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初中数学中考复习 2020年九年级数学中考综合复习4： 开放与探索性问题 复习讲义
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这是一份初中数学中考复习 2020年九年级数学中考综合复习4： 开放与探索性问题 复习讲义，共13页。试卷主要包含了开放性问题，探究性问题等内容，欢迎下载使用。
开放与探索性问题改变了过去试题形式单一，知识点考查僵硬，不能充分调动学生的创新意识和探究兴趣的缺点，为学生提供了更广阔的思维空间，正因为如此，开放与探究性题成为近几年中考的热点题型之一。
一、开放性问题
这类题一般没有具体的标准答案，解题时要灵活运用所学基础知识，多层次、多角度地思考问题，解决问题，一般答案只要符合题意即可。
二、探究性问题
探究性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探索型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。条件型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型题是指题目中的结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。探究存在型题是指在一定的基础上，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。
这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识非常广泛。这种题型既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能较好的考查学生的观察、分析、概括能力，因此复习时，既要重视基础知识，又要强化数学思想方法训练，切实提高自己分析问题、解决问题的能力。
＆.典型例题剖析：
§.例1、多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）
思路点拨：本题主要考查了完全平方式。
解：按完全平方公式得，，另外，，，故其答案是或或或.
规律总结：本题属于条件探索题，可以从完全平方式入手，多层次、多角度思考问题，可繁可简，可难可易，一般答案只要符合题意即可。
常见错误：（1）错以为只有是完全平方式，其实也是完全平方式；（2）完全平方式中容易忽略中间项系数.
§.例2、（2019年荆门）多项式可以分解成两个一次因式的积，整数的值是 .（写出一个即可）
思路点拨：若让考生分解，则考生易得，考查面单一；若将代替，同时给定在整数范围内可因式分解的条件且要求探索的值，此时的值具有开放性.解答时，应根据根与系数的关系定理，先将分解
，然后可得或或，或.
答案：或或.
规律总结：解答此类条件开放题，关键是选准突破口，比如本题中根与系数的关系是突破口。
常见错误：因选不准突破口而导致乱解、错解。
§.例3、如图，为⊙的直径，是⊙的切线，切点为，为⊙的割线，的平分线交于点，交于，交于，要使，则应满足的条件是 .（只需填一个即可）
思路点拨：本题考查圆的性质及等腰三角形的判定。
解：方法一：根据等腰三角形“三线合一”的性质，只要，就可以得到；
图 1
F
P B C
D
A
E
O
方法二：根据圆的弦切角定理及三角形外角定理，得
，，
只需平分就可以得到.
具体答案为：（或平分）
规律总结：对于答案不唯一的题目，其解法有选择性，可择简而解之。
常见错误：忽略题目中限制条件而导致出错，如填成.
图 2
A B
F
E
D C
§.例4、如图，在□中，点、在对角线上，且.请你以为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.
（1）连结 ；
（2）猜想：；
（3）证明： ；
思路点拨：本题立足于一个常见的基本图形，把传统证明题改造成一个要求学生发现、猜想、证明的几何题，考查学生的发散思维能力。具体解法为：
解法一：（1）连结；（2）猜想：；
O
图 3
A B
F
E
D C
（3）证法一：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
又∵
∴
∴
证法二：如图，连结、，设交于点.
∵四边形是平行四边形
∴，
又∵
∵，即
∴四边形是平行四边形
∴
解法二：（1）连结；（2）猜想：；（3）证明过程略.
规律总结：此类题目连结、猜想、证明是一体的，注意各个环节的具体要求。
常见错误：只注意问题的开放性，忽视问题的限制性条件而导致出错。
§.例5、已知，如图，是⊙的直径，是⊙上一点，连结，过点作直线于点（），点是上任意一点（点、除外），直线交⊙于点，连结与直线交于点.
