初中数学中考复习 2020中考数学几何综合探究专题练习（含答案）

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这是一份初中数学中考复习 2020中考数学几何综合探究专题练习（含答案），共12页。
2020中考数学几何综合探究专题练习例题1. 如图，在等腰梯形中，，，点从点出发沿折线段以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，点从点出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，过点向上作射线，交折线段于点，点、同时开始运动，当点与点重合时停止运动，点也随之停止，设点、运动的时间是秒（1）当点到达终点时，求的值，并指出此时的长；（2）当点运动到上时，为何值能使?（3）设射线扫过梯形的面积为，分别求出点运动到上时，与的函数关系式；（不必写出的取值范围）【答案】⑴时，点到达终点，此时，，所以的长为．⑵如图1，若，又，则四边形为平行四边形，从而,由得，解得，经检验：当时，有．⑶①当点在上运动时，如图2，分别过点、作于点，于点，则四边形为矩形，且，从而，于是，∴．又，从而（注：用相似三角形求解亦可）∴．②当点在上运动时，如图1，过点作于点，由①知，又，从而∴．例题2. 如图，、分别是边长为的正方形的边上的点，，直线交的延长线于，过线段上的一个动点作，，垂足分别为，设，矩形的面积为（1）求与之间的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？【答案】（1）∵正方形的边长为，，∴又，又∴，∴∴（2）∵∴当时，矩形面积最大，最大面积为例题3. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向终点运动，过点作交于点，连结、，设运动时间为秒．（1）求的度数；（2）当为何值时，；（3）设四边形的面积为，①求关于的函数关系式；②若一抛物线经过动点，当时，求的取值范围．【答案】（1）过点作轴于点∵，∴，∴，∵，∴．（2）∵，∴，在直角三角形中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）①解法一：过点作轴于点，则，，∴，∴轴，．解法二：∵，∴，∴，②当时，，∴，因为，所以，所以．例题4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从点同时出发，以每秒个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连结，当两动点运动了秒时．（1）点的坐标为（，）（用含的代数式表示）．（2）记的面积为，求与的函数关系式．（3）当秒时，有最大值，最大值是．（4）若点在轴上，当有最大值且为等腰三角形时，求直线的解析式．【答案】（1）（2）在中，，边上的高为∴，即（3）（4）由⑶知，当有最大值时，，此时在的中点处，如图1．设，则，．∵为等腰三角形，①若，则，此时方程无解．②若，即，解得．③若，即，解得．∴，，．当为时，设直线的解析式为，将代入，得，解得．∴直线的解析式为．当为时，，均在轴上，∴直线的解析式为（或直线为轴）．当为时，在同一直线上，不存在，舍去．故直线的解析式为，或．例题5. 中，，，．长为的线段在的边上沿方向以的速度向点运动（运动前点与点重合）．过分别作的垂线交直角边于，两点，线段运动的时间为．（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；（3）为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？【解析】⑴当点在上时，∵，∴．∴．当点在上时，．．⑵∵，∴．∴．∴．由条件知，若四边形为矩形，需，即，∴．∴当时，四边形为矩形．⑶由⑵知，当时，四边形为矩形，此时，∴．除此之外，当时，，此时．∵，∴．∴．∵，∴．又∵，∴．∵，．∴当或时，以为顶点的三角形与相似．【答案】（1）（2）当时，四边形为矩形（3）当或时，以为顶点的三角形与相似例题6. 如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．⑴ 若厘米，秒，则______厘米；⑵ 若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】⑴ ，⑵ ，使，相似比为⑶ ∵，，∴即，∵，∵当梯形与梯形的面积相等，即化简得，∵，∴，则，∴，⑷ ∵时，梯形与梯形的面积相等∴梯形的面积与梯形的面积相等即可，则∴，把代入，解之得，所以．所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．例题7. 如图，在矩形中，，，，，分别从、、、出发沿方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，，，．