2022-2023学年北京市东城区中考数学突破提升破仿真模拟卷（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年北京市东城区中考数学突破提升破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市东城区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（一模）　
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 4
2. 用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. a•a2=a2 B. （a2）3=a6 C. a2+a3=a6 D. a6÷a2=a3
4. 没有等式组解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．斜边AB垂直平分线交边BC于点D．若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（　　）

A. 7 B. 8 C. 12 D. 13
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝130°，则∠AOC的大小是（　　）

A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算：_______．
10. 某种商品n千克售价是m元，则这种商品8千克的售价是_____元．
11. 没有解方程，判断方程2x2+3x﹣2＝0的根的情况是_____．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2分别交x轴，y轴于A，B两点，点P(1，m)在△AOB的形内(没有包含边界)，则m的取值范围是________．

13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是________度．

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣3）2+m与y=（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为_____．

三、解 答 题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中a=﹣3，b=．
16. 如图是一副扑克牌中的四张牌，将它们正面向下洗均匀，从中任意抽取两张牌，用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌牌面上的数字之和都是偶数的概率．

17. 为了解九年级课业负担情况，某校随机抽取80名九年级学生进行问卷，在整理并汇总这80张有效问卷的数据时发现，每天完成课外作业时间，最长没有超过180分钟，最短没有少于60分钟，并将结果绘制成如图所示的频数分布直方图．
（1）被的80名学生每天完成课外作业时间的中位数在_____组（填时间范围）．
（2）该校九年级共有800名学生，估计大约有_____名学生每天完成课外作业时间在120分钟以上（包括120分钟）

18. 已知：如图ABCD中，点O是AC的中点，过点O画AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

19. 某环卫清洁队承担着9600米长街道清雪任务，在清雪1600米后，为了减少对交通的影响，决定租用清雪机清雪，结果共用了4小时就完成了清雪任务．已知使用清雪机后的工作效率是原来的5倍，求原来每小时清雪多少米？
20. 如图，小区内斜向马路的大树与地面的夹角∠ABC为55°，高为3.2米的大型客车靠近此树的一侧至少要离此树的根部B点多少米才能通过？（结果到0.1米）
【参考数据：sin55°=0.82，cos55°=0.57，tan55°=1.42】

21. 【发现问题】如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，求证：△DFM≌△MGE．
【拓展探究】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为a，直接写出△MGE的面积．

22. 在连接A、B两市的公路之间有一个机场C，机场大巴由A市驶向机场C，货车由B市驶向A市，两车同时出发匀速行驶，图中线段、折线分别表示机场大巴、货车到机场C的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系图象．
（1）直接写出连接A、B两市公路的路程以及货车由B市到达A市所需时间．
（2）求机场大巴到机场C的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式．
（3）求机场大巴与货车相遇地到机场C的路程．

23. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=3cm，DC=8cm，AD=4cm，动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC向终点C做匀速运动，点P在线段BA上的运动速度是5cm/s；在线段AC上的运动速度是cm/s，当点P没有与点B、C重合时，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△PBQ绕PQ的中点旋转180°得到△QB′P，设四边形PBQB′与△ABD重叠部分图形的面积为y（cm2），点P的运动时间为x（s）．
（1）用含x的代数式表示线段AP的长．
（2）当点P在线段BA上运动时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积时，直接写出x的值．

24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=（x+k）（x﹣3）交x轴于点A、B（A在B的右侧），交y轴于点C，横坐标为2k的点P在抛物线C1上，连结PA、PC、AC，设△ACP的面积为S．
（1）求直线AC对应的函数表达式（用含k的式子表示）．
（2）当点P在直线AC的下方时，求S取得值时抛物线C1所对应的函数表达式．
（3）当k取没有同的值时，直线AC、抛物线C1和点P、点B都随k的变化而变化，但点P始终在没有变的抛物线（虚线）C2：y=ax2+bx上，求抛物线C2所对应的函数表达式．
（4）如图②，当点P在直线AC下方时，过点P作x轴的平行线交C2于点F，过点F作y轴的平行线交C1于点E，当△PEF与△ACO的相似比为时，直接写出k的值．



















2022-2023学年北京市东城区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（一模）　　
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 4
【正确答案】B

