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2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷（3月4月）含解析
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
满分150分.考试时间120分钟.
一、选一选（本大题12个小题，每小题3分，共36分）
1. a的相反数是( )
A. |a| B. C. -a D.
2. 红山水库是中国自治区乃至整个东北地区的一座水库，位于的西辽河支流---被"契丹·辽文化母亲河"之一的老哈河中游.设计库容:25.6亿立方米，现有库容：16.02亿立方米.将16.02亿立方米用科学记数法表示应为( )
A. 1.602×109立方米 B. 16.02×108 立方米
C. 0.1602×1010 立方米 D. 1.602×108立方米
3. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湿地隔开，若测得BM的长为12 km，则M，C两点间的距离为（ ）
A. 5 km B. 6 km C. 9 km D. 12 km
4. 下列各式计算正确的是( )
A. 10a6÷5a2=2a4 B. C. (2a2)3=6a6 D. (a-2)2=a2-4
5. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
6. 一个几何体三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体
7. 下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2
8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
9. 如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=( )
A B. C. D.
10. 如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（请把答案填在答题卡上，每小题3分，共12分）
13. 下图是一个可以绕O点转动的转盘，⊙O的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数y=x的图象，则指针指向阴影部分的概率__________.
14. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______．
15. 已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．
16. 如图,△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…， ，在直线上．已知，则OA2018的长为_________．
三、解 答 题(17、18题6分，19、20、21、22题各10分，23、24、25题各12分，26题14分）
17. 计算：
18. 解没有等式组 并把解集在数轴上表示出来.
19. 如图，已知锐角△ABC
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，没有要求写作法）；
（2）在（1）条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
20. 某校初三学生组织甲、乙两个旅行团去某景点旅游，已知甲团人数少于50人，乙团人数没有超过100人．下面是小明与其他两位同学交流的情况．根据他们的对话，组织者算了一下，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
21. 某地区在九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解 答 题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次从全区抽取了 份学生试卷；扇形统计图中a= ，b= ；
（2）补全条形统计图；
（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解 答 题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？
22. 如图，钟鼓楼AN上悬挂一条幅AB，谢高在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向钟鼓楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时谢高距钟鼓楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果到1米）
23. 如图，反比例函数的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
（1）求k值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.
24. 如图，为⊙O的直径， D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长.
25. 某数学兴趣小组利用大小没有等、颜色各异的正方形硬纸片开展了，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：四边形ABCD是边长为1正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，小明看到图（1）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然没有全等，考虑到点E是BC的中点，引条辅助线尝试就行了，随即小明写出了如下的证明过程：证明：取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可.
探究2：小明继续探索，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，如图（2）其它条件没有变，结论AE=EF是否成立呢？ （填是或否）
小明还想试试，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的任意一点”，如图（3）其它条件没有变，那么结论AE=EF是否还成立呢？ （填是或否），请你选择其中一种完成证明过程给小强看．
探究3：在探究2结论AE=EF成立的情况下，如图（4）所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到BC上某处时（没有含B、C），点F恰好落在直线y＝-2x＋3上，求此时点F的坐标．
26. 如图：有一块余料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．
（1）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设长方形宽xmm，面积为ymm2，那么宽为多少时，其面积．面积是多少？
(2）若以BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，B（-60，0），AD=BD．
求过A、B、C三点的抛物线解析式；
在此抛物线对称轴上是否存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形．若存在，请直接写出R点的坐标；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（本大题12个小题，每小题3分，共36分）
1. a的相反数是( )
A. |a| B. C. -a D.
【正确答案】C
【详解】只有符号没有同的两个数是互为相反数，所以求一个数的相反数，只要改变它的符号即可，则a的相反数是-a，故选C.
2. 红山水库是中国自治区乃至整个东北地区的一座水库，位于的西辽河支流---被"契丹·辽文化母亲河"之一的老哈河中游.设计库容:25.6亿立方米，现有库容：16.02亿立方米.将16.02亿立方米用科学记数法表示应为( )
A. 1.602×109立方米 B. 16.02×108 立方米
C. 0.1602×1010 立方米 D. 1.602×108立方米
【正确答案】A
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值≥1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：将16.02亿立方米用科学记数法表示为1.602×109立方米．
故选A．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湿地隔开，若测得BM的长为12 km，则M，C两点间的距离为（ ）
A. 5 km B. 6 km C. 9 km D. 12 km
【正确答案】D
【详解】分析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解决问题．
详解：在Rt△ACB中．
∵∠ACB=90°，AM=BM，∴CM=AB=BM．
∵BM=12km，∴CM=12km．
故选D．
点睛：本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的应用，属于中考常考题型．
4. 下列各式计算正确的是( )
A. 10a6÷5a2=2a4 B. C. (2a2)3=6a6 D. (a-2)2=a2-4
【正确答案】A
【详解】分析：分别利用整式的除法运算法则、二次根式加减运算法则、积的乘方、完全平方公式等知识计算即可得出结论．
详解：A．10a6÷5a2=2a4，故此选项正确；
B．3和2没有是同类二次根式，无法进行加减运算，故此选项错误；
C．（2a2）3=8a6，故此选项错误；
D．（a﹣2）2=a2﹣4a+4，故此选项错误．
故选A．
点睛：本题主要考查了积的乘方以及完全平方公式和整式的除法运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
【正确答案】C
【详解】解：这组数据中4出现的次数至多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：=3.8．
故选：C．
6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体
【正确答案】B
【分析】根据三视图的知识，正视图为两个矩形，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故这个几何体为直三棱柱．
【详解】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．
故选B．
7. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2
【正确答案】D
【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可.
【详解】A. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项没有正确，没有符合题意；；
B. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项没有正确，没有符合题意；；
C. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项没有正确，没有符合题意；；
D. y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；；
故选D
本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．
8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A 4 B. 3 C. 2 D.
【正确答案】B
【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2，
∴EF=AE=2，
过A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3，
故选B.
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
9. 如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：首先根据∠B=90°，BC=2AB，可得AC=，然后根据余弦的求法，求出cosA的值是多少即可．
详解：∵∠B=90°，BC=2AB，∴AC==，∴cosA=．
故选C．
点睛：（1）此题主要考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（2）此题还考查了直角三角形性质，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
10. 如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【正确答案】D
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB=×6×3=9．
故选D．
本题考查扇形面积的计算．
11. 如图，点在正方形对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
在中，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴四边形是正方形．
在和中，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积．
∵正方形的边长为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴四边形的面积为．
故选D．
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．
12. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．
【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1，
即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=．
故答案选C ．
二、填 空 题（请把答案填在答题卡上，每小题3分，共12分）
13. 下图是一个可以绕O点转动的转盘，⊙O的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数y=x的图象，则指针指向阴影部分的概率__________.
【正确答案】
【详解】分析：根据抛物线和圆的性质可以知道，图中阴影部分的面积就等于圆心角为150°，半径为2的扇形的面积，概率=阴影部分的面积：圆的面积．
详解：抛物线y=x2与抛物线y=﹣x2的图形关于x轴对称，直线y=x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以则指针指向阴影部分的概率=．
故答案为．
点睛：本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为150°，半径为2的扇形的面积，用概率=阴影部分的面积：圆的面积．
14. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______．
【正确答案】
【详解】解：连接BC与AO交于点D，
∵四边形OBAC为菱形
∴AO⊥BC，
∵∠OBA=120°
∴∠AOB=30°，
∵B的坐标为(1，)，
∴OA=2OD=2，BC=2BD=2，
∴菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.
