浙教版九年级下册1.3 解直角三角形课后测评

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第1章 解直角三角形章末题型过关卷
【浙教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·安徽淮南·模拟预测）在△ABC中，2cosA−22+1−tanB=0 ，则△ABC一定是（    ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得2cosA−23=0，1−tanB=0，从而得cosA=22，tanB=1，根据特殊角度三角函数的性质，得∠A=45°，∠B=45°；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵2cosA−23+1−tanB=0
∴2cosA−23=0，1−tanB=0
∴2cosA−2=0，1−tanB=0
∴cosA=22，tanB=1
∴∠A=45°，∠B=45°
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，BC=AC
∴△ABC一定是等腰直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．
2．（3分）（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校一模）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b为∠B的对边，a为∠A的对边，若b与∠A已知，则下列各式正确的是（  ）
A．a=bsin∠A B．a=bcos∠A C．a=btan∠A D．a=b÷tan∠A
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．
【详解】解：如图所示：tanA=ab，

则a=btan∠A．
故选：C．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（3分）（2022·浙江温州·三模）如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，BD∥CE，∠ABD=α，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（    ）

A．(2+15sinα)m B．(2+15tanα)m C．17tanα m D．17sinα m
【答案】A
【分析】证明四边形BCED是矩形，得到DE=BC=2，用∠ABC的正弦求得AD=ABsin∠ABD=15sinα，得到AE= DE +AD =2+15sinα．
【详解】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE，
∴∠AEC=∠BCE=90°，
∵BD∥CE，
∴BD⊥AE，BD⊥BC，
∴∠ADB=∠BDE=∠DBC=90°，
∴四边形BCED是矩形，
∴DE=BC=2，
∵AD=ABsin∠ABD=15sinα，
∴AE= DE +AD =2+15sinα．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判断和性质，正弦的定义和计算．
4．（3分）（2022·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，连结CD．下列各组线段的比值一定与cosA相等的是（    ）

A．DEAD B．DEAE C．CEBD D．CEBC
【答案】C
【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案．
【详解】∵ED是△ABC的中位线
∴点D、E分别是AB、AC的中点
∵∠ACB=90°
∴CD=BD=AD
∴∠A=∠DCE
∴cosA=cos∠DCE=CECD=CEBD
故选：C
【点睛】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
5．（3分）（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=25，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan∠ECF的值为（    ）

A．52 B．255 C．23 D．53
【答案】B
【分析】利用翻折的性质，以及外角定理证得∠AEB=∠ECF，进行角度转换即可求出结果．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC=25，
∴BE＝CE=5，
∴AE= AB2+BE2=22+(5)2=3，
由翻折变换的性质得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=5，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠ECF，
∴tan∠ECF=tan∠BEA=ABBE=25=255，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角函数，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出∠AEB=∠ECF是解决问题的关键．
6．（3分）（2022·浙江·温州外国语学校二模）矩形纸片ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形①、②、③，又把这三个三角形按如图2的方式重叠放置在一起，阴影分别为①、②与③的重叠部分，且①的斜边一端点恰好落在②的斜边上，则ABBC的值为（    ）

A．32 B．2 C．43 D．233
【答案】C
【分析】设DE=x，令AB=b，BC=a，然后根据同角的余角相等得到∠BAC=∠ADE，∠EDC=∠ACB，再利用等角的三角函数值相等，得到AE的长度，列出方程化简得到a与b之间的关系，最后得到AB与BC的比值．
【详解】解：设DE=x，令AB=b，BC=a，如图，

∴AB•BC=AC•DE，即a2+b2⋅x=ab，
∴x=aba2+b2，
∵tan∠BAC=BCAB=ab，
∵∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAC，
同理可得，∠EDC=∠ACB，
∴tan∠ADE=AEDE=ab，
∴AE=DE⋅tan∠ADE=aba2+b2⋅ab=a2a2+b2，
∵∠EDC=∠ACB，
∴∠A'D'C=∠ACB，
∴A'E'=BC−12CD′，
∵CD'=ED，A'E'=AE，
∴AE=BC−12ED=a−12aba2+b2，
∴a2a2+b2=a−12aba2+b2，
化简得，4a3b=3a2b2，即ab=34，
∵a＞0，b＞0，
∴ABBC=DEAE=ba=43．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是适当设未知数建立方程．
7．（3分）（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为(　　)