【分析】根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：的相反数是；
故选：B．
本题考查了相反数的定义，即只有符号没有同的两个数互为相反数；解决本题的关键是牢记概念即可，本题考查了学生对概念的理解与应用．
2. 用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据主视图的定义，找到从正面看所得到的图形即可.
【详解】从物体正面看，左边1列、右边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线，
故选C.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. a•a2=a2 B. （a2）3=a6 C. a2+a3=a6 D. a6÷a2=a3
【正确答案】B

【详解】试题分析：A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式没有能合并，错误；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
解：A、原式=a3，错误；
B、原式=a6，正确；
C、原式没有能合并，错误；
D、原式=a4，错误，
故选B．
4. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】A

【详解】解没有等式，得：x>-1，
解没有等式，得：x≤2，
所以没有等式组的解集为：-1 观察可知A选项符合，
故选A.
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【正确答案】B

【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵AB=8，CD=2，
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积
故选B.
考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键.
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．斜边AB垂直平分线交边BC于点D．若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（　　）

A. 7 B. 8 C. 12 D. 13
【正确答案】C

【详解】分析：根据线段的垂直平分线的性质得到根据勾股定理求出AC的长，根据三角形的周长公式计算即可．
详解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=5，又CD=3，
由勾股定理得,
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=12，
故选C.
点睛：考查了勾股定理以及垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝130°，则∠AOC的大小是（　　）

A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
【正确答案】D

【详解】分析：先根据圆内接四边形的性质得到 然后根据圆周角定理求
详解：∵
∴
∴
故选D.
点睛：考查圆内接四边形的性质, 圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．
详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数 (x<0)的图象上，
∴当x=−1时，y=2，
∴A(−1,2).
∵此矩形向右平移3个单位长度到的位置，
∴B1(2,0)，
∴A1(2,2).
∵点A1在函数 (x>0)的图象上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为,O1(3,0)，
∵C1O1⊥x轴，
∴当x=3时,
∴P
故选C.
点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，利用平移的性质求出点A1的坐标.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算：_______．
【正确答案】

【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】2-=.
故答案为.
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．

10. 某种商品n千克的售价是m元，则这种商品8千克的售价是_____元．
【正确答案】

【详解】【分析】先求出1千克商品的售价，然后用乘以8即可得.
【详解】∵某种商品n千克的售价是m元，
∴1千克此种商品的价格为：元，
∴这种商品8千克的售价是元，
故答案为．
本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克此种商品的价格.
11. 没有解方程，判断方程2x2+3x﹣2＝0的根的情况是_____．
【正确答案】有两个没有相等的实数根．

【详解】分析：先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．
详解：∵a=2，b=3，c=−2，
∴
∴一元二次方程有两个没有相等的实数根.
故答案为有两个没有相等的实数根．
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个没有相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2分别交x轴，y轴于A，B两点，点P(1，m)在△AOB的形内(没有包含边界)，则m的取值范围是________．

【正确答案】0＜m＜

【详解】试题分析：根据二元没有等式表示平面区域，先确定点P（1，m）在△AOB的形内（没有包含边界），对应的没有等式，然后根据点的位置确定条件即可求a的取值范围．
试题解析：因为点P（1，m）在△AOB的形内（没有包含边界），
可得： 解得：0＜m＜.
13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是________度．

【正确答案】

【分析】由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1，AB=AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BB1A=∠AB1C1=40°，从而可求得∠BB1C1=80°．
【详解】由旋转的性质可知：
∵
∴
∴
∴
故答案为80.
考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，旋转前后对应线段相等是解题的关键.
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣3）2+m与y=（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为_____．

【正确答案】

【详解】分析：根据抛物线与的解析式分别求出它们的对称轴，根据抛物线的对称性分别求出点B，点C的横坐标，即可求解.
详解：抛物线与的对称轴分别为直线x=3与直线
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为，
∴
则
故答案为
点睛：考查抛物线的对称性，写出抛物线的对称轴是解题的关键.
三、解 答 题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中a=﹣3，b=．
【正确答案】2ab，﹣3

【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-3，b=代入进行计算即可．
【详解】解：原式=2b2+a2-b2-（a2+b2-2ab）
=2b2+a2-b2-a2-b2+2ab
=2ab，
当a=-3，b=时，原式=2×（-3）×=-3．
16. 如图是一副扑克牌中的四张牌，将它们正面向下洗均匀，从中任意抽取两张牌，用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌牌面上的数字之和都是偶数的概率．