故
考点：二次函数的性质
15. 已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．
【正确答案】14
【分析】将x=2代入方程找出关于m的一元方程，解一元方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，
解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2+2=4＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．
故14．
本题考查了根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
16. 如图,△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…， ，在直线上．已知，则OA2018的长为_________．
【正确答案】
【详解】分析：根据函数的性质可得∠B1OA1=45°，然后求出△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半求出OA3，同理求出OA4，然后根据变化规律写出即可．
详解：∵直线为y=x，∴∠B1OA1=45°．
∵△A2B2A3，∴B2A2⊥x轴，∠B2A3A2=45°，∴△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，∴OA3=2A2B2=2OA2=2×2=4，同理可求OA4=2OA3=2×4=23，…，所以，OA2018=22017．
故答案为22017．
点睛：本题考查了函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟记性质并确定出等腰直角三角形是解题的关键．
三、解 答 题(17、18题6分，19、20、21、22题各10分，23、24、25题各12分，26题14分）
17. 计算：
【正确答案】-1
【详解】分析：原式利用负整数指数幂、角的三角函数值、零指数指数幂法则以及值的代数意义计算即可求出值．
详解：原式=﹣×+1+
=2﹣3
=﹣1．
点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 解没有等式组 并把解集在数轴上表示出来.
【正确答案】见解析
【详解】分析：首先把两条没有等式的解集分别解出来，再根据取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把没有等式的解集表示出来．
详解：解没有等式x+5≥0，可得：x≥﹣5；
解没有等式3﹣x＞1，可得：x＜2，
所以没有等式组的解集为﹣5≤x＜2．
数轴表示如图：
点睛：本题考查了没有等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
19. 如图，已知锐角△ABC
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，没有要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）CD=2.
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；
（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC-BD求CD的长．
【详解】（1） 如图所示，MN为所作；
（2） 在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴， ∴BD=3，
∴DC=BC﹣BD=5﹣3=2.
20. 某校初三学生组织甲、乙两个旅行团去某景点旅游，已知甲团人数少于50人，乙团人数没有超过100人．下面是小明与其他两位同学交流的情况．根据他们的对话，组织者算了一下，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
【正确答案】(1)见解析;(2)见解析.
【详解】分析：（1）根据题意可知：甲团人数少于50人，乙团人数没有超过100人，100×13=1300＜1392，所以乙团的人数没有少于50人，没有超过100人．
（2）利用本题中的相等关系是“两团共计应付门票费1392元”和“总计应付门票费1080元”，列方程组求解即可．
详解：（1）假设乙团的人数为50人，因为甲旅行团人数少于50人，所以可得甲乙分别购票所需的钱数小于1300．
又∵分别购票，两旅行团共计应付门票费1392元，∴可得出乙团的人数大于50人；
（2）设甲团人数为x，乙团人数为y，由题意得：
①当甲乙两团总人数在51～100人时，
，
解得：x=156（没有合题意舍去），
②当甲乙两团总人数在100人以上时，
，
解得：．
答：甲旅行团有36人，乙旅行团有84人．
点睛：本题主要考查了二元方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
21. 某地区在九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解 答 题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次从全区抽取了 份学生试卷；扇形统计图中a= ，b= ；
（2）补全条形统计图；
（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解 答 题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？
【正确答案】（1）240份，a=25，b=20；（2）补图参见解析；（3）4.6分，900名.
【详解】试题分析：（1）用得0分24人对应的分率是10%，用除法求得抽取学生试卷数，再求得3分试卷数量，进一步求得3分和8分试卷数量占总数的分率得出a、b的数值即可；（2）利用（1）中的数据补全条形统计图；（3）利用加权平均数的计算方法得出平均得分，利用所占总数的百分数得出得8分的有多少名考生．
试题解析：（1）用得0分24人对应的分率是10%求得抽取学生试卷数，24÷10%=240份，3分试卷数量：240﹣24﹣108﹣48=60份，求a、b的数值：60÷240=25%，48÷240=20%，所以a=25，b=20，故抽取了240份学生试卷，a=25，b=20；（2）如图，根据3分试卷数量是60份补图如下：
（3）8分解 答 题的平均得分是:0×10%+3×25%+5×45%+8×20%=4.6分，4500×20%=900名．所以这道8分解 答 题的平均得分是4.6分；得8分的有900名考生．
考点：扇形统计图与条形统计图计算.
22. 如图，钟鼓楼AN上悬挂一条幅AB，谢高在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向钟鼓楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时谢高距钟鼓楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果到1米）
【正确答案】17米
【详解】分析：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，首先求出DF的长，进而可求出DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形C中可求出BN的长，利用AB=AH﹣BN计算即可．
详解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F．
∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴EF=10米，DF=10米．
∵DH=DF+EC+CN=（10+30）米，∠ADH=30°，
∴AH=×DH=（10+10）米，∴AN=AH+EF=（20+10）米．
∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=10≈17米．
答：条幅的长度是17米．
点睛：本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
23. 如图，反比例函数的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.
【正确答案】k=1；C；M（（0，）
【详解】试题分析：首先根据点A的坐标和AB=3BD求出点B的坐标，从而得出k的值；根据函数和反比例函数的解析式得出点C的坐标；作点D关于y轴对称点E，连接CE交y轴于点M，即为所求，设直线CE的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入求出k和b的值，从而得到直线CE的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，即点M的坐标.
试题解析：（1）∵A（1，3）， ∴OB=1，AB=3， 又AB=3BD， ∴BD=1， ∴B（1，1）， ∴k=1×1=1；
（2）由（1）知反比例函数的解析式为，
解方程组，得或（舍去）， ∴点C的坐标为；
（3）作点D关于y轴对称点E，则E（,1），连接CE交y轴于点M，即为所求.
设直线CE的解析式为，则 ，解得，，
∴直线CE的解析式为， 当x=0时，y=， ∴点M的坐标为（0，）.
考点：反比例函数与函数
24. 如图，为⊙O的直径， D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长.
【正确答案】(1)见解析;(2)2.
【详解】分析：（1）连接OT，只要证明OT⊥PC即可解决问题；
（2）作OM⊥AC，易知OM=TC=，OA=2．在Rt△OAM中，求出AM即可解决问题；
详解：（1）连接OT．
∵OT=OA，∴∠ATO=∠OAT．
又∠TAC=∠BAT，∴∠ATO=∠TAC，∴OT∥AC．
∵AC⊥PQ，∴OT⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线．
（2）过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD．
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，∴OM=TC=．
Rt△AOM中，AM═=1，
∴弦AD的长为2．
点睛：本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25. 某数学兴趣小组利用大小没有等、颜色各异的正方形硬纸片开展了，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：四边形ABCD是边长为1正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，小明看到图（1）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然没有全等，考虑到点E是BC的中点，引条辅助线尝试就行了，随即小明写出了如下的证明过程：证明：取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可.
探究2：小明继续探索，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，如图（2）其它条件没有变，结论AE=EF是否成立呢？ （填是或否）
小明还想试试，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的任意一点”，如图（3）其它条件没有变，那么结论AE=EF是否还成立呢？ （填是或否），请你选择其中一种完成证明过程给小强看．
探究3：在探究2结论AE=EF成立的情况下，如图（4）所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到BC上某处时（没有含B、C），点F恰好落在直线y＝-2x＋3上，求此时点F的坐标．
【正确答案】 (1)见解析;(2) F（ ，）.
