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专题29 图形的变换篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）
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这是一份专题29 图形的变换篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用），文件包含专题29图形的变换篇解析版docx、专题29图形的变换篇原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
专题29 图形的变换
考点一：图形的平移变换
知识回顾
1. 平移的概念：
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移。
2. 平移的条件：
平移的方向叫做平移方向，平移的距离叫做平移距离。平移方向与平移距离即为平移的条件。
3. 平移的性质：
①平移前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。
②对应点连线平行且相等，且长度都等于平移距离。
4. 平移作图：
具体步骤：
①确定平移方向与平移距离。
②将关键点按照平移方向与平移距离进行平移，得到平移后的点。
③将平移后的关键点按照原图形连接即得到平移后的图形。
5. 坐标表示平移：
①向右平移个单位，坐标⇒
②向左平移个单位，坐标⇒
③向上平移个单位，坐标⇒
④向下平移个单位，坐标⇒
微专题
1．（2022•广西）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状大小．
【解答】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是D，
故选：D．
2．（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（ ）
A．96 B．96 C．192 D．160
【分析】根据正切的定义求出BC，证明四边形ACC′A′为平行四边形，根据平移的性质求出AA′＝12，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，
则BC＝AB•tan∠CAB＝8，
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0，
∴AA′＝12，
∴S四边形ACC′A′＝12×8＝96，
故选：B．
3．（2022•嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．（﹣1）cm D．（2﹣1）cm
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB′，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，
∴BD＝＝2（cm），
由平移的性质可知，BB′＝1cm，
∴B′D＝（2﹣1）cm，
故选：D．
4．（2022•湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'．若B'C＝2cm，则BC′的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据平移的性质得到BB′＝CC′＝1cm，即可得到BC′＝BB′+B′C+CC′的长．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'，
∴BB′＝CC′＝1（cm），
∵B'C＝2（cm），
∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝1+2+1＝4（cm），
故选：C．
5．（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
【解答】解：点B平移后对应点是点E．
∴线段BE就是平移距离，
∵已知BC＝5，EC＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3．
故选：C．
6．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．
【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积解答即可．
【解答】解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），
故答案为：8．
7．（2022•百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据平移与图形的变化规律进行计算即可．
【解答】解：根据平移与图形变化的规律可知，
将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其图形上的对应点B′的横坐标减少2，纵坐标增加1，
由于点B（1，2），
所以平移后的对应点B′的坐标为（﹣1，3），
故选：D．
8．（2022•赤峰）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（0，4） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）
【分析】根据点的平移规律，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：点A的对应点A′的坐标是（﹣1，3），
故选：C．
9．（2022•海南）如图，点A（0，3）、B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是（ ）
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则结论可得．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，
∵点A（0，3）、B（1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠BAD＝90°，BC＝AD．
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB．
∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴△ABO∽△DAE．
∴．
∴DE＝2OA＝6，AE＝2OB＝2，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（6，5）．
故选：D．
10．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【分析】根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．
【解答】解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
∴点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
11．（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），
故答案为：（5，2）．
12．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是 ．
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（3，2）的对应点C的坐标为（﹣1，2），
∴平移规律为向左平移4个单位，
∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
13．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是 ．
【分析】由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可．
【解答】解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单位，再向左平移1个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位），
即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B'（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
14．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 ．
【分析】根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．
【解答】解：由图象可知，A5（5，1），
将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），
将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），
将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），
将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），
将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），
故答案为：（﹣1，11）．
考点二：图形的对称变换
知识回顾
1. 轴对称与轴对称图形的概念：
①轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴。
②轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 轴对称的性质：
①成轴对称的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。
②对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线。
3. 关于坐标轴对称的点的坐标：
①关于轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
即关于轴对称的点的坐标为。
②关于轴对称的点的坐标：纵坐标不变，横坐标互为相反数。
即关于轴对称的点的坐标为。
③关于原点对称的点的坐标：横纵坐标均互为相反数。
即关于原点对称的点的坐标为。
4. 关于直线对称的点的坐标：
①关于直线对称，⇒
②关于直线对称，⇒
微专题
15．（2022•六盘水）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（ ）
A．坡 B．上 C．草 D．原
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
16．（2022•福建）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
17．（2022•贵港）若点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2
【分析】根据两点关于y轴对称的点的坐标的特点列出有关a、b的方程求解即可求得a﹣b的值．
【解答】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，
故选：A．
18．（2022•常州）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1（1，2），则点A2的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【解答】解：∵点A与点A1关于x轴对称，已知点A1（1，2），