A．3 +1 B．2 C．2 D．6-2
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．
【详解】如图，

作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sinB=6×22=3，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°−∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30°=3×33=1，
∴BC=3+1，
在Rt△BEF中，设BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°−∠BCE=60°，
CF=EF⋅tan60°=3x，
由CF+BF=BC得，
3x+x=3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
8．（3分）（2022·江苏南通·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为(   )

A．33 B．12 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由于BF是△AHC的中位线， BF=12CH=1.5,AF=FC=12AC=2.5；利用△BFE∽△DEC可得BFCD=FECE，设FE=x，求得CE=l， FE=BF，可得∠BEF=∠FBE，在Rt△BGD中，可求tan∠AEB＝tan∠GBD＝12．
【详解】设BG与AC交于点F，如图，

∵AB＝BH＝2，BF∥CH，
∴BF是△AHC的中位线．
∴BF＝12CH＝1.5，AF＝FC＝12AC＝2.5．
∵BF∥CH，
∴△BFE∽△DEC ．
∴BFCD=FECE．
设FE＝x，则CE＝2.5﹣x．
∴1.51=x2.5−x．
解得：x＝1.5．
∴BF＝FE＝1.5．
∴∠BEF＝∠FBE．
∴tan∠AEB＝tan∠GBD．
在Rt△BGD中，tan∠GBD＝GDGB＝24=12．
∴tan∠AEB＝tan∠GBD＝12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形的中位线，三角形的相似的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定及性子是解题的关键．
9．（3分）（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在▱ABCD中，AB=4,AD=10,∠B=60°．作AE⊥AB交BC边于点E，连接DE，则sin∠EDC的值为（    ）

A．2114 B．12 C．77 D．217
【答案】A
【分析】过点E作EF⊥AD于点F，过点C作CG⊥ED于点G，根据三角函数以及勾股定理求出BE,AE,AF,EF,FD,ED,EC的长度，然后根据三角形面积公式得出CG的长度，结果可得．
【详解】解：过点E作EF⊥AD于点F，过点C作CG⊥ED于点G，

∵ AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∵ AB=4,∠B=60°，
∴AE=AB·tan60°=43，BE=ABcos60°=8，
∴EC=BC−BE=10−8=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=∠BAD−∠BAE=120°−90°=30°，
∵ EF⊥AD，
∴∠AFE=90°，
∴EF=12AE=23，
∴ AF=AE·cos30°=6，
∴FD=AD−AF=10−6=4，
∴ED=EF2+FD2=(23)2+42=27，
∴S△ECD=12EC·EF=12ED·CG，
即12×2×23=12×27×CG，
∴CG=2217，
∴sin∠EDC=CGCD=22174=2114，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30°的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键．
10．（3分）（2022·广东·景中实验中学二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上，∠GAE=∠BAE，AG交BF于点H，连接EH,EG,CH．下列结论：①△AHE≌△BCF；②GE∥BF；③sin∠ABF=255；④14S△GCH=S△ABH，其中正确的结论有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个．
【答案】B
【分析】先证明△AHE≌△BCF（AAS），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GE∥BF，即可判断②，由勾股定理可求BF的长，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判断③，由相似三角形的性质可求FH，CH，AO的长，即可求出16S△GCH=S△ABH，即可判断④．
【详解】解：如图，设BF与AE的交点为O，

设AB＝4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，
∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，
∴∠AOB＝90°＝∠AOH，
又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，
∴△AOH≌△AOB（ASA），
∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，
∴AE垂直平分BH，
∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，
∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正确；
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，
∴FG＝GH，
∵HE＝BE＝CE，
∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，
∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，
∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝ 90°，
∴∠GHC＝∠GCH，
∴CG＝GH，
∴FG＝GC＝GH＝a，
又∵CE＝BE，
∴GE∥BF，故②正确；
∵BF=BC2+CF2=16a2+4a2=25a，
∴sin∠ABF＝sin∠BFC＝BCBF=4a25=255，
故③正确；
∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，
∴△CFH∽△BFC，
∴CFBF=CHBC=FHCF ，
∴2a25a=CH4a=FH2a，
∴CH=455a，FH=255a，
∴BH=855a，
∵sin∠ABF＝AOAB=255，
∴AO=855a，
∵FG＝GC，
∴S△GCH=12S△FCH=12×12×455a×255=25a2，
∵S△ABH=12×AO×BH=12×855a×855a=325a2，
∴16S△GCH=S△ABH，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·广东·东莞市粤华学校二模）在△ABC中，sinB=12，AC＝22，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为 _____．
【答案】23+2或23−2
【分析】分两种情况讨论：当AD在△ABC的内部时，当AD在△ABC的外部时，即可求解．
【详解】解：如图，当AD在△ABC的内部时，

∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝22，
∴DC=AD=ACsin45°=22×22=2，
在Rt△ABD中，sinB=12，
∴sinB=ADAB=12，
∴AB=4，
∴BD=AB2−AD2=42−22=23，
∴BC=BD+DC=23+2；
如图，当AD在△ABC的外部时，

∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝22，
∴DC=AD=ACsin45°=22×22=2，
在Rt△ABD中，sinB=12，
∴sinB=ADAB=12，
∴AB=4，
∴BD=AB2−AD2=42−22=23，
∴BC=BD−DC=23−2；
综上所述，BC的长为23+2或23−2．
故答案为：23+2或23−2
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
12．（3分）（2022·江苏连云港·一模）已知sina=513 (a为锐角)，则tana=_____________
【答案】512
【分析】根据同角三角函数，可得答案．
【详解】解：∵sinα=513，
∴cosα=12−(513)2=1213，
∴tanα=sinαcosα=512；
故答案为：512．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用同角三角函数的关系是解题关键．
13．（3分）（2022·贵州·铜仁市第十一中学一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.且tan∠BEC＝34，则tanA＝_____.

【答案】13
【分析】在Rt△EBC中，先用含k的代数式表示出BC、CE、BE，再利用线段垂直平分线的性质说明BE与AE的关系，最后在Rt△ABC中求出∠A的正切.
【详解】解：在Rt△EBC中，
∵tan∠BEC＝34＝BCCE，
设BC＝3k，CE＝4k.
∴BE＝BC2+CE2＝5k.
∵D是AB的中点，ED⊥AB，
∴BE＝AE＝5k.
∴AC＝AE+CE＝5k+4k＝9k.
在Rt△ABC中，
tanA＝BCAC=3k9k=13，
故答案为：13；
【点睛】本题考查了解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的边角间关系及“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解决本题的关键．
14．（3分）（2022·山东济宁·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点F，连接DF交AB于点E，连接AF，BF．当△BFD是直角三角形时，DE的长为 _______．

【答案】32或34
【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理及锐角三角函数可求解．
【详解】解：如图1，当点E与点F重合时．

在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=52−32=4．
由翻折的性质可知；AE＝AC＝3，DC＝DE，∠ACD＝∠AFD＝90°，则EB＝2．
设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．
解得：x=32，
∴DE＝32；
如图2所示：∠EDB＝90°时．

由翻折的性质可知：AC＝AF，∠C＝∠AFD＝90°．
∵∠C＝∠AFD＝∠CDF＝90°，
∴四边形ACDF为矩形．
又∵AC＝AF，
∴四边形ACDF为正方形．
∴DF＝3＝CD，
∴DB＝1，
∵tan∠ABC=DBDE=BCAC，
∴1DE=43，
∴DE=34；
当∠DBF＝90°时，
则AC∥BF，
∴AC与BF的距离为BC＝4，
又∵AC＝AF＝3＜4，
故∠DBE不可能为直角．
综上所述：DE的长为32或34．
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，锐角三角函数等知识，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
15．（3分）（2022·河南郑州·一模）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若∠AEF=α，纸片宽AB=2cm，则HE＝__________cm．

【答案】1sinαcosα
【分析】根据题意，证明四边形GHEF是平行四边形，运用∠AEF的正弦和余弦的关系，求出HE．
【详解】如图，分别过G、E作GM⊥HE,EN⊥GH， 垂足分别为M、N
则GM=2
根据题意，∠AEF=α，因为折叠，则∠FEP=α
∵四边形ABCD是矩形
∴ GF//HE
∴∠GFE=α
∴GF=GE
同理HE=GE
∴四边形GHEF是平行四边形
∴∠GHE=α
∵ EN⊥GH，HE=GE
HN=NG=12HG
∵GMHG=sin∠GHM=sinα
HG=2sinα
Rt△HNE中，HNHE=cos∠NHE=cosα
∴HE=HNcosα
=12HGcosα=1sinαcosα=1sinαcosα

