第16章 二次根式 沪科版数学八年级下册单元综合能力测试(含答案与解析)

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第16章 二次根式 单元综合能力测试
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·湖南双峰·八年级期末）若代数式有意义，则必须满足条件（ ）
A． B． C． D．为任意实数
2．（2021·重庆·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·上海市莘光学校八年级期中）下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆开州·九年级期末）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
5．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
6．（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校九年级期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·四川东坡·九年级期末）在、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2021·江苏宿迁·七年级期中）数轴上：原点左边有一点M，点M对应着数m，有如下说法：①表示的数一定是正数；②若，则；③在、、、中，最大的数是或；④式子的最小值为2．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·湖北梁子湖·九年级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．如果已知p＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·湖南长沙·九年级期末）二次根式有意义，则x的取值范围是________．
12．（2021·上海市罗星中学八年级期中）二次根式＋4的一个有理化因式是________________．
13．（2021·广东黄埔·八年级期末）根据a＝1，b＝10，c＝﹣15，可求得代数式的值为____．
14．（2021·山东莱阳·八年级期末）已知，则的值为________．
15．（2021·广东南海·八年级期中）比较实数的大小：___2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
16．（2022·江苏如皋·八年级期末）李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
17．（2021·山东单县·八年级期末）下列计算正确的是 ___（只填序号）．
①；②2+2＝2；③＝3；④．
18．（2021·青海·中考真题）观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式：______．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·河北青县·八年级期末）计算
（1）
（2）
（3）已知，，求的值．









20． （2021·江苏·如皋市实验初中九年级期末）计算或化简求值。
（1）计算；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．














21.（2021·甘肃·甘州中学八年级阶段练习）计算求值。
（1）计算：；
（2）已知：，，求的值．








22．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）在如图所云的数轴上，点与点关于点对称，两点对应的实数分别是，

求的值；
求的值．











23．（2021·山东环翠·八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简和运算时，我们有时会遇到形如，，一样的式子，其实我们可以将其进一步化简：；；，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．
请利用如上阅读“分母有理化”的步骤，完成下列化简：
（1）
（2）
（3）







24．（2021·黑龙江铁锋·八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）请化简：＝　 　．
（2）参照（三）式化简：＝　 　．
25．（2021·河北宽城·八年级期末）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（）2≥0，∴a﹣2+≥0，即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？

第16章 二次根式 单元综合能力测试
一、 单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·湖南双峰·八年级期末）若代数式有意义，则必须满足条件（ ）
A． B． C． D．为任意实数
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，再根据平方的非负性，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∵ ，
∴，即为任意实数时，恒成立，
∴代数式有意义，必须满足条件为为任意实数．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握当被开方数是非负数时，二次根式有意义是解题的关键．
2．（2021·重庆·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，该选项符合题意；B、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，该选项不符合题意；D、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3．（2021·上海市莘光学校八年级期中）下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出与是同类二次根式即可得．
【详解】解：．A、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；B、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；C、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；D、，与是同类二次根式，可以合并，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
4．（2022·重庆开州·九年级期末）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】B
【分析】化简原式等于，因为＝，所以＜＜，即可求解.
【详解】解：＝＝=，
∵＝，＜＜，
∴6＜＜7，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的除法和无理数的估算；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键．
5．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据确定的取值范围，将里面的数化成完全平方形式，利用二次根式的性质去根号，然后合并同类项即可．
【详解】解：由可知：