【详解】分析：探究1：取AB的中点H，连接EH，根据同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，证明△HAE≌△CEF即可；
探究2：①在AB上取点P，连接EP，同（1）的方法相似，证明△PAE≌△CEF即可；
②延长BA至H，使AH=CE，连接HE，证明△HAE≌△CEF即可．
探究3：设F（a，﹣2a+3），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图4，只要证明FG=FH，由此构建方程即可解决问题；
详解：探究1：如图1，取AB的中点H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∵AH=EC，∴BH=BE，∴∠BHE=45°，∠AHE=135°．
∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°．
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．
在△HAE和△CEF中，∵，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF；
探究2：①结论：是．
理由：如图2，在AB上取点P，连接EP．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∵AP=EC，∴BP=BE，∴∠BPE=45°，∠APE=135°．
∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°．
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．在△PAE和△CEF中，，∴△PAE≌△CEF，∴AE=EF；
②结论：是．
理由：如图3，延长BA至H，使AH=CE，连接HE．
∵BA=BC，AH=CE，∴BH=BE，∴∠H=45°．
∵CF是正方形外角平分线，∴∠ECF=45°，∴∠H=∠ECF．
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA，
∴∠HAE=∠CEF．
在△HAE和△CEF中，，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF．
探究3：②设F（a，﹣2a+3），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图4，
则CH=a﹣1，FH=﹣2a+3．
∵CF为角平分线，∴FH=CH，∴a﹣1=﹣2a+3，解得：a=．当a=时，﹣2a+3=﹣2×+3=，∴F点坐标为（）．
点睛：本题为函数的综合应用，涉及正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及方程思想等知识．在（1）中证明三角形全等是解题的关键，在（2）①中构造三角形全等是关键，在（2）②中根据角平分线的性质得到关于F点坐标的方程是解题的关键．本题考查了知识点较多，综合性较强，但难度没有大．
26. 如图：有一块余料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．
（1）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设长方形宽xmm，面积为ymm2，那么宽为多少时，其面积．面积是多少？
(2）若以BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，B（-60，0），AD=BD．
求过A、B、C三点的抛物线解析式；
在此抛物线对称轴上是否存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形．若存在，请直接写出R点的坐标；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1） 当x＝40时，y值＝2400 ；（2）；（3）见解析．
【详解】分析：（1）设PQ=x，利用相似三角形的性质可得出QN=﹣x+120，根据矩形的面积公式即可得出y=﹣x2+120x，配方后即可找出面积的值；
（2）①依照题意画出图形，由AD的长度可得出点A的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
②设点R的坐标为（0，n），则AB=80，AR=，BR=，分∠ABR=90°、∠ARB=90°和∠BAR=90°三种情况考虑，利用勾股定理即可得出关于n的一元（或一元二次）方程，解之即可得出结论．
详解：（1）∵PQ⊥BC，MN⊥BC，AD⊥BC，∴PQ∥AD，MN∥AD，∴△BPQ∽△BAD，△CAD∽△CMN，∴BQ=•BD，CN=•CD．
设PQ=x，则QN=BC﹣BQ﹣CN=120﹣（BD+CD）=﹣x+120，
∴y=PQ•QN=x（﹣x+120）=﹣x2+120x=﹣（x﹣40）2+2400，
∴当x=40时，y取值2400，∴宽为40mm时，其面积．面积是2400mm2．
（2）①依照题意画出图形，如图所示．
设抛物线的解析式为y=ax2+c，将B（﹣60，0）、A（20，80）代入y=ax2+c，，解得：，∴过A、B、C三点的抛物线解析式为y=﹣x2+90．
②假设存在，设点R的坐标为（0，n），则AB=80，AR=，BR=．
分三种情况考虑：
①当∠ABR=90°时，有AR2=AB2+BR2，即400+（80﹣n）2=12800+3600+n2，解得：n=﹣60，此时点R的坐标为（0，﹣60）；
②当∠ARB=90°时，有AB2=AR2+BR2，即12800=400+（80﹣n）2+3600+n2，整理得：n2﹣80n﹣1200=0，解得：n1=，n2=，此时点R的坐标为（0，）或（0，）；
③当∠BAR=90°时，有BR2=AB2+AR2，即3600+n2=12800+400+（80﹣n）2，解得：n=100，此时点R的坐标为（0，100）．
综上所述：在此抛物线对称轴上存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形，点R的坐标为（0，﹣60）或（0，）或（0，）或（0，100）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了相似三角形的应用、矩形的面积、待定系数法求二次函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）分∠ABR=90°、∠ARB=90°和∠BAR=90°三种情况列出关于n的方程．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a4+a2=a6 B. （x-y）2=x2-y2 C. x6÷x2=x3 D. （ab）2=a2b2
3. 若a=3，a﹣b=2，则a2﹣ab的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. ＞2 B. ≥2 C. ≤2 D. ＜2
5. 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A 9.5×10﹣7 B. 9.5×10﹣8 C. 0.95×10﹣7 D. 95×10﹣8
6. 如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
8. 两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 以上都没有对
9. 若点A（2，3）、B（a﹣1，﹣2）都在函数y=的图象上，则a的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. ﹣3 D. ﹣2
10. 一个没有透明口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，没有放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和等于5的概率是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，Rt△ABC的锐角顶点A、B分别在直线EF、GH上，且EF∥GH，若∠CAF=65°，则∠CBH的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
12. 把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A 6 B. 6 C. 3 D. 3+3
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
14. 甲、乙两人利用没有同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y(km)与甲出发的时间x(h)之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（ ）
A. 甲的速度是60km/h B. 乙比甲早1小时到达
C. 乙出发3小时追上甲 D. 乙在AB的中点处追上甲
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 分解因式：8－2x2＝_____．
16. 方程﹣=1的解是_____．
17. 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）_____________．
18. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，再沿EG折叠，使点C落在矩形内的点H处，且E、F、H在同一直线上，若AB=6，BC=8，则CG的长是_____．
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算：﹣13+20170×﹣×；
（2）解没有等式组：．
20. 食品关乎民生，食品中添加过量添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存．某饮料厂为了解A、B两种饮料添加剂的添加情况，随机抽检了A种30瓶，B种70瓶，检测发现，A种每瓶比B种每瓶少1克添加剂，两种共加入了添加剂270克，求A、B两种饮料每瓶各加入添加剂多少克？
21. 为了解某种新能源汽车的性能，对这种汽车进行了抽检，将充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下没有完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次被抽检的新能源汽车共有 辆；
（2）将图1补充完整；在图2中，C等级所占圆心角是 度；
（3）估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为多少千米？（到千米）
22. A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得风景区C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
23. 如图，把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，点E、F分别是射线CB、DC上的动点（E、F与B、C、D没有重合），且始终保持BE=CF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；
（2）①当点E运动到什么位置时，EF⊥DC？
②若AB=4，当∠EAB=15°时，求△CEF的面积．
24. 如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
【正确答案】D
【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】解：∵=3，
∴的平方根是±．
故选：D．
此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得的值.
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a4+a2=a6 B. （x-y）2=x2-y2 C. x6÷x2=x3 D. （ab）2=a2b2
【正确答案】D
【详解】根据合并同类项系数相加字母及指数没有变，幂的乘方底数没有变指数相乘，同底数幂的乘法底数没有变指数相加，同底数幂的除法底数没有变指数相减，可得答案．
解：A、a4与a2没有是同类项，没有能合并，故A选项错误；
B、（x-y）2=x2-2xy+y2 ， 故B选项错误；
C、同底数幂的除法底数没有变指数相减，故D错误；
D、（ab）2=a2b2符合积的乘方法则，故D正确；
故选D．
3. 若a=3，a﹣b=2，则a2﹣ab的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】D
【详解】试题解析：
故选D.
4. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. ＞2 B. ≥2 C. ≤2 D. ＜2
【正确答案】A
【分析】根据被开方数大于等于0，分母没有等于0求解即可．
【详解】根据题意得，x-2＞0，
解得，x＞2.
故选A.
本题考查了函数自变量范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5. 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A. 9.5×10﹣7 B. 9.5×10﹣8 C. 0.95×10﹣7 D. 95×10﹣8
【正确答案】A
【分析】根据科学记数法的定义，即可得到答案．
【详解】0.00000095=9.5×=9.5×10﹣7，
故选A．
本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的定义：a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），是解题的关键．
6. 如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A符合要求，故选A．
考点：简单几何体的三视图．
7. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
【正确答案】A
【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当2为底，5为腰时，②当5为底，2为腰时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【详解】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0
解得：，
当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12；
当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，
故选：A
本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
8. 两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 以上都没有对
【正确答案】C
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．
【详解】解：故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．
由于方差能反映数据的稳定性，
需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．
故选C．
考点：统计量的选择
9. 若点A（2，3）、B（a﹣1，﹣2）都在函数y=的图象上，则a的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. ﹣3 D. ﹣2
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵点A(2,3)、B(a−1,−2)都在函数的图象上，
∴ 得k=6，
解得，a=−2，
故选D.
10. 一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，没有放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和等于5的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】列表如下:
1
2
3
4
1
——
2
——
3
——
4
——
由上表可知，所有等可能的结果有12种，其中数字之和为5的情况有4种，∴P(小球标号之和为5)．
11. 如图，Rt△ABC的锐角顶点A、B分别在直线EF、GH上，且EF∥GH，若∠CAF=65°，则∠CBH的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵,
中,
故选B.
