数学九年级下册第一章 解直角三角形1.3 解直角三角形课堂检测

这是一份数学九年级下册第一章 解直角三角形1.3 解直角三角形课堂检测，文件包含专题13解直角三角形的中考常考题专项训练50道举一反三浙教版解析版docx、专题13解直角三角形的中考常考题专项训练50道举一反三浙教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。

专题1.3 解直角三角形的中考常考题专项训练（50道）
【浙教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，其中选择题15题，填空题15题，解答题20题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的中考常考题的综合问题的所有类型！
一、选择题（共15题）
1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（    ）

A．13 B．12 C．33 D．32
【答案】C
【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：连接AD，如图：

∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=33．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键．
2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是（    ）

A．3314 B．9314 C．337 D．637
【答案】A
【分析】过点C作CE⊥AB的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到S△DBC:S△ABC=3:7，再证明△ADB∼△ACE，解得ABAE=47，分别求得AE、CE长，最后根据△ACE的面积公式解题．
【详解】解：过点C作CE⊥AB的延长线于点E，

∵△DBC与△ADB是等高三角形，
S△ADB:S△DBC=AD:DC=47AC:37AC=4:3
∴S△DBC:S△ABC=3:7
∵BD⊥AB
∴ △ADB∼△ACE
∴S△ADBS△ACE=(ADAC)2=(47ACAC)2=1649
∴ABAE=47
∵AB=2
∴AE=72
∴BE=72−2=32
∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=180°−150°=30°
∴CE=tan30°⋅BE=32
设S△ADB=4x,S△DBC=3x
∴S△ACE=494x
∴ ∴494x=12×72×32
∴x=314
∴3x=3314，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D，BD=3．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（    ）

A．33 B．32 C．1 D．62
【答案】C
【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=AC2。
【详解】解：因为AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为∠B=45°,∠C=60°,
所以AD=BD=3，
因为sin∠C=ADAC=32，
所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF=AC2=1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．
4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6．则下列结论：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤点D到CF的距离为855．其中正确的结论是（    ）

A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【分析】由题意易得BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，AC⊥BD，
∵点F是DE的中点，
∴OF=12BE,OF//BE，
∵OF=6，CE=4，
∴BE=12，则CD=BC=8，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴DGCD=GFCE=12，
∴GF=2，故①正确；
∴点G是CD的中点，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴OD=2OG，故②正确；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=CECD=12，故③正确；
∵tan∠CDE=12≠1，
∴∠CDE≠45°，
∴∠ODF≠90°，故④错误；
过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示：

∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴tan∠CDE=tan∠DCF=12，
设DH=x，则CH=2x，
在Rt△DHC中，x2+4x2=64，
解得：x=±855，
∴DH=855，故⑤正确；
∴正确的结论是①②③⑤；
故选C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（    ）

A．12 B．2 C．63 D．64
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=12BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得ABBD=AOOD=106，进而即可求解．
【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=12BC=6，
∴AD=102−62=8，
过点O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵S△AOBS△DOB=AOOD=12AB⋅OF12BD⋅OD=ABBD

∴ABBD=AOOD=106，即：8−ODOD=106，解得：OD=3，
∴tan∠OBD=ODBD=36=12，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出ABBD=AOOD，是解题的关键．
6．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P1,1，则tan∠OAP的值是（    ）

A．33 B．22 C．13 D．3
【答案】C
【分析】由P1,1可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为OP∥AB，则△OAB为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵OP∥AB，
则∠BAO=45°，△OAB为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴tan∠OAP=OCOA=x3x=13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．
7．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为（    ）

A．25 B．3 C．5 D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出AC=25，再由勾股定理求出AB=5,过点D作DE⊥AB于点E，依据三角函数值可得DE=12AE,DE=13BE,从而得BE=32AE，再由AE+BE=5得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=5，从而可求出CD．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，
∴tan∠A=BCAC=12
∴AC=2BC=25,
由勾股定理得,AB=AC2+BC2=(25)2+(5)2=5
过点D作DE⊥AB于点E，如图，

∵tan∠A=12，tan∠ABD=13，
∴DEAE=12,DEBE=13,
∴DE=12AE,DE=13BE,
∴12AE=13BE
∴BE=32AE
∵AE+BE=5,
∴AE+32AE=5
∴AE=2,
∴DE=1,
在RtΔADE中,AD2=AE2+DE2
∴AD=AE2+DE2=22+12=5
∵AD+CD=AC=25,
∴CD=AC−AD=25−5=5,
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
8．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（    ）

A．55 B．105 C．255 D．45
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，

∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=5,BC=10,AB=5，
设AD=x，则BD=5−x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2−AD2,
在Rt△BCD中，DC2=BC2−BD2,
∴10−(5−x)2=5−x2，
解得x=2，
∴cos∠BAC=ADAC=25=255，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
9．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）

