初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习图形中的动点问题培优

我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.

【例1】         ⑴ 如图，是的直径，为圆上一点．点从点出发，沿运动到点，然后从点沿运动到点．假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是（    ）

A．              B．               C．            D．

⑵ 如图，点、、、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动．设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是（    ）

A．               B．             C．                D．

⑶ 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（    ）

⑷ 如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与的函数关系的图象大致是（    ）             

            A                  B                    C                   D

【解析】       ⑴ B．⑵ C．⑶ A．⑷ B．

【例2】         如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．

（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．

（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

【解析】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．

（1）BP=2t，则AP=10-2t．

∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，

∴当t=s时，PQ∥BC．

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．

∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6-t．

S=×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，

∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．

由（2）可知，S△AQP=-t2+6t，

∴-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，

∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．

如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，

∴，即，

解得：PD=6-t，AD=8-t，

∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t．

在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，

即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，

化简得：13t2﹣90t+125=0，

解得：t1=5，t2=，

∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．

由（2）可知，S△AQP=-t2+6t

∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-t2+6t）=2×[-×()2+6×]=cm2．

所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．

【例3】         已知：在如图1所示的平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，（其中），点在轴的正半轴上．动点从点出发，在四边形的边上依次沿的顺序向点移动，当点与点重合时停止运动．设点移动的路径的长为，的面积为，与的函数关系的图象如图2所示，其中四边形是等腰梯形．

        ⑴ 结合以上信息及图2填空：图2中的；

        ⑵ 求、两点的坐标及图2中的长；

⑶ 若是的角平分线,且点与点分别是线段与射线上的两个动

点，直接写出的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由.

【解析】      ⑴

⑵ ∵四边形是等腰梯形

∴可知四边形是平行四边形

由已知可得：,连接交轴于点

又∵，

∴

∴

∴,

∴ ,且四边形是菱形

∴

(3) 如图3，在上找一点使,

               连接    

∵平分

∴

∵

∴

∴

∴

根据垂线最短可知，是点到的垂线段时，点是与的交点

∴的最小值

1. 因动点产生的等腰三角形问题

【例4】         如图，四边形为矩形，，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点作交于点，连接．已知动点运动了秒．

⑴ 请直接写出的长；（用含的代数式表示）

⑵ 试求的面积与时间秒的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；

⑶ 在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形．若能，求出所有的对应值；若不能，请说明理由．

【解析】       ⑴ ；

⑵

其中，

∴当时，取得最大值．

⑶ 由⑴可知：．

①若，则，解得，

②若，则过点作于，

易得是矩形，，

又，则，

∴，解得（舍去）

∴，

另解：过点作.

∴，∴

又，∴，解得.

③若，则过点作于，

易得是矩形，，且，

∴，解得．

综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的的值可以为．

2. 因动点产生的直角三角形问题

【例5】         如图，已知是线段上的两点，，．以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合成一点，构成，设．

⑴求的取值范围；

⑵若为直角三角形，求的值；

⑶探究：的最大面积是多少？

【解析】       ⑴ 在中，∵，，．

∴，解得．

⑵ ①若为斜边，则，即，无解．

②若为斜边，则，解得，满足．

③若为斜边，则，解得，满足．

∴或．

⑶ 在中，作于，

设，的面积为，则．

①若点在线段上，

则．

∴，即．

∴，即．

∴（）

当时（满足），取最大值，从而取最大值．

②若点在线段上，

则．

同理可得，

（），

易知此时．

综合①②得，的最大面积为．

3. 因动点产生的特殊四边形问题

【例6】         如图，在矩形中，，，，，分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，CM=3xcm，．

⑴当为何值时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形；

⑵当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形；

⑶以，，，为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求的值；如果不能，请说明理由．

【解析】       ⑴当点与点重合或点与点重合时，

以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点与点重合时，

由得，（舍去）

因为，

此时点与点不重合．

所以符合题意．

②当点与点重合时，

由得

此时，不符合题意．

故点与点不能重合．

所以所求的值为．

⑵ 由⑴知，点只能在点的左侧，

①当点在点的左侧时，

由，

解得．

当时，四边形是平行四边形． 

②当点在点的右侧时，

由， 

解得．

当时四边形是平行四边形．

所以当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．

⑶ 过点，分别作的垂线，垂足分别为点，．

由于，

所以点一定在点的左侧．

若以，，，为顶点的四边形是等腰梯形， 

则点一定在点的右侧，且，  

即．

解得．

由于当时， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，

所以以，，，为顶点的四边形不能为等腰梯形． 

【例7】         如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结．

⑴求证：是等边三角形；

⑵点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．

①若，直接写出的度数；

②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；

⑶ 在⑵的条件下，若点从点出发在的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．与交于点，设的面积为，的面积为，，运动时间为秒时，求关于的函数关系式．

【解析】       ⑴证明：如图，

∵一次函数的图象与轴交于点，．

∵，∴．

又轴，∴．

在中，．

∴．∴是等边三角形．

⑵①答：

②解：如图，

作于点，

∵轴垂直平分，是等边三角形，

∴，．

∴．

∵垂直平分，∴．

∴，∴垂直平分，

在中，，

∵．

∴．

⑶作轴于点，

在中，，．

在中，

．

∴

又

．

，

．

∴．

题型一  点运动产生函数  巩固练习

【练习1】   如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，边长为2的正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形与△AOB重叠部分的面积为．则表示与的函数关系的图象大致是（   ）   （石景山期末）

【解析】       D.

【练习2】   如图，在半径为1的中，直径把分成上、下两个半圆，点是上半圆上一个动点（与点、不重合），过点作弦，垂足为，的平分线交于点，设，下列图象中，最能刻画与的函数关系的图象是（ ）                                          

A．                 B．                 C．                  D．

【解析】       A.

题型二  点运动与面积变化  巩固练习

【练习3】   已知：如图，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：

⑴当为何值时，？

⑵设的面积为（），求与之间的函数关系式；

⑶是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由.

【解析】       ⑴在中，，

由题意知：，，

若，则，∴，∴，∴．

⑵过点作于．

∵，

∴，∴，∴，

∴．

⑶若把周长平分，

则．

∴，解得：．

若把面积平分，

则，  即．

∵代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻，使线段把的周长和面积同时平分．

题型三  点运动产生特殊图形  巩固练习

【练习4】   如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：

⑴过作，交于．当为何值时，四边形是平行四边形？

⑵设=（cm2），求与之间的函数关系式，并求为何值时，有最大值，最大值是多少；

⑶连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．

【解析】       ⑴∵四边形是平行四边形．

∴，∴．

而，∴，∴．

∴当，四边形是平行四边形．

⑵∵平行且等于，∴．

∵，∴．∴．

∴即．∴．

∵，∴．∴==

∴当时，有最大值．

⑶在和中，

∴．

∴在运动过程中，五边形的面积不变．

【练习5】   已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．

⑴求直线的解析式；

⑵动点在线段上移动，为何值时，四边形的面积是梯形面积的？

⑶动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

⑷当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由．

【解析】       ⑴ 直线的解析式为．

⑵ 如图1，过点作轴，垂足为．

在中，，，．

所以．

梯形的面积．

解方程，解得．

因此，当时，四边形的面积是梯形的面积的．

⑶ 如图1，① 当在线段上时，，；

② 如图2，当在线段上时，，；

③ 如图3，当在线段上时，，．

⑷ 四边形不可能成为矩形．说理如下：

如图4，当时，作交轴于．

在中，，．

在中，，．

所以，因此四边形不是矩形．