初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：用函数的观点看方程与不等式

这是一份初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：用函数的观点看方程与不等式，共14页。试卷主要包含了 抛物线与轴的交点， 抛物线与直线的交点等内容，欢迎下载使用。


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题型一：方程思想
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例题精讲
已知关于的二次函数．探究二次函数的图象与轴的交点的个数，并写出相应的的取值范围.
令时，得：
，以下分三种情况讨论：
①当时，方程有两个不相等的实数根，即
∴，此时，的图象与轴有两个交点
②当时，方程有两个相等的实数根，即
∴，此时，的图象与轴只有一个交点
③当时，方程没有实数根，即
∴，此时，的图象与轴没有交点
综上所述：
当时，的图象与x轴有两个交点；
当时，的图象与轴只有一个交点；
当时，的图象与轴没有交点．
典题精练
1. 抛物线与轴的交点.
⑴二次函数与轴的两个交点坐标为、，则一元二次方程的两根为 ．
⑵已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是 ．
2. 抛物线与直线的交点.
图中抛物线的解析式为，根据图象判断下列方程根的情况．
⑴ 方程的两根分别为 ．
⑵ 方程的两根分别为 ．
⑶ 方程的根的情况是 ．
⑷ 方程的根的情况是 ．
3. 抛物线与直线的交点
⑴直线与抛物线只有一个交点，则 ．
⑵当取何值时，抛物线与直线：① 有公共点；② 没有公共点．
1.⑴，；⑵．
2. 用图象求解
⑴ ，
⑵ ，直线与抛物线只有一个交点，
故有两个相等实根，．
⑶ 直线与抛物线有两个交点，故原方程有两个不相等的实根．
⑷ 直线与抛物线无交点，故原方程无实根．
3. ⑴ 或；
⑵ 联立方程组即，
若有公共点，，解得；当时，没有公共点．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点
的坐标为．
(1) 求点坐标；
(2) 直线经过点.
① 求直线和抛物线的解析式；
② 点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为．将抛物线在直线
上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 ．
【解析】(1) 证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根.
②当时，
所以，方程有实数根
综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根
(2) 令，则
解关于的一元二次方程，得 ，
∵ 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴
(3) 由(2)得抛物线的解析式为
配方得
∴抛物线的顶点
∴直线OD的解析式为
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移后的抛物线解析式为．
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴，
解得．
∴ 当 ≤h＜ 时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点．
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组，．
得，
∴， 解得．
此时抛物线与射线CD唯一的公共点为，符合题意
综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 或 ≤h＜．
已知关于m的一元二次方程=0.
(1) 判定方程根的情况；
(2) 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，
求m的值．
【解析】(1)
∵
∴
所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.
(2) 设．
∵ 的两根都在和之间，
∴ 当时，，即： ．
当时，，即：．
∴ ．
∵ 为整数，∴ ．
= 1 \* GB3 ① 当时，方程，
此时方程的根为无理数，不合题意．
= 2 \* GB3 ②当时，方程，，不符合题意．
= 3 \* GB3 ③当时，方程，符合题意．
综合 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③可知，．
题型二：函数思想
思路导航
例题精讲
【引例】1. 如图，函数的图象如图所示：
⑴ 当 时， ；
⑵ 当 时， ；
⑶ 当 时， ．
2. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于、两点．
⑴ 二次函数的解析式为 ．
⑵ 当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大．
⑶ 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
⑷ 当自变量 时，两函数的函数值的积小于．
1. ⑴ 或；
⑵ 或；
⑶ ．
2. ⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ．
典题精练
⑴下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是或．④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根．正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
⑵若、（）是关于的方程的两根，且，则、、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
⑶方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实根所在的范围是（ ）
A． B． C．D．

⑴ C．⑵ A．⑶ B．
第⑵题提示：
1．特殊值法．2．运用法则比大小．3．二次函数图象法．
方法一：与轴的交点为，，把的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，此图象与轴的交点为，，由图象可得
方法二：分析函数 可知，当时，，当时，，与轴有两个交点，则图象可得
点评：本题是运用函数思想讨论方程问题，既直观又简捷．起到了简化解题过程和加快解题速度的作用．用函数图象来解决方程问题起到了以形助数的作用．在讨论一元二次方程的解的个数、解的分布情况等问题时借助函数图象可获得直观简捷的解答．
已知：关于的方程①有两个实数根是、（），若关于的另一个方程②的两个实数根都在和之间．试比较：代数式、、之间的大小关系．
方程①、②分别对应的函数为和，显然这两个函数的图象的对称轴都为，即其中一个图象可以通过上下平移得到另一个图象，示意图如图所示：
∴，即．再因为方程②有根，则
∴，∴
∴，
∴．
【例6】 在平面直角坐标系中，抛物线与
轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求点，的坐标；
（2）设直线与直线关于该抛物线的对称轴对称，求直线
的解析式；
（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且
在这一段位于直线的下方，求该抛物线的解析式．
【解析】（1）当时，.
∴
抛物线对称轴为
∴
（2）易得点关于对称轴的对称点为
则直线经过、.
没直线的解析式为
则，解得
∴直线的解析式为
（3）∵抛物线对称轴为
抛物体在这一段与在这一段关于对称轴对称
结合图象可以观察到抛物线在这一段位于直线的上方
在这一段位于直线的下方；
∴抛物线与直线的交点横坐标为；
当时，
则抛物线过点（-1，4）
当时，，
∴抛物线解析为.
【例题精讲】针对例2例题精讲
【探究对象】二次函数中的“数形结合”.
【探究方式】通过抓住直线同三角形、四边形相交→直线同抛物线相交→直线同圆相交等情形的深入变化，来促使题目难度和层次差异化，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现函数中的数形结合题型的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.
【探究1】若点是四边形边上的点，且P点坐标满足，试
求z的最小值.
分析：很显然与函数平行，画出函数的图象，若直线
平行移动时，可以发现当直线经过点时符合题意，此时最小的值等于