A．2 B．52 C．5 D．2
【答案】B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由sin∠B=AHAB=13，且AB=3可知，AH=1，
由tan∠C=AHCH=2，且AH=1可知，CH=12，
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=AH2+CH2=12+(12)2=52．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
10．（2022·四川绵阳·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则sinθ−cosθ2=(   )

A．15 B．55 C．355 D．95
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，
∴55cosθ−55sinθ=5，
∴cosθ−sinθ=55，
∴sinθ−cosθ2=15．
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cosθ−sinθ=55．
11．（2022·贵州遵义·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2−32+32−3=2−3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A．2+1 B．2﹣1 C．2 D．12
【答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝2x，CD＝(1+2)x，
tan22.5°=tan∠D=ACCD=x(1+2)x=2−1

故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连结CE，则CEAD的值为（   ）

A．32 B．3 C．152 D．2
【答案】D
【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出AD=BD=CD=12BC，在结合题意可得∠BAD=∠B=∠ADE，即证明AB//DE，从而得出∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，即易证△ADE≅△CDE(SAS)，得出AE=CE．再由等腰三角形的性质可知AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，即证明△ABD∼△ADE，从而可间接推出CEAD=BDAB．最后由cosB=ABBC=14，即可求出BDAB的值，即CEAD的值．
【详解】∵在Rt△ABC中，点D是边BC的中点，
∴AD=BD=CD=12BC，
∴∠BAD=∠B=∠ADE，
∴AB//DE．
∴∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，
∴在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE≅△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，
∴△ABD∼△ADE，
∴DEBD=ADAB，即CEAD=BDAB．
∵cosB=ABBC=14，
∴ABBD=12，
∴CEAD=BDAB=2．
故选D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
13．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC=4,△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（    ）

A．35 B．55 C．45 D．255
【答案】A
【分析】由题意易得△AEF∽△ACB，设CE=BE=AE=x，则有AB=2x，则有AC=4x2−16，EF=10x，然后可得410x=4x2−16x，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．
【详解】解：∵EF⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AEF=∠ACB=90°，
∴△AEF∽△ACB，
∵CE是斜边AB上的中线，
∴CE=BE=AE=12AB，
设CE=BE=AE=x，则有AB=2x，
∵BC=4，
∴由勾股定理可得AC=AB2−BC2=4x2−16，
∵△AEF的面积为5，
∴EF=10x，
∵△AEF∽△ACB，
∴BCEF=ACAE，即410x=4x2−16x，化简得：x4−25x2+100=0，
解得：x2=5或x2=20，
当x2=5时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；
∴当x2=20时，即x=25，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：

∴AB=45,AC=8，CE=25，EF//CH，
∴∠CEF=∠ECH，sin∠B=ACAB=255，
∴CH=BC⋅sin∠B=855，
∴HE=CE2−CH2=655，
∴sin∠CEF=sin∠ECH=HECE=35；
故选A．
【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
14．（2022·四川巴中·中考真题）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）

A．sinB=13 B．sinC=255
C．tanB=12 D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】解：由勾股定理得：AB=22+22=22,AC=12+12=2,BC=12+32=10,
∴BC2=AB2+AC2,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴sinB=ACBC=210=55，sinC=ABBC=2210=255，tanB=ACAB=222=12，sin2B+sin2C=(55)2+(255)2=1，只有A错误．
故选择题：A．
【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
15．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F， FG∥AD 交AE于点G，若cosB=14，则FG的长是（    ）

A．3 B．83 C．2153 D．52
【答案】B
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=14，即可得到FG的长；
【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，

由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
又∵cosB=14，
∴BH=1，即H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，FG∥AD，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵PF∥AD，AP∥DF，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠AGP=12PGAG=2−x2x=14，
解得x=83；
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．
二、填空题（共15题）
16．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30°，则如tan∠DEC的值为_____．

【答案】32
【分析】过C向BD作垂线，可以构造出一个30°直角三角△CDF，进而求出△AEB≌△CFD，设直角△CDF最小边DF=a,并用a的代数式表示出其他边，即可求出答案．
【详解】解：过C作CF⊥BD，垂足为F点
∵矩形ABCD, ∠ADB=30°
∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠ADB=30°, AB=CD
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90°, ∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90°,
∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°
设DF=a,则CF=3a，CD=2a，BD=4a，
∵AE⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴△AEB≌△CFD，
∴EB=DF=a
∴EF=4a-a-a=2a
∴tan∠DEC=CFEF=32

故答案是32．
【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．
17．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12,BOOD=43，则S△ABDS△CBD=___．