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∵点A与点A2关于y轴对称，
∴点A2的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
19．（2022•新疆）在平面直角坐标系中，点A（2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标是：（2，﹣1）．
故选：A．
20．（2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
【分析】动手操作可得结论．
【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．
故选：C．
考点三：图形的旋转变换
知识回顾
1. 旋转的定义：
在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。
2. 旋转的要素：
①旋转中心；②旋转方向；③旋转角。
3. 旋转的性质：
①旋转前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。
②对应点到旋转中心的连线距离相等。
③对应点与旋转中心的连线构成的夹角等于旋转角。
4. 旋转对称图形：
若一个图形旋转一定角度（小于360°）之后与原图形重合，则这个图形叫做旋转对称图形。如正多边形或圆。
5. 中心对称：
①定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
②性质：I：关于中心对称的两个图形能够完全重合；
II：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
6. 坐标的旋转变换：
①若点顺时针或逆时针旋转90°，则横纵坐标的绝对值互换，符号看象限。
②若点顺时针或逆时针旋转180°，即关于原点成中心对称，则横纵坐标变为原来的相反数。即
7. 旋转作图：
基本步骤：①确定旋转方向与旋转角；②把图形的关键点按照旋转方向与旋转角进行旋转，得到关键点的对应点；③将对应点按照原图形连接。
微专题
21．（2022•德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
22．（2022•黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．温州博物馆 B．西藏博物馆
C．广东博物馆 D．湖北博物馆
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
23．（2022•河池）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为（ ）
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【分析】根据勾股定理得到AB，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴Rt△ABC所扫过的面积＝+×6×8＝25π+24，
故选：A．
24．（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α
【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝α，
∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝．
∴∠E＝．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
故选：C．
25．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A'C于点D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝3，
∴点A到直线A'C的距离为3，
故选：C．
26．（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（ ）
A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF
【分析】根据等边三角形的判定定理得到△BCE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BE＝BC，判断A选项；证明△ABC≌△CFD，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解直角三角形，用CF分别表示出GF、DF，判断D选项．
【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意；
B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，
∴AB＝AC＝CF＝BF，
由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠A＝∠ACD，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS），
∴DF＝BC＝BE，
∵DE＝AB＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵△ABC≌△CFD，
∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，
∴GF＝CF，
同理可得，DF＝CF，
∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
27．（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
28．（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
29．（2022•内蒙古）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1﹣ D．1﹣
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴DE＝1×＝，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．
故选：C．
30．（2022•朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．
【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC＝＝4π，
∵AE＝＝＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，
∵EB≠CB，
∴四边形DCBE是直角梯形，
∴S四边形DCBE＝＝24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣6﹣4π，
故答案为：24﹣6﹣4π．
31．（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝ ．
【分析】先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，即可解答．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，
∴AC＝3，BC＝3，∠CAB＝60°，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，
∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，
∴B'E＝B'C'﹣C'E＝3﹣3．
32．（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．
【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；
D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
故选：C．
33．（2022•遵义）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故选：C．
34．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
35．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝ ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得m﹣2＝﹣5，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
36．（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案为：5．
37．（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．
【解答】解：作出旋转后的图形如下：
∴B'点的坐标为（4，﹣1），
故选：C．
38．（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）
【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．
【解答】解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：C．
39．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
【分析】根据旋转的性质解答即可．
【解答】解：连接AP，A1P．
∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，
∴A的对应点为A1，
∴∠APA1＝90°，
∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣2，3），
故选：A．
40．（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+2中可解答．
【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线PB的解析式为：y＝x+2，
当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣，
∴点M1（﹣，0）不在直线PB上，
当x＝﹣时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（﹣，﹣1）在直线PB上，
当x＝1时，y＝+2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝2+2，
∴M4（2，）不在直线PB上．
故选：B．
41．（2022•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为 ．
【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．
【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，
∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，
∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，
∴AN＝3，
∴ON＝8，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA＝∠B′OA′，