故原式化简为：．
故选：D．
【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质，熟练掌握二次根式的性质，求解该题的关键．
6．（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减，二次根式的性质，，计算选择即可．
【详解】解：∵不是同类项，无法计算，
∴A计算错误；
∵不是同类项，无法计算，
∴B计算错误；
∵，
∴C计算错误；
∵，
∴，
∴D计算正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的加减，二次根式的性质，熟练掌握，，是解题的关键．
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校九年级期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．
【详解】解：A、＝3，与不是同类二次根式，选项错误；B、，与不是同类二次根式，本选项错误；C、与不是同类二次根式，本选项错误；D、，与是同类二次根式，本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
8．（2021·四川东坡·九年级期末）在、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由题意根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母以及被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行分析判断即可．
【详解】解：∵、、，不是二次根式，
∴最简二次根式为，共计1个.
故选：A.
【点睛】本题考查最简二次根式的判断，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
9．（2021·江苏宿迁·七年级期中）数轴上：原点左边有一点M，点M对应着数m，有如下说法：①表示的数一定是正数；②若，则；③在、、、中，最大的数是或；④式子的最小值为2．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据点M在数轴上的位置得到m为负数，判断﹣m，，m2，m3的符号，求出当|m|＝8时m的值，从而对各个选项进行判断，得出答案即可．
【详解】解：数轴上点M对应着数m，在原点左边，因此m＜0，
∴﹣m＞0，即﹣m是正数，因此①正确；
若|m|＝8，则m＝±8；又m＜0，因此m＝﹣8，故②正确；
∵m＜0，
∵﹣m＞0，，m2＞0，m3＜0，
当﹣1＜m＜0时，﹣m＞m2，当m≤﹣1时，﹣m≤m2，因此③正确；
∵m＜0，
∴，
∴，
∴，因此④正确；
故选：D．
【点睛】考查数轴表示数的意义，相反数、不等式的意义，二次根式的乘法运算等知识，理解点M对应着数m的取值，得出相应代数式的符号或值是解决问题的前提．
10．（2021·湖北梁子湖·九年级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．如果已知p＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据公式算出a＋b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】解：∵p＝，p＝6，c＝4，
∴6＝，
∴a＋b＝8，
∴a＝8−b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
=
∴当b＝4时，S有最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·湖南长沙·九年级期末）二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义
∴，解得
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．
12．（2021·上海市罗星中学八年级期中）二次根式＋4的一个有理化因式是________________．
【答案】﹣4
【分析】由平方差公式：（＋4）•（﹣4）＝a﹣16可得答案．
【详解】解：∵（＋4）•（﹣4）＝a﹣16，
∴＋4的一个有理化因式为﹣4，
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查二次根式的有理化，解题的关键是根据平方差公式进行二次根式的有理化．
13．（2021·广东黄埔·八年级期末）根据a＝1，b＝10，c＝﹣15，可求得代数式的值为____．
【答案】
【分析】先把、、的值代入，再化简二次根式，然后约分即可．
【详解】解：，，．
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
14．（2021·山东莱阳·八年级期末）已知，则的值为________．
【答案】8084
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：，即．
∴
∴可化为
∴
∴
∴
∴





故答案为：8084．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键．
15．（2021·广东南海·八年级期中）比较实数的大小：___2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．
【详解】解：∵2＝，
∴＜2，
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，准确计算是解题的关键．
16．（2022·江苏如皋·八年级期末）李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
【答案】①
【分析】由立方根的含义可判断①，由二次根式有意义的条件可判断②，由 可判断③，由算术平方根的含义可判断④，由负整数指数幂的含义可判断⑤，由同类二次根式的含义可判断⑥，从而可得答案.
【详解】解：，运算正确，故①符合题意；没有意义，不能运算，故②不符合题意；故③不符合题意；故④不符合题意；故⑤不符合题意；
不是同类二次根式，故⑥不符合题意；
故答案为：①
【点睛】本题考查的是立方根的含义，算术平方根的含义，二次根式的化简，负整数指数幂的含义，同类二次根式的含义，掌握以上基础概念及运算是解本题的关键.
17．（2021·山东单县·八年级期末）下列计算正确的是 ___（只填序号）．
①；②2+2＝2；③＝3；④．
【答案】④
【分析】利用二次根式加减运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】解：①与不是同类二次根式，不能合并计算，故①计算错误，不符合题意；
②2+2＝4，故②计算错误，不符合题意；
③，故③计算错误，不符合题意；
④，正确，符合题意；
故答案为：④．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和同类二次根式的合并，熟练掌握同类二次根式的定义和同类二次根式的合并的方法是解答本题的关键．同类二次根式的合并方法是把系数相加减，被开方式和根号不变．
18．（2021·青海·中考真题）观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式：______．
【答案】
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．
【详解】解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：