12. 把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A. 6 B. 6 C. 3 D. 3+3
【正确答案】A
【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．
详解】解：如图，连接BC′，
∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′＝AB′＝3，
在Rt△AB′C′中，AC′＝，
∴BC′＝3﹣3，
在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3﹣3，
在直角三角形OBC′中，OC′＝（3﹣3）＝6﹣3，
∴OD′＝3﹣OC′＝3﹣3，
∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝6+3﹣3+3﹣3＝6．
故选：A．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A．
14. 甲、乙两人利用没有同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y(km)与甲出发的时间x(h)之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（ ）
A. 甲的速度是60km/h B. 乙比甲早1小时到达
C. 乙出发3小时追上甲 D. 乙在AB的中点处追上甲
【正确答案】C
【详解】A.根据图象得:360÷6=60km/h,故正确；
B. 根据图象得，乙比甲早到1小时；
C.乙的速度为：360÷4=90km/h,
设乙a小时追上甲，
90a=60（a+1）
解之得
a=2,故没有正确；
D. ∵90×2=180km, ∴乙在AB的中点处追上甲,故正确；
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 分解因式：8－2x2＝_____．
【正确答案】
【分析】先提公因式2后再利用平方差公式因式分解即可
【详解】
故
考点：分解因式.
16. 方程﹣=1的解是_____．
【正确答案】x=﹣2
【详解】试题解析：去分母得：
解得：
经检验是分式方程的解，
则分式方程的解为：
故答案为
17. 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）_____________．
【正确答案】24﹣4π．
【详解】解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴．
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD
=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD- S△ABD）
=×8×8-×4×4-+××4×4
=16-4π+8
=24-4π．
18. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，再沿EG折叠，使点C落在矩形内的点H处，且E、F、H在同一直线上，若AB=6，BC=8，则CG的长是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：设BE=x，则EF=x，CE=8−x，
由折叠可得，AF=AB=6，
由勾股定理,可得
∴CF=10−6=4，
在中,由勾股定理可得,
解得x=3,
∴BE=3，CE=5，
由折叠可得,
又
又
∴ 即
故答案为
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算：﹣13+20170×﹣×；
（2）解没有等式组：．
【正确答案】（1）-1；（2）x＜1．
【详解】试题分析：（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算；
（2）分别解两个没有等式得到和，然后根据同小取小确定没有等式组的解集．
试题解析：（1）原式
（2）
解没有等式①得：
解没有等式②得：
所以没有等式组的解集为：
20. 食品关乎民生，食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存．某饮料厂为了解A、B两种饮料添加剂的添加情况，随机抽检了A种30瓶，B种70瓶，检测发现，A种每瓶比B种每瓶少1克添加剂，两种共加入了添加剂270克，求A、B两种饮料每瓶各加入添加剂多少克？
【正确答案】A种饮料每瓶加入添加剂2克，B种饮料每瓶加入添加剂3克．
【详解】试题分析：设种饮料每瓶加入添加剂克，种饮料每瓶加入添加剂克，根据种每瓶比种每瓶少1克添加剂30瓶种饮料70瓶种饮料共加入了添加剂270克，即可得出关于二元方程组，解之即可得出结论．
试题解析：设种饮料每瓶加入添加剂克，种饮料每瓶加入添加剂克，
根据题意得：
解得：
答：A种饮料每瓶加入添加剂2克，B种饮料每瓶加入添加剂3克.
21. 为了解某种新能源汽车的性能，对这种汽车进行了抽检，将充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下没有完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次被抽检的新能源汽车共有 辆；
（2）将图1补充完整；在图2中，C等级所占的圆心角是 度；
（3）估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为多少千米？（到千米）
【正确答案】（1）100；（2）72；（3）估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为214千米．
【详解】试题分析：（1）利用D等级的数量和它所占的百分比可计算出抽检的电动汽车的总数；
（2）用C等级所占的百分比乘以360°可得C等级对应的扇形的圆心角；
（3）根据题意列式计算即可．
试题解析：（1）12÷12%=100，
答：这次被抽检的新能源汽车共有100辆；
故答案为100；
（2）如图所示；C等级所占的圆心角是
故答案为72；
（3）200×8+210×60+220×20+230×12
=1600+12600+4400+2760
=21360
21360÷100=213.6≈214（千米），
答：估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为214千米．
22. A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得风景区C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
【正确答案】AB没有穿过风景区．理由见解析．
【分析】分析：首先过C作CD⊥AB与D，由题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，即可得在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，继而可得CD•tanα+CD•tanβ=AB，则可求得CD的长，即可知连接AB高速公路是否穿过风景区．
【详解】解：AB没有穿过风景区．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，
则在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，
在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，
∵AD+DB=AB，∴CD•tanα+CD•tanβ=AB．
∴．
∵CD=50＞45，
∴高速公路AB没有穿过风景区．
本题考查了方向角问题，借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键．
23. 如图，把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，点E、F分别是射线CB、DC上的动点（E、F与B、C、D没有重合），且始终保持BE=CF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；
（2）①当点E运动到什么位置时，EF⊥DC？
②若AB=4，当∠EAB=15°时，求△CEF的面积．
【正确答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；
（2）①当E运动到BE=BC时，EF⊥DC；
②△CEF的面积为．
【详解】试题分析：（1）①由等边三角形的性质即可得出∠ABE=∠ACF，即可得出结论；
②由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质求出和即可得出结论；
②先求出再用勾股定理求出再判断出即可求出 用三角形的面积公式即可得出结论．
试题解析：（1）①证明：∵和均为等边三角形
≌
②证明： ≌
是等边三角形.
（2）①若
∴当E运动到时，
②如图，过点A作AG⊥BC于点G，
过点F作FH⊥EC于点H，
在中，
的面积为：
24. 如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．
（1）求二次函数解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
【正确答案】（1）y=x2+x﹣6；（2）①；②∠EPF的大小没有会改变，理由见解析；（3）．
【分析】（1）由与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，可得点A、点B的坐标，即可得到OB的长，又由tan∠ABC=3，得到点C（0，－6），将 A、B、C的坐标代入二次函数中，即可得到二次函数解析式；
（2）①如图6.1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC的中点K，故P的运动路程为△ABC的中位线HK，在Rt△BOC中，由勾股定理得到BC的长，再由三角形中位线定理可得到HK的长，即P的运动路程；
②∠EPF的大小没有会改变．由于，P为Rt△AED斜边AD的中点，故PE=AD=PA，从而∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理有∠PAF=∠PFA=∠DPF，即可得到∠EPF=2∠EAF，故∠EPF的大小没有会改变；
（3）设△PEF的周长为C，则=PE+PF+EF=AD+EF，在等腰三角形PEF中，过P作PG⊥EF于点G，得到∠EPG=∠EPF=∠BAC，由于tan∠BAC=，故tan∠EPG=，得到EG=PE，EF=PE=AD，从而有=AD+EF=AD=AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时最小，由=30，得到AD=，从而得到最小值．
【详解】解：（1）∵函数的图象与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，
∴A（－8，0）、B（2，0），即OB=2，
又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，－6），
将 A（－8，0）、B（2，0）代入中，
解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）①如图6.1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC的中点K，∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=BC，在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，∴BC=，∴HK=，即P的运动路程为；
②∠EPF的大小没有会改变．理由如下：
∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF大小没有变，∴∠EPF的大小没有会改变；
（3）设△PEF的周长为C，则=PE+PF+EF，∵PE=AD，PF=AD，∴=AD+EF，在等腰三角形PEF中，过P作PG⊥EF于点G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC=，∴tan∠EPG=，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴=AD+EF=AD=AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时最小，∵=30，∴BC·AD=30，∴AD=，∴最小值为：AD=．
此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和直角三角形中线的性质等知识，用AD表示出△PEF的周长是解题关键．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
满分150分.考试时间120分钟.