（1）求证：；
（2）若点是（点除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
图 4-1
A B
D E
C
G
H
F
E D
O
A B
C
F
G
O
A B
C
D（E）
O
F（G）
图 4-2
图 4-3
思路点拨：（1）欲证，可证，进而可证∽；（2）当点是（点除外）上任意一点时，上述结论仍成立。①如图，当点是（点除外）上任意一点（不包括点）时，连结，∽，便有，即；②如图，当点与点重合时，与点重合，可得，故结论仍然成立。具体解法为：
解：（1）证明：延长交⊙于
∵
∴
∴
又∵
∴∽
∴，即
（2）当点是（点除外）上任意一点时，上述结论仍成立.
①如图，当点是（点除外）上任意一点（不包括点）时，连结，
∵∽
∴
又∵
∴
∵
∴∽
∴，即
②如图，当点与点重合时，与点重合，有
∵
∴
∵
∴
故结论仍然成立.具体解法为：
规律总结：这类题属于结论探究题，结论到底如何，需要探究一番才见分晓，探索时注意分清各种特殊情况。
常见错误：忽略点点是（点除外）上任意一点，针对特殊情况定论，会出现偏差。
§.例6、（2019年兰州）如图，已知是⊙的直径，⊙交于点，过点作⊙的切线交于点，且，由上述条件，你能推出的正确结论有：（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结果中，不写推理过程，至少写出个结论，结论不能类同）。
图 5
A B
E
C
D
O
思路点拨：本题属于结论开放性题。
解：（1）从三角形看：
，∽∽，∽∽
（2）从角看：
，，
（3）从边看：
，，，，.
从中任选出个或个以上的结论即可.
规律总结：这类开放题，由于结论比较多，比较杂，注意分类探求，另外对于结论的得出不论难易，只要符合要求即可，因此难易程度上具有选择性。
常见错误：忽略开放题要求而出错，比如本题写出个结论，缺至少个结论。
§.例7、在一个服装厂里有有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)。现找出其中的一种，测得，，今要从这种三角形布料中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好在的边上，且扇形的弧与的其他边相切，请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。
思路点拨：题目要求用画示意图的方式作答，解答的关键是确定扇形的圆心，可从圆心在的三个顶点上和圆心在的三边上的两个角度来考虑。
解：如图：
图 6
图 7
规律总结：本题是一道方案设计题，也是一道策略开放题，解答这类问题，注意审清设计方案的要求，找准突破口。
常见错误：（1）忽略扇形要求出错；（2）忘记标出扇形半径；（3）方案设计不全。
§.例8、（2019年温州市）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
图 甲
图 乙
解析：这是一道策略开放的方案设计题，考查图形的分割与组合能力，注意从原图形中的边角入手分割与组合。
解答：列举以下四种铺设的示意图供参考。
评讲：解答这类题其关键是抓住原图的边角特征进行合理分割与组合，同时注意与密铺知识联系起来。
§.例9、（2019年河南）观察下表，填表后再解答问题：
（1）完成下列表格
（2）试求第几个图形中“●”的个数和“★”的个数相等？
思路点拨：本题属于规律探究题.仔细观察图形，会发现：图中含“●”个，“★”个；图中含“●”个，“★”个；图中含“●”个，“★”个，由此我们可以大胆预测图中含“●”个，“★”个。
解：（1），；
（2）由（1）可知图中含“●”个，“★”个，根据题意得：
解得：（舍去），
故第个图形中“●”的个数和“★”的个数相等。
规律总结：解规律探究题要求考生用归纳法从具体、特殊事实中探究其存在的规律，把潜藏在表面现象中的一般规律挖掘出来，如果特殊事例不够，还可以自行再列出。
常见错误：（1）因找不准一般规律出现误解；（2）忽略的实际意义而出错，如第（2）题中第个图形。
§.例10、（2019年南平）在某次数学变换游戏中，我们把整数0，1，2，……，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以，所得的数称为“新数”。
（1）请把旧数和按上述规则变换成新数；
（2）经过上述规则变换后，我们发现许多旧数变小了，有人断言：“按照上述规则，所有的新数都不等于它的旧数.”你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；
（3）请求出按上述规则变换后减小了最多的旧数（写出解答过程）。
思路点拨：本题属于趣味性探索题，增强了中考试题的娱乐性、趣味性及新颖性。
解：（1），；
（2）不对。设这个数为个，则，解得：，
即不符合说法的旧数有和.