【答案】332
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明△ADO∽△EBO，得到AO=3OE,再证明∠ABE=∠ACB,利用tan∠ACB=BECE=tan∠ABE=AEBE=12,设OE=a,利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E，∠DAC=90°,
∴ BE⊥AD，
∴△ADO∽△EBO，
∴AOEO=DOBO,
∵BOOD=43
∴AOEO=DOBO=34,
∴AO=34OE,
由tan∠ACB=12，
∴BECE=12,
∴CE=2BE,
∵∠ABC=90°,BE⊥AC,
∴∠ABE+∠CBE=90°=∠CBE+∠ACB,
∴∠ABE=∠ACB,
∴tan∠ACB=tan∠ABE=AEBE=12,
∴BE=2AE,
∴CE=2BE=4AE,
∴SΔABDSΔCBD=S△OAB+S△OADS△OCB+S△OCD
=12AO•AD+12AO•BE12OC•AD+12OC•BE=AOAD+BEOCAD+BE=AOOC
设OE=a, 则AO=34a,
∴AE=AO+OE=74a, CE=7a, OC=OE+CE=8a.
SΔABDSΔCBD=AOOC=34a8a=332.

故答案为：332
18．（2022·广东·中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE=______．

【答案】91050
【分析】首先根据题目中的sinA，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出sin∠BCE．
【详解】∵DE⊥AB，
∴△ADE为直角三角形，
又∵AD=5,sinA=45，
∴sinA=45=DEAD=DE5 ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE=AD2−DE2=52−42=3,
又∵AB=12,
∴BE=AB−AE=12−3=9 ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
EC=CD2+DE2=122+42=410,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图

在△EBC中：
S△EBC=12·EB·DE=12×9×4=18 ;
又∵S△EBC=12·CE·BF=12×410·BF=210BF
∴210BF=18 ,
解得BF=91010,
在Rt△BFC中，
sin∠BCF=BFBC=91010÷5=91050,
故填：91050．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．
19．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB=12，则tan∠DEC的值是________．

【答案】23
【分析】过点C作CF⊥BD于点F，易证ΔABE≅ΔCDF(AAS)，从而可求出AE=CF，BE=FD，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2a，
在ΔABE与ΔCDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴ΔABE≅ΔCDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝12，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝5a，
∵S△ABD＝12BD•AE＝12AB•AD，
∴AE＝CF＝255a，
∴BE＝FD＝55a，
∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝355a，
∴tan∠DEC＝CFEF＝23，
故答案为：23．

【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为____________．

【答案】7
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，CB′，如图所示，

则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB=AB′=2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=2×32=3，
∴CB′=AC2+AB′2=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
21．（2022·山东德州·中考真题）如图．在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.ΔABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是__________．

【答案】55
【详解】分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC=BCAB=55．
     故答案为55．
点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=910，则AC=_____．

【答案】2529
【分析】如图，作CD⊥BB′于D，根据旋转的性质可得△BCB′为等腰直角三角形，从而可求得CD的长，在Rt△ACD中，根据sin∠DAC=CDAC=910，即可求得AC的长.
【详解】如图，过点C作CD⊥BB′于D
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上
∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°
∴△BCB′为等腰直角三角形
∴BB′=2BC=52
∵CD⊥BB′
∴CD=12BB′=522
在Rt△ACD中，sin∠DAC=CDAC=910
∴AC=522×109=2529
故答案为：2529

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为________．

【答案】154
【详解】试题分析：如图，将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，过点E作AH⊥BC于点H，EF⊥BC于F，则EF是△ACH的中位线

∵AB=AC，BC=8，∴根据等腰三角形三线合一的性质，得HC=BH=4.
∵tanC=32，即tanC=AHHC=32.
∴AH=6.∴EF=3，FC=2.
设BD=x，则根据翻折的性质，DE="BD=" x，
又DF=BC-BD-FC=8-x-2=6-x.
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得x2=(6-x)2+32，解得x=154，即BD=154.
24．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=2AC，则AC的长为________．

【答案】2
【分析】过A点作BC的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求AC的长.
【详解】过A作AD⊥BC于D点，设AC=2x，则AB=2x，因为∠C=45°，所以AD=CD=x，则由勾股定理得BD=AB2−AD2=3x，因为BC=6+2，所以BC=3x+x=6+2，则x=2．则AC=2．

【点睛】本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
25．（2022·四川·中考真题）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β 如图所示，则cosα+β=______.