一、选一选（本大题12个小题，每小题3分，共36分）
1. a的相反数是( )
A. |a| B. C. -a D.
2. 红山水库是中国自治区乃至整个东北地区的一座水库，位于的西辽河支流---被"契丹·辽文化母亲河"之一的老哈河中游.设计库容:25.6亿立方米，现有库容：16.02亿立方米.将16.02亿立方米用科学记数法表示应为( )
A. 1.602×109立方米 B. 16.02×108 立方米
C. 0.1602×1010 立方米 D. 1.602×108立方米
3. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湿地隔开，若测得BM的长为12 km，则M，C两点间的距离为（ ）
A. 5 km B. 6 km C. 9 km D. 12 km
4. 下列各式计算正确的是( )
A. 10a6÷5a2=2a4 B. C. (2a2)3=6a6 D. (a-2)2=a2-4
5. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
6. 一个几何体三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体
7. 下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2
8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
9. 如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=( )
A B. C. D.
10. 如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（请把答案填在答题卡上，每小题3分，共12分）
13. 下图是一个可以绕O点转动的转盘，⊙O的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数y=x的图象，则指针指向阴影部分的概率__________.
14. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______．
15. 已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．
16. 如图,△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…， ，在直线上．已知，则OA2018的长为_________．
三、解 答 题(17、18题6分，19、20、21、22题各10分，23、24、25题各12分，26题14分）
17. 计算：
18. 解没有等式组 并把解集在数轴上表示出来.
19. 如图，已知锐角△ABC
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，没有要求写作法）；
（2）在（1）条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
20. 某校初三学生组织甲、乙两个旅行团去某景点旅游，已知甲团人数少于50人，乙团人数没有超过100人．下面是小明与其他两位同学交流的情况．根据他们的对话，组织者算了一下，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
21. 某地区在九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解 答 题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次从全区抽取了 份学生试卷；扇形统计图中a= ，b= ；
（2）补全条形统计图；
（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解 答 题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？
22. 如图，钟鼓楼AN上悬挂一条幅AB，谢高在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向钟鼓楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时谢高距钟鼓楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果到1米）
23. 如图，反比例函数的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
（1）求k值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.
24. 如图，为⊙O的直径， D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长.
25. 某数学兴趣小组利用大小没有等、颜色各异的正方形硬纸片开展了，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：四边形ABCD是边长为1正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，小明看到图（1）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然没有全等，考虑到点E是BC的中点，引条辅助线尝试就行了，随即小明写出了如下的证明过程：证明：取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可.
探究2：小明继续探索，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，如图（2）其它条件没有变，结论AE=EF是否成立呢？ （填是或否）
小明还想试试，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的任意一点”，如图（3）其它条件没有变，那么结论AE=EF是否还成立呢？ （填是或否），请你选择其中一种完成证明过程给小强看．
探究3：在探究2结论AE=EF成立的情况下，如图（4）所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到BC上某处时（没有含B、C），点F恰好落在直线y＝-2x＋3上，求此时点F的坐标．
26. 如图：有一块余料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．
（1）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设长方形宽xmm，面积为ymm2，那么宽为多少时，其面积．面积是多少？
(2）若以BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，B（-60，0），AD=BD．
求过A、B、C三点的抛物线解析式；
在此抛物线对称轴上是否存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形．若存在，请直接写出R点的坐标；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（本大题12个小题，每小题3分，共36分）
1. a的相反数是( )
A. |a| B. C. -a D.
【正确答案】C
【详解】只有符号没有同的两个数是互为相反数，所以求一个数的相反数，只要改变它的符号即可，则a的相反数是-a，故选C.
2. 红山水库是中国自治区乃至整个东北地区的一座水库，位于的西辽河支流---被"契丹·辽文化母亲河"之一的老哈河中游.设计库容:25.6亿立方米，现有库容：16.02亿立方米.将16.02亿立方米用科学记数法表示应为( )
A. 1.602×109立方米 B. 16.02×108 立方米
C. 0.1602×1010 立方米 D. 1.602×108立方米
【正确答案】A
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值≥1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：将16.02亿立方米用科学记数法表示为1.602×109立方米．
故选A．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湿地隔开，若测得BM的长为12 km，则M，C两点间的距离为（ ）
A. 5 km B. 6 km C. 9 km D. 12 km
【正确答案】D
【详解】分析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解决问题．
详解：在Rt△ACB中．
∵∠ACB=90°，AM=BM，∴CM=AB=BM．
∵BM=12km，∴CM=12km．
故选D．
点睛：本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的应用，属于中考常考题型．
4. 下列各式计算正确的是( )
A. 10a6÷5a2=2a4 B. C. (2a2)3=6a6 D. (a-2)2=a2-4
【正确答案】A
【详解】分析：分别利用整式的除法运算法则、二次根式加减运算法则、积的乘方、完全平方公式等知识计算即可得出结论．
详解：A．10a6÷5a2=2a4，故此选项正确；
B．3和2没有是同类二次根式，无法进行加减运算，故此选项错误；
C．（2a2）3=8a6，故此选项错误；
D．（a﹣2）2=a2﹣4a+4，故此选项错误．
故选A．
点睛：本题主要考查了积的乘方以及完全平方公式和整式的除法运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
【正确答案】C
【详解】解：这组数据中4出现的次数至多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：=3.8．
故选：C．
6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体
【正确答案】B
【分析】根据三视图的知识，正视图为两个矩形，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故这个几何体为直三棱柱．
【详解】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．
故选B．
7. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2
【正确答案】D
【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可.
【详解】A. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项没有正确，没有符合题意；；
B. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项没有正确，没有符合题意；；
C. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项没有正确，没有符合题意；；
D. y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；；
故选D
本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．
8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A 4 B. 3 C. 2 D.
【正确答案】B
【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2，
∴EF=AE=2，
过A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3，
故选B.
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
9. 如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：首先根据∠B=90°，BC=2AB，可得AC=，然后根据余弦的求法，求出cosA的值是多少即可．
详解：∵∠B=90°，BC=2AB，∴AC==，∴cosA=．
故选C．
点睛：（1）此题主要考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（2）此题还考查了直角三角形性质，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
10. 如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【正确答案】D
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB=×6×3=9．
故选D．
本题考查扇形面积的计算．
11. 如图，点在正方形对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
在中，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴四边形是正方形．
在和中，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积．
∵正方形的边长为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴四边形的面积为．
故选D．
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．
12. 正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．
【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1，
即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=．
故答案选C ．
二、填 空 题（请把答案填在答题卡上，每小题3分，共12分）
13. 下图是一个可以绕O点转动的转盘，⊙O的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数y=x的图象，则指针指向阴影部分的概率__________.
【正确答案】
【详解】分析：根据抛物线和圆的性质可以知道，图中阴影部分的面积就等于圆心角为150°，半径为2的扇形的面积，概率=阴影部分的面积：圆的面积．
详解：抛物线y=x2与抛物线y=﹣x2的图形关于x轴对称，直线y=x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以则指针指向阴影部分的概率=．
故答案为．
点睛：本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为150°，半径为2的扇形的面积，用概率=阴影部分的面积：圆的面积．
14. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______．
【正确答案】
【详解】解：连接BC与AO交于点D，
∵四边形OBAC为菱形
∴AO⊥BC，
∵∠OBA=120°
∴∠AOB=30°，
∵B的坐标为(1，)，
∴OA=2OD=2，BC=2BD=2，
∴菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.
故
考点：二次函数的性质
15. 已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．
【正确答案】14
【分析】将x=2代入方程找出关于m的一元方程，解一元方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，
解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2+2=4＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．
故14．
本题考查了根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
16. 如图,△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…， ，在直线上．已知，则OA2018的长为_________．
【正确答案】
【详解】分析：根据函数的性质可得∠B1OA1=45°，然后求出△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半求出OA3，同理求出OA4，然后根据变化规律写出即可．
详解：∵直线为y=x，∴∠B1OA1=45°．
∵△A2B2A3，∴B2A2⊥x轴，∠B2A3A2=45°，∴△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，∴OA3=2A2B2=2OA2=2×2=4，同理可求OA4=2OA3=2×4=23，…，所以，OA2018=22017．
故答案为22017．
点睛：本题考查了函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟记性质并确定出等腰直角三角形是解题的关键．
三、解 答 题(17、18题6分，19、20、21、22题各10分，23、24、25题各12分，26题14分）
17. 计算：
【正确答案】-1
【详解】分析：原式利用负整数指数幂、角的三角函数值、零指数指数幂法则以及值的代数意义计算即可求出值．
详解：原式=﹣×+1+
=2﹣3
=﹣1．
点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 解没有等式组 并把解集在数轴上表示出来.
