初中数学中考复习 2020年九年级数学中考综合复习2： 综合题复习讲义

这是一份初中数学中考复习 2020年九年级数学中考综合复习2： 综合题复习讲义，共14页。试卷主要包含了代数综合题，几何综合题，代数几何综合题等内容，欢迎下载使用。

代数和几何是初中数学的两大主线，有着各自的特点和解题方法，同时它们又是紧密联系，不可分割的整体，数学综合题是中考的重要题型，主要分为三类：代数综合题、几何综合题、代数几何综合题。
一、代数综合题
代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要镖客方程、函数、不等式等内容，常用到数学方法有：化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.解代数综合题注意归纳整理代数中的基础知识、基本技能、基本方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，加强知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的。
二、几何综合题
几何综合题是中考热点之一，一般难度较大，解法灵活，主要综合了圆、相似三角形、四边形等相关知识，对于学生的思维能力要求较高，几何综合题表面上会给人一种无从入手的感觉，但实际上往往有很多线索可供选择，解答这类问题关键是灵活运用分析法和综合法找好解题思路，有时题设和结论的关系较为隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。
除此之外，还应注意以下几点：（1）学会复杂图形简单化、不规则图形规则化，找出图形中的基本图形；（2）总结常规的证题方法和思路；（3）运用方程思想解决几何计算问题，运用转化的思想解决几何的证明问题。
三、代数几何综合题
代数几何综合题是代数与几何知识的综合，是数与形的有机结合，主要的考查内容包括：1.以几何知识为主线，运用方程思想解决方程与几何有关的综合题；2.运用数形结合的思想解决坐标与几何的综合题；3.利用几何图形的性质和函数知识，解决函数与几何的综合题；4.运用数形结合的思想建立几何变量之间的函数关系式，其解题步骤是灵活运用函数、方程、数形结合思想，由形导数，以数促形，综合应用代数和几何知识解题。
＆.典型例题剖析：
§.例1、已知方程，求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.
思路点拨：本题考查一元二次方程根与系数的关系，可从原方程根与系数入手，具体解法为：
解：设的两根为，，则新方程的两根为，
由根与系数的关系得：，
则，
故新方程为
规律总结：解决一元二次方程的综合题，必须灵活应用根的判别式，根与系数的关系，及一元二次方程的各种解法。
常见错误：（1）忽略一元二次方程中的条件；（2）忽略方程有解时根的判别式的检验。
§.例2、已知关于的方程的两个实数根的和为，而关于的另一个方程有大于且小于的实数根，求的整数值。
思路点拨：本题考查一元二次方程根与系数的关系与不等式的综合运用。具体解法为：
解：设的两根为，，得
又∵
∴，解得，
又当时，，此时方程无解
∴舍去，
把代入得：
∴，解得，
∵此方程有大于且小于的实数根
∴，解得：
又∵为整数
∴或
规律总结：涉及一元二次方程的综合题，必须会灵活应用一元二次方程的解法及根与系数的关系和根的判别式，涉及不等式的综合题，必须熟悉不等式的解法。
常见错误：（1）忽略根的判别式的检验，如本题若不检验，便不能排除；（2）找不准不等式的整数解，避免此种错误可借助数轴。
§.例3、（2019年海淀模拟试题）一次函数和反比例函数的图象相交于
点（，）.点（，）在函数的图象上，且、是关于的一元二次方程的两个不相等的整数根，其中为整数，试求一次函数和反比例函数的解析式。
思路点拨：本题是由函数与方程组成的综合题，解答本题的关键是求出一元二次方程的整数根。具体解法为：
解：解关于的一元二次方程，得
，
∵方程有两个不相等的整数根，且为整数
∴，此时（时，不合题意）
∴，或，
∴点坐标为（，）或（，）
又∵点（，）在函数的图象上
∴
当点坐标为（，）时，根据题意得：
，解得
故和反比例函数
当点坐标为（，）时，根据题意得：
，解得
故和反比例函数
∴一次函数的解析式为：或；反比例函数的解析式为：或.
