____________．（结果用含有a，b，c的式子表示）

【正确答案】2a+12b

【详解】如图2,翻折4次时,左侧边长为c,如图2,翻折5次,左侧边长为a,所以翻折4次后,如图1,由折叠得:AC=A= ==,所以图形的周长为:a+c+5b,

因为∠ABC＜20°,所以,
翻折9次后,所得图形的周长为: 2a+10b,故答案为: 2a+10b.
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：（）﹣2﹣+6tan30°﹣|﹣2|；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=．
【正确答案】（1）；（2）+1．

【详解】试题分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将的值代入即可解答本题．
试题解析：原式


原式


当时，
20. 解方程与不等式组：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【正确答案】（1）x=1；（2）﹣1≤x＜3．

【详解】试题分析：按照解分式方程的步骤解方程即可.
分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
试题解析：去分母得：
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
（2）
解①得：
解②得：
则不等式组的解集是：
21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）识图：如图（1），损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径线段为．
（2）探究：在上述损矩形ABCD内，是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；若不存在，请说明理由．
（3）实践：已知如图三条线段a、b、c，求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．

【正确答案】（1）AC；（2）答案见解析；（3）答案见解析．

【详解】试题分析：（1）由损矩形的直径的定义即可得到答案；
（2）①由可判定四点共圆，易得圆心是线段AC的中点；
首先画线段AB=a，再以A为圆心，b长为半径画弧，再以B为圆心，c长为半径画弧，过点B作直线与以B为圆心的弧相交于点C，连接AC，以AC的中点为圆心，为半径画弧，与以点A为圆心的弧交于点D，连接AD、DC，BC即可得到所求图形．
试题解析：（1）由定义知，线段AC是该损矩形的直径，
故答案为AC；
（2）∵
∴
∴四点共圆，
∴在损矩形ABCD内存在点O，
使得四个点都在以O为圆心的同一个圆上，
∵
∴AC是的直径，
∴O是线段AC的中点；
（3）如图所示，AB=a，AD=b，BC=c，
四边形ABCD即为所求．

22. 小军同学在学校组织的社会调查中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．

（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．
【正确答案】（1）4≤x＜5的户数是：15，所占的百分比是：30%，6≤x＜7部分调查的户数是：6，作图见试题解析；（2）279；（3）．

【详解】试题分析：（1）根据组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．
试题解析：（1）调查的总数是：2÷4%=50（户），则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%=6（户），
则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：×=30%．


（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．

则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是：=．
考点：1．频数（率）分布直方图；2．用样本估计总体；3．频数（率）分布表；4．列表法与树状图法．
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）4．

【分析】（1）证明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，证出BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F，求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt△CDF中，根据勾股定理得出x的值即可．
【详解】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，∵OB=OE，CB=CE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC于F；
如图所示：设CE=x，
∵CE，CB为⊙O切线
∴CB=CE=x
∵DE，DA为⊙O切线
∴DE=DA=1
∴DC=x+1
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形
∴DF=AB=4， BF=AD=1
∴FC=x﹣1
Rt△CDF中，根据勾股定理得：
解得：x=4，∴CE=4．

考点：切线的判定与性质．
24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【正确答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．

【详解】试题分析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
试题解析：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝121，
(1＋x)2＝1.21，1＋x＝±1.1，
x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
(2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2.
答：至少需要增加2名业务员．

25. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，求大楼AB的高度是多少？(到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)

【正确答案】米

【详解】试题分析：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米,则米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米,米，得出的长度，证明是等腰直角三角形，得出（米），即可得出大楼的高度．
试题解析：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：

则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度
∴
设BH=x米则米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：
解得：x=6，
∴BH=6米,米，
∴BG=GH−BH=15−6=9(米),(米)，
∵
∴
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴ (米)，
∴(米).
故大楼AB的高度大约是39.4米.
26. 如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若不能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF．
①▱ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．

【正确答案】（1）不存在；（2）①存在，6；②3．

【详解】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可知：由三角形外角的性质可知从而可知：所以点E不能移动到直线AB上.
（2）因为△ADE的面积所以当AD最短时，△ADE的面积有最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时,△ADE的面积最小.四边形为平四边形，AE为对角线，所以平行四边形的面积是△ADE面积的2倍，所以△ADE的面积最小时，平行四边形的面积最小；
（3）当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，最小值为AD与EF之间的距离．
试题解析：(1)不存在.
理由：如图1所示：

∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴点E不能移动到直线AB上.
(2)①存在：在图(2)中，当AD⊥BC时,△ADE的面积最小.

在Rt△ADB中,
∴△ADE的面积
∵四边形ADEF为平四边形，AE为对角线，
∴平行四边形ADEF的面积是△ADE面积的2倍.
∴▱ADEF的面积的最小值
②如图3所示：作点P关于AE的对称点P1，

当点N、M、P在一条直线上，且NP⊥AD时，MN+MP有最小值，
过点A作AG∥NP1，
∵AN∥GP1,AG∥NP1，
∴四边形ANP1G为平行四边形.
∴
即MN+MP的最小值为3.
27. 如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为 ；
（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的值及S取值时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持（1）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有 个．

【正确答案】（1）2个单位/秒；（2）S=（2t+2）（10﹣t），当t=时，S有值为，此时P（）；（3）2．

【详解】试题分析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时即可求出点P的运动速度.
过P作轴，表示出配方求出值即可.
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时 因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，
点P的运动速度为2个单位/秒．
故答案是：2个单位/秒；
（2）如图①，过P作轴，
∵点P的运动速度为2个单位/秒．
∴t秒钟走的路程为2t，即
∵顶点B的坐标为
∴
∴
∴
∴ 又
∴ 即为中OQ边上的高，
而 可得
∴
∵

∴当时，S有值为，此时P.
（3）当点P沿这两边运动时，的点P有2个．
①当点P与点A重合时，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作交y轴于点M，作轴于点H，
由得:
所以，从而
所以当点P在AB边上运动时，的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得，
而构成直角时交y轴于
所以从而的点P也有1个．
所以当点P沿这两边运动时，的点P有2个．
故答案是：2．


28. 如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．

【正确答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）9；（3）Q坐标为（﹣）或（4﹣）或（2，1）或（4+，﹣）．

【详解】试题分析：把点代入抛物线，求出的值即可.
先用待定系数法求出直线BE的解析式，进而求得直线AD的解析式，设则表示出,用配方法求出它的值，
联立方程求出点的坐标， 值=，
进而计算四边形EAPD面积的值；
分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）∵在抛物线上，
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）过点P作轴交AD于点G，

∵
∴直线BE的解析式为
∵AD∥BE，设直线AD的解析式为 代入，可得
∴直线AD的解析式为
设则
则
∴当x=1时，PG的值，值为2，
由 解得 或
∴
∴ 值=

∵AD∥BE，
∴
∴S四边形APDE=S△ADP+
（3）①如图3﹣1中，当时，作于T．

∵
∴
∴
∴
可得
②如图3﹣2中，当时,
当时，
当时，Q3
综上所述，满足条件点点Q坐标为或或或


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