【正确答案】见解析
【详解】分析：首先把两条没有等式的解集分别解出来，再根据取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把没有等式的解集表示出来．
详解：解没有等式x+5≥0，可得：x≥﹣5；
解没有等式3﹣x＞1，可得：x＜2，
所以没有等式组的解集为﹣5≤x＜2．
数轴表示如图：
点睛：本题考查了没有等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
19. 如图，已知锐角△ABC
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，没有要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）CD=2.
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；
（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC-BD求CD的长．
【详解】（1） 如图所示，MN为所作；
（2） 在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴， ∴BD=3，
∴DC=BC﹣BD=5﹣3=2.
20. 某校初三学生组织甲、乙两个旅行团去某景点旅游，已知甲团人数少于50人，乙团人数没有超过100人．下面是小明与其他两位同学交流的情况．根据他们的对话，组织者算了一下，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．
(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．
(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
【正确答案】(1)见解析;(2)见解析.
【详解】分析：（1）根据题意可知：甲团人数少于50人，乙团人数没有超过100人，100×13=1300＜1392，所以乙团的人数没有少于50人，没有超过100人．
（2）利用本题中的相等关系是“两团共计应付门票费1392元”和“总计应付门票费1080元”，列方程组求解即可．
详解：（1）假设乙团的人数为50人，因为甲旅行团人数少于50人，所以可得甲乙分别购票所需的钱数小于1300．
又∵分别购票，两旅行团共计应付门票费1392元，∴可得出乙团的人数大于50人；
（2）设甲团人数为x，乙团人数为y，由题意得：
①当甲乙两团总人数在51～100人时，
，
解得：x=156（没有合题意舍去），
②当甲乙两团总人数在100人以上时，
，
解得：．
答：甲旅行团有36人，乙旅行团有84人．
点睛：本题主要考查了二元方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
21. 某地区在九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解 答 题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次从全区抽取了 份学生试卷；扇形统计图中a= ，b= ；
（2）补全条形统计图；
（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解 答 题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？
【正确答案】（1）240份，a=25，b=20；（2）补图参见解析；（3）4.6分，900名.
【详解】试题分析：（1）用得0分24人对应的分率是10%，用除法求得抽取学生试卷数，再求得3分试卷数量，进一步求得3分和8分试卷数量占总数的分率得出a、b的数值即可；（2）利用（1）中的数据补全条形统计图；（3）利用加权平均数的计算方法得出平均得分，利用所占总数的百分数得出得8分的有多少名考生．
试题解析：（1）用得0分24人对应的分率是10%求得抽取学生试卷数，24÷10%=240份，3分试卷数量：240﹣24﹣108﹣48=60份，求a、b的数值：60÷240=25%，48÷240=20%，所以a=25，b=20，故抽取了240份学生试卷，a=25，b=20；（2）如图，根据3分试卷数量是60份补图如下：
（3）8分解 答 题的平均得分是:0×10%+3×25%+5×45%+8×20%=4.6分，4500×20%=900名．所以这道8分解 答 题的平均得分是4.6分；得8分的有900名考生．
考点：扇形统计图与条形统计图计算.
22. 如图，钟鼓楼AN上悬挂一条幅AB，谢高在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向钟鼓楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时谢高距钟鼓楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果到1米）
【正确答案】17米
【详解】分析：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，首先求出DF的长，进而可求出DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形C中可求出BN的长，利用AB=AH﹣BN计算即可．
详解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F．
∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴EF=10米，DF=10米．
∵DH=DF+EC+CN=（10+30）米，∠ADH=30°，
∴AH=×DH=（10+10）米，∴AN=AH+EF=（20+10）米．
∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=10≈17米．
答：条幅的长度是17米．
点睛：本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
23. 如图，反比例函数的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.
【正确答案】k=1；C；M（（0，）
【详解】试题分析：首先根据点A的坐标和AB=3BD求出点B的坐标，从而得出k的值；根据函数和反比例函数的解析式得出点C的坐标；作点D关于y轴对称点E，连接CE交y轴于点M，即为所求，设直线CE的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入求出k和b的值，从而得到直线CE的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，即点M的坐标.
试题解析：（1）∵A（1，3）， ∴OB=1，AB=3， 又AB=3BD， ∴BD=1， ∴B（1，1）， ∴k=1×1=1；
（2）由（1）知反比例函数的解析式为，
解方程组，得或（舍去）， ∴点C的坐标为；
（3）作点D关于y轴对称点E，则E（,1），连接CE交y轴于点M，即为所求.
设直线CE的解析式为，则 ，解得，，
∴直线CE的解析式为， 当x=0时，y=， ∴点M的坐标为（0，）.
考点：反比例函数与函数
24. 如图，为⊙O的直径， D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长.
【正确答案】(1)见解析;(2)2.
【详解】分析：（1）连接OT，只要证明OT⊥PC即可解决问题；
（2）作OM⊥AC，易知OM=TC=，OA=2．在Rt△OAM中，求出AM即可解决问题；
详解：（1）连接OT．
∵OT=OA，∴∠ATO=∠OAT．
又∠TAC=∠BAT，∴∠ATO=∠TAC，∴OT∥AC．
∵AC⊥PQ，∴OT⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线．
（2）过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD．
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，∴OM=TC=．
Rt△AOM中，AM═=1，
∴弦AD的长为2．
点睛：本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25. 某数学兴趣小组利用大小没有等、颜色各异的正方形硬纸片开展了，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：四边形ABCD是边长为1正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，小明看到图（1）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然没有全等，考虑到点E是BC的中点，引条辅助线尝试就行了，随即小明写出了如下的证明过程：证明：取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可.
探究2：小明继续探索，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，如图（2）其它条件没有变，结论AE=EF是否成立呢？ （填是或否）
小明还想试试，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的任意一点”，如图（3）其它条件没有变，那么结论AE=EF是否还成立呢？ （填是或否），请你选择其中一种完成证明过程给小强看．
探究3：在探究2结论AE=EF成立的情况下，如图（4）所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到BC上某处时（没有含B、C），点F恰好落在直线y＝-2x＋3上，求此时点F的坐标．
【正确答案】 (1)见解析;(2) F（ ，）.