规律总结：函数与方程的综合题，其联系点往往是交点与方程的解，注意函数的性质与方程有关知识的综合应用，另外求函数解析式时，往往利用待定系数法转化成方程（组）解决。
常见错误：（1）审题不清，忽略关键条件出错，如忽略“方程有两个不相等的实数根，且为整数”会导致问题多解；（2）分析问题不透，导致问题遗漏出错.如、是方程的两根，、也是方程的两根，此时、的值应有有两种情况，忽略其中一种，便导致出错。
§.例4、（2019年天津）已知一次函数，二次函数.
（1）根据表中给出的的值，计算对应的函数值、，并填在表格中：
（2）观察（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
（3）试问是否存在二次函数，其图象经过点（，），且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。
思路点拨：本题是由函数与不等式组成的综合题，关键是从函数问题中列出相应的不等式.具体解法是：
解：（1）填表如下：
（2）因为，所以对于取任何实数，都有均成立；
（3）由已知二次函数的图象经过点（，），得
①
当时，，，若对于自变量取任何实数时，都有成立，则有，所以②
由①②联立得关于、的方程组，解得，
∴
当时，有，即
若二次函数对于一切实数，恒成立，则必有
，即得
∴，
∴存在二次函数在实数范围内对于任意的同一值，均成立.
规律总结：涉及二次函数的综合题应密切关注抛物线的开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点与系数的关系，另外二次函数与一元二次方程有密切联系，应学会两者之间问题的转化。
常见错误：（1）忽略二次函数解析式中的条件；（2）审题不清，思维混乱导致乱解或错解。
§.例5、（2019年南京）如图，在中，，以为直径的⊙与相交于点，与相交于点，点是的中点。
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求的长。
思路点拨：本题考查圆的切线的判定及切割线定理的灵活应用。具体解法为：
E
F
D
图 1
A
O
C
B
（1）证明：连结，
∵为⊙的直径
∴，即
∵
∴，
又∵四边形内接于⊙
∴，
∴
∴
∵点是的中点
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵是⊙的半径
∴是⊙的切线
（2）解：设，则
又∵
由切割线定理得：
∴，解得：，（不合题意，舍去）
故的长为.
规律总结：几何圆中的综合题一是注意弦角的转换，二是切割线定理、相交弦定理、切线长定理、勾股定理与方程的综合应用，其解题关键是通过分析找出已知与所求之间的关系。
常见错误：（1）推理不严密，如证明是⊙的切线，需证明两个条件，一是；二是是⊙的半径，两者缺一不可，如忽略其中一个条件，则推理不严密；（2）分析问题的条件与结论时与相关知识联系不上，导致问题无从下手，无法解决。
§.例6、（2019年四川）如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，切⊙于点，弦于点，过点作于点，交⊙于点，是上一点，且，连结交于，连结，若，.
（1）求的度数；
（2）求的长。
思路点拨：本题条件中涉及圆的弦、切线、弧等，关键是垂径定理、切割线定理的灵活运用。具体解法为：
Q
P
GC
E
F
D
图 2
A
O
C
B
解：（1）连结
∵为⊙的直径
∴
∵，是⊙的直径，
∴
又∵
∴
在中，，
∴
又由垂径定理得：
∴，解得
∴，，，
∴
∵，
∴
在中，
∴
（2）在中，，
∴
∴，
由勾股定理得：，得.
在中，，
∴，
∴
又∵
∴
规律总结：圆中涉及三角函数的计算必须想办法构造直角三角形，另外分析问题时，注意结合条件选择有关性质来解题。
常见错误：审题不清，思维混乱，导致解题无从下手。
§.例7、（2019年自贡）如图所示，已知直线分别与轴、轴交于点、，以线段为直角边，在第一象限内作等腰直角，，过点作轴，垂足为.