【答案】217.
【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．
【详解】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．

在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°．
同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=3a，
∴AD=AE2+DE2=7a，
∴cos（α+β）=DEAD=217．
故答案为217．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
26．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中点，将ΔCBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP=__．

【答案】43
【分析】连接PB，交CH于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB=90°，即可得到AP∥HE，进而得出∠BAP=∠BHE，依据RtΔBCH中，tan∠BHC=BCBH=43，即可得出tan∠HAP=43．
【详解】如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，BH=PH，
又∵H为AB的中点，
∴AH=BH，
∴AH=PH=BH，
∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180°，
∴∠APB=90°，
∴∠APB=∠HEB=90°，
∴AP∥HE，
∴∠BAP=∠BHE，
又∵RtΔBCH中，tan∠BHC=BCBH=43，
∴tan∠HAP=43，
故答案为43．

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
27．（2022·山东济南·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝12，则CE＝_____．

【答案】5−52
【分析】已知tan∠BAF=12，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC．
【详解】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，

由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝5，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝12＝FMAM，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（5）2，
解得：x1＝1，x2＝115＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝5﹣1，
易证△BMF∽△FNE，
∴BFEF=BMFN，即：5EF=25−1，
解得：EF＝5−52＝EC．
故答案为5−52．
【点睛】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键．
28．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC,DC上，连接AG,EG,AE，将△ABG和△ECG分别沿AG,EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE=3,CG=4，则sin∠DAE=_______．

【答案】725
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE=5，BC=AD=8，证得Rt△EGF~Rt△EAG，求得EA=253，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形ABCD中，GC=4，CE =3，∠C=90°，
∴GE=GC2+CE2=42+32=5，

根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90°，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°，
∴∠AGE=90°，
∴Rt△EGF~Rt△EAG，
∴EGEA=EFEG，即5EA=35，
∴EA=253，
∴DE=AE2−AD2=(253)2−82=73，
∴sin∠DAE=DEAE=73253=725，
故答案为：725．
【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
29．（2022·江苏常州·中考真题）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=_________．

【答案】12
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形ACDE
∴EC=2a2+2a2=22a，∠ECD=12∠ACD=45∘
同理：CG=2a,∠GCD=12∠BCD=45∘    
∴tan∠CEG=CGCE=2a22a=12．
故答案为12．

【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
30．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，AC=3,BC=4，点D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA=________．

【答案】1010
【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF，可得FM=1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解．
【详解】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，

∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB=32+42=5，
∵S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF，
∴12×3×4=12×3×1+12×4×1+12×5×FM，
∴ FM=1，
∵BF=4−12+12=10，
∴sin∠FBA= 110=1010．
故答案是：1010．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键．
三、解答题（共20题）
31．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，，连接，请直接写出线段的长.

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，CD= .
【详解】试题分析：（1）因为AB为底、面积为12的等腰△ABC，所以高为4，点C在线段AB的垂直平分线上，由此即可画出图形；
（2）根据tan∠EAB=的值确定点E的位置，由此即可解决问题，利用勾股定理计算CD的长；
试题解析：（1）如图所示；
（2）如图所示，CD= =．

考点：1.作图—应用与设计作图；2.勾股定理；3.平行四边形的判定；4.解直角三角形．
32．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）25．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
BE=AE2+AB2=42+82=45,
在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×45=4，
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，
∴AFBC=ABBE，
即AF5=845，
解得：AF=25 ．
33．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′．

(1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213，求CB′的长．
【答案】(1)四边形ACC′A′是菱形；理由见解析
(2)CB′=16

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC′A′是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；
（2）通过解直角△ABC得到AC、BC的长度，由（1）中菱形ACC′A′的性质推知AC=AA′，由平移的性质得到四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′=BB′，所以CB′=BB′−BC．
（1）
解：四边形ACC′A′是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∴∠ACC′=∠AA′C′，
∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴∠ACA′=∠C′CA′，
∵AC∥A′C′，
∴∠AA′C=∠C′CA′，
∴∠ACA′=∠AA′C，
∴AA′=AC，
∴四边形ACC′A′是菱形．
（2）
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=1213，
∴cos∠BAC=ABAC=1213，
即24AC=1213，
∴AC=26，
∴由勾股定理知：BC=AC2−AB2 =262−242 =10，
由（1）可知，四边形ACC′A′是菱形，
∴AC=AA′=26，
由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，
∴AA′=BB′=26，
∴CB′=BB′−BC=16．
【点睛】本题主要考查四边形综合题，涉及到菱形的判定与性质、平移的性质、解直角三角形等，掌握相关性质并结合图形进行应用是关键．
34．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）sin∠EBF=21313．
【分析】（1）通过证明△ABF≌△DAE得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到12•x•x+12•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DAE中，
∠BFA=∠DEA∠ABF=∠EADAB=DA，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴12•x•x+12•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
∴EF=x﹣2=4，
在Rt△BEF中，BE=42+62=213，
∴sin∠EBF=EFBE=4213=21313．
【点睛】本题考查了正方形的性质、解直角三角形等，熟知正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，会运用全等三角形的知识解决线段相等问题是解题的关键．
35．（2022·上海·中考真题）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．

