初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：图形中的二次函数解析式与复杂图象变换

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题型一：二次函数的解析式
思路导航
例题精讲
如图，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，若,则抛物线的解析式为 .
当时，，∴与轴交于，
∵，∴点的坐标为，点的坐标为
把点和代入得
解得，∴抛物线的解析式为.
典题精练
根据给定条件求出下列二次函数解析式．
⑴ 抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负；
⑵ 抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M；
⑶ 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，
OB︰OC=1︰3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO=2，抛物线经过A，B，C.
⑴．
⑵ 抛物线与y轴交点为M．
抛物线与x轴的交点为和，
它们关于直线的对称点分别为和.
由题意，可得：
，即m=2或m=3.
⑶．
⑴ 抛物线的最低点A的纵坐标是3；则抛物线的解析式为 . (2013房山二模)
⑵如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．则抛物线的解析式为 .
⑶设抛物线，其中，与轴交于、两点（在的
左侧），若点的坐标为，且，求抛物线的解析式.
⑴ .
⑵由题意可知：点坐标，抛物线对称轴，
∵轴，∴点坐标，∴，则．
在中，，，
∴，
∴点坐标为， 代入抛物线解析式得，解得．
∴抛物线解析式为．
⑶ 当时，得，
∵,∴．
∴或．
抛物线与轴的交点分别为、，
∵在的左侧，．
∴，．
则，．
∵，
∴．
∴．
解得．
∵，
∴．
∴抛物线的解析式为．
题型二：二次函数的图象变换
思路导航

例题精讲
在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．
⑴求该二次函数的解析式；
⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．
⑴ 设二次函数解析式为，
∵二次函数图象过点，
∴，得．
∴二次函数解析式为，即．
⑵ 令，得，解方程，得，．
∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．
∴二次函数图象向右平移个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为．
典题精练
⑴ 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点
和，求、的值．
⑵ 把抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，所得抛物线为
，其图象经过点，求原解析式．
⑴ 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为
．于是，由题设得
解得
即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．
⑵ 首先，抛物线经过点，可求得，设原来的二次函数为
，
可得解得
所以原二次函数为，
即．
说明：将抛物线向右平移个单位，得到的抛物线是
；向左平移个单位得到；
向上平移个单位，得到；向下平移个单位得到．
⑴在同一坐标平面内，图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）
A．B． C．D．
⑵将抛物线绕它的顶点旋转，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
⑶已知抛物线的对称轴为，且与轴只有一个交点.
①求的值；
②把抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位，向下平移个单位，得到新的抛物线，求新抛物线的解析式.
⑴ D．⑵ D．
⑶ ①∵抛物线的对称轴为，
∴．
∵抛物线与轴只有一个交点 ，
∴ ．
∴．
②∵ ，，
∴．
∴．
沿轴翻折后得到，向右平移个单位，向下平移个单位得到抛物线的解析式为．
题型三：二次函数中的特殊三角形
例题精讲
已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，若是等边三角形，求的边长．
要注意等边三角形和抛物线具有轴对称这一特性．
点的坐标为，不妨设点在对称轴的右侧，
设抛物线的对称轴为与交于点
在中，设，
∴
把代入
（舍），
∴.
抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到．通过设点坐标代入解析式可得等边三角形的边长为．
典题精练
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的三个顶点、、，则的值为 ．
连接交于点，（图略）
首先由可得点，
又根据正方形的性质可得，
所以有，
∴点，
代入抛物线解析式可得：，
解得．
已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，点为直角坐标系内一点，若四边形是正方形，求正方形的面积．
要注意正方形和抛物线具有轴对称这一特性．
点的坐标为，不妨设点在对称轴的右侧，
设抛物线的对称轴交于点
在 中，设，则
∴
把代入得
解得（舍），
∴
∴正方形的面积为
其实抛物线定了，相对应的正方形就定了．任意抛物线都可以通过平移为．通过设点坐标代入解析式可得正方形的对角线为．
若如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；
⑴ 求抛物线n的解析式；
⑵ 设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重
合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF
的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值．
【解析】⑴ ∵抛物线的顶点为，
∴的解析式为=，
∴.
∵抛物线是由抛物线绕点旋转得到，
∴的坐标为，
∴抛物线的解析式为：，即.
⑵ ∵点与点关于点中心对称，∴.
设直线的解析式为，则
∴
∴.
又点坐标为，
∴S
==，
∴当时，S有最大值，
但,所以的面积S没有最大值．
精讲：抛物线的内接特殊三角形探究
【探究对象】抛物线的内接特殊三角形
【探究过程】
【探究1】以抛物线顶点为顶点的对称图形
变式1．已知抛物线的顶点为，点、是抛物线上的动点，若是
等边三角形，求的边长．
变式2．变式1中，如果把换成，若是等边三角形时，
则的边长会发生怎样的变化？
变式2．前面的问题的换成等腰直角三角形或正方形时，它们的边长又会发生怎样
的变化？
总结：(1) 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到
．通过设点坐标代入解析式可得等边三角形的边长为．
(2) 其实抛物线定了，相对应的正方形就定了．任意抛物线都可以通过平移为
．通过设点坐标代入解析式可得正方形的对角线为．
【探究2】抛物线与轴两个交点和顶点确定的三角形
变式1．已知，二次函数与轴的两个交点、都在原点右侧，顶点为。
当是等腰直角三角形时，求判别式．
变式2． 变式1中，如果把换成，是等腰直角三角形时，
判别式的值会发生变化吗？
变式3．前面的问题中当为等边三角形时，的判别式又是多
少？
变式4．前面的问题中当为顶角为120°的等腰三角形时，的判
别式又是多少？
总结：(1) 当与轴交于、两点，是顶点，当为等腰直
角三角形时，则．
(2) 当与轴交于、两点，是顶点，当为等边三
角形时，则．
(3) 当与轴交于、两点，是顶点，当为顶角为
120°的等腰三角形时，则．
【探究3】抛物线与坐标轴的三个交点确定的三角形
变式1．已知抛物线与轴正、负半轴分别交于、两点，与轴负
A
y
x
B
O
C
半轴交于点．若，，，求抛物线解析式．
分析：由双垂图联想到射影定理，结合条件易想到
，可求点坐标．再利用交点式求
解析式．
变式2．若上例中把条件，去掉，其它条件不变，则、之间满足什么关系？
变式3．请你设计一种平移方案，将平移，使其与坐标轴三个交点为直角三角形三个顶点．
分析：上下平移开口方向和对称轴不变，则、不变，只需求出平移后的解析式，再确定
平移了多少个单位．
总结：当抛物线与轴有交点、，和轴交于点，一般结论：是．
复习巩固
题型一 二次函数的解析式 巩固练习
抛物线与轴的交点为 ，且顶点在直线上，则抛物线的解析式为 .
，∴与轴的交点为和，∴，∴抛物线的解析式为且对称轴为，当时，，故抛物线的顶点为，把代入中得，
∴抛物线的解析式为.
如图，四边形是菱形，点的坐标是，以点为顶点的抛物线恰经过轴上的点、．
⑴ 求点的坐标；
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
⑴ 连接，在菱形ABCD中，，
，
由抛物线对称性可知．
∴ 都是等边三角形．
∴ ．
∴ 点的坐标为．
⑵ 由抛物线的顶点为，
可设抛物线的解析式为．
由⑴可得，把代入上式，
解得．
设平移后抛物线的解析式为，把代入上式得．
∴平移后抛物线的解析式为．