⑴ 当为何值时，以为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形⑵ 当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形；⑶ 以、、、为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．【解析】⑴ 当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形．当点与点重合时，由，得（舍去）∵，∴此时点与点不重合，∴符合题意．当点与点重合时，由，得，此时不符合题意，故点与点不能重合，∴．⑵ 由⑴知，点只能在点的左侧，当点在点的左侧时，由得，舍去，当时，四边形是平行四边形；当点在点的右侧时，由得，舍去，当时，四边形是平行四边形．∴当或者时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形⑶ 过点分别作的垂线，垂足分别为点．由于，∴点一定在点的左侧，若以、、、为顶点的四边形是等腰梯形，则点一定在点的右侧，且，即，∴，可知当时不成立．由于当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴以、、、为顶点的四边形不能是等腰梯形．【答案】见解析例题8. 正方形的边长为，是射线上的动点（不与点重合），直线交直线于点，的平分线交射线于点．⑴ 如图，当时，求线段的长；⑵ 当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式；⑶ 当时，求线段的长．【解析】⑴ 在边长为2的正方形中，，得，又∵，即，∴，得 ∵，∴． ⑵ 当点在线段上时，过点作，垂足为点∵为的角平分线，，∴ 在正方形中，，∴∵，∴又∵，，得．在中，，，，∴∵∴，∵，即，得．⑶ 当时①当点在线段上时，即，由⑵得②当点在线段延长线上时，，在中，，设交线段于点，∵是的平分线，即又∵，∴．∴∴．∴∵∴，即，得．【答案】见解析例题9. 如图，在梯形中，，，，．点分别在边上运动，并保持，，，垂足分别为．（1）求梯形的面积；（2）求四边形面积的最大值．（3）试判断四边形能否为正方形.若能，求出正方形的面积；若不能，请说明理由．【解析】（1）分别过两点作于点，于点．∵， ∴．∴ 四边形为矩形，．∵，∴．∴．∵ 在中，，∴． ∴．（2）∵，，，∴，． ∴四边形为矩形．∵，，∴．∵，，∴．∴．设，则．易证．∴，则．∴．当时，，∴四边形面积的最大值为．（3）四边形可以为正方形．由（2）可知，设，则，．若四边形为正方形，则．即，解得．∴．∴ 四边形能为正方形，其面积为．【答案】见解析例题10. 如图，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在上，且分别是的中点．⑴ 求等腰梯形的面积；⑵ 操作：固定，将等腰梯形以每秒个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图）．探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．【解析】⑴ 如图6，过点作于．∵，为中点∴．又∵分别为的中点∴∴∴等腰梯形的面积为6.⑵ 四边形能为菱形.如图7，由，∴四边形是平行四边形当时，四边形为菱形，此时可求得∴秒时，四边形为菱形.⑶ 分两种情况：①当时，∵，∴∴重叠部分的面积为∴当时，与的函数关系式为②当时，设与交于点，则∴作于，则∴重叠部分的面积为：【答案】见解析例题11. 如图1，四边形是正方形，点是上任意一点，于点，于点. ⑴ 求证：．⑵ 当点为边中点时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ⑶ 若点为延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时、、之间的数量关系（不需要证明）．【解析】⑴ ∵四边形是正方形，，∴，∴，∴，∴，∴⑵ ，理由如下：∵，，∴∴∴，由⑴知，，∴ ⑶ 如图【答案】见解析例题12. 如图，在梯形中，，，且，，．⑴ 求证：；⑵ 是梯形内一点，是梯形外一点，且，，当，时，求的值．【解析】⑴ 过作的垂线交于，则为矩形.∴.∵，∴，∴. ⑵ ∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．设，则，∴．∵，，∴，∴，∴．【答案】见解析例题13. 已知：如图，在梯形中，，，点分别在上，且.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，求证：四边形是矩形. 【解析】（1）∵在梯形中，，∴．∵，∴． ∴，∴，即． ∵，∴四边形是平行四边形．（2）过点作，垂足为． ∵，∴． ∵，∴． ∵，∴． ∴． ∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形．【答案】见解析