【答案】（1）AC=10；（2）ADBD=35
【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC=32+12=10；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=52，
∵tan∠DBF=DFBF=34，
∴DF=158，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=522+1582=258，
∴AD=5﹣258=158，
则ADBD=35．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.
36．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=34，求BC的长．

【答案】(1)证明见解析；
(2)BC=6．

【分析】（1）由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．
（1）
证明：∵点O是AC中点，
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△AOD和△COE中，
∠DAO=∠ECOOA=OC∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE，
∵CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）
解：由（1）知，四边形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中， tan∠DAO=ODOA=tan∠BAC=34，
设OD=3x，OA=4x，
则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：6x⋅8x2=24，
解得：x=1，
∴OD=3，
∵O，D分别是AC，AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=6．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等，熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
37．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3，连接AE，DF⊥AE交于点F．
(1)求证：△ABE≌△DFA；
(2)连接CF，求sin∠DCF的值；
(3)连接AC交DF于点G，求AGGC的值．

【答案】(1)证明见解析；(2)sin∠DCF=255；(3)AGGC=1516．
【分析】(1)根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；
(2)连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF=AB=CD=4，AF=BE=3，证明∠DCH=∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；
(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到AGGC=AFFK，根据余弦的概念求出EK，计算即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90∘，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
在△ABE和△AFD中，
∠AEB=∠DAF∠B=∠AFDAE=AD，
∴△ABE≌△AFD；
(2)连接DE交CF于点H，如图，

∵△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，
∴EF=CE=2．
∴DE⊥CF．
∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90∘．
∴∠DCH=∠DEC．
在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，
∴DE=25，
∴sin∠DCF=sin∠DEC=CDDE=255．
(3) 如图，过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，则有FG//CK，

∴AGGC=AFFK．
在Rt△CEK中，
EK=CE⋅cos∠CEK=CE⋅∠AEB=2×35=65，
∴FK=FE+EK=165，
∴AGGC=AFFK=1516．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理的应用，平行线分线段成比例定理、三角函数的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
38．（2022·湖南常德·中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．

（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【答案】（1）22+1；（2）2−12
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=22，然后根据BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=13，AD=1，
∴AB=ADsinB=113=3．
∴BD=AB2−AD2=32−12=22．
∴BC=BD+DC=22+1．
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=12BC=2+12．
∴DE=CE﹣CD=2−12．
∴tan∠DAE=DEAD=2−12．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．
39．（2022·浙江绍兴·中考真题）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证∶EF=CD．
（2）如图2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
【答案】（1）见解析；（2）1∶3
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC∶AB=1∶2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD．
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF∶EG=EQ∶EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=12BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=32AE，又BE=AE，进而求出EF∶EG的值．
【详解】解∶（1）证明∶如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB．
∵AC∶AB=1∶2，
∴AB=2AC．
∵点E为AB的中点，
∴AB=2BE．
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
∠CAD=∠B∠ADC=∠BFE=90°AC=BE，
∴△ACD≌△BEF（AAS）．
∴CD=EF，即EF=CD．
（2）如图2，

作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形．
∴∠QEH=90°．
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG．，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH．
∴EF∶EG=EQ∶EH．
∵AC∶AB=1∶3，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sinB=EQBE=12．∴EQ=12BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH=EHAE=32．∴EH=32AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF∶EG=EQ∶EH=12BE∶32AE=1∶3．
40．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5   ,   BD=1，tanB=34．

（1）求AD的长；（2）求sinα的值．
【答案】（1）AD=32；（2）sinα=1102.
【分析】（1）根据tanB=34，可设AC=3x，得BC=4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，进而由勾股定理求AD；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．
【详解】解：（1）∵tanB=34，可设AC=3x，得BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴3x2+4x2=52，
解得，x=−1（舍去），或x=1，
∴AC=3   ,   BC=4，
∵BD=1，
∴CD=3，
∴AD=CD2+AC2=32；
（2）过点作DE⊥AB于点E，

∵tanB=34，可设DE=3y，则BE=4y，
∵AE2+DE2=BD2，
∴3y2+4y2=12，
解得，y=−15（舍），或y=15，
∴DE=35，
∴sinα=DEAD=1102．
【点睛】考核知识点：解直角三角形.理解三角函数的定义是关键.
41．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．

（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=13，求tan∠EBC的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°．
∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°．
又∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE．
（2）在Rt△DEF中，sin∠DFE=DEEF=13，
∴设DE＝a，则EF＝3a，
∴DF=EF2−DE2=22a．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝3a，∠EBC＝∠EBF，
∴CD＝DE＋CE＝4a，
∴AB＝4a．
又由（1）知△ABF∽△DFE，
∴FEBF=DFAB=22a4a=22．
∴tan∠EBF=FEBF=22，即tan∠EBC=tan∠EBF=22．
42．（2022·福建厦门·中考真题）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分
别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋32－4，求BC的长．