即．
题型二 二次函数的图象变换 巩固练习
已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ．
．
二次函数的图象所示，请将此图象向右平移个单位，再向下平移个单位．
⑴ 画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式．
⑵ 求经过两次平移后的图象与轴的交点坐标，指出当满足什么条件时，函数值大于？
⑴ 画图如图所示：
依题意得：
∴平移后图象的解析式为：
⑵ 当时，
，
∴平移后的图象与轴交于两点，坐标分别为和
由图可知，当或时，二次函数的函数值大于．
题型三 二次函数中的特殊三角形 巩固练习
已知抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为、（点在点的左边），
⑴若为等腰直角三角形，求的值．
⑵在⑴的条件下，若绕点旋转，两边交抛物线于、（不与点、重合），探索和的大小关系，并证明．
⑴ 点的坐标为，代入得．
⑵ 结论：．
作的角平分线交于，分别从点、点引的垂线段、．
在和中，
∴，
在和中，
，
∴
即，∴．
课后测
把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则________________．
【答案】11
⑴ 设抛物线，把它向右平移个单位，或向下移个单位，都能使抛物线与
直线恰好有一个交点，求、的值．
⑵ 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点
和，求、的值．
【解析】⑴ 抛物线向右平移个单位后，得到．由
得方程，
即．
因为抛物线与直线恰好有一个交点，所以上述方程有两个相同的实数根，故判别式
，
得，
这时的交点为．
抛物线向下平移个单位，得到抛物线，于是得方程
，
即，
该方程有两个相同的实数根，故判别式
，
得，这时的交点为．
⑵ 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为．于是，由题设得．
解得
即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．
第十七种品格：成就
当代保尔——张海迪
张海迪，1955年秋天在济南出生。5岁患脊髓病，胸以下全部瘫痪。从那时起，张海迪开始了她独到的人生。她无法上学，便在在家自学完中学课程。15岁时，海迪跟随父母，下放(山东)聊城农村，给孩子当起教书先生。她还自学针灸医术，为乡亲们无偿治疗。后来，张海迪自学多门外语，还当过无线电修理工。
在残酷的命运挑战面前，张海迪没有沮丧和沉沦，她以顽强的毅力和恒心与疾病做斗争，经受了严峻的考验，对人生充满了信心。她虽然没有机会走进校门，却发愤学习，学完了小学、中学全部课程，自学了大学英语、日语、德语和世界语，并攻读了大学和硕士研究生的课程。1983年张海迪开始从事文学创作，先后翻译了《海边诊所》等数十万字的英语小说，编著了《向天空敞开的窗口》、《生命的追问》、《轮椅上的梦》等书籍。
其中《轮椅上的梦》在日本和韩国出版，而《生命的追问》出版不到半年，已重印3次，获得了全国“五个一工程”图书奖。在《生命的追问》之前，这个奖项还从没颁发给散文作品。最近，一部长达30万字的长篇小说《绝顶》，即将问世。从1983年开始，张海迪创作和翻译的作品超过100万字。
为了对社会作出更大的贡献，她先后自学了十几种医学专著，同时向有经验的医生请教，学会了针灸等医术，为群众无偿治疗达1万多人次。
1983年，《中国青年报》发表《是颗流星，就要把光留给人间》，张海迪名噪中华，获得两个美誉，一个是“八十年代新雷锋”，一个是"“当代保尔”。
今天我学到了

二次函数的三种解析式
示例剖析
一般式
顶点式
或
交点式
其中是方程的两个实根．
平移
“左加右减，上加下减”．
对称
关于轴对称
的图象关于轴对称后得到图象的解析式是．
关于轴对称
的图象关于轴对称后得到图象的解析式是．
关于原点对称
的图象关于原点对称后得到图象的解析式是．
旋转
主要旋转和.