分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填：．
【点睛】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·河北青县·八年级期末）计算
（1）
（2）
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3） 4
【分析】
（1）利用二次根式的性质化简和二次根式的加法计算法则求解即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）利用完全平方公式进行求解即可.
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式

；
（3）∵，
∴.
【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21． （2021·江苏·如皋市实验初中九年级期末）计算或化简求值。
（1）计算；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）先计算负指数幂，绝对值符号化简，零指数幂，立方根，再合并同类项即可；
（2）先因式分解找出最简公分母通分，合并同时把除法转化为乘方，约分化简为最简分式，再赋值，代入计算即可．
【详解】解:（1）,
=
=；
（2），
=，
=，
=，
当时，
原式=．
【点睛】
本题考查实数混合运算，负指数幂，绝对值，零指数幂，立方根，分式化简求值，二次根式乘法，掌握实数混合运算，负指数幂，绝对值，零指数幂，立方根，分式化简求值，二次根式乘法是解题关键．
22． （2021·甘肃·甘州中学八年级阶段练习）计算求值。
（1）计算：；
（2）已知：，，求的值．
【答案】（1）-1；（2）．
【分析】
（1）先根据0次幂、乘方、二次根式的乘法、绝对值进行化简运算，然后求和即可；
（2）先求出，，再将原式变形为，把整体代入求解即可．
【详解】解：（1）

；
（2）∵，，
∴，
，
则原式



．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．
22．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）在如图所云的数轴上，点与点关于点对称，两点对应的实数分别是，

求的值；
求的值．
【答案】 ；.
【分析】
点C对应的实数是m，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可求解.
把m代入到原式，利用绝对值的性质及平方差公式计算即可得到结果.
【详解】解：∵点与点关于点对称，
∴AB=AC,
即
解得：.
，
= ，

= ，
= .
=.
【点睛】本题考查的是数轴上两点间距离的定义及实数的运算，根据题意列出方程及熟练掌握绝对值的性质、平方差公式是解题的关键.
23．（2021·山东环翠·八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简和运算时，我们有时会遇到形如，，一样的式子，其实我们可以将其进一步化简：；；，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．
请利用如上阅读“分母有理化”的步骤，完成下列化简：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先将分母化为最简二次根式，再对分母进行有理化即可；
（2）根据题意，分子分母同时乘，求解计算即可；
（3）对每个式子进行有理化，再求解计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3），，





【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式的分母有理化方法是解题的关键．
24．（2021·黑龙江铁锋·八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）请化简：＝　 　．
（2）参照（三）式化简：＝　 　．
【答案】（1）；（2）﹣
【分析】
（1）根据第一个例子可以解答本题；
（2）根据第三个例子和平方差公式可以解答本题．
【详解】解：（1）


（2）



【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解.
25．（2021·河北宽城·八年级期末）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（）2≥0，∴a﹣2+≥0，即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？

【答案】（1）1，2；（2）5，3；（3）
【分析】
（1）根据材料可得，当，即x＝1时，函数有最小值为2；
（2）同理得：，变形后可得结论：x＝3时，代数式的最小值为5；
（3）设AB＝xm，根据长方形的周长列式，根据材料进行变形，列不等式可得结论．
【详解】解：（1）∵x＞0，
∴，
∴
即，当，即x＝1时，函数有最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）∵x＞1，
∴
∴
即，当，即x＝3时，代数式的最小值为5；
故答案为：5，3；
（3）设AB＝xm，则CD＝xm，BC＝m．
则篱笆长度为：
当且仅当x＝2时，2x+有最小值是8．
答：至少需要8m的篱笆．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的应用，解题的关键在于能够读懂题意进行相应的求解