（3）设减小的量为，则
所以当时，有最大值，且最大值为，即变换后减小最多的旧数为.
规律总结：解答趣味探索题关键是理解其游戏规则。
常见错误：（1）找不准游戏规则的实质出错；（2）以特殊问题得一般结论出错。
§.例11、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，其顶点为，直线的函数关系式为，又.
（1）求、的值；
（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点（点与点、不重合），使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请你说明理由。
思路点拨：本题属于开放型探索题，主要考查一次函数与二次函数性质的综合应用。
解：（1）由直线与轴交于点，得（，）
∵
图 8
F
O
x
y
E
A B
C
D
∴
∴
∴点坐标为（，）
∵点在二次函数的图象上
∴，解得
∴
故顶点为（，）
又∵（，）在图象上
∴
故，
（2）①在二次函数的图象上存在点（点与点、不重合），使得是以为一条直角边的直角三角形
由（1）可知，直线与轴的交点（，）
∴
∴
又∵
∴，
∴若连结，是以为一条直角边的直角三角形，且点（，）在二次函数的图象上，则点就是所求的点.
②解法一：设，点在二次函数的图象上，则是以为一条直角边的直角三角形.
∵
设直线与轴交于点，则（，）
解方程组得或
∴点（，）为所求的.
综合①②，得二次函数的图象上存在点（，）或（，），使得是以为一条直角边的直角三角形.
解法二：在轴上取一点（，），则，由对称性可知：
∴
设直线与二次函数的图象交于点，由（1）知点坐标为（，）
所以直线的函数关系式为（以下解法一同）
规律总结：对于存在型探索题，其解题思路为：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算推理，再对得出的结果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。
常见错误：（1）审题不清，思维混乱导致出错；（2）对存在情况找不全而出错。
§.例12、（2019年南宁市）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为（，），（，），以为直径的半圆与轴交于点，以为一边作正方形．
（1）求，两点的坐标；
（2）连接，试判断直线是否与⊙相切？说明你的理由；
（3）在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
思路点拨：（1）根据坐标知识和勾股定理易求；（2）思路一：连结、、，在中，易求，再据切线的性质可知，再利用，故.思路二：利用勾股定理的逆定理证明；思路三：连结，易证明，因为是等腰三角形，又因为也是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质及等量公理可得：，从而得证；（3）思路一：因为的周长应由线段、、决定，而是一定的，要使的周长最小，只有是和最小，要满足此要求，只有利用“线段公理”找到点关于轴的对称点即可；思路二：本题也可利用一次函数知识，建立的直线方程，又因为轴上的点也在直线上，从而得出点的坐标。
解：（1）∵（，），（，），四边形是正方形
∴，⊙的半径为5
∴（，）
连接，
在中，
∴（，）
（2）方法一：直线是⊙的切线。
证明：连接、，如图
在中，
∴
又∵，
∴
∴，是⊙的切线。
Q
A
E
D
C
8
x
M
P
O
M/
图9-1
A
E
B
D
C
8
x
M
O
P
图9-2
M/
Q
y
y
－2
－2
方法二：直线是⊙的切线
证明：连接如图，在中，
在中
∴
∴
∴是直角三角形，即
∴直线是⊙相切.
方法三：直线是⊙的切线
证明：连接，，如图，在中，
∴，
∴
∴
∴
即
∴直线是⊙的切线．
（3）方法一：作关于轴的对称点，则（，），连接，与轴交于点，此时的和最小，因为为定值，所以的周长最小。
∵∽
∴，即，解得：，得，.
方法二：作关于轴的对称点，则（，），连接，与轴交于点，此时的和最小，因为为定值，所以的周长最小。
设直线的解析式为
把（，）和（，）分别代入得，解得：
∴，当时，，得，.