∴△NOB≌△MOB′（AAS），
∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，
∴B′（﹣4，8），
故答案为：（﹣4，8）．
专题29 图形的变换
考点一：图形的平移变换
知识回顾
1. 平移的概念：
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移。
2. 平移的条件：
平移的方向叫做平移方向，平移的距离叫做平移距离。平移方向与平移距离即为平移的条件。
3. 平移的性质：
①平移前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。
②对应点连线平行且相等，且长度都等于平移距离。
4. 平移作图：
具体步骤：
①确定平移方向与平移距离。
②将关键点按照平移方向与平移距离进行平移，得到平移后的点。
③将平移后的关键点按照原图形连接即得到平移后的图形。
5. 坐标表示平移：
①向右平移个单位，坐标⇒
②向左平移个单位，坐标⇒
③向上平移个单位，坐标⇒
④向下平移个单位，坐标⇒
微专题
1．（2022•广西）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状大小．
【解答】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是D，
故选：D．
2．（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（ ）
A．96 B．96 C．192 D．160
【分析】根据正切的定义求出BC，证明四边形ACC′A′为平行四边形，根据平移的性质求出AA′＝12，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，
则BC＝AB•tan∠CAB＝8，
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0，
∴AA′＝12，
∴S四边形ACC′A′＝12×8＝96，
故选：B．
3．（2022•嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．（﹣1）cm D．（2﹣1）cm
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB′，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，
∴BD＝＝2（cm），
由平移的性质可知，BB′＝1cm，
∴B′D＝（2﹣1）cm，
故选：D．
4．（2022•湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'．若B'C＝2cm，则BC′的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据平移的性质得到BB′＝CC′＝1cm，即可得到BC′＝BB′+B′C+CC′的长．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'，
∴BB′＝CC′＝1（cm），
∵B'C＝2（cm），
∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝1+2+1＝4（cm），
故选：C．
5．（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
【解答】解：点B平移后对应点是点E．
∴线段BE就是平移距离，
∵已知BC＝5，EC＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3．
故选：C．
6．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．
【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积解答即可．
【解答】解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），
故答案为：8．
7．（2022•百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据平移与图形的变化规律进行计算即可．
【解答】解：根据平移与图形变化的规律可知，
将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其图形上的对应点B′的横坐标减少2，纵坐标增加1，
由于点B（1，2），
所以平移后的对应点B′的坐标为（﹣1，3），
故选：D．
8．（2022•赤峰）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（0，4） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）
【分析】根据点的平移规律，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：点A的对应点A′的坐标是（﹣1，3），
故选：C．
9．（2022•海南）如图，点A（0，3）、B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是（ ）
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则结论可得．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，
∵点A（0，3）、B（1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠BAD＝90°，BC＝AD．
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB．
∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴△ABO∽△DAE．
∴．
∴DE＝2OA＝6，AE＝2OB＝2，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（6，5）．
故选：D．
10．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【分析】根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．
【解答】解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
∴点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
11．（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），
故答案为：（5，2）．
12．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是 ．
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（3，2）的对应点C的坐标为（﹣1，2），
∴平移规律为向左平移4个单位，
∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
13．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是 ．
【分析】由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可．
【解答】解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单位，再向左平移1个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位），
即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B'（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
14．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 ．
【分析】根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．
【解答】解：由图象可知，A5（5，1），
将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），
将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），
将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），
将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），
将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），
故答案为：（﹣1，11）．
考点二：图形的对称变换
知识回顾
1. 轴对称与轴对称图形的概念：
①轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴。
②轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 轴对称的性质：
①成轴对称的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。
②对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线。
3. 关于坐标轴对称的点的坐标：
①关于轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
即关于轴对称的点的坐标为。
②关于轴对称的点的坐标：纵坐标不变，横坐标互为相反数。
即关于轴对称的点的坐标为。
③关于原点对称的点的坐标：横纵坐标均互为相反数。
即关于原点对称的点的坐标为。
4. 关于直线对称的点的坐标：
①关于直线对称，⇒
②关于直线对称，⇒
微专题
15．（2022•六盘水）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（ ）
A．坡 B．上 C．草 D．原
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
16．（2022•福建）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
17．（2022•贵港）若点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2
【分析】根据两点关于y轴对称的点的坐标的特点列出有关a、b的方程求解即可求得a﹣b的值．
【解答】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，
故选：A．
18．（2022•常州）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1（1，2），则点A2的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【解答】解：∵点A与点A1关于x轴对称，已知点A1（1，2），
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∵点A与点A2关于y轴对称，
∴点A2的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
19．（2022•新疆）在平面直角坐标系中，点A（2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标是：（2，﹣1）．