【答案】（1）60°（2）4
【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解．
（2）根据条件证出 ▱ABCD是正方形．根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．
【详解】解：（1）连接PO ,

∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）．
∴∠EPO＝∠FPO．
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝EOPE＝33，
∴∠EPO＝30°．
∴∠EPF＝60°．
（2）∵点P是AD的中点，
∴ AP＝DP．

又∵ PE＝PF，
∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）．
∴∠OAD＝∠ODA．
∴ OA＝OD．
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD．
∴▱ABCD是矩形．
∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，
∴ AO∥PF．
∵ PF⊥BD，
∴ AC⊥BD．
∴▱ABCD是菱形．
∴▱ABCD是正方形．
∴ BD＝2BC．
∵ BF＝34BD，
∴BC＋32－4＝324BC，
解得，BC＝4．
43．（2022·山东滨州·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为10， ∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F．

(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证AE=EF．
【答案】(1)503
(2)见解析

【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根据题意及特殊角的三角函数值求出AC和BD的长度，根据菱形的面积＝对角线乘积的一半即可求解．
（2）连接EC，设∠BAE的度数为x，易得EC=AE，利用三角形的内角和定理分别表示出∠EFC和∠ECF的度数，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因为EC=AE，即可得到AE=EF．
(1)
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°
∴∠ABO=30°,∠AOB=90°
∵AB=10，
∴AO=ABsin30°=5，BO=ABcos30°=53
∴AC=2AO=10，BD=2BO=103
∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×10×103=503
(2)
证明：如图，连接EC，

设∠BAE的度数为x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，
∵∠ABD=30°，
∴∠AED=∠CED =30°+x，
∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x
∵∠BDC=12∠ADC=30°
∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°，
∵∠CED =30°+x，
∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x，
∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC，
∵AE=CE，
∴AE=EF．
【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的求解、特殊角的三角函数值以及三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
44．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)BD=63；
(2)①四边形ABEF的面积为73；②最小值为12

【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= 33，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=33，设BE=x，则EN=12x，从而得到EM=MN-EN=33−12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF =312x−332+2734，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=23BO=23×33=23，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由s=312x−332+2734，可得当x=33，即BE=33时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
(1)
解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°=6×32=33，
∴BD=2BO=63；
(2)
解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=63；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=12BE
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=MN⋅BC，
∴MN=33，
设BE=x，则EN=12x，
∴EM=MN-EN=33−12x，
∵S菱形ABCD= AD▪MN=6×33=183，
∴S△ABD= 12S菱形ABCD=93，
∵BE=3DF，
∴DF=BE3=33x，
∴S△DEF=12DF ▪EM=12⋅33x33−12x =−312x2+32x，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =93-（−312x2+32x）=312x−332+2734，
∵点E在BD上，且不在端点，∴0 ①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE=23BO=23×33=23，
此时s=31223−332+2734 =73，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为73；
②作CH⊥AD于H，如图，

∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH=33，
∵s=312x−332+2734，
∴当x=33，即BE=33时， s达到最小值，
∵BE=3DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+3CF的值达到最小，
其最小值为CO+3CH=3+3×33=12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．
45．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′=AB′．
（2）如图②，若AB=AC，BP=3PC，求cos∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB=30°，是否存在点P，使得AB=CB′．若存在，求此时PCBC的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）存在，PCBC的值为12或34．
【分析】（1）先根据平行线的判定与性质可得∠CPB′=∠ABP，再根据折叠的性质可得∠AB′P=∠ABP,PB′=PB，从而可得∠CPB′=∠AB′P，然后根据平行线的判定可得AB′//BC，最后根据菱形的判定与性质即可得证；
（2）设AC与PB′的交点为点O，过点O作OD⊥AB′于点D，设AB=AC=4a(a>0)，从而可得BC=42a，先证出△COP∼△B′OA，从而可得OCOB′=OPOA=PCAB′=24，设OC=2b,OB′=4b(b>0)，根据线段的和差可得OP=32a−4b,OA=4a−2b，代入可求出b=427a，从而可得OA=207a，再在Rt△B′OD中，解直角三角形可得B′D=22b=167a，由此可得AD=127a，然后在Rt△AOD中，根据余弦三角函数的定义即可得；
（3）如图（见解析），设AB=CB′=2m(m>0)，从而可得BC=4m,AC=23m,AB′=2m，分①点B′在直线AC的左侧；②点B′在直线AC的右侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得．
【详解】（1）证明：∵PB′⊥AC，∠BAC=90°，
∴PB′//AB，
∴∠CPB′=∠ABP，
由折叠的性质得：∠AB′P=∠ABP,PB′=PB，
∴∠CPB′=∠AB′P，
∴AB′//BC，
∴四边形ABPB′是平行四边形，
又∵PB′=PB，
∴平行四边形ABPB′是菱形，
∴PB′=AB′；
（2）如图，设AC与PB′的交点为点O，过点O作OD⊥AB′于点D，