评讲：这是一道较复杂的几何综合题，熟练掌握切线的性质及切线长定理、勾股定理、线段公理、线段的中垂线性质及平面直角坐标系的相关知识是解决本题的关键。
＆.综合巩固练习：
一、课改区中考试题练习
1.（2019年呼和浩特市）在四边形中，顺次连接四边中点、、、，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形．这个条件是 ．
2.（年湖南衡阳）观察算式：
；
；
；
；
；……
用代数式表示这个规律(为正整数)：.
3.（2019年吉林省）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖数为___________．
图 10
4.（2019年广西贺州市）观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．
A2
A1
A3
A4
A6
A5
B
图 12
24
15
8
3
0
35
48
？
图 11
5．（2019年广西百色市）如图，是直角三角形，且，
垂足为，，垂足为，，垂足为，……，，垂足为，则线段（为自然数）的长为（ ）．
、 、 、 、
图 13
……
……
O
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
x
(5,1)
(4,1)
(3,1)
(2,1)
(3,2)
(4,2)
(4,3)
(5,4)
(5,3)
(5,2)
y
图 14
6．（2019年江苏泰州市）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律_______．
7.（2019年德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为____________．
8．（2019年河南省）如图，将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③， 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第个图形中，共有________个正六边形。
图①
图②
图③
图 15
……
9.（2019年资阳）设，，…， （为大于的自然数)．
（1）探究是否为的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出，，…，，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）．
10.（2019年山东省）如图，中，、分别是、上的点，与交于点．给出下列三个条件：①；②；③．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
O
图 16
E
D
B
A
C
M
D
B
A
C
图 17
（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形。
11.（2019年随州市）如图，矩形中，是的中点。
（1）求证：；
（2）请你探索，当矩形中的一组邻边满足何种数量关系时，有成立，说明你的理由。
12.（2019年成都市）已知：如图，在中，是的中点，是线段延长线上一点，过点作的平行线与线段的延长线交于点，连结、．
（1）求证：；
F
E
D
B
A
C
图 18
P
Q
B
A
C
图 19
（2）若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论。
13．（2019年常德市）如图，是等边内的一点，连结、、，以为边作，且，连结．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．
14.（2019年宁波）已知关于的方程.
（1）当取何值时，方程有两个实数根；
（2）为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.
15.（2019云南省）已知：如图，抛物线经过（1，0）、（5，0）、（0，5）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点的直线与抛物线相交于点（4，），请求出的面积的值；
（3）在抛物线上求一点使得为等腰三角形并写出点的坐标；
（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点使得为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．
x
y
C
B
A
E
–1
1
O
图 20
图 21
16.（2019年绵阳市）如图，在正方形中，点是上一动点，连结，分别过点、作、，垂足分别为、，如图①．
（1）请探索、、这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点在的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点在的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。
17.（2019年荆门市）将两块全等的含角的三角尺如图22摆放在一起，设较短直角边为1．
图22
300
B D
A
C
300
图 23
A
B
C
D
D1O
B1O
C1O
图 24
AO
BO
DO
CO
图 25
AO
BO
DO
CO
（1）四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_______________．
（2）如图23，将沿射线方向平移到的位置，四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．
（3）在沿射线方向平移的过程中，当点的移动距离为______时，四边形为矩形，其理由是_____________________________________；当点的移动距离为______时，四边形为菱形，其理由是_______________________________．(图23、图24用于探究)
二、经典题练习
1.如图，在中，为上一个动点（点与、不重合），且交于点，交于点．
（1）试探究，当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
（2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由。
图 26
图 27
图 28
2.如图，是⊙的直径，是⊙的切线，切点是．点是上一个动点，连接．试探索点运动到什么位置时，是的平分线，请说明理由．
3.如图，是⊙的直径，、、都是⊙的切点，、、分别是切点。
（1）判定的形状，并说明理由．
（2）设，，⊙的半径为，试探究与，之间满足的关系式，并说明理由。序号
1
2
3
…
图形
…
●的个数
8
24
…
★的个数
1
4
…
开放与探索性问题改变了过去试题形式单一，知识点考查僵硬，不能充分调动学生的创新意识和探究兴趣的缺点，为学生提供了更广阔的思维空间，正因为如此，开放与探究性题成为近几年中考的热点题型之一。
一、开放性问题
这类题一般没有具体的标准答案，解题时要灵活运用所学基础知识，多层次、多角度地思考问题，解决问题，一般答案只要符合题意即可。
二、探究性问题
探究性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探索型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。条件型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型题是指题目中的结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。探究存在型题是指在一定的基础上，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。
这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识非常广泛。这种题型既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能较好的考查学生的观察、分析、概括能力，因此复习时，既要重视基础知识，又要强化数学思想方法训练，切实提高自己分析问题、解决问题的能力。
＆.典型例题剖析：
§.例1、多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）
思路点拨：本题主要考查了完全平方式。
解：按完全平方公式得，，另外，，，故其答案是或或或.