故答案为：1sinαcosα．
【点睛】本题考查了轴对称图形，平行四边形的性质与判定，锐角三角函数，理解题意作出辅助线，是解题的关键．
16．（3分）（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，点D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四边形BCED的面积为8，tan∠C=7，AC=______．

【答案】5
【分析】过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，由tan∠ACB=7，设CM=x，则AM=7x，AC=52x=AD，根据∠ABM=45°即得BM=AM=7x，BC=BM+CM=8x，而△NBC是等腰直角三角形，知CN=42x，由△DAE≌△CAN（AAS），即得DE=CN=42x，AE=32x，又四边形BCED的面积为8，列出方程，解方程再计算即可求解．
【详解】解：过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，如图：

∵tan∠ACB=7，
∴AMCM=7，
设CM=x，则AM=7x，
∴AC=AM2+CM2=52x=AD，
∵∠ABM=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM=AM=7x，
∴BC=BM+CM=8x，
在Rt△BCN中，∠NBC=45°，
∴△NBC是等腰直角三角形，
∴CN=22BC=42x，
∵∠AED=∠ANC=90°，AD=AC，∠DAE=∠CAN，
∴△DAE≌△CAN（AAS），
∴DE=CN=42x，
在Rt△DAE中，AE=AD2−DE2=(52x)2−(42x)2=32x，
∵四边形BCED的面积为8，
∴SΔABC−SΔDAE=8，
∴12BC⋅AM−12DE⋅AE=8，即12×8x×7x−12×42x×32x=8，
解得x=22或x=-22（舍去），
∴AC=52x=52×2=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查全等三角形、锐角三角函数、等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用含字母的式子表示相关线段的长度．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区李海务街道办事处中学九年级阶段练习）计算：
(1)4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘．
(2)24−32tan30∘+|3−π|−(−13)−1．
【答案】(1)1−3
(2)6+π

【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先进行算式平方根、正切值、绝对值和负整数指数幂运算，再加减运算即可求解．
（1）
解：原式=4×32−3×3+2×22×22
=23−33+1
=1−3；
（2）
解：原式=26−32×33+π−3+3
=26−6+π
=6+π．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数、二次根式的混合运算、绝对值、负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
18．（6分）（2022·河北·邢台市第六中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=32，求：

(1)CD的长
(2)cosB的值
【答案】(1)4
(2)45

【分析】（1）直接在Rt△ADC中根据正切的定义求解即可；
（2）先求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求解即可．
（1）
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，tanC=ADCD=32，
∴CD=23AD=4；
（2）
解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=AD2+BD2=10，
∴cosB=BDAB=45．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出CD的长是解题的关键．
19．（8分）（2022·上海·九年级单元测试）如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=23．

(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
【答案】(1)CE=213
(2)∠ADE的余弦为45

【分析】（1）利用正切函数求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中点F，利用梯形中位线定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解．
（1）
解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=23，
∴DECD=23，即DE6=23，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=42+62=213；
（2）
解：取CD的中点F，连接EF，

∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，DE=4，DF=12CD=3，
由勾股定理得EF=5，
∴cos∠DEF=DEEF=45，
∴cos∠ADE=45，
即∠ADE的余弦为45．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
20．（8分）（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=210m，AE=8m．

(1)求点B距水平而AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414 ,3≈1.732 ）
【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米
(2)广告牌CD的高度约为2.1米

【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．
（1）
解：在Rt△ABH中，
BH：AH=1:3，
∴设BH=a,则AH=3a，
∵AB=210，
由勾股定理得BH=2，
答:点B距水平面AE的高度BH是2米；
（2）
解：在Rt△ABH中, BH=2，
∴AH =6，
在Rt△ADE中, tan∠DAE=DEAE.，
即DE=tan60 ·AE=83 ，
如图,过点B作BF⊥CE ,垂足为F，

BF= AH + AE=6+8 =14，
DF= DE- EF= DE- BH =83—2，
在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，
∴ CF= BF= 14,
∴CD=CF- DF =14—（83—2）= 14—83+2≈2.1
答:广告牌CD的高度约为2.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（8分）（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）如图1是工人用升降机维修路灯的实物图，图2是升降机工作示意图．学习兴趣小组计划通过此示意图计算路灯AB的高度．他们通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：路灯AB垂直于地面，机械臂DE=2米，CD=4米，路灯顶部A到工作台的距离AC=1.5米，车厢上部EF到地面距离为1.5米，∠CDE=75°，∠DEF=55°．根据上述信息，请你求出路灯AB的高度．（结果精确到0.1米．参考数值：sin55°≈0.82，cos35°≈0.82，sin20°≈0.34，sin75°≈0.97）

