2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷（3月4月）含解析

这是一份2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷（3月4月）含解析，共57页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. |﹣6|的值是（　　）
A. ﹣6 B. 6 C. D. ﹣
2. 报告中提到：在未来的三年里，城镇每年需要安排的就业人员数量仍超过15000000人，大多是青年学生．这里15000000，可以用科学记数法记为（　　）
A. 1.5×108 B. 15×106 C. 1.5×106 D. 1.5×107
3. 下列运算中正确的是（　　）
A. （x4）2=x6 B. x+x=x2 C. x2•x3=x5 D. （﹣2x）2=﹣4x2
4. 观察下列图案，是轴对称而没有是对称的是（　　）
A. B. C. D.
5. 直线y=2x-1没有的象限是（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，小明从正面观察一个圆柱体邮筒和一个正方体箱子，看到的是（　　）

A. B. C. D.
7. 没有等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A. B. C. D.
8. 如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
9. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 67.5°
10. 如图，等腰的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止设CD的长为x，与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 当a=3，a﹣b=1时，代数式a2﹣ab的值是_____．
12. 如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．

13. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．
14. 在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表：
体温（℃）
361
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
367
次数
2
3
4
6
3
1
2
则这些体温的中位数是_____℃
15. 用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略没有计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm．
16. 将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的_____．

三、解 答 题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：|1﹣3|+（π﹣3）0﹣﹣（﹣）﹣2
18. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．
19. 如图，平行四边形ABCD中，AB （1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=7，CD=5，求CE长．

四、解 答 题（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司没有断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m3污水所用的时间比现在多用10小时．
（1）原来每小时处理污水量是多少m2？
（2）若用新设备处理污水960m3，需要多长时间？
21. 某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一项）”，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅没有完整的统计图，请统计图解答下列问题：
（1）求本次抽样人数有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，AM=AN，∠N+∠CAN=180°．求证：MN=AC．

五、解 答 题（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，原点的直线l与反比例函数（x＞0）的图象交于点C，B是直线l上的点，过点B作BA⊥x轴，垂足为点A，且C是OB中点，已知OA=4，BD=3．
（1）用含k的代数式来表示D点的坐标为_____；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）连接CD，求四边形OADC的面积．

24. 如图，AB是⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，且∠PDA=∠1，过点B的切线BE与PD的延长线交于点E．把△PDA沿AD翻折，点P正好落在⊙O的F点上．
（1）证明：PD是⊙O的切线；
（2）求证：DF∥BE；
（3）若PA=2，求四边形BEDF的面积．

25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线OD⊥直线AB于点D．现有一点P从点D出发，沿线段DO向点O运动，另一点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到O时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）点A坐标为_____；线段OD的长为_____．
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系（没有要求写出取值范围），并确定t为何值时S的值？
（3）是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，写出所有满足条件的t的值；若没有存在，则说明理由．
















2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. |﹣6|的值是（　　）
A. ﹣6 B. 6 C. D. ﹣
【正确答案】B

【分析】根据值的定义可知：非负数的值等于它本身，负数的值等于它的相反数．
【详解】解：
故选：B．
2. 报告中提到：在未来的三年里，城镇每年需要安排的就业人员数量仍超过15000000人，大多是青年学生．这里15000000，可以用科学记数法记为（　　）
A. 1.5×108 B. 15×106 C. 1.5×106 D. 1.5×107
【正确答案】D

【详解】试题解析：,一个大于10的数就记成，其中n是正整数,像这样的计数法叫做科学记数法.
15000000用科学记数法记为1.5×107.
故选D．
3. 下列运算中正确的是（　　）
A. （x4）2=x6 B. x+x=x2 C. x2•x3=x5 D. （﹣2x）2=﹣4x2
【正确答案】C