∵AB=AC，
∴Rt△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=45°，
设AB=AC=4a(a>0)，则BC=42a，
∵BP=3PC，
∴BP=32a,PC=2a，
由折叠的性质得：∠AB′P=∠ABP=45°,PB′=PB=32a,AB′=AB=4a，
在△COP和△B′OA中，∠OCP=∠OB′A=45°∠COP=∠B′OA，
∴△COP∼△B′OA，
∴OCOB′=OPOA=PCAB′=2a4a=24，
设OC=2b(b>0)，则OB′=4b,OP=32a−4b,OA=4a−2b，
∴OPOA=32a−4b4a−2b=24，
解得b=427a，
∴OA=4a−2×427a=207a，
在Rt△B′OD中，B′D=OB′⋅cos∠AB′P=22b=167a，
∴AD=AB′−B′D=127a，
则cos∠B′AC=ADOA=127a207a=35；
（3）∵∠ACB=30°,∠BAC=90°，
∴∠ABC=60°，
设AB=CB′=2m(m>0)，则BC=4m,AC=BC2−AB2=23m，
由折叠的性质得：∠AB′P=∠ABP=60°,AB′=AB=2m，
∴AB′=CB′=2m，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点B′在直线AC的左侧时，过点B′作B′E⊥AC于点E，

∴CE=12AC=3m（等腰三角形的三线合一），
∴B′E=B′C2−CE2=m=12B′C，
∴在Rt△B′CE中，∠B′CE=30°，
∴∠B′CP=∠B′CE+∠ACB=30°+30°=60°，
又∵AB′=CB′，
∴∠B′AC=∠B′CE=30°，
∴∠AB′C=180°−∠B′AC−∠B′CE=120°，
∴∠CB′P=∠AB′C−∠AB′P=120°−60°=60°，
∴△CB′P是等边三角形，
∴PC=CB′=2m，
∴PCBC=2m4m=12；
②如图，当点B′在直线AC的右侧时，过点B′作B′F⊥AC于点F，

同理可得：∠B′CF=30°，
∴∠B′CF=∠ACB，
∴点B′在BC上，
由折叠的性质得：AP⊥BB′，
在Rt△ABP中，BP=AB⋅cos∠ABC=m，
∴PC=BC−BP=3m，
∴PCBC=3m4m=34，
综上，存在点P，使得AB=CB′，此时PCBC的值为12或34．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
46．（2022·山东济南·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①∠EAB=∠ABC，CF=12BE；②仍然成立，证明见解析；（2）BE=23CF，理由见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明AD=AE,BD=BE,再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明△CMF≌△BMN（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝23CF．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明△BAE∽△CTF，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．

∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝12∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠DAE=90°,
∴∠EAB=∠DAT=∠ABC=45°,
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝12BD，
∴CF＝12BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝12BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：AD=AE,
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
∵ 点F是BD的中点，
则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴△CMF≌△BMN（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝12BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．

∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC//BT,
∴AC∥BT∥DE，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，BE=GT,
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
由旋转可得；CG=CT,∠GCT=90°,
∴ △GCT是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝12BE．
（2）结论：BE＝23CF．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴tan30°=CTAT=33,
∴AT＝3CT，
∴AB＝23CT，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝12∠ACB＝60°，
∴tan60°=AEAD=3,
∴AE＝3AD＝23FT，
∴ABCT=AEFT=23，
∴△BAE∽△CTF，
∴BECF=BACT=23，
∴BE=23CF．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
47．（2022·四川南充·中考真题）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）．DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB=1，DE=13．

（1）求tan∠ACE．
（2）设AF=x，GH=y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．
（3）当∠ADF=∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
【答案】（1）12；（2）y=xx+1(0 【分析】（1）过E作EM⊥AC于M，根据正方形的性质得出∠DAC=45°，AD=AB=BC=1，利用等腰三角形的性质得出EM=AM=23，再利用正切的定义即可得出答案；
（2）过G作GN⊥AB于N，先证得四边形HANG为正方形，再证明△GNF~△DAF，根据比利式即可得出结论；
（3）根据∠ADF=∠ACE和tan∠ACE=12得出 AF=12，根据（2）中的函数关系式得出HG=13，从而得出△EHG为等腰直角三角形，继而得出EG⊥AC
【详解】（1）过E作EM⊥AC于M
在正方形ABCD中∠DAC=45°，AD=AB=BC=1
∵DE=13，∴AE=23，AC=2
∴EM=AM=22AE=22×23=23
∴CM=AC-AM=2-23=223
在Rt△CEM中，tan∠ACE=EMCM=12