【答案】6米
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DI⊥EF于点I，解Rt△DEI求得DI的长，根据题意，求出∠CDH的度数，再解Rt△CDH，求出CH的长，进而求出路灯AB的高度．
【详解】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DI⊥EF于点I．
在Rt△DEI中，
∵sin∠DEI=DIDE，∠DEF=55°，DE=2米
∴DI=DE·sin55°≈0.82×2=1.64米，
由作图可得DH∥EF，
∴∠HDE=∠DEI=55°，
∵∠CDE=75°
∴∠CDH=∠CDE−∠HDE=75°−55°=20°，
在Rt△CDH中，
∵sin∠CDH=CHCD，CD=4米
∴CH=CD·sin20°≈0.34×4=1.36米，
∴AB=1.5+1.36+1.64+1.5=6米．
答：路灯AB的高度为6米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解题意，构造合适的直角三角形是解本题的关键．
22．（8分）（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是射线DC上一点，F是CE的中点，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到点GF，连接GE，CG，以CG，CD为邻边作▱CGHD，连接AE，M是AE的中点．

(1)如图1，当点E与点D重合时，HM与AE的位置关系是______．
(2)如图2，当点E与点D不重合，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当DE=2CE时，连接HE，请直接写出tan∠GHE的值．
【答案】(1)HM⊥AD
(2)成立，理由见解析
(3)13或15

【分析】（1）由四边形CGHD是平行四边形，可得GH∥CD，根据点E与点D重合，可知AE与AD重合，进而可知M为AD的中点，则DM=12AD，由四边形ABCD是正方形，可知AD⊥CD，AD=CD，则GH⊥AD，由F为CE的中点，可知DF=EF=12CD，则DM=GF=DF，由旋转可知：GF=DF，则∠DFG=90°，则AD∥GF，则四边形GFDM是平行四边形，进而GM∥CD，由此可知点M在GH上，由此可证明结论；
（2）如图，连接HA，HE，根据平四边形的性质与判定，以及正方形的性质可证△HDA≌△EGH，进而可证明结论成立；
（3）分两种情况当点E在线段CD上时，连接AH、EH，设直线GH交直线AD于点N，可计算出一种结果，当E在线段DC的延长线上时，连接AH，EH，设直线GH交直线AD与点N，可计算出第二种结果，进行总结即可．
（1）
解：∵四边形CGHD是平行四边形，
∴GH∥CD，
∵点E与点D重合，
∴AE与AD重合，
∵M为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴DM=12AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，AD=CD，
∴GH⊥AD，
∵F为CE的中点，
∴DF=EF=12CD，
∴DM=GF=DF，
由旋转可知：GF=DF，
∠DFG=90°，
∴AD∥GF，
∴四边形GFDM是平行四边形，
∴GM∥CD，
∴点M在GH上，
∴HM⊥AD，
即HM⊥AE，
故答案为：HM⊥AE；
（2）
成立，理由如下：
如图，连接HA，HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∵四边形CGHD是平行四边形，
∴HG=DC，HD=GC，∴AD=HG，
由旋转可知，FE=FG，∠EFG=90°，
∴GF⊥CE，∠GEF=∠EGF=45°，
∵EF=CF，
∴GF垂直平分CD，
∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC=45°，
∵四边形CGHD是平行四边形，
∴GH∥CD，DH∥CG，
∴∠EGH=∠GEC=45°，∠HDC=180°−∠GCE=135°，
∵∠ADC=90°，
∴∠HDA=45°，∴∠HDA=∠EGH，
∵HD=GC，GC=GE，
∴HD=GE，∴△HDA≌△EGH，∴HA=HE，
∵MA=ME，
∴HM⊥AE．