（1）求点、的坐标和的长；
（2）求、、三点的抛物线的解析式。
思路点拨：本题属于代数几何综合题，考查等腰直角三角形的性质及抛物线解析式的确定。具体的解法为：
解：（1）在中，当时，；当时，
∴（，），（，）
x
D
图 3
A
O
B
y
∵，
∴
又∵，
∴
∴
（2），由（1）知
∴，即
∴
∴点的坐标为（，），点的坐标为（，）
设过、、三点的抛物线的解析式为：（）
将（，），（，），（，）代入，得：
，解得，，
故过、、三点的抛物线的解析式为：
规律总结：（1）解答代数几何综合题，一定要注意数形结合，数与形的结合点往往在点的坐标上；（2）涉及函数解析式的题目一般采用待定系数法。
常见错误：（1）审题不清，思维混乱，导致出错；（2）个别问题结论不唯一，因数形不统一，思考不周密而导致有遗漏。
§.例8、（2019年重庆）如图所示，在平面直角坐标系内，已知点（，），点（，），动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动。设点、移动的时间为秒。
（1）求直线的解析式；
（2）当为何值时，与相似？并求出此时点与点的坐标；
Q
P
图 4
A
B
O
x
y
O
x
y
Q
P
图 5
A
B
（3）当为何值时，的面积为个平方单位。
思路点拨：本题利用函数和相似知识解决动点问题。（1）求直线的解析式可用待定系数法；（2）若与相似，只知是公共角，可分情况讨论；（3）可先求面积的函数解析式，然后利用方程求出的值。具体的解法为：
解：（1）设直线的解析式为：，由题意得：
Q
P
图 6
A
B
O
x
y
，解得：，
故直线的解析式为：
（2）由，，得
∴，
①如图所示，当时，∽
∴，解得：
故有点坐标为（，），点的坐标为（，）
②如图所示，当时，∽
∴，解得：
E
Q
P
图 7
A
B
O
x
y
故有点坐标为（，），点的坐标为（，）
（3）过点作于点（如图）.
在中，
在中，
∴
解得：或
规律总结：解动点题其关键是结合图形，分析题意，将运动的几何元素看作静止来加以解答，函数和方程是解决这类问题的重要工具。
常见错误：思考不周密出现漏解，如与相似有两种情况，忽视其中一种必导致漏解。
§.例9、如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，为原点，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上。直线的解析式为，直线过轴上一点
（，）且与平行，现正方形以每秒的速度匀速沿轴正方向平行移动，设运动时间为秒，正方形被夹在直线和间的部分面积为.
（1）当时，写出与的函数关系式；
（2）当时，写出与的函数关系式，在这个范围内有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。
图 8
y=2x
A D
O
x
y
F
E
B C
G
D
y=2x
AA1 N
O
x
y
F
E
BB1 C
M
Q
P
图 9
N
y=2x
A A1 G D
O
x
y
F
E
B C
P
Q
M
B1
R
图 10
思路点拨：这是一道动形问题，函数是刻画动形问题的最佳数学模型，此题应画出图形，分析图形运动过程中的变化规律，并以此为突破口。具体解法为：
解：（1）当时，如图，由图可知，设经过秒后，正方形移动到处.
∵当时，
∴当时，在点左侧
夹在两平行线间的部分是多边形，其面积为：□的面积—的面积
∵，
∴□的面积
又∵点的坐标为（，）
∴，
由知，
∴
故
（2）当时，如图所示.这时正方形移动到处.
∵当时，
∴当时，在点、点之间
夹在两平行线间的部分是，即□被切掉了和后的剩余，其面积为：□的面积—的面积—的面积。
仿照（1），同理可得，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴当时，有最大值，此时.
规律总结：解决这类问题，要从观察入手，抓住图形运动时各量之间的关系，通过归纳得出规律和结论。
常见错误：图形运动过程中的关键图形找不准而导致出错。
＆.综合巩固练习：
一、课改区中考试题练习
1.（2019年黄冈）已知，为实数，且，则的值为（ ）
、 、 、 、
2.（2019年北京）已知，求代数式的值。
3.（2019年海淀）已知反比例函数的图象经过点（，），若一次函数的图象经过平移后经过该反比例函数图象上的点（，），求平移后的一次函数图象与轴的交点坐标。
4.（2019年北京）在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转得到直线.直线与反比例函数的图象的一个交点为（，），试确定反比例函数的解析式。
5.（2019年海淀）已知抛物线.