【探究2】设二次函数 QUOTE 的图象与 轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值.
分析：设点C坐标为(0，3)，注意数形结合，观察图象可知符合题意
的直线共有三条：
分别是经过点A、C的直线l1：；
经过点B、C的直线l2：；
经过C点与抛物线相切的直线l3：.
【探究3】设抛物线 QUOTE 与y轴的交点为A，过点A作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答：当直线与新图象只有一个公共点P(x0，y0)且时，求b的取值范围.
分析：点A的坐标为(0，)；数形结合可知，如图所示B点
为纵坐标最大时的点，最大值为7；
则B点坐标为(6，7)；
直线l1：经过B点时，可得；
直线l2：经过A点时，可得；
直线l3：与抛物线相切时，得；
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为
或
【探究4】二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧)，将二次函数的图象在点间的部分(含点和点)向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线 QUOTE 向上平移个单位. 请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，的取值范围.
分析：向左平移后得到的图象G的解析式为，；
此时平移后的解析式为；
由图象可知，平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界的交点为B’与C’；
直线l1：经过B’点时，可得；
直线l2：经过C’点时，可得；
结合图象可知，符合题意的n的取值范围为.
(本题需注意的是要排除平移后的直线与图象G相切的情况，可以联立方程组后，利用判别式等于0，解得n=0，与题意矛盾，故舍去)
【探究5】二次函数 QUOTE 与x轴有两个交点O、A，连接这两点间的线段，并以线段OA为直径在x轴上方作半圆P，设直线l的解析式为 QUOTE ，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围.
分析：如图所示：
①当直线l1经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0；
②当直线l2与半圆P相切于B点时有一个交点，如图由题意可得Rt△BPC与Rt△COD都是等腰直角三角形，可得CP=，∴OD=OC=；
直线l1： QUOTE 经过O点时，可得b=0；
直线l2： QUOTE 与圆相切时，可得；
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为
【总结】解答二次函数中的数形结合的题目大概步骤：
(1)要对一次函数、二次函数解析式的各项参数所代表的几何意义非常熟悉，根据给出的含参解析式尽最大可能确定出函数图像的大概位置，例如，知道了一次函数的k，就应该能够确定出直线的倾斜程度；
(2)在平面直角坐标系中尽可能地精确地画出函数图像；
(3)明确导致函数图像不确定的关键因素；分析随着关键因素的变化，函数图象的变化趋势，例如：给定一条直线解析式为： QUOTE ，则影响该图像的关键因素就是常数项c，二次函数的图像随着c的变化在上下平移.
(4)根据函数图像的变化趋势，结合图形，分析满足题目要求的临界图形；
(5)根据临界图形的函数解析式求出参数的取值范围。
临界情形中经常出现直线与图形相切的情形，相切时解析式的求法：
①求过一点与圆相切的直线解析式，需连接圆心和切点，利用相似、三角函数等几何知识求解；
②求过一点与抛物线相切的直线解析式，需将两个函数解析式联立方程中，利用消元后产生的一元二次方程的判别式等于0来求解；
③过一点(x0，y0)且与抛物线 QUOTE 相切的直线的斜率k=2ax0+b，(涉及到高中求导的知识，不用细讲，可以直接提供公式给学生)
复习巩固
题型一 方程思想 巩固练习
二次函数的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：
⑴写出为何值时，的值大于；
⑵写出为何值时，随的增大而增大；
⑶若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
⑴ 当时，的值大于；
⑵ 当时，随的增大而增大；
⑶ 由图可知，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为．
由抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点为．
∴可列方程组为解得
∴解析式为
∵， ∴．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴．
即．
解得．
如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
⑴ 求出图象与轴的交点，的坐标；
⑵ 在二次函数的图象上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶ 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围．
⑴ 因为是二次函数的顶点坐标，
所以
令，解之得．
∴，两点的坐标分别为，
⑵ 在二次函数的图象上存在点，使
设，则，又，
∴，即
∵二次函数的最小值为，∴．
当时，或．
故点坐标为或.
⑶ 如图，当直线经过点时，可得
当直线经过点时，可得
由图可知符合题意的的取值范围为．
题型二 函数思想 巩固练习
⑴不论为何值时，永远是正值的条件是（ ）
A．，B．，C．，D．，
⑵若抛物线位于轴上方，则的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
⑶二次函数对于的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
⑴ A；⑵ B；⑶ D．
已知关于的一元二次方程，如果，，那么方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．必有一个根为
A．
方程的正根的个数为（ ）.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
B.
抛物线与轴的交点
抛物线与轴必有一个交点.
抛物线与轴的交点
当时，抛物线与轴有两个不同的交点.
当时，抛物线与轴有一个交点.
当时，抛物线与轴没有交点.
直线（或直线或直线）与抛物线的交点问题，可运用方程思想联立方程（或或）求出方程组的解，从而得到交点坐标. 比如抛物线与轴的交点联立方程组为，其中的是一元二次方程的两根，则抛物线与轴交于两点.
抛物线的重要结论
当时，图象落在轴的上方，
无论为任何实数，都有.
当时，图象落在轴的下方，
无论为任何实数，都有．
当，时，则；当时，则.
当，时，则；当时，则.
当， 或时，则；当或时，则；当时，则.
当，或时，则；当或时，则；当时，则.