规律总结：本题属于条件探索题，可以从完全平方式入手，多层次、多角度思考问题，可繁可简，可难可易，一般答案只要符合题意即可。
常见错误：（1）错以为只有是完全平方式，其实也是完全平方式；（2）完全平方式中容易忽略中间项系数.
§.例2、（2019年荆门）多项式可以分解成两个一次因式的积，整数的值是 .（写出一个即可）
思路点拨：若让考生分解，则考生易得，考查面单一；若将代替，同时给定在整数范围内可因式分解的条件且要求探索的值，此时的值具有开放性.解答时，应根据根与系数的关系定理，先将分解
，然后可得或或，或.
答案：或或.
规律总结：解答此类条件开放题，关键是选准突破口，比如本题中根与系数的关系是突破口。
常见错误：因选不准突破口而导致乱解、错解。
§.例3、如图，为⊙的直径，是⊙的切线，切点为，为⊙的割线，的平分线交于点，交于，交于，要使，则应满足的条件是 .（只需填一个即可）
思路点拨：本题考查圆的性质及等腰三角形的判定。
解：方法一：根据等腰三角形“三线合一”的性质，只要，就可以得到；
图 1
F
P B C
D
A
E
O
方法二：根据圆的弦切角定理及三角形外角定理，得
，，
只需平分就可以得到.
具体答案为：（或平分）
规律总结：对于答案不唯一的题目，其解法有选择性，可择简而解之。
常见错误：忽略题目中限制条件而导致出错，如填成.
图 2
A B
F
E
D C
§.例4、如图，在□中，点、在对角线上，且.请你以为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.
（1）连结 ；
（2）猜想：；
（3）证明： ；
思路点拨：本题立足于一个常见的基本图形，把传统证明题改造成一个要求学生发现、猜想、证明的几何题，考查学生的发散思维能力。具体解法为：
解法一：（1）连结；（2）猜想：；
O
图 3
A B
F
E
D C
（3）证法一：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
又∵
∴
∴
证法二：如图，连结、，设交于点.
∵四边形是平行四边形
∴，
又∵
∵，即
∴四边形是平行四边形
∴
解法二：（1）连结；（2）猜想：；（3）证明过程略.
规律总结：此类题目连结、猜想、证明是一体的，注意各个环节的具体要求。
常见错误：只注意问题的开放性，忽视问题的限制性条件而导致出错。
§.例5、已知，如图，是⊙的直径，是⊙上一点，连结，过点作直线于点（），点是上任意一点（点、除外），直线交⊙于点，连结与直线交于点.