【详解】试题解析：A、 故错误；
B、，故错误；
C、 故正确；
D、故错误；
故选C．
点睛：同底数幂相乘，底数没有变，指数相加.
4. 观察下列图案，是轴对称而没有是对称的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题解析：试题解析：根据轴对称图形和对称图形的概念进行判断可得：
A、是轴对称图形，没有是对称图形，故本选项符合题意；
B、没有是轴对称图形，是对称图形，故本选项没有符合题意；
C、没有是轴对称图形，是对称图形，故本选项没有符合题意；
D、是轴对称图形，也是对称图形，故本选项没有符合题意．
故选A.
点睛：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做对称图形．这个旋转点，就叫做对称．
5. 直线y=2x-1没有的象限是（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】B

【分析】根据函数的图象特点即可得．
【详解】解：函数的项系数，常数项，
直线、三、四象限，没有第二象限，
故选：B．
本题考查了函数的图象，熟练掌握函数的图象特点是解题关键．
6. 如图，小明从正面观察一个圆柱体邮筒和一个正方体箱子，看到的是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：从正面可看到一个长方形和正方形，故选C．
7. 没有等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：
由①得：，
由②得：
则没有等式组的解集为
表示在数轴上，如图所示：

故选C．
点睛：分别解没有等式，找出解集的公共部分即可.
8. 如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【正确答案】A

【详解】∵a∥b，∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°．
故选A．

9. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 675°
【正确答案】D

【分析】根据直线可知，再即可求出,则可求出答案.
【详解】∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°；
又∵CO=CD，
∴∠COD=∠D=45°；
∵OA=OC，
∴∠A==∠ACO =∠COD=22.5°，
∴∠PCA=∠A+∠D=67.5°．
故选：D.
10. 如图，等腰的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止设CD的长为x，与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A

【分析】由题意写出y与x之间的函数关系式可以得到其图象．
【详解】解：由题意可以得到y与x之间的函数关系式为：
，

所以y与x之间的函数关系的图象大致是：


故选A ．
本题考查函数及其图象，由题意列出函数关系式是解题关键．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 当a=3，a﹣b=1时，代数式a2﹣ab的值是_____．
【正确答案】3

【详解】试题解析：：
当时，原式=3×1=3．
故答案为3．
点睛：先用提取公因式法对所求代数式进行因式分解，再代入求值即可.
12. 如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．

【正确答案】-4

【详解】解：由反比例函数解析式可知：系数，
∵S△AOB=2，即，
∴；
∵双曲线在二、四象限，k＜0，
∴k=-4
13. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．
【正确答案】20%

【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，
整理得，
解得x=0.2或1.8（没有合题意，舍去）；
即该药品平均每次降价的百分率是20%．
14. 在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表：
体温（℃）
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
次数
2
3
4
6
3
1
2
则这些体温的中位数是_____℃
【正确答案】36.4

【详解】分析：找中位数要把数据按从小到大顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
解答：解：此题的数据总数为21，而将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数是36.4，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是36.4．
故答案为36.4．
点评：本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得没有好，没有把数据按要求重新排列，就会出错．
15. 用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略没有计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm．
【正确答案】3．

【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．
故3．
本题考查圆锥的计算．

16. 将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的_____．

【正确答案】

【详解】试题分析：将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，阴影部分恰是正方形B的，阴影部分面积是正方形A面积的，即；将正方形A与B按图2放置，则阴影部分正方形A的，所以阴影部分面积是正方形B面积的=
考点：正方形
点评：本题考查正方形，解答本题的关键是要求考生对正方形的性质要熟悉，然后找出阴影部分与正方形的关系
三、解 答 题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：|1﹣3|+（π﹣3）0﹣﹣（﹣）﹣2
【正确答案】1

【详解】试题分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.
试题解析：原式


18. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．
【正确答案】x2+1，3

【详解】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
试题解析：原式





当时，原式
19. 如图，在平行四边形ABCD中，AB （1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（没有写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=7，CD=5，求CE的长．

【正确答案】（1）作图见解析；（2）．

【详解】试题分析：（1）作的平分线交于，则利用角平分线的性质可得到点满足条件；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可证明则 然后计算即可．
试题解析：（1）如图，点E为所作；

