初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理教案

课题名称：3.3 垂径定理

学情分析：

学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能。

在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力。

垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会。因此，应该让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼。

教材分析：

该节内容为1课时。圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理。

教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向。这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力．

教学目标：

知识目标：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；运用垂径定理及其逆定理解决问题。

能力目标：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

情感态度与价值观目标：培养学生类比分析，猜想探索的能力； 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

教学重难点

重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．

教学策略：

类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。

本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。

教学过程   

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、 

类比引入

二、 

猜想探索

三、

 知识应用

四、学习小结

活动内容：

1.等腰三角形是轴对称图形吗？

2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？

3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？

1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

条件：① CD是直径；② CD⊥AB

结论（等量关系）：③AM=BM；

④=；⑤=。

证明：连接OA,OB,则OA=OB

在Rt△OAM和Rt△OBM中,

∵OA=OB，OM=OM，

∴Rt△OAM≌Rt△OBM.

∴AM=BM.

∴点A和点B关于CD对称.

∵⊙O关于直径CD对称,

∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,

和重合, 和重合.

∴ =，=.

2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？

注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。

3．垂径定理逆定理的探索

如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。

（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。

条件：① CD是直径；② AM=BM

结论（等量关系）：③CD⊥AB；

④=；⑤=.

让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容

——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

4．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？

反例：

1.例题：

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。

解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．

∵OE⊥CD

根据勾股定理，得

  OC²=CF² +OF²

即   R²=300²+(R-90)².

解这个方程，得R=545.

所以，这段弯路的半径为545m.

2．随堂练习

T1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1米）。

T2．随堂练习

如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

有三种情况：

（1）圆心在平行弦外；

（2）圆心在其中一条弦上；

（3）圆心在平行弦内。

学生交流总结

1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。

2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

学生思考并回答

证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

同伴交流

让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容。

学生认真读题、审题，思考解题方法。

学习同伴合作交流完成。

教师引导学生认真审题、读图，合作交流，把生活中的数学问题抽象概括为数学模型，再根据上例的启发添加辅助线，构造符合定理的条件。

学生表述自己学习所得，可以互相补充。

通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。

让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；

让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；

让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想。

通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯。

板书设计：

§3.3    垂径定理

一、 垂径定理                      三、列题讲解                   四、随堂练习

二、 垂径定理的逆定理