（1）求证：；
（2）若点是（点除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
图 4-1
A B
D E
C
G
H
F
E D
O
A B
C
F
G
O
A B
C
D（E）
O
F（G）
图 4-2
图 4-3
思路点拨：（1）欲证，可证，进而可证∽；（2）当点是（点除外）上任意一点时，上述结论仍成立。①如图，当点是（点除外）上任意一点（不包括点）时，连结，∽，便有，即；②如图，当点与点重合时，与点重合，可得，故结论仍然成立。具体解法为：
解：（1）证明：延长交⊙于
∵
∴
∴
又∵
∴∽
∴，即
（2）当点是（点除外）上任意一点时，上述结论仍成立.
①如图，当点是（点除外）上任意一点（不包括点）时，连结，
∵∽
∴
又∵
∴
∵
∴∽
∴，即
②如图，当点与点重合时，与点重合，有
∵
∴
∵
∴
故结论仍然成立.具体解法为：
规律总结：这类题属于结论探究题，结论到底如何，需要探究一番才见分晓，探索时注意分清各种特殊情况。
常见错误：忽略点点是（点除外）上任意一点，针对特殊情况定论，会出现偏差。
§.例6、（2019年兰州）如图，已知是⊙的直径，⊙交于点，过点作⊙的切线交于点，且，由上述条件，你能推出的正确结论有：（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结果中，不写推理过程，至少写出个结论，结论不能类同）。
图 5
A B
E
C
D
O
思路点拨：本题属于结论开放性题。
解：（1）从三角形看：
，∽∽，∽∽
（2）从角看：
，，
（3）从边看：
，，，，.
从中任选出个或个以上的结论即可.
规律总结：这类开放题，由于结论比较多，比较杂，注意分类探求，另外对于结论的得出不论难易，只要符合要求即可，因此难易程度上具有选择性。
常见错误：忽略开放题要求而出错，比如本题写出个结论，缺至少个结论。
§.例7、在一个服装厂里有有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)。现找出其中的一种，测得，，今要从这种三角形布料中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好在的边上，且扇形的弧与的其他边相切，请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。
思路点拨：题目要求用画示意图的方式作答，解答的关键是确定扇形的圆心，可从圆心在的三个顶点上和圆心在的三边上的两个角度来考虑。
解：如图：
图 6
图 7
规律总结：本题是一道方案设计题，也是一道策略开放题，解答这类问题，注意审清设计方案的要求，找准突破口。
常见错误：（1）忽略扇形要求出错；（2）忘记标出扇形半径；（3）方案设计不全。
§.例8、（2019年温州市）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
图 甲
图 乙
解析：这是一道策略开放的方案设计题，考查图形的分割与组合能力，注意从原图形中的边角入手分割与组合。
解答：列举以下四种铺设的示意图供参考。
评讲：解答这类题其关键是抓住原图的边角特征进行合理分割与组合，同时注意与密铺知识联系起来。
§.例9、（2019年河南）观察下表，填表后再解答问题：
（1）完成下列表格
（2）试求第几个图形中“●”的个数和“★”的个数相等？
思路点拨：本题属于规律探究题.仔细观察图形，会发现：图中含“●”个，“★”个；图中含“●”个，“★”个；图中含“●”个，“★”个，由此我们可以大胆预测图中含“●”个，“★”个。
解：（1），；
（2）由（1）可知图中含“●”个，“★”个，根据题意得：
解得：（舍去），
故第个图形中“●”的个数和“★”的个数相等。
规律总结：解规律探究题要求考生用归纳法从具体、特殊事实中探究其存在的规律，把潜藏在表面现象中的一般规律挖掘出来，如果特殊事例不够，还可以自行再列出。
常见错误：（1）因找不准一般规律出现误解；（2）忽略的实际意义而出错，如第（2）题中第个图形。
§.例10、（2019年南平）在某次数学变换游戏中，我们把整数0，1，2，……，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以，所得的数称为“新数”。
（1）请把旧数和按上述规则变换成新数；
（2）经过上述规则变换后，我们发现许多旧数变小了，有人断言：“按照上述规则，所有的新数都不等于它的旧数.”你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；
（3）请求出按上述规则变换后减小了最多的旧数（写出解答过程）。
思路点拨：本题属于趣味性探索题，增强了中考试题的娱乐性、趣味性及新颖性。
解：（1），；
（2）不对。设这个数为个，则，解得：，
即不符合说法的旧数有和.