（2）∵点E到边AB，AD的距离相等，
∴AE平分∠BAD，
∴
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴
∴
∴
∴
故答案为2．
点睛：角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
四、解 答 题（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司没有断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m3污水所用的时间比现在多用10小时．
（1）原来每小时处理污水量是多少m2？
（2）若用新设备处理污水960m3，需要多长时间？
【正确答案】（1）原来每小时处理污水量是40m2；（2）需要16小时．

【详解】试题分析：设原来每小时处理污水量是xm2，新设备每小时处理污水量是1.5xm2，根据原来处理1200m3污水所用的时间比现在多用10小时这个等量关系，列出方程求解即可.
根据即可求出.
试题解析：设原来每小时处理污水量是xm2，新设备每小时处理污水量是1.5xm2，
根据题意得：
去分母得：
解得：
经检验 是分式方程的解，且符合题意，
则原来每小时处理污水量是40m2；
（2）根据题意得：（小时），
则需要16小时．
21. 某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一项）”，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅没有完整的统计图，请统计图解答下列问题：
（1）求本次抽样人数有多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？
【正确答案】（1）50人；（2）见解析；（3）180人．

【分析】（1）根据喜欢跑步的人数是5，所占的百分比是10%，即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义求出喜欢篮球的人数，作图即可；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解.
【详解】（1）本次抽样的人数：5÷10%=50（人）；
（2）喜欢篮球的人数：50×40%=20（人），
如图所示：
；
（3）九年级最喜欢跳绳项目的学生有600×=180（人）．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，AM=AN，∠N+∠CAN=180°．求证：MN=AC．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：证明四边形ACMN是平行四边形，即可证明.
试题解析：∵M是斜边AB的中点，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴AC∥MN，
∴
∴
∴AN∥MC，又AC∥MN，
∴四边形ACMN是平行四边形，
∴
点睛：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
五、解 答 题（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，原点直线l与反比例函数（x＞0）的图象交于点C，B是直线l上的点，过点B作BA⊥x轴，垂足为点A，且C是OB中点，已知OA=4，BD=3．
（1）用含k的代数式来表示D点的坐标为_____；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）连接CD，求四边形OADC的面积．

【正确答案】（4，）

【详解】试题分析：由可知点的横坐标为代入反比例函数求出纵坐标即可.
（2）由（1）可知， 是的中点，可以求出代入反比例函数，即可求出的值.
根据计算即可.
试题解析：（1）∵
点的横坐标为
把代入反比例函数


故答案为
（2）由（1）可知，
∵
∴
∵点C在上，
∴
解得
∴反比例函数的解析式为
（3）连接
∵
∴

24. 如图，AB是⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，且∠PDA=∠1，过点B的切线BE与PD的延长线交于点E．把△PDA沿AD翻折，点P正好落在⊙O的F点上．
（1）证明：PD是⊙O的切线；
（2）求证：DF∥BE；
（3）若PA=2，求四边形BEDF的面积．

【正确答案】（1）（2）见解析；（3）

【详解】试题分析：连接OD．根据等量代换得根据直径所对的圆周角是直角得即可得到，即可证明.
由得=,根据垂径定理的推论可得又BE是切线，即可证明.
根据可以求出 的长度，证明四边形BEDF是菱形，根据面积公式计算即可.
试题解析：证明：连接OD．

∵
∴
∵
∴
∴
∵AB是直径，
∴
∴ ，
∴
∴PD是的切线．
（2）设AB交DF于H．
∵
∴=,
∴
∵BE是切线，
∴ ，
∴DF∥BE．
（3）
∴
∴
∵
∴
∵
∴
易证四边形BEDF是菱形，面积

25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线OD⊥直线AB于点D．现有一点P从点D出发，沿线段DO向点O运动，另一点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到O时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）点A的坐标为_____；线段OD的长为_____．
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系（没有要求写出取值范围），并确定t为何值时S的值？
（3）是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，写出所有满足条件的t的值；若没有存在，则说明理由．