【正确答案】

【分析】根据列表法先画出列表，再求概率.
【详解】解：列表如下：

2
3
5
6
2

（2，3）
（2，5）
（2，6）
3
（3，2）

（3，5）
（3，6）
5
（5，2）
（5，3）

（5，6）
6
（6，2）
（6，3）
（6，5）


由表可知共有12种等可能结果，其中数字之和为偶数的有4种，
所以P（数字之和都是偶数）．
此题考查学生对概率的应用，掌握列表法是解题的关键.
17. 为了解九年级课业负担情况，某校随机抽取80名九年级学生进行问卷，在整理并汇总这80张有效问卷的数据时发现，每天完成课外作业时间，最长没有超过180分钟，最短没有少于60分钟，并将结果绘制成如图所示的频数分布直方图．
（1）被的80名学生每天完成课外作业时间的中位数在_____组（填时间范围）．
（2）该校九年级共有800名学生，估计大约有_____名学生每天完成课外作业时间在120分钟以上（包括120分钟）

【正确答案】 ①. 120～150 ②. 600

【详解】分析：（1）根据中位数定义即可判断；
（2）用样本估计总体的思想思考问题；
详解：（1）被的80名学生每天完成课外作业时间的中位数在120～150．
故答案为120～150．
（2）该校九年级共有800名学生，每天完成课外作业时间在120分钟以上的学生有800×=600．
点睛：本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
18. 已知：如图ABCD中，点O是AC的中点，过点O画AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

【正确答案】详见解析.

【分析】证明△AOE≌△COF，可得EO=FO，继而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥FC，
∴∠EAC=∠FCA，
∵ O为AC的中点，
∴AO=CO，
又∵∠AOE=∠COF ，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又EF⊥AC ，
∴四边形AFCE菱形.
本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.
19. 某环卫清洁队承担着9600米长的街道清雪任务，在清雪1600米后，为了减少对交通的影响，决定租用清雪机清雪，结果共用了4小时就完成了清雪任务．已知使用清雪机后的工作效率是原来的5倍，求原来每小时清雪多少米？
【正确答案】原来每小时清雪800米．

【详解】分析：首先设原来每小时清雪x米，则使用清雪机后的工作效率是5x，根据题意可得等量关系：原来清1600米所用的时间+租用清雪机清雪（9600-1600）米所用时间=4小时，根据等量关系列出方程即可．
详解：设原来每小时清雪x米，根据题意得：

解得：x=800，
经检验：x=800是分式方程的解.
答：原来每小时清雪800米.
点睛：考查分式方程应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.
20. 如图，小区内斜向马路的大树与地面的夹角∠ABC为55°，高为3.2米的大型客车靠近此树的一侧至少要离此树的根部B点多少米才能通过？（结果到0.1米）
【参考数据：sin55°=0.82，cos55°=0.57，tan55°=1.42】

【正确答案】至少要离此树的根部B点2.3米才能通过．

【详解】分析：在AB上取点D,过点D作DE⊥BC于点E,根据
代入计算求出BE即可．
详解：如图：在AB上取点D,过点D作DE⊥BC于点E,则DE=3.5,

∵
∴(米)，
答：至少要离此树的根部B点2.3米才能通过.
点睛：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
21. 【发现问题】如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，求证：△DFM≌△MGE．
【拓展探究】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为a，直接写出△MGE的面积．

【正确答案】【发现问题】见解析；【拓展探究】a．

【详解】分析：【发现问题】根据等腰直角三角形的性质得到，DF=FA；，AG=GE，根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC,MG∥AB，推出四边形AFMG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，即可得到结论；                
【拓展探究】根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC,MG∥AB,∠MGC=∠BAC=∠BFM，等量代换得到∠DFM=∠MGE，根据余角的性质得到∠1=∠3，根据三角函数的定义 推出 得到△DFM∽△MGE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
详解：【发现问题】证明：∵△ADB是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点，

∴，DF=FA；
∵△ACE是等腰直角三角形,G为斜边AC的中点,
∴，AG=GE，
∵点F. M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC,MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，
∴DF=MG，∠DFM=∠MGE，FM=GE，
在△DFM与△MGE中，