（3）设减小的量为，则
所以当时，有最大值，且最大值为，即变换后减小最多的旧数为.
规律总结：解答趣味探索题关键是理解其游戏规则。
常见错误：（1）找不准游戏规则的实质出错；（2）以特殊问题得一般结论出错。
§.例11、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，其顶点为，直线的函数关系式为，又.
（1）求、的值；
（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点（点与点、不重合），使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请你说明理由。
思路点拨：本题属于开放型探索题，主要考查一次函数与二次函数性质的综合应用。
解：（1）由直线与轴交于点，得（，）
∵
图 8
F
O
x
y
E
A B
C
D
∴
∴
∴点坐标为（，）
∵点在二次函数的图象上
∴，解得
∴
故顶点为（，）
又∵（，）在图象上
∴
故，
（2）①在二次函数的图象上存在点（点与点、不重合），使得是以为一条直角边的直角三角形
由（1）可知，直线与轴的交点（，）
∴
∴
又∵
∴，
∴若连结，是以为一条直角边的直角三角形，且点（，）在二次函数的图象上，则点就是所求的点.
②解法一：设，点在二次函数的图象上，则是以为一条直角边的直角三角形.
∵
设直线与轴交于点，则（，）
解方程组得或
∴点（，）为所求的.
综合①②，得二次函数的图象上存在点（，）或（，），使得是以为一条直角边的直角三角形.
解法二：在轴上取一点（，），则，由对称性可知：
∴
设直线与二次函数的图象交于点，由（1）知点坐标为（，）
所以直线的函数关系式为（以下解法一同）
规律总结：对于存在型探索题，其解题思路为：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算推理，再对得出的结果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。
常见错误：（1）审题不清，思维混乱导致出错；（2）对存在情况找不全而出错。
§.例12、（2019年南宁市）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为（，），（，），以为直径的半圆与轴交于点，以为一边作正方形．
（1）求，两点的坐标；
（2）连接，试判断直线是否与⊙相切？说明你的理由；
（3）在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
思路点拨：（1）根据坐标知识和勾股定理易求；（2）思路一：连结、、，在中，易求，再据切线的性质可知，再利用，故.思路二：利用勾股定理的逆定理证明；思路三：连结，易证明，因为是等腰三角形，又因为也是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质及等量公理可得：，从而得证；（3）思路一：因为的周长应由线段、、决定，而是一定的，要使的周长最小，只有是和最小，要满足此要求，只有利用“线段公理”找到点关于轴的对称点即可；思路二：本题也可利用一次函数知识，建立的直线方程，又因为轴上的点也在直线上，从而得出点的坐标。
解：（1）∵（，），（，），四边形是正方形
∴，⊙的半径为5
∴（，）
连接，
在中，
∴（，）
（2）方法一：直线是⊙的切线。
证明：连接、，如图
在中，
∴
又∵，
∴
∴，是⊙的切线。
Q
A
E
D
C
8
x
M
P
O
M/
图9-1
A
E
B
D
C
8
x
M
O
P
图9-2
M/
Q
y
y
－2
－2
方法二：直线是⊙的切线
证明：连接如图，在中，
在中
∴
∴
∴是直角三角形，即
∴直线是⊙相切.
方法三：直线是⊙的切线
证明：连接，，如图，在中，
∴，
∴
∴
∴
即
∴直线是⊙的切线．
（3）方法一：作关于轴的对称点，则（，），连接，与轴交于点，此时的和最小，因为为定值，所以的周长最小。
∵∽
∴，即，解得：，得，.
方法二：作关于轴的对称点，则（，），连接，与轴交于点，此时的和最小，因为为定值，所以的周长最小。
设直线的解析式为
把（，）和（，）分别代入得，解得：
∴，当时，，得，.
