初中数学中考复习 2019年浙江省杭州市江干区实验中学中考数学三模试卷（含解析）

2019年浙江省杭州市江干区实验中学中考数学三模试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）

1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）

A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④

2．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．|a|＜1＜|b| B．1＜﹣a＜b C．1＜|a|＜b D．﹣b＜a＜﹣1

3．如图，已知扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，则此扇形面积为多少平方公分？（　　）

A．100π B．20π C．15π D．5π

4．新阜宁大桥某一周的日均车流量分别为13，14，11，10，12，12，15（单位：千辆），则这组数据的中位数与众数分别为（　　）

A．10，12 B．12，10 C．12，12 D．13，12

5．将（x+2y）2﹣（x﹣2y）2分解因式的结果是（　　）

A．﹣8x2 B．﹣8x（x﹣2y） C．16（x+y） D．8xy

6．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，下列结论正确的是（　　）

A．∠EDF＝∠B B．2∠EDF＝∠A+∠C 

C．2∠A＝∠FED+∠EDF D．∠AED+∠BFE+∠CDF＞180°

7．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）

A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2

8．一件夹克衫标价500元，以8折出售，仍获利10%，求这件夹克的成本是多少元？设这件夹克的成本是x元，根据题意列方程，下列方程正确的是（　　）

A．（500﹣x）×80%＝10%x B．500×80%﹣x＝10%x 

C．500×80%﹣x＝500×10% D．（500﹣x）×80%＝500×10%

9．下列命题中是假命题的是（　　）

A．两点的所有连线中，线段最短 

B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 

C．等式两边加同一个数，结果仍相等 

D．不等式两边加同一个数，不等号的方向不变

10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

二．填空题（满分24分，每小题4分）

11．有一个数值转换器，原理如图：

当输入的x＝4时，输出的y等于　   　．

12．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为　   　米．

13．张明随机抽查了学校七年级63名学生的身高（单位：cm），他准备绘制频数分布直方图，这些数据中最大值是185，最小值是147，若以4为组距（每组两个端点之间的距离叫做组距），则这些数据可分成　   　组．

14．如图①所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图②所示，他很快确定了哪一张牌被旋转后，被旋转过的一张牌是　   　．

15．已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而减小，则k　   　0．

16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．A、B、C三点在格点上．

（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标　   　；

（2）在y轴上找点D，使得AD+BD最小，作出点D并写出点D的坐标　   　．

三．解答题

17．（6分）计算：．

18．（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．

请根据图中信息完成下列各题．

（1）将频数分布直方图补充完整人数；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；

（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．

19．（8分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．

（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；

（2）在AB上取一点G，如果AE•AC＝AG•AD，求证：EG•CF＝ED•DF．

20．（10分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．

（1）用含x的代数式表示线段CF的长；

（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．

22．（12分）已知二次函数y＝x2+2bx+c

（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；

（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．

23．（12分）问题发现．

（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　   　．

（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．

（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；

图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．

故选：C．

2．解：∵﹣1＜a＜0，1＜b＜2，

∴|a|＜1＜|b|，

∴选项A正确；

∵﹣a＜1，

∴选项B不正确；

∵|a|＜1，

∴选项C不正确；

∵a＞﹣1，

∴选项D不正确．

故选：A．

3．解：∵扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，

∴S扇形AOB＝＝15π（平方公分），

故选：C．

4．解：将数据重新排列为10、11、12、12、13、14、15，

所以这组数据的中位数为12、众数为12，

故选：C．

5．解：原式＝[（x+2y）+（x﹣2y）][（x+2y）﹣（x﹣2y）]，

＝2x•4y，

＝8xy，

故选：D．

6．解：不妨设∠B＝80°，∠A＝40°，∠C＝60°．

∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，

∴BE＝BF，AE＝AD，CF＝CD，

∴∠BEF＝∠BFE＝∠EDF＝50°，∠CFD＝∠CDF＝∠FED＝60°，∠AED＝∠ADE＝∠EFD＝70°，

∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故A、C不正确，

∵∠B+∠BEF+∠EFB＝180°，∠B+∠A+∠C＝180°，

∴∠BEF+∠BFE＝∠A+∠C，

∴2∠EDF＝∠A+∠C，故B正确，

∵∠AED＝∠EFD，∠BFE＝∠EDF，∠CDF＝∠FED，

∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝∠EFD+∠EDF+∠FED＝180°，故D不正确．