故选：A．
20．（2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
【分析】动手操作可得结论．
【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．
故选：C．
考点三：图形的旋转变换
知识回顾
1. 旋转的定义：
在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。
2. 旋转的要素：
①旋转中心；②旋转方向；③旋转角。
3. 旋转的性质：
①旋转前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。
②对应点到旋转中心的连线距离相等。
③对应点与旋转中心的连线构成的夹角等于旋转角。
4. 旋转对称图形：
若一个图形旋转一定角度（小于360°）之后与原图形重合，则这个图形叫做旋转对称图形。如正多边形或圆。
5. 中心对称：
①定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
②性质：I：关于中心对称的两个图形能够完全重合；
II：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
6. 坐标的旋转变换：
①若点顺时针或逆时针旋转90°，则横纵坐标的绝对值互换，符号看象限。
②若点顺时针或逆时针旋转180°，即关于原点成中心对称，则横纵坐标变为原来的相反数。即
7. 旋转作图：
基本步骤：①确定旋转方向与旋转角；②把图形的关键点按照旋转方向与旋转角进行旋转，得到关键点的对应点；③将对应点按照原图形连接。
微专题
21．（2022•德州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
22．（2022•黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．温州博物馆 B．西藏博物馆
C．广东博物馆 D．湖北博物馆
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
23．（2022•河池）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为（ ）
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【分析】根据勾股定理得到AB，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴Rt△ABC所扫过的面积＝+×6×8＝25π+24，
故选：A．
24．（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α
【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝α，
∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝．
∴∠E＝．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
故选：C．
25．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A'C于点D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝3，
∴点A到直线A'C的距离为3，
故选：C．
26．（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（ ）
A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF
【分析】根据等边三角形的判定定理得到△BCE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BE＝BC，判断A选项；证明△ABC≌△CFD，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解直角三角形，用CF分别表示出GF、DF，判断D选项．
【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意；
B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，
∴AB＝AC＝CF＝BF，
由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠A＝∠ACD，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS），
∴DF＝BC＝BE，
∵DE＝AB＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵△ABC≌△CFD，
∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，
∴GF＝CF，
同理可得，DF＝CF，
∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
27．（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
28．（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
29．（2022•内蒙古）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1﹣ D．1﹣
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴DE＝1×＝，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．
故选：C．
30．（2022•朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．
【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC＝＝4π，
∵AE＝＝＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，
∵EB≠CB，
∴四边形DCBE是直角梯形，
∴S四边形DCBE＝＝24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣6﹣4π，
故答案为：24﹣6﹣4π．
31．（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝ ．
【分析】先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，即可解答．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，
∴AC＝3，BC＝3，∠CAB＝60°，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，
∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，
∴B'E＝B'C'﹣C'E＝3﹣3．
32．（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．
【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；
D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
故选：C．
33．（2022•遵义）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故选：C．
34．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
35．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝ ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得m﹣2＝﹣5，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
36．（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案为：5．
37．（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．
【解答】解：作出旋转后的图形如下：
∴B'点的坐标为（4，﹣1），
故选：C．
38．（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）
【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．
【解答】解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：C．
39．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
【分析】根据旋转的性质解答即可．
【解答】解：连接AP，A1P．
∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，
∴A的对应点为A1，
∴∠APA1＝90°，
∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣2，3），
故选：A．
40．（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1（﹣，0），M2（﹣，﹣1），M3（1，4），M4（2，）四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+2中可解答．
【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线PB的解析式为：y＝x+2，
当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣，
∴点M1（﹣，0）不在直线PB上，
当x＝﹣时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（﹣，﹣1）在直线PB上，
当x＝1时，y＝+2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝2+2，
∴M4（2，）不在直线PB上．
故选：B．
41．（2022•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为 ．
【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．
【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，
∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，
∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，
∴AN＝3，
∴ON＝8，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA＝∠B′OA′，
∴△NOB≌△MOB′（AAS），
∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，
∴B′（﹣4，8），
故答案为：（﹣4，8）．
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