评讲：这是一道较复杂的几何综合题，熟练掌握切线的性质及切线长定理、勾股定理、线段公理、线段的中垂线性质及平面直角坐标系的相关知识是解决本题的关键。
＆.综合巩固练习：
一、课改区中考试题练习
1.（2019年呼和浩特市）在四边形中，顺次连接四边中点、、、，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形．这个条件是 ．
2.（年湖南衡阳）观察算式：
；
；
；
；
；……
用代数式表示这个规律(为正整数)：.
3.（2019年吉林省）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖数为___________．
图 10
4.（2019年广西贺州市）观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．
A2
A1
A3
A4
A6
A5
B
图 12
24
15
8
3
0
35
48
？
图 11
5．（2019年广西百色市）如图，是直角三角形，且，
垂足为，，垂足为，，垂足为，……，，垂足为，则线段（为自然数）的长为（ ）．
、 、 、 、
图 13
……
……
O
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
x
(5,1)
(4,1)
(3,1)
(2,1)
(3,2)
(4,2)
(4,3)
(5,4)
(5,3)
(5,2)
y
图 14
6．（2019年江苏泰州市）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律_______．
7.（2019年德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为____________．
8．（2019年河南省）如图，将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③， 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第个图形中，共有________个正六边形。
图①
图②
图③
图 15
……
9.（2019年资阳）设，，…， （为大于的自然数)．
（1）探究是否为的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出，，…，，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）．
10.（2019年山东省）如图，中，、分别是、上的点，与交于点．给出下列三个条件：①；②；③．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
O
图 16
E
D
B
A
C
M
D
B
A
C
图 17
（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明是等腰三角形。
11.（2019年随州市）如图，矩形中，是的中点。
（1）求证：；
（2）请你探索，当矩形中的一组邻边满足何种数量关系时，有成立，说明你的理由。
12.（2019年成都市）已知：如图，在中，是的中点，是线段延长线上一点，过点作的平行线与线段的延长线交于点，连结、．
（1）求证：；
F
E
D
B
A
C
图 18
P
Q
B
A
C
图 19
（2）若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论。
13．（2019年常德市）如图，是等边内的一点，连结、、，以为边作，且，连结．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．
14.（2019年宁波）已知关于的方程.
（1）当取何值时，方程有两个实数根；
（2）为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.
15.（2019云南省）已知：如图，抛物线经过（1，0）、（5，0）、（0，5）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点的直线与抛物线相交于点（4，），请求出的面积的值；
（3）在抛物线上求一点使得为等腰三角形并写出点的坐标；
（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点使得为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．
x
y
C
B
A
E
–1
1
O
图 20
图 21
16.（2019年绵阳市）如图，在正方形中，点是上一动点，连结，分别过点、作、，垂足分别为、，如图①．
（1）请探索、、这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点在的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点在的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。
17.（2019年荆门市）将两块全等的含角的三角尺如图22摆放在一起，设较短直角边为1．
图22
300
B D
A
C
300
图 23
A
B
C
D
D1O
B1O
C1O
图 24
AO
BO
DO
CO
图 25
AO
BO
DO
CO
（1）四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_______________．
（2）如图23，将沿射线方向平移到的位置，四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．
（3）在沿射线方向平移的过程中，当点的移动距离为______时，四边形为矩形，其理由是_____________________________________；当点的移动距离为______时，四边形为菱形，其理由是_______________________________．(图23、图24用于探究)
二、经典题练习
1.如图，在中，为上一个动点（点与、不重合），且交于点，交于点．
（1）试探究，当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
（2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由。
图 26
图 27
图 28
2.如图，是⊙的直径，是⊙的切线，切点是．点是上一个动点，连接．试探索点运动到什么位置时，是的平分线，请说明理由．
3.如图，是⊙的直径，、、都是⊙的切点，、、分别是切点。
（1）判定的形状，并说明理由．
（2）设，，⊙的半径为，试探究与，之间满足的关系式，并说明理由。序号
1
2
3
…
图形
…
●的个数
8
24
…
★的个数
1
4
…
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