（3）
当点E在线段CD上时，如图甲所示，连接AH、EH，设直线GH交直线AD于点N，
由(2)得△ADH≌△HGE，AD⊥GH，
∴∠GHE=∠DAH，
∴tan∠GHE=tan∠DAH=HNAN，
∵DE=2CE，
∴设CE=m，则DE=2m，
HN=DN=FG=EF=12CE=12m，
∴AD=CD=DE+CE=2m+m=3m，
∴AN=AD-DN=3m-12m=52m，
∴tan∠GHE=HNAN=12m52m=15，
当E在线段DC的延长线上时，如图乙所示，连接AH，EH，设直线GH交直线AD与点N，
由（2）可得△ADH≌△HE，AD⊥GH，
∴∠GHE=∠DAH，
∴tan∠GHE=tan∠DAH=HNAN；
∵DE=2CE，
设CE=m，则DE=2m-m=m，
∴AN=AD+DN=m+12m=32m，
∴tan∠GHE=HNAN=12m32m=13，
综上所述，tan∠GHE的值为13或15．

     图甲                                  图乙
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，正方形的性质，解直角三角形，能够根据需要添加合适的辅助线是解决本题的关键．
23．（8分）（2022·四川成都·三模）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，CD∥AB，将△COD以C为旋转中心，旋转一定的角度后，得△CEA（点D与点A重合），连接BC．

(1)如图1，求∠CBE的度数；
(2)如图2，F为BC的中点，连接OF，求tan∠FOB的值（保留根号）；
(3)如图3，F为BC的中点，若BC＝8，M为线段BC上一点，连接OM，若OMBE＝2−1，求证：MF2＝12BD2﹣16tan∠CBD．
【答案】(1)∠CBE=22.5°；
(2)tan∠FOB=2−1．
(3)见解析

【分析】（1）由旋转的特征和平行线的性质可得∠A=∠OBA=45°，且OC=EC，则∠CBE=∠CBO=12∠OBA，可求得∠CBE的度数；
（2）先证明OC=OD，再由CD∥AB及∠CBE=∠CBO证明BD=CD，设OC=CD=m，则BD=2m，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得OF=BF，则∠FOB=∠OBC，由tan∠FOB=tan∠OBC求得tan∠FOB的值；
（3）连接DF，先证明DF=MF，∠BFD=90°，设OC=OD=m，由勾股定理列方程求出m2的值，再将BD2用m2表示，最后分别求出MF2的值和12BD2-16tan∠CBD，可证得结论．
（1）解：如图1，由题意得，点E在AB边上，∠AOB=90°，由旋转得，EC=OC，∠AEC=∠DOC=90°，∠A=∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC=∠OBA，∴∠A=∠OBA=45°，∵∠BEC=180°-∠AEC=90°，∴∠BEC=∠BOC=90°，∵BC=BC，EC=OC，∴Rt△BEC≌Rt△BOC（HL），∴∠CBE=∠CBO=12∠OBA=12×45°=22.5°；
（2）解：如图2，∵CD∥AB，∴∠ODC=∠OBA=45°，∠OCD=∠A=45°，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴OC=OD，设OC=OD=m，∵∠DCB=∠CBA，∠CBA=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC，∴BD=CD，∴BD2=CD2=OC2+OD2=m2+m2=2m2，∴BD=2m；∵∠BOC=90°，BF=CF，∴OF=12BC=BF，∴∠FOB=∠OBC，∴tan∠FOB=tan∠OBC=OCOB=mm+2m=2−1；
（3）证明：如图3，连接DF，由（1）得，△BEC≌△BOC，∴BE=BO， ∵OMBE=2−1，∴OMBO=2−1；∵OCBO=2−1，∴OM=OC=OD，由（2）得，OF=BF，∴∠FOD=∠OBC=22.5°，∴∠OFC=∠FOD+∠OBC=45°，∠OMC=∠OCM=90°-∠OBC=90°-22.5°=67.5°，∴∠FOM=∠OMC-∠OFC=67.5°-45°=22.5°，∴∠FOM=∠FOD，∵OF=OF，∴△FOM≌△FOD（SAS），∴MF=DF；∵BD=CD，BF=CF，∴DF⊥BC，∴∠BFD=90°，∵BC=8，∴BF=CF=12BC=4，∴MF2=DF2=BD2-BF2=BD2-42=BD2-16；设OC=OD=m，则∴BD2=CD2=2m2，由OC2+OB2=BC2得，m2+（m+2m）2=82，整理得，m2=32-162，∴MF2=2×（32-162）-16=48-322，∵BD=CD，∴∠CBD=∠OBC，∴tan∠CBD=tan∠OBC=2−1，∴12BD2-16tan∠CBD=12×2m2-16（2−1）=m2-16（2−1）=32-162-16（2−1）=48-322，∴MF2=12BD2-16tan∠CBD．