(2)过G作GN⊥AB于N
∵HG⊥AD，∠DAB=90°
∴四边形HANG为矩形，GN∥AD
∵∠HAG=45°
∴AH=HG
∴四边形HANG为正方形
∴HG=GN=AN=y
∵GN∥AD
∴△GNF~△DAF
∴GNAD=NFAF
∵AF=x，∴NF=x-y
∴y1=x−yx
∴y=xx+1(0
(3)∵∠ADF=∠ACE
tan∠ACE=12
∴tan∠ADF=AFAD=12
∵AD=1
∴AF=12
即x=12
当x=12时，y=HG=13
在Rt△AHG中，∠HAG=45°
∴AH=HG=13，∠HGA=45°
∵HE=AE-AH=13
∴△EHG为等腰直角三角形
∴∠EGH=45°
∴∠AGE=90°
∴EG⊥AC
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，适当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键．
48．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)22
(3)①35；②45

【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
(1)
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
(2)
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ABAE=ABAC=12，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC=12=22；
(3)
解：①ABAC=ADDE=34，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35 ；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC=BCAC=45．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
49．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．

(1)求线段AE的长；
(2)求证四边形DGFC为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)AE=3
(2)见解析
(3)存在，x=2或2.5

【分析】（1）根据在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解；
（2）根据（1）的结论分别求得GF,DG，根据四边相等的四边形是菱形即可得证；
（3）分∠NDM=90°和∠DNM=90°两种情况分别讨论即可求解．
（1）
解：如图

∵四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=8，
∴AD=BC=8,DC=AB=10，∠DAB=∠B=90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，
∴CF=CD=10，
在Rt△BCF中，BF=CF2−BC2=102−82=6，
∴AF=AB−BF=10−6=4，
设AE=a，则DE=EF=8−a，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
a2+42=8−a2，
解得a=3，
∴AE=3；
（2）
∵ DE=AD−AE=8−3=5，
∴tan∠DCE=DECD=510=12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥GB，
∴∠EGA=∠DCE，
∴tan∠EGA=EAGA=12，
∵EA=3，
∴GA=6，
Rt△GAD中，DG=AG2+AD2=62+82=10，
∴FG=GA+AF=6+4=10，
∴GD=DC=CF=GF，
∴四边形DGFC为菱形；
（3）
∵ ∠DMN=∠DCM，设DN=x，△DMN是直角三角形
设∠DMN=∠DCM=α
由（2）可得tan∠DCM=12
∴tan∠DMN =12
①当∠DNM=90°时，如图，

∴DN=12NM，∠GNM=90°,
∵GD=CD
∴∠DGM=∠DCM=α
∴∠NMG=90°−α
∴∠DMG=90°−α+α=90°
∵DG=DC=10
∵tan∠DGM=tanα=12
∴GN=2NM
∴10−x=2×2x
解得x=2；
②当∠NDM=90°时，
同理可得DN=12DM,DM=12GD
∴ND=14DG=52

综上所述，ND=2或2.5
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
50．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE= ；
(3)当AB=m , BC=n时． GHCE= ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
【答案】(1)GH=12CE，证明见解析
(2)GHCE=13
(3)GHCE=m2n
(4)3135

【分析】（1）先证明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=12AF，等量代换即可；
（2）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=12AF，等量代换即可；
（3）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=12AF，等量代换即可；
（4）过M作MH⊥AB于H，根据折叠性质得∠C=∠MPN，根据角平分线证明出∠C=∠PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△AHM∽△ABC，得到HMBC=AMAC，代入解方程即可．
（1）
解：GH=12CE，理由如下：
∵AB=BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵E、F为BC，AB中点，
∴BE=BF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵H为DF中点，G为AD中点，
∴GH=12AF，
∴GH=12CE．
（2）
解：GHCE=13，
连接AF，如图所示，

由题意知，BF=12AB=1，BE=12BC=32，
∴ABBC=BFBE=23，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=2:3，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=12AF，
∴GHCE=13．
故答案为：13．
（3）
解：GHCE=m2n，
连接AF，如图所示，


由题意知，BF=12AB=m2，BE=12BC=n2，
∴ABBC=BFBE=mn，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=m：n，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=12AF，
∴GHCE=m2n．
故答案为：m2n．
（4）
解：过M作MH⊥AB于H，如图所示，

由折叠知，CM=PM，∠C=∠MPN，
∵PM平分∠APN，
∴∠APM=∠MPN，
∴∠C=∠APM，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=22+32=13，
设CM=PM=x，HM=y，
由sin∠C=sin∠APM知，ABAC=HMPM，
即213=yx，y=2x13，  
∵HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∴HMBC=AMAC，
即y3=13−x13，y=13−x13×3，
∴13−x13×3=2x13，
解得：x=3135，
故答案为：3135．