【正确答案】(1)（6，0）,; (2),当时,取得值为;(3) 为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．

【详解】试题分析：
试题解析：（1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令x=0，则y=8，
∴
∴
令y=0，则
∴ ∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为:
（2）如图1，
在中，
根据勾股定理得，
∴
由运动知，
∴
过点P作于H，
在中，
∴
∴

∴当 时,S
（3）∵为等腰三角形，
∴①当时，
∴
∴
②当OQ=PQ时，在中,
如图2，过点Q作于M，
∴
在中，
∴
∴
③当时，如图3，
过点P作于H，
∴
在中，
∴
∴
∴为等腰三角形时，t值为秒或秒或秒．






2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（本题共48分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 16的算术平方根是( )
A. 4 B. -4 C. D. 8
2. 中国移动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（　　）
A 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
3. 从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（    ）

A. B. C. D.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（  ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
5. 下面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是(    )
A. B. C. D.
6. 下列计算中，正确的是（   ）
A. 2a+3b=5ab B. （3a3）2=6a6 C. a6÷a2=a3 D. ﹣3a+2a=﹣a
7. 化简等于（    ）
A B. C. ﹣ D. ﹣
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 《九章算术》是中国传统数学重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为(    )

A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的有几个（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（   ）

A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：2﹣1+=_____．
14. 因式分解a3－6a2+9a=_____．
15. 某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．

17. 如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.

三、解 答 题（本题共9小题，共60分）
19. 计算                         
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解没有等式组
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．


21. 如图，在昆明市轨道交通的修建中，在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）

22. 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：

（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
25. 如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.

（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，没有需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．

27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．


（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．


















2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（本题共48分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 16的算术平方根是( )
A. 4 B. -4 C. D. 8
【正确答案】A

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
本题主要考查了算术平方根的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 中国移动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（　　）
A. 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
【正确答案】D

【分析】根据科学记数法的表示形式（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数），即可求解．
【详解】解：126000＝1.26×105．
故选D．
3. 从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（    ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故答案选B.
考点：几何体的三视图.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（  ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
【正确答案】C

【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.

考点：平行线的性质.
5. 下面图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是(    )
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】B、D选项是轴对称图形但没有是轴对称图形，C选项没有是轴对称图形；
故选A．
6. 下列计算中，正确的是（   ）
A. 2a+3b=5ab B. （3a3）2=6a6 C. a6÷a2=a3 D. ﹣3a+2a=﹣a
【正确答案】D

【详解】试题分析：A、没有是同类项，无法计算；B、原式=9a6；C、同底数幂相除，底数没有变，指数相减，原式=；D、是同类项，能够合并，正确．故答案选D．
考点：．合并同类项；同底数幂的乘除法．
7. 化简等于（    ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
【正确答案】B

【详解】试题分析：原式=====，故选B．
考点：分式的加减法．
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】直接利用概率公式计算即可.
【详解】共有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题的概率是＝.
故答案选A.
考点：概率公式.
9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元方程组，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题关键．
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为(    )

A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
【正确答案】A

【详解】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC=30°，继而求得OC=CD=5，因此点C的坐标为：（0，5）．
故选A．

点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形思想的应用．
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的有几个（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：

∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6﹣2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG=2，
∴点E到AB的距离是2，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，
∴S△ABF：S△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=S△ABE=××6×2=，
故④错误；
∵S△ADB=×6×3=9，
∴S△DFC=S△ADB﹣S△ABF=9﹣=，
∵S△DFC=×6×FM=，
∴FM=，
∴DM===，
∴CM=DC﹣DM=6﹣=，
∴tan∠DCF==，
故③正确；
故其中一定成立的有3个．
故选C．
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（   ）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，

∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，
∴AC=AB×cos30°=8×=，BC=AB×sin30°=8×=4，
∴CH=AC×BC÷AB=×4÷8=，AH=÷AB=；
（1）当0≤t≤时，S==；
（2）当时，S==；
（3）当6＜t≤8时，S=
=；
综上，可得：
S=，
∴正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是A图象．
故选A．
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：2﹣1+=_____．
【正确答案】

【详解】根据负整指数幂的性质和二次根式的性质，可知=.
故答案为.
14. 因式分解a3－6a2+9a=_____．
【正确答案】a(a-3)2

【分析】根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.
【详解】解：


故答案为.
本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.
15. 某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
【正确答案】15．

【分析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【详解】解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数．
∵14岁的有1人，15岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是15岁．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．

【正确答案】7

【详解】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（没有合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．
故答案为7m.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
17. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25
【正确答案】B

【详解】∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选B．
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.