【详解】分析：探究1：取AB的中点H，连接EH，根据同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，证明△HAE≌△CEF即可；
探究2：①在AB上取点P，连接EP，同（1）的方法相似，证明△PAE≌△CEF即可；
②延长BA至H，使AH=CE，连接HE，证明△HAE≌△CEF即可．
探究3：设F（a，﹣2a+3），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图4，只要证明FG=FH，由此构建方程即可解决问题；
详解：探究1：如图1，取AB的中点H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∵AH=EC，∴BH=BE，∴∠BHE=45°，∠AHE=135°．
∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°．
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．
在△HAE和△CEF中，∵，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF；
探究2：①结论：是．
理由：如图2，在AB上取点P，连接EP．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∵AP=EC，∴BP=BE，∴∠BPE=45°，∠APE=135°．
∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°．
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠BAE=∠CEF．在△PAE和△CEF中，，∴△PAE≌△CEF，∴AE=EF；
②结论：是．
理由：如图3，延长BA至H，使AH=CE，连接HE．
∵BA=BC，AH=CE，∴BH=BE，∴∠H=45°．
∵CF是正方形外角平分线，∴∠ECF=45°，∴∠H=∠ECF．
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA，
∴∠HAE=∠CEF．
在△HAE和△CEF中，，∴△HAE≌△CEF，∴AE=EF．
探究3：②设F（a，﹣2a+3），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图4，
则CH=a﹣1，FH=﹣2a+3．
∵CF为角平分线，∴FH=CH，∴a﹣1=﹣2a+3，解得：a=．当a=时，﹣2a+3=﹣2×+3=，∴F点坐标为（）．
点睛：本题为函数的综合应用，涉及正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及方程思想等知识．在（1）中证明三角形全等是解题的关键，在（2）①中构造三角形全等是关键，在（2）②中根据角平分线的性质得到关于F点坐标的方程是解题的关键．本题考查了知识点较多，综合性较强，但难度没有大．
26. 如图：有一块余料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．
（1）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设长方形宽xmm，面积为ymm2，那么宽为多少时，其面积．面积是多少？
(2）若以BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，B（-60，0），AD=BD．
求过A、B、C三点的抛物线解析式；
在此抛物线对称轴上是否存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形．若存在，请直接写出R点的坐标；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1） 当x＝40时，y值＝2400 ；（2）；（3）见解析．
【详解】分析：（1）设PQ=x，利用相似三角形的性质可得出QN=﹣x+120，根据矩形的面积公式即可得出y=﹣x2+120x，配方后即可找出面积的值；
（2）①依照题意画出图形，由AD的长度可得出点A的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
②设点R的坐标为（0，n），则AB=80，AR=，BR=，分∠ABR=90°、∠ARB=90°和∠BAR=90°三种情况考虑，利用勾股定理即可得出关于n的一元（或一元二次）方程，解之即可得出结论．
详解：（1）∵PQ⊥BC，MN⊥BC，AD⊥BC，∴PQ∥AD，MN∥AD，∴△BPQ∽△BAD，△CAD∽△CMN，∴BQ=•BD，CN=•CD．
设PQ=x，则QN=BC﹣BQ﹣CN=120﹣（BD+CD）=﹣x+120，
∴y=PQ•QN=x（﹣x+120）=﹣x2+120x=﹣（x﹣40）2+2400，
∴当x=40时，y取值2400，∴宽为40mm时，其面积．面积是2400mm2．
（2）①依照题意画出图形，如图所示．
设抛物线的解析式为y=ax2+c，将B（﹣60，0）、A（20，80）代入y=ax2+c，，解得：，∴过A、B、C三点的抛物线解析式为y=﹣x2+90．
②假设存在，设点R的坐标为（0，n），则AB=80，AR=，BR=．
分三种情况考虑：
①当∠ABR=90°时，有AR2=AB2+BR2，即400+（80﹣n）2=12800+3600+n2，解得：n=﹣60，此时点R的坐标为（0，﹣60）；
②当∠ARB=90°时，有AB2=AR2+BR2，即12800=400+（80﹣n）2+3600+n2，整理得：n2﹣80n﹣1200=0，解得：n1=，n2=，此时点R的坐标为（0，）或（0，）；
③当∠BAR=90°时，有BR2=AB2+AR2，即3600+n2=12800+400+（80﹣n）2，解得：n=100，此时点R的坐标为（0，100）．
综上所述：在此抛物线对称轴上存在一点R，使以A、B、R为顶点的三角形是直角三角形，点R的坐标为（0，﹣60）或（0，）或（0，）或（0，100）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了相似三角形的应用、矩形的面积、待定系数法求二次函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）分∠ABR=90°、∠ARB=90°和∠BAR=90°三种情况列出关于n的方程．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a4+a2=a6 B. （x-y）2=x2-y2 C. x6÷x2=x3 D. （ab）2=a2b2
3. 若a=3，a﹣b=2，则a2﹣ab的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. ＞2 B. ≥2 C. ≤2 D. ＜2
5. 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A 9.5×10﹣7 B. 9.5×10﹣8 C. 0.95×10﹣7 D. 95×10﹣8
6. 如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
8. 两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 以上都没有对
9. 若点A（2，3）、B（a﹣1，﹣2）都在函数y=的图象上，则a的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. ﹣3 D. ﹣2
10. 一个没有透明口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，没有放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和等于5的概率是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，Rt△ABC的锐角顶点A、B分别在直线EF、GH上，且EF∥GH，若∠CAF=65°，则∠CBH的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
12. 把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A 6 B. 6 C. 3 D. 3+3
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
14. 甲、乙两人利用没有同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y(km)与甲出发的时间x(h)之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（ ）
A. 甲的速度是60km/h B. 乙比甲早1小时到达
C. 乙出发3小时追上甲 D. 乙在AB的中点处追上甲
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 分解因式：8－2x2＝_____．
16. 方程﹣=1的解是_____．
17. 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）_____________．
18. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，再沿EG折叠，使点C落在矩形内的点H处，且E、F、H在同一直线上，若AB=6，BC=8，则CG的长是_____．
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算：﹣13+20170×﹣×；
（2）解没有等式组：．
20. 食品关乎民生，食品中添加过量添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存．某饮料厂为了解A、B两种饮料添加剂的添加情况，随机抽检了A种30瓶，B种70瓶，检测发现，A种每瓶比B种每瓶少1克添加剂，两种共加入了添加剂270克，求A、B两种饮料每瓶各加入添加剂多少克？
21. 为了解某种新能源汽车的性能，对这种汽车进行了抽检，将充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下没有完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次被抽检的新能源汽车共有 辆；
（2）将图1补充完整；在图2中，C等级所占圆心角是 度；
（3）估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为多少千米？（到千米）
22. A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得风景区C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
23. 如图，把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，点E、F分别是射线CB、DC上的动点（E、F与B、C、D没有重合），且始终保持BE=CF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；
（2）①当点E运动到什么位置时，EF⊥DC？
②若AB=4，当∠EAB=15°时，求△CEF的面积．
24. 如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
【正确答案】D
【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】解：∵=3，
∴的平方根是±．
故选：D．
此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得的值.
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a4+a2=a6 B. （x-y）2=x2-y2 C. x6÷x2=x3 D. （ab）2=a2b2
【正确答案】D
【详解】根据合并同类项系数相加字母及指数没有变，幂的乘方底数没有变指数相乘，同底数幂的乘法底数没有变指数相加，同底数幂的除法底数没有变指数相减，可得答案．
解：A、a4与a2没有是同类项，没有能合并，故A选项错误；
B、（x-y）2=x2-2xy+y2 ， 故B选项错误；
C、同底数幂的除法底数没有变指数相减，故D错误；
D、（ab）2=a2b2符合积的乘方法则，故D正确；
故选D．
3. 若a=3，a﹣b=2，则a2﹣ab的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】D
【详解】试题解析：
故选D.
4. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. ＞2 B. ≥2 C. ≤2 D. ＜2
【正确答案】A
【分析】根据被开方数大于等于0，分母没有等于0求解即可．
【详解】根据题意得，x-2＞0，
解得，x＞2.
故选A.
本题考查了函数自变量范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5. 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A. 9.5×10﹣7 B. 9.5×10﹣8 C. 0.95×10﹣7 D. 95×10﹣8
【正确答案】A
【分析】根据科学记数法的定义，即可得到答案．
【详解】0.00000095=9.5×=9.5×10﹣7，
故选A．
本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的定义：a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），是解题的关键．
6. 如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A符合要求，故选A．
考点：简单几何体的三视图．
7. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
【正确答案】A
【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当2为底，5为腰时，②当5为底，2为腰时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【详解】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0
解得：，
当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12；
当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，
故选：A
本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
8. 两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 以上都没有对
【正确答案】C
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．
【详解】解：故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．
由于方差能反映数据的稳定性，
需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．
故选C．
考点：统计量的选择
9. 若点A（2，3）、B（a﹣1，﹣2）都在函数y=的图象上，则a的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. ﹣3 D. ﹣2
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵点A(2,3)、B(a−1,−2)都在函数的图象上，
∴ 得k=6，
解得，a=−2，
故选D.
10. 一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，没有放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和等于5的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】列表如下:
1
2
3
4
1
——
2
——
3
——
4
——
由上表可知，所有等可能的结果有12种，其中数字之和为5的情况有4种，∴P(小球标号之和为5)．
11. 如图，Rt△ABC的锐角顶点A、B分别在直线EF、GH上，且EF∥GH，若∠CAF=65°，则∠CBH的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵,
中,
故选B.