故选：B．

7．解：延长AP交BC于E，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠EBP，

∵AP⊥BP，

∴∠APB＝∠EPB＝90°，

在△ABP和△EBP中，，

∴△ABP≌△EBP（ASA），

∴AP＝PE，

∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，

∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，

故选：C．

8．解：由题意得：500×80%﹣x＝10%x；

故选：B．

9．解：A、两点的所有连线中，线段最短，是真命题；

B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；

C、等式两边加同一个数，结果仍相等，是真命题；

D、不等式两边加同一个数，不等号的方向不变，是真命题；

故选：B．

10．解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，

∴＝＝，

∵OC是△OAB的中线，

∴＝＝＝，

设CE＝x，则BD＝2x，

∴C的横坐标为，B的横坐标为，

∴OD＝，OE＝，

∴DE＝OE﹣OD＝，

∴AE＝DE＝，

∴OA＝OE+AE＝，

∴S△OAB＝OA•BD＝××2x＝3．

故选：B．

二．填空题

11．解：4的算术平方根为：＝2，

则2的算术平方根为：．

故答案为：．

12．解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，

∴△DEF∽△DCA，

则＝，即＝，

解得：AC＝10，

故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），

即旗杆的高度为11.5米；

故答案为：11.5．

13．解：∵这组数据的极差为185﹣147＝38，

∴这些数据可分的组数为38÷4＝9.5≈10（组），

故答案为：10．

14．解：因为牌中只有方块4是中心对称图形，所以旋转180度后，还是原来的样子．

故答案是：方块4．

15．解：∵一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而减小，

∴k＜0，

故答案为：＜．

16．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，

由图知点C1的坐标（3，﹣2），

故答案为：（3，﹣2）；

（2）如图所示，点D即为所求，点D的坐标为（0，2）．

故答案为：（0，2）．

三．解答题

17．解：原式＝

＝

＝

＝

＝

＝

18．解：（1）70到80分的人数为50﹣（4+8+15+12）＝11人，

补全频数分布直方图如下：

（2）本次测试的优秀率是×100%＝54%；

（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，

则所有的可能性为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，

所以小明与小强同时被选中的概率为．

19．证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠BCD＝∠A，∠ADC＝90°．

∵E是AC的中点，

∴DE＝AE＝CE，

∴∠ADE＝∠A，

∴∠BCD＝∠ADE．

又∠ADE＝∠FDB，

∴∠FCD＝∠FDB．

∵∠CFD＝∠DFB，

∴△CFD∽△DFB，

∴DF2＝BF•CF．

（2）∵AE•AC＝AG•AD，

∴＝．

∵∠A＝∠A，

∴△AEG∽△ADC，

∴EG∥BC，

∴△EGD∽△FBD，

∴＝．

由（1）知：△CFD∽△DFB，

∴＝，

∴＝，

∴EG•CF＝ED•DF．

20．解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，

∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，

∴0≤x＜20；

（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，

∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，

答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．

21．解：（1）∵AD＝CD．

∴∠DAC＝∠ACD＝45°，

∵∠CEB＝45°，

∴∠DAC＝∠CEB，

∵∠ECA＝∠ECA，

∴△CEF∽△CAE，

∴，

在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE＝，

∵CA＝2，

∴，

∴CF＝；

（2）∵∠CFE＝∠BFA，∠CEB＝∠CAB，

∴∠ECA＝180°﹣∠CEB﹣∠CFE＝180°﹣∠CAB﹣∠BFA，

∵∠ABF＝180°﹣∠CAB﹣∠AFB，

∴∠ECA＝∠ABF，

∵∠CAE＝∠BAF＝45°，

∴△CEA∽△BFA，

∴y＝＝＝＝（0＜x＜2），

（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，

∴，

∴，

∴AB＝x+2，

∵∠ABE的正切值是，

∴tan∠ABE＝＝＝，

∴x＝，

∴AB＝x+2＝．

22．解：（1）由y＝1得 x2+2bx+c＝1，

∴x2+2bx+c﹣1＝0

∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，

则存在两个实数，使得相应的y＝1；

（2）由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为x＝﹣b，

①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时

﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；

②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时

﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣，不合题意，舍去，

③当﹣2＜﹣b＜2时，则＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝（不合题意，舍去），b2＝．

综上：b＝3或．

23．解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，

∵AC×BC＝AB×CD，

∴CD＝＝，

故答案为；

（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，

过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，

∵CE⊥BC，

∴BD×CF＝BC×CD，

∴CF＝＝，

由对称得，CE＝2CF＝，

在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，

∴sin∠BCF＝，

在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝＝；

即：CM+MN的最小值为；

（3）如图3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，

∵AB＝3，AE＝2，

∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，

设点G到AC的距离为h，

∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，

∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，

∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，

∴EG⊥AC时，h最小，

由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，

延长EG交AC于H，则EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，

在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，

∴EH＝AE＝，

∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，

∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，

过点F作FM⊥AC于M，

∵EH⊥FG，EH⊥AC，

∴四边形FGHM是矩形，

∴FM＝GH＝

∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，

∴△CMF∽△CBA，

∴，

∴，

∴CF＝1

∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．