【正确答案】2≤x≤4

【详解】根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值k=1×2=2，再由点B、C的坐标利用待定系数法，设直线BC的解析式为y=ax+b，得到，解得：，求出直线BC的解析式y=-x+4，将其代入反比例函数中，得：-x+4=，即x2-4x+k=0，由反比例函数图象与直线BC只有一个交点，可令△=0即可求出k的值k=4，从而得出2≤k≤4．
故答案为2≤k≤4.
 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与值．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．
三、解 答 题（本题共9小题，共60分）
19. 计算                         
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解没有等式组
【正确答案】(1);（2）-1≤x≤2.

【详解】试题分析： （1）根据整式的乘法，由完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算化简，然后代入求值；
（2）分别求解两个没有等式，然后取其解集的公共部分即可.
试题解析：（1）原式

当a=1，时，原式
（2）
由①得：
由②得：
∴没有等式的解集是：
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．


【正确答案】（1）证明见解析；（2）25°.

【详解】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴
∴AO=OB
（2）解：∵AB是的直径，PA与相切于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴.
21. 如图，在昆明市轨道交通的修建中，在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）

【正确答案】546m.

【详解】试题分析：过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度．
试题解析：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，
∴CD=BC=200（m），
BD=CBcos（90°﹣60°）=400×=200（m），
AD=CD=200（m），
∴AB=AD+BD=200+200≈546（m），
答：这段地铁AB的长度为546m．

考点：实际问题转化为直角三角形中的数学问题．
22. 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
【正确答案】3000元．

【分析】根据题意找到等量关系：补贴后可购买的台数比补贴前多20%，设出未知数，列方程求解即可．
【详解】设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是确定问题的等量关系，设出未知数，列方程求解，注意分式方程一定要检验：是方程的解且符合实际．
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：

（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【正确答案】（1）30人；（2）.

【分析】（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的学生人数；
（2）用列表法求出概率．
【详解】解：（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的学生为人；

（2）列表：

从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．

24. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）由平行的性质条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论；
（2）由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由直角三角形的性质勾股定理可求得AE．
试题解析：
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=．
25. 如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.

（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
【正确答案】（1）直线解析式为y=2x-2;反比例函数解析式为：；（2）；（3）点P的坐标为（11，0）.

【详解】试题分析： （1）根据函数y=k1x+b的图像A、B可得b、k1的方程组，进而求得函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M点在双曲线上求出k2，进而得到反比例函数的解析式；
（2）根据已知构造直角三角形进而利用勾股定理求出AM的长；
（3）过点M作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角形函数的定义求出OP的值，进而可得出结论.
试题解析：（1）∵直线的图象、两点

∴，
∴解得：
∴函数的表达式为，
∴设，作MD⊥x轴于点D
∵，
∴，
∴，
∴n=4，
∴将代入得，
∴m=3
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）过点M作MF⊥y轴于点F，
则FM=3，AF=4+2=6，
∴；
（3）过点作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴，
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）.
点睛：此题主要考查了反比例函数与函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求函数的解析式与反比例函数的解析式、锐角三角形函数的定义，熟知以上知识点是解答此题的关键.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，没有需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．

【正确答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）

【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，
有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，
，
则；

②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE:CD=2a:a=2；

即CE:CD=或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，
此时CP的长度，
∵在Rt△QDC中，
∴，
即线段CP的值是.
点睛：此题主要考查了正方形性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.
27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．


（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△M面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；


（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．