∴△DFM≌△MGE.                  
【拓展探究】∵点F. M、G分别为AB、BC、AC边的中点，

∴FM∥AC,MG∥AB,
∠MGC=∠BAC=∠BFM，
∴∠DFM=∠MGE，
∵
∴∠1=∠3，
∴tan∠1=tan∠3，
即
∴
∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE，
∴
在Rt△ADF中,
∴
∵△DFM的面积为a，
∴
点睛：考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
22. 在连接A、B两市的公路之间有一个机场C，机场大巴由A市驶向机场C，货车由B市驶向A市，两车同时出发匀速行驶，图中线段、折线分别表示机场大巴、货车到机场C的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系图象．
（1）直接写出连接A、B两市公路的路程以及货车由B市到达A市所需时间．
（2）求机场大巴到机场C的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式．
（3）求机场大巴与货车相遇地到机场C的路程．

【正确答案】（1）连接A、B两市公路的路程为80km，货车由B市到达A市所需时间为h；（2）y=﹣80x+60（0≤x≤）；（3）机场大巴与货车相遇地到机场C的路程为km．

【分析】（1）根据可求出连接A、B两市公路的路程，再根据货车h行驶20km可求出货车行驶60km所需时间；
（2）根据函数图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出机场大巴到机场C的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式；
（3）利用待定系数法求出线段ED对应的函数表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组可求出机场大巴与货车相遇地到机场C的路程．
【详解】解：(1)60+20=80(km)，
(h)
∴连接A. B两市公路的路程为80km，货车由B市到达A市所需时间为h．
(2)设所求函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将点(0,60)、代入y=kx+b，
得： 解得：
∴机场大巴到机场C的路程y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式为
(3)设线段ED对应的函数表达式为y=mx+n(m≠0)
将点代入y=mx+n，
得： 解得：
∴线段ED对应的函数表达式为
解方程组得
∴机场大巴与货车相遇地到机场C的路程为km．

本题考查函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键，本题属于中档题，难度没有大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．
23. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=3cm，DC=8cm，AD=4cm，动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC向终点C做匀速运动，点P在线段BA上的运动速度是5cm/s；在线段AC上的运动速度是cm/s，当点P没有与点B、C重合时，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△PBQ绕PQ的中点旋转180°得到△QB′P，设四边形PBQB′与△ABD重叠部分图形的面积为y（cm2），点P的运动时间为x（s）．
（1）用含x的代数式表示线段AP的长．
（2）当点P在线段BA上运动时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积时，直接写出x的值．

【正确答案】（1）当时，PA=5t，当1 （2）y=；（3）x=s或s或s时，点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积．

【详解】分析：（1）分两种情形讨论即可．
（2）分两种情形①如图1中，当时,重叠部分是四边形PBQB′.
②如图2中，当重叠部分是五边形PBQMN.分别求解即可．
（3）分三种情形①如图3中，当PA=B时，PB′是△ABD是中位线．②如图4中，设AB′的延长线交BC于G．③如图5中，连接DB′交AC于N，延长B′P交AD于T，作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H．分别构建方程即可解决问题．
详解：(1)当时，PA=5t，
当1 (2)如图1中,当时,重叠部分是四边形PBQB′.

∵PQ⊥BC，AD⊥BC，
∴PQ∥AD，
∴
∴
∴PQ=4x，BQ=3x，
由题意四边形PBQB′是平行四边形，
∴
如图2中,当重叠部分是五边形PBQMN.

∵PN∥BD，
∴
∴PN=3(1−x),B′N=3x−3(1−x)=6x−3,易知MN=4(2x−1)，
∴
综上所述,
(3)如图3中,当PA=B时,PB′是△ABD是中位线．
∴AB′=DB′,此时CB′平分△ADC的面积,此时.

如图4中,设AB′的延长线交BC于G.

当DG=GC=4时,AB′平分△ADC的面积，
∵PB′∥BG，
∴ ∴
∴
如图5中,连接DB′交AC于N,延长B′P交AD于T,作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H.