（1）求证：此抛物线与轴有两个不同的交点；
（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值。
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为.若为坐标轴上一点，且，求点的坐标。
O
x
3
1
–2
–1
–1
–2
2
y
图 11
A
D
B
C
图 12
M
N
A
O B
P
6.（2019年荷泽）如图，直线与双曲线交于点，与轴、轴分别相交于点、，轴于点，如果，求的值。
7.（2019年海淀）如图所示，一根长为的木棍（），斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍的中点为.若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行。
（1）请判断木棍滑动的过程中，点到点的距离是否变化？并简述理由；
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值。
8.（2019年北京）已知：如图，在梯形，，，，于点，，.求的长。
9.（2019年河南）如图，正方形的边长为，点是边上不与、重合的任意一点，连结，过点作交于点，设的长为，的长为
（1）求点在上运动过程中的最大值；
C
D
E
图 13
A
B
E
C
D
P
图 14
A
B
（2）当时，求的值。
10.（2019年河南）如图，中，，，，矩形的长和宽分别为和，点和点互相重合，和在一条直线上.令不动，矩形沿所在直线向右以每秒的速度移动（如图），直到点与点重合为止.设移动秒后，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式。
2
N
（M）
P
C
D
图 15
A
B
2
N
M
P
C
D
图 16
A
B
60°
O1
x
O
y
l
D
图 17
A
B
O2
G
x
O
y
F
图 18
A
E
O2
11.（2019年武汉）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），以点为圆心，为半径的圆与轴交于、两点，过点作直线与轴负方向交成角。以（，）为圆心的圆与轴相切于点.
（1）求直线的解析式；
（2）将⊙以每秒个单位的速度沿轴向左平移，同时直线沿轴向右平移，当⊙第一次与⊙相切时，直线也恰好与⊙第一次相切，求直线平移的速度；
（3）如图所示，将⊙沿轴向右平移，在平移过程中与轴相切于点，为⊙的直径，过点作⊙的切线，切⊙于另一点，连结、，那么的值是否变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
12.（2019年黄冈）如图，已知⊙的弦垂直于直径，垂足为，点在上，且.
（1）求证：；
（2）延长到点，连结，若，试判断与⊙的位置关系，并说明理由。
CC
O
E
P
F
D
图 19
A
B
CC
E
D
图 20
A
B
13.（2019年长沙）如图，把一个直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合。
（1）三角尺旋转了多少度；
（2）连结，试判断的形状；
（3）求的度数。
14.（2019年荷泽）如图，在⊙中，弦与相交于点，.
（1）求证：；
（2）点与点关于直线对称吗？试说明理由。
CC
O
E
D
图 21
A
B
CC
M
E
D
图 22
A
B
15.（2019年荷泽）如图，在正方形中，，是边上一点（点与点、不重合）.的垂直平分线交于点，交于点.
（1）设，四边形的面积是，写出关于的函数关系式；
（2）当为何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？
16.（2019年荷泽）如图23，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式.
（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与全等，请直接写出点D的坐标.
（3）设从出发起，运动了t秒.如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围.
（4）设从出发起，运动了t秒.当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。
QA
P
O
C（8，6）
B（18，6）
A（18，0）
x
y
图 23
二、经典题练习
1.（2019年上海）如图，在中，，，，是边上的一个动点，以点为圆心作半圆，与边相切于点，交线段于点.作，交射线于点，交射线于点.
（1）求证：∽；
（2）设，，求与的函数解析式，并写出它的取值范围；
（3）当时，求线段的长。
P
F
CC
O
E
D
图 24
A
B
D1
C
O
M
D
图 25
A
N
B1
C1
2.（2019年眉山）如图，，在的内部有一正方形，点、分别在射线、，点是上的任意一点，在的内部作正方形.
（1）连结，求证：；
（2）连结，猜一猜，的度数是多少？并证明你的结论；
（3）在上再任取一点，以为边，在的内部作出正方形，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再作出一个合理的解释。
3.（2019年天水）已知的两个锐角、的正切值恰好是关于的一元二次方程（）的两个根，求的值.
4.（2019年沈阳）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，（、）是第二象限内任意一点，以点为圆心的圆与轴相切于点，与直线相切于点.
x
y
F
CC
O
E
图 26
A
B
D
x
y
F
CC
O
E
图 27
A
B
（1）连结、，当四边形是矩形时，求点的坐标；
（2）如图，求⊙与轴相切于点，求⊙的半径；
（3）求与的函数关系式；
（4）在⊙的移动过程中，能否使是等边三角形（只回答“能”或“不能”）。-6
-4
-2
0
2
4
6
10
5
2
1
2
5
10