12. 把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A. 6 B. 6 C. 3 D. 3+3
【正确答案】A
【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．
详解】解：如图，连接BC′，
∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′＝AB′＝3，
在Rt△AB′C′中，AC′＝，
∴BC′＝3﹣3，
在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3﹣3，
在直角三角形OBC′中，OC′＝（3﹣3）＝6﹣3，
∴OD′＝3﹣OC′＝3﹣3，
∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝6+3﹣3+3﹣3＝6．
故选：A．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A．
14. 甲、乙两人利用没有同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y(km)与甲出发的时间x(h)之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（ ）
A. 甲的速度是60km/h B. 乙比甲早1小时到达
C. 乙出发3小时追上甲 D. 乙在AB的中点处追上甲
【正确答案】C
【详解】A.根据图象得:360÷6=60km/h,故正确；
B. 根据图象得，乙比甲早到1小时；
C.乙的速度为：360÷4=90km/h,
设乙a小时追上甲，
90a=60（a+1）
解之得
a=2,故没有正确；
D. ∵90×2=180km, ∴乙在AB的中点处追上甲,故正确；
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 分解因式：8－2x2＝_____．
【正确答案】
【分析】先提公因式2后再利用平方差公式因式分解即可
【详解】
故
考点：分解因式.
16. 方程﹣=1的解是_____．
【正确答案】x=﹣2
【详解】试题解析：去分母得：
解得：
经检验是分式方程的解，
则分式方程的解为：
故答案为
17. 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）_____________．
【正确答案】24﹣4π．
【详解】解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴．
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD
=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD- S△ABD）
=×8×8-×4×4-+××4×4
=16-4π+8
=24-4π．
18. 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，再沿EG折叠，使点C落在矩形内的点H处，且E、F、H在同一直线上，若AB=6，BC=8，则CG的长是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：设BE=x，则EF=x，CE=8−x，
由折叠可得，AF=AB=6，
由勾股定理,可得
∴CF=10−6=4，
在中,由勾股定理可得,
解得x=3,
∴BE=3，CE=5，
由折叠可得,
又
又
∴ 即
故答案为
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算：﹣13+20170×﹣×；
（2）解没有等式组：．
【正确答案】（1）-1；（2）x＜1．
【详解】试题分析：（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算；
（2）分别解两个没有等式得到和，然后根据同小取小确定没有等式组的解集．
试题解析：（1）原式
（2）
解没有等式①得：
解没有等式②得：
所以没有等式组的解集为：
20. 食品关乎民生，食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存．某饮料厂为了解A、B两种饮料添加剂的添加情况，随机抽检了A种30瓶，B种70瓶，检测发现，A种每瓶比B种每瓶少1克添加剂，两种共加入了添加剂270克，求A、B两种饮料每瓶各加入添加剂多少克？
【正确答案】A种饮料每瓶加入添加剂2克，B种饮料每瓶加入添加剂3克．
【详解】试题分析：设种饮料每瓶加入添加剂克，种饮料每瓶加入添加剂克，根据种每瓶比种每瓶少1克添加剂30瓶种饮料70瓶种饮料共加入了添加剂270克，即可得出关于二元方程组，解之即可得出结论．
试题解析：设种饮料每瓶加入添加剂克，种饮料每瓶加入添加剂克，
根据题意得：
解得：
答：A种饮料每瓶加入添加剂2克，B种饮料每瓶加入添加剂3克.
21. 为了解某种新能源汽车的性能，对这种汽车进行了抽检，将充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下没有完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次被抽检的新能源汽车共有 辆；
（2）将图1补充完整；在图2中，C等级所占的圆心角是 度；
（3）估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为多少千米？（到千米）
【正确答案】（1）100；（2）72；（3）估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为214千米．
【详解】试题分析：（1）利用D等级的数量和它所占的百分比可计算出抽检的电动汽车的总数；
（2）用C等级所占的百分比乘以360°可得C等级对应的扇形的圆心角；
（3）根据题意列式计算即可．
试题解析：（1）12÷12%=100，
答：这次被抽检的新能源汽车共有100辆；
故答案为100；
（2）如图所示；C等级所占的圆心角是
故答案为72；
（3）200×8+210×60+220×20+230×12
=1600+12600+4400+2760
=21360
21360÷100=213.6≈214（千米），
答：估计这种新能源汽车充电后行驶的平均里程数为214千米．
22. A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得风景区C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
【正确答案】AB没有穿过风景区．理由见解析．
【分析】分析：首先过C作CD⊥AB与D，由题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，即可得在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，继而可得CD•tanα+CD•tanβ=AB，则可求得CD的长，即可知连接AB高速公路是否穿过风景区．
【详解】解：AB没有穿过风景区．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，
则在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，
在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，
∵AD+DB=AB，∴CD•tanα+CD•tanβ=AB．
∴．
∵CD=50＞45，
∴高速公路AB没有穿过风景区．
本题考查了方向角问题，借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键．
23. 如图，把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，点E、F分别是射线CB、DC上的动点（E、F与B、C、D没有重合），且始终保持BE=CF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；
（2）①当点E运动到什么位置时，EF⊥DC？
②若AB=4，当∠EAB=15°时，求△CEF的面积．
【正确答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；
（2）①当E运动到BE=BC时，EF⊥DC；
②△CEF的面积为．
【详解】试题分析：（1）①由等边三角形的性质即可得出∠ABE=∠ACF，即可得出结论；
②由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质求出和即可得出结论；
②先求出再用勾股定理求出再判断出即可求出 用三角形的面积公式即可得出结论．
试题解析：（1）①证明：∵和均为等边三角形
≌
②证明： ≌
是等边三角形.
（2）①若
∴当E运动到时，
②如图，过点A作AG⊥BC于点G，
过点F作FH⊥EC于点H，
在中，
的面积为：
24. 如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．
（1）求二次函数解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
【正确答案】（1）y=x2+x﹣6；（2）①；②∠EPF的大小没有会改变，理由见解析；（3）．
【分析】（1）由与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，可得点A、点B的坐标，即可得到OB的长，又由tan∠ABC=3，得到点C（0，－6），将 A、B、C的坐标代入二次函数中，即可得到二次函数解析式；
（2）①如图6.1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC的中点K，故P的运动路程为△ABC的中位线HK，在Rt△BOC中，由勾股定理得到BC的长，再由三角形中位线定理可得到HK的长，即P的运动路程；
②∠EPF的大小没有会改变．由于，P为Rt△AED斜边AD的中点，故PE=AD=PA，从而∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理有∠PAF=∠PFA=∠DPF，即可得到∠EPF=2∠EAF，故∠EPF的大小没有会改变；
（3）设△PEF的周长为C，则=PE+PF+EF=AD+EF，在等腰三角形PEF中，过P作PG⊥EF于点G，得到∠EPG=∠EPF=∠BAC，由于tan∠BAC=，故tan∠EPG=，得到EG=PE，EF=PE=AD，从而有=AD+EF=AD=AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时最小，由=30，得到AD=，从而得到最小值．
【详解】解：（1）∵函数的图象与轴分别交于A、B两点，且一元二次方程的两根为－8、2，
∴A（－8，0）、B（2，0），即OB=2，
又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，－6），
将 A（－8，0）、B（2，0）代入中，
解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）①如图6.1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC的中点K，∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=BC，在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，∴BC=，∴HK=，即P的运动路程为；
②∠EPF的大小没有会改变．理由如下：
∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF大小没有变，∴∠EPF的大小没有会改变；
（3）设△PEF的周长为C，则=PE+PF+EF，∵PE=AD，PF=AD，∴=AD+EF，在等腰三角形PEF中，过P作PG⊥EF于点G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC=，∴tan∠EPG=，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴=AD+EF=AD=AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时最小，∵=30，∴BC·AD=30，∴AD=，∴最小值为：AD=．
此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和直角三角形中线的性质等知识，用AD表示出△PEF的周长是解题关键．
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