由题意PA=(x−1),AT=x−1,TP=2(x−1),PB′=BQ=3+2(x−1)=2x+1，
当AN=CN时,DB′平分△ADC的面积，
∴可得AH=HD=2，HN=TM=2，
∴B′M=TB′−MT=2(x−1)+2x+1−4=4x−5,MN=2−(x−1)=3−x,TD=4−(x−1)=5−x，
∵MN∥TD，
∴
∴
∴
综上所述,x=s或s或s时,点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积．
点睛：属于四边形的综合题，涉及知识点较多，注意分类讨论思想在数学中的应用.
24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=（x+k）（x﹣3）交x轴于点A、B（A在B的右侧），交y轴于点C，横坐标为2k的点P在抛物线C1上，连结PA、PC、AC，设△ACP的面积为S．
（1）求直线AC对应的函数表达式（用含k的式子表示）．
（2）当点P在直线AC的下方时，求S取得值时抛物线C1所对应的函数表达式．
（3）当k取没有同的值时，直线AC、抛物线C1和点P、点B都随k的变化而变化，但点P始终在没有变的抛物线（虚线）C2：y=ax2+bx上，求抛物线C2所对应的函数表达式．
（4）如图②，当点P在直线AC的下方时，过点P作x轴的平行线交C2于点F，过点F作y轴的平行线交C1于点E，当△PEF与△ACO的相似比为时，直接写出k的值．

【正确答案】（1）y=kx﹣3k；（2）C1：y=x2﹣﹣；（3）C2：y=x2﹣x；（4）k的值为或．

【详解】分析：（1）先求点A和C的坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）如图①，作辅助线，构建铅直线PM，利用S△PAC=S△PQC+S△PQA表示S的关系式，设表示PQ的长，代入可得S与k的关系式，利用顶点式求最值，将k值代入C1的解析式即可；
（3）任意取两个k的值代入到点P的坐标中，如：当k=1时,此时P(2,−3),当k=2时,P(4,6)，代入抛物线C2所对应的函数表达式中可得结论；
（4）如图②，由△ACO和△PEF都是直角三角形,相似比为,所以存在两种情况：
①当△PEF∽△时, ②当时，列比例式，根据点P的纵坐标的值等于点E的纵坐标的值与EF的和列等式可得k的值，并根据题意进行取舍．
详解：(1)在y=(x+k)(x−3)中，
令y=0,可得A(3,0),B(−k,0)，
令x=0,可得C(0,−3k)，
设直线AC对应的函数表达式为：y=mx+n，
将A(3,0),C(0,−3k)代入得：
解得：
∴直线AC对应的函数表达式为：y=kx−3k；
(2)如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点Q，交x轴于点M，

过C作CN⊥PM于N,
当x=2k时,
∵点P、Q分别在抛物线C1、直线AC上，
∴
∴
∴S△PAC=S△PQC+S△PQA

∴当时,△PAC面积的值是
此时,C1:
(3)∵点P在抛物线C1上，
∴P(2k,6k2−9k)，
当k=1时,此时P(2,−3),当k=2时,P(4,6)，
把(2,−3)和(4,6)代入抛物线(虚线)C2:上得：
解得： ，
∴抛物线C2所对应的函数表达式为：
(4)如图②,由题意得：△ACO和△PEF都是直角三角形,且，
∵点P在直线AC的下方,横坐标为2k的点P在抛物线C1上，
∴P(2k,6k2−9k),且，
∵A(3,0),C(0,−3k)，
∴OA=3，OC=3k，
∴当△PEF与△ACO的相似比为时，存在两种情况：
①当△PEF∽△时,
∴
∴PF=k，EF=1，
∴
∵EF=1，
∴

(舍)，
②当△PEF∽△ACO时,
∴
∴PF=1，EF=k，
∴
∴

综上所述,k的值为或 .
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程，注意分类讨论思想在数学中的应用.













2022-2023学年北京市东城区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（二模）　　
一、单 选 题
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是对称图形是（　 　）
A. B. C. D.
3. 下列随机的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）
A. 某种幼苗在一定条件下的移植成活率
B. 某种柑橘在某运输过程中的损坏率
C. 某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率
D. 投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】

A. 60° B. 45° C. 30° D. 20°
5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）

A. B. C. D.
6. 如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到，点与对应，则角的大小为(　　)

A. B. C. D.
7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）

A. B. C. D.
8. 制造弯形管道时，经常要先按线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（　　）

A. 9280mm B. 6280mm C. 6140mm D. 457mm
9. 在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么没有等式﹣x2+4x＞2x的解集是（　　）

A. x＜0 B. 0＜x＜2 C. x＞2 D. x＜0或 x＞2
10. 如图，A,B是半径为1⊙O上两点，且OA⊥OB. 点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是


A. ① B. ④ C. ②或④ D. ①或③
二、填 空 题
11. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．

14. 如图， 圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．

15. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此_________；若，则x=_________．
三、解 答 题
16. x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
17. 如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．

18. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）

19. 在四张编号为A，B，C，D卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，没有放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．

(1)请用树状图或列表方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A，B，C，D表示)；
(2)我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积．

21. 已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．

22. 若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．





2022-2023学年北京市东城区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（二模）　　
一、单 选 题
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】C

【分析】根据已知方程得出两个一元方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x-1）=0，
x-1=0，x=0，
x1=1，x2=0，
故选：C．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元方程是解此题的关键．
2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是对称图形的是（　 　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】根据轴对称图形和对称图形的概念，可知：
A既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故没有正确；
B没有是轴对称图形，但是对称图形，故没有正确；
C是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有正确；
D即是轴对称图形，也是对称图形，故正确．
故选：D．
3. 下列随机的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）
A. 某种幼苗在一定条件下的移植成活率
B. 某种柑橘在某运输过程中的损坏率
C. 某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率
D. 投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率
【正确答案】D

【详解】试题分析：A．某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，没有能用列举法；故没有符合题意；
B．某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，没有能用频率求出；故没有符合题意；
C．某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率，只能用频率估计，没有能用列举法；故没有符合题意；
D．∵一枚均匀的骰子只有六个面，即：只有六个数，没有是奇数，便是偶数，∴能一一的列举出来，∴既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意．
故选D．
考点：利用频率估计概率．
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】

A. 60° B. 45° C. 30° D. 20°
【正确答案】C

【分析】由OB=BC，OA=OB，可得△BOC是等边三角形，则可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠BAC的度数．
【详解】∵OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形
∴∠BOC=60°
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=∠BOC=30°
故选C.
本题考查了圆周角定理及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质及定理是解题的关键.
5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】设解析式为：，则有k=IR ，由图可知当R=2时，I=3，所以k=6，
所以解析式为：，
故选D.
6. 如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为(　　)

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转．连接OA，OB′

∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转的知识，难度没有大．
7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】根据勾股定理，AB=，
BC=，
AC=，
所以△ABC的三边之比为=，
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，没有符合题意;
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，没有符合题意；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，没有符合题意．
故选B．
8. 制造弯形管道时，经常要先按线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（　　）

A. 9280mm B. 6280mm C. 6140mm D. 457mm
【正确答案】C

【详解】由题意可得，一条弧的长度为：（mm），
∴两条弧的长度为3140mm，
∴这段变形管道的展直长度约为3140+3000=6140（mm）.
故选C.
9. 在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么没有等式﹣x2+4x＞2x的解集是（　　）

A. x＜0 B. 0＜x＜2 C. x＞2 D. x＜0或 x＞2
【正确答案】B

【详解】由图可知：抛物线y1=﹣x2+4x的图象在直线y2=2x的图象上方部分所对应的x的取值范围是0 ∴没有等式﹣x2+4x＞2x的解集是0 故选B.
10. 如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB. 点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是


A. ① B. ④ C. ②或④ D. ①或③
【正确答案】D

【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．
【详解】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①．
故选D．
二、填 空 题
11. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
【正确答案】3

【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
考点：根与系数的关系．
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
【正确答案】

【详解】试题分析：根据题意可得铜块的体积=3×2×1=6，则圆柱体的体积=Sh=6，则S=.
考点：反比例函数的应用

13. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．

【正确答案】1.4

【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得．
【详解】由题意得,，
解得h=1.4．
故答案为1.4．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14. 如图， 圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．

【正确答案】

【分析】根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
【详解】解：∵
∴
∵的直径垂直于弦
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴．
故答案是：
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
15. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此_________；若，则x=_________．
【正确答案】 ①. ②. 2或-1

【详解】试题分析：因为，所以min{，}=.
当时，，解得(舍)，；
当时，，解得，(舍).
考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程.
三、解 答 题
16. x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
【正确答案】x1=5，x2=﹣3．

【分析】根据公式法的步骤即可解决问题．
【详解】∵x2﹣2x﹣15=0，
∴a=1，b=﹣2，c=﹣15．
∴b2﹣4ac=4+60=64＞0．
∴x=．
∴x1=5，x2=﹣3．
本题考查了公式法解一元二次方程，熟悉一元二次方程的求根公式是关键．
17. 如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．

【正确答案】BD= 2.

【详解】试题分析：根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出AB的长，从而求出DB的长．
试题解析：
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD ，
∴，
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 .
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题关键．
18. 一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：没有写作法，保留作图痕迹）

【正确答案】作图见解析.

【详解】试题分析：首先在圆周上任取三个点A、B、C，然后连接AC和AB，分别作AC和AB的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点O即为所求．

19. 在四张编号为A，B，C，D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，没有放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．

(1)请用树状图或列表方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A，B，C，D表示)；
(2)我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
【正确答案】（1）图形见解析（2）

【分析】（1）本题属于没有放回的情况，画出树状图时要注意；
（2）B、C、D三个卡片的上的数字是勾股数，选出选中B、C、D其中两个的即可
【详解】（1）画树状图如下：

（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，
∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
20. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）S△AOB=24．

【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；
（2）首先假设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，进而利用三角形面积公式求出即可．
试题解析：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，
∴mn=12．
则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．
考点: 反比例函数综合题．
21. 已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）连接OD，由 OD=OA，可得∠1=∠2，再由BC为⊙O的切线，根据切线的性质可得∠ODB=90°，已知∠C=90°，所以∠ODB=∠C，即可判定OD//AC，根据平行线的性质可得∠3=∠2，所以∠1=∠3，即可判定AD是∠BAC的平分线；
（2）连接DF，已知∠B=30°，可求得∠BAC=60°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠3=30°，已知BC是⊙O的切线，根据弦切角定理可得∠FDC=∠3=30°，所以CD= CF=，同理可得AC=CD=3，所以AF=2，过O作OG⊥AF于G，由垂径定理可得GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，所以CG=2，OG=CD=，由勾股定理可得OC=．
【详解】解：（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，
∵BC为⊙O切线，∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC平分线；
（2）解：连接DF，
∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，
∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，
∴CD=CF=，
∴AC=CD=3，∴AF=2，
过O作OG⊥AF于G，


∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，
∴CG=2，OG=CD=，
∴OC==．
22. 若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

【正确答案】（1）“带线”L的表达式为y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）点P的坐标为．

【详解】试题分析：
（1）由“路线l”的表达式为：y=2x-4可得，“路线l”与y轴交于点（0，-4）；把x=-1代入y=2x-4可得y=-6，由此可得“带线L”的顶点坐标为（-1，-6），“带线L”过点（0，-4）即可求得“带线L”的解析式；
（2）由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“带线L”的顶点坐标为（1，-1），与y轴交于点（0，m-1），把这两个点的坐标代入y=nx+1即可求得m、n的值；
（3）如图，由（2）可知，若设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，连接PA并延长交x轴于点D，由⊙P与“路线”l相切于点A可得PD⊥l于点A，由此证Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得点D的坐标，点A的坐标即可求得AD的解析式为y=x+1，由AD的解析式和“带线L”的解析式组成方程组，解方程组即可求得点P的坐标.
试题解析：
（（1）∵“带线”L的顶点横坐标是﹣1，且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4
∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，
∴“带线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）．
设L的表达式为y=a（x+1）2﹣6，
∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）
∴“带线”L也点（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，解得a=2
∴“带线”L的表达式为 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；
（2）∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），
∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为（0，1），解得m=2，
∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1，其顶点坐标为（1，﹣1）
∴直线y=nx+1点（1，﹣1），解得n=﹣2；
（3）如图，设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°，
又∵点A 坐标为（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路线”l是点A、B的直线
且⊙P与“路线”l相切于点A，连接PA交 x轴于点D，
∴PA⊥AB，
∴∠DAB=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
又∵∠DAO+∠BAC=90°，
∴∠ADO=∠BAC，
∴Rt△AOD≌Rt△BCA，
∴OD=AC=2，
∴D点坐标为（﹣2，0）
∴点D、A的直线表达式为y=x+1，
∵点P为直线y=x+1与抛物线L：y=2x2﹣4x+1的交点，
解方程组： 得 ：（即点A舍去）， ，
∴点P的坐标为．

点睛：解本题第3小题的关键是：作出如图所示的辅助线，构造全等三角形，求得点D的坐标，从而可得DA的解析式，这样由点P是直线DA和“带线L”的